翼型势流求解_111017_768408462

2011年秋季学期空气动力学

翼型势流求解

清华大学气动研究室

2011年10月17日

目录

翼型势流求解 (3)

1.薄翼理论 (3)

1.1翼型几何与流场分解 (3)

1.2弯度攻角问题 (7)

1.2.1涡模型 (7)

1.2.2薄翼理论基本方程 (9)

1.2.3薄翼理论基本方程求解 (10)

1.2.4薄翼气动特性分析 (14)

1.2.5薄翼例题与习题 (20)

1.3厚度问题 (29)

1.3.1薄翼厚度影响 (29)

1.3.2厚度例题与习题 (32)

2.厚翼理论 (32)

翼型势流求解

1.薄翼理论

1.1翼型几何与流场分解

翼型分解

如图所示，翼型上下表面的坐标可以按中弧线坐标和半厚度坐标进行分解：

也可以写成

如图所示，来流速度在x轴和y轴上的投影分别为和

。在薄翼假设下，翼型给流动扰动是小扰动，是在均匀来流的基础上叠加小的水平扰动速度和垂直扰动速度。二者满足

。叠加小扰动后，两个方向的速度分量分别为

和。在翼型上下表面，气流与物面相切这一边界条件可以写为

考虑到，上式可简化为

这里，为小扰动的速度势，即

。

将坐标按式(1)分解后，式(2)可以写成：

小扰动速度势满足的拉普拉斯方程

是线性方程，因此满足该方程的势函数可以叠加，因此可以令

，其中表示弯度与攻角影响，而表示厚度影响。将上述分解代入势函数方程与边界条件，得

显然，上面两式都是线性的，从而弯度攻角影响和厚度影响可以解耦，即问题可以分解成：

及

注意，弯度与攻角影响的边界条件只在中弦线上，只有一个，厚度影响的边界条件建立在上下表面上，有两个。由于只考虑厚度影响时，问题是上下对称的，从而对升力的贡献为0，故分析升力特性时可以忽略对它的考虑。

总结而言，对于薄翼问题，升力特性只依赖于中弧线与攻角的作用。这样就把问题大大简化了。升力的产生从本质上来源于绕翼型有环量，在薄翼假设下，相当于绕中弧线有环量。注意，当翼型没有弯度时，中弧线与弦线重合。

1.2弯度攻角问题

1.2.1涡模型

弯度和攻角代表了一种几何不对称。升力则是流场不对称的结果。二者相互关联，流场不对称是几何不对称的结果。数学上，升力与绕翼型环量成正比：

环量是涡的集中表现。因此，在中弧线上布置点涡正好可以模拟这种不对称。如图所示，在中弧线上布连续涡，来模拟翼型弯度和攻角对流场的扰动，由此可得到翼型的升力特性。一般假设弯度较小，以你把涡布在弦线上。

如果单独在微元段上布置强度为的点涡，那么绕该微元

段的环量为。这里，点涡强度以顺时针为正，所以与环量相比差了一个负号。

在中弧线上其它位置布置的点涡，对该微元段的速度环量没有影响，这是因为点涡诱导的是无旋流场，如果积分路径不包含某点涡，那么该点涡对此积分路径的环量就没有贡献。因此，在中弧线上，使用

当地（单位长度的）涡强为的连续分布的涡，那么绕微元段的环量就只与该微元段上的涡强有关，即

。

从而绕翼型总的环量为

另外，从环量的定义，成立下式

，

因此，涡强与上下表面流速差有关系式：

，

由此得当地涡强与上下表面的流体速度差的关系：

1.2.2薄翼理论基本方程

确定涡强分布的方程就是薄翼理论基本方程:

