相似三角形判定定理证明
如何证明相似三角形判定定理
预备知识：
图1中，平行线等分线段定理 已知l 1//l 2//l 3，AB =BC ，则DE =EF 由已知条件构造三角形全等，可证得平行线间距离相等，然后以此结论做条件可构造线段DE ，EF 所在三角形全等，结论获证. 图2中，平行线分线段成比例定理 已知l 1//l 2//l 3，则
DE
EF
BC AB =，命题可通过添加平行线转化成平行线等分线段定理.
由比例性质还可得DF EF AC AB =，EF ED AB CB =，DF ED
AC CB = 相似三角形判定定理证明
图3，已知DE//BC ，求证：△AD E ∽△ABC
析：欲证两三角形相似，则需证三对角对应相等，三对边的比 相等，本题目三对角相等，则证三边比相等即可. 由DE//BC 得
AC EA AB AD =，作EF//AB 得AC EA
CB BF =，依题意知四边形DEFB 是平行四边形，DE=BF . 则
CB
DE
AC AE AB AD ==，命题获证. 图4，已知DE//BC ，求证：△AD E ∽△ABC
作AG=AD ，GH//BC ，HM//AB ，可证△AD E ≌△AGH 此问题同图3
图5，在△ABC 与△A`B`C`中，``````C A AC
C B BC B A AB == 求证：△ABC ∽△A`B`C`
在线段A`B`上截取A`D=AB ，过点D 作DE//B`C`，交A`C`于点E ，根据上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴
`
```````C A E
A C
B DE B A D A == ∵
`
`````C A AC
C B BC B A AB ==，AB=A`
D ∴DE=BC ，A`E=AC
∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C` 图6，
`
```C A AC
B A AB =，∠A =∠A`，求证：△AB
C ∽△A`B`C`
3
l
3
图3
B
图4
B
图5
图6
B
在线段A`B`上截取A`D=AB ，过点D 作DE//B`C`，交A`C`于点E ，根据上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴
`
`````C A E
A B A D A = ∵
`
```C A AC
B A AB =，A`D=AB ∴A`E=A
C ∵∠A =∠A`
∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C`
图7，∠A=∠A`，∠B=∠B`求证：
△ABC ∽△A`B`C`
在线段A`B`上截取A`D=AB ，过点D 作DE//B`C`，交A`C`于点E ，根据上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴∠A`DE=∠B`
∵∠A=∠A`，∠B=∠B`，A`D=AB ∴∠A`DE=∠B ∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C`
图8，Rt △ACB 与Rt △A`C`B`中，∠C=∠C`=90°，````C A AC
B A AB = 求证：△AB
C ∽△A`B`C`
设`
```C A AC
B A AB ==k ，则AB=kA`B`,AC=kA`C`则 k `
``
`k ````k ``k ````22222
2==-=
-=C B C B C B C A B A C B AC AB C B BC
则三边成比例，∴△ABC ∽△A`B`C`
图7
B
图8
B
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形 1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． ①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽ △ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； （双A型） ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
(完整版)相似三角形中的射影定理
相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= ·AC2= ·BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。 B A
【典型例题】 例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例3．（1）已知ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ??和的 高，这时CAB DEF ??和是否相似？ 【拓展练习】 1、已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。求证：△BEF ∽△ACF A B A B C N D C
北师大版-数学-九年级上册-4.5 相似三角形判定定理的证明 教案
相似三角形判定定理的证明 预习导学： 1．相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似． 2．证明相似三角形判定定理时，先作辅助线，再根据条件选择适当的判定定理。 教学目标： 1．了解相似三角形判定定理,会证明相似三角形判定定理 2．掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 教学重点：会证明相似三角形判定定理 教学难点：掌握推理证明的方法，并提供应用能力 教学过程： 判定定理的证明： 定理1：两角分别相等的两个三角形相似 如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′， 那么，△ABC ∽△A′B′C′. 证明：在△ABC 的边AB （或延长线）上截取AD=A’B’,过点D 作BC 的平行线， 交AC 于点E,则∠ADE=∠B, ∠AED=∠C, AD AE AB AC =(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). 过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F,则 AD CF AB CB =(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). ∴ AE CF AC CB =
∵DE ∥BC ，DF ∥AC ∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF ∴AE DE AC CB = ∴AD AE DE AB AC BC == 而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC. ∵∠A=∠A’, ∠ADE=∠B’, AD=A’B’, ∴△ADE ≌△A’B’C’ ∴△ABC ∽△A’B’C’. 定理2：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 探究2 如果∠B =∠B1， 那么，△ABC ∽△A1B1C1. 自己思考，与同学交流 定理3：三边对应成比例,两三角形相似. 如果 1111 ,AB BC k A B B C ==, AB BC AC A B B C A C ==''''''
相似三角形的判定及证明技巧讲义
- 1 - / 4 相似三角形（三） 知识点（一）：相似三角形的证明技巧 1.相似三角形的基本图形 2.相似三角形判定定理（3条） 3.相似三角形的具体解题方法 1.“三点定形法”：即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 例1、已知:如图△ABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:AE?AB=AC?AF.（判断“横定”还是“竖定”？） 例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？） 练习1.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF。
A D E F B C
2.过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． (1)等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。 例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的 延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． - 2 - / 4 (2)等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代
相似三角形的判定定理2
A B C A 1 B 1 C 1 A B C D O 1、 相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在ABC ?与111A B C ?中，1A A ∠=∠，1111 AB AC A B AC = ，那么ABC ?∽111A B C ?． 【例1】 如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， 2OA =，3OB =，6OC =，4OD =． 求证：OAD ?与OBC ?是相似三角形． 相似三角形判定定理2 知识精讲
A B C D A B C D E 【例2】 如图，点D 是ABC ?的边AB 上的一点，且2AC AD AB =g ． 求证：ACD ?∽ABC ?． 【例3】 如图，在ABC ?与AED ?中， AB AC AE AD = ，BAD CAE ∠=∠． 求证：ABC ?∽AED ?． 【例4】 下列说法一定正确的是（ ） A ．有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似 B ．对应角相等的两个三角形不一定相似 C ．有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 D ．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似 【例5】 在ABC ?和DEF ?中，由下列条件不能推出ABC ?∽DEF ?的是（ ） A ．A B A C DE DF = ，B E ∠=∠ B ．AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠ C ．AB AC DE DF = ，A D ∠=∠ D ．AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠
15相似三角形判定定理的证明知识讲解基础
相似三角形判定定理的证明(基础) 【学习目标】 1.熟记三个判定定理的内容. 2.三个判定定理的证明过程. 3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】 要点一、两角分别相等的两个三角形相似 已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C, ADAE?(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ABAC过点D作AC的平行线，交BC