这是一个积分方程，其中右端中弧线的斜率和几何攻角都是给定的，左端被积函数中的涡强是待求的。下面给出方程(1)的推导，为此需要利用下面的边界条件：

该边界条件反映了中弧线是条流线或者流体不能穿越中弧线的物理本质，右端第一项的分子是中弧线（即翼型）给流体的向上的扰动速度。

由附录I中介绍的毕奥－萨瓦定理知，位于、强度为的（点）涡在水平轴上某点x诱导的速度为

于是，中弧线上一串涡在该点诱导的合速度为

将上式代入边界条件(2)，就得到了薄翼理论基本方程(1)。

1.2.3薄翼理论基本方程求解

基本解

下面来求薄翼理论基本方程

的解。为此，作变换

这里，角由0变化至。显然，前缘点对应，后缘点对

应。

薄翼基本方程（）的解为

这里

对于已知翼型，中弧线坐标是已知的，由上式便可以确定涡强表达式公式（2）中的各系数。

对于对称翼型，那么弯度为0，从而，即

求解细节

将级数解(2)与变换关系

代入积分方程(1)，整理得

将

表示成富氏级数

上式中的选取是这样考虑的：1）在前缘附近，流体由前驻

点绕过前缘，引起的涡强很大，因此这项

起到这个

作用；2）在后缘处，要满足库塔条件，即上下速度在尾缘处为0，从而按

，当地涡强为0，而此项显然满足

。

后面会看到，将公式(4)代入公式(3)后，会得到

。

虽然在前缘处出现了无穷大的涡强，但离开前缘，涡强会快速减弱，从而积分后得到的总的气动力是有限的。在实际问题中，因存在粘性，不会出现无穷大的局部涡强。

将级数表达式（4）代入式（3）, 得到的表达式稍加整理后可写成：

将上式进一步写成： 这里

下面将的表达式化简。采用三角函数恒等式

得

有这样一个需要费不少力气才能证明的公式

利用该公式，得到

将上式代入式（5），得确定系数的方程：

利用级数系数确定方法，从上式中得到：

以上就是确定级数解(2)系数的表达式。

1.2.4薄翼气动特性分析

特性总结

下面先给出气动特性的总结，再给出具体推导。

1）系数特性。从

知，对于带有弯度的大部分翼型，一般满足。2）薄翼环量表达式

因此，环量只与中弧线斜率及几何攻角有关。

3）升力线斜率

无论薄翼中弧线是什么形状，升力线斜率都是。

4）零升攻角

对于正弯度翼型, 在后段即的附近, 有，从而零升攻角一般为负。

5) 升力系数

6）力矩系数

7）压力中心

对于带有弯度的大部分翼型，由于，因此，压力中心一般在1/4弦长以后的地方，随着攻角增大，压力中心前移。

8）焦点

因此，对于薄翼，焦点在1/4弦长处。薄翼形状对焦点位置影响不大。9）零升力矩系数

对于带正弯度的翼型，因为

，所以零升力矩一般为负，即低头。

薄翼环量

利用环量表达式

以及式

得

将已知的定积分关系式

代入上式，便得翼型总的环量表达式：

升力特性

利用儒可夫斯基升力定理以及环量表达式

得升力表达式：

从而升力系数为

升力线斜率为

考虑到

故升力线斜率的最终表达式为

上式表明，升力线斜率等于常数，即升力系数与攻角的关系为直线，即：

这里，为零升攻角，即升力为0时对应的攻角。

从

求得

将

代入上式，得

整理后，上式为

力矩特性

考虑到，因此按儒可夫斯基升力定理得

相对于前缘的力臂,考虑到升力是与来流垂直而不是与轴垂直后,为

,因此力矩为,从而合力矩为

相对于前缘的力矩系数为

将式

以及

代入上式，并整理得

压力中心按定义为

将代入上式得

下面求焦点位置。相对焦点的力矩系数满足下面的关系式

将升力系数表达式

代入上式得

由于相对焦点的力矩满足

。

因此

从上式解,并考虑到升力系数和升力线斜率表达式后得

由于薄翼理论只对小攻角有效，所以上式表明，焦点的位置近似为

即焦点在1/4弦长处。

1.2.5薄翼例题与习题

例题：问题描述

考虑NACA23012翼型，其中弧线坐标分布函数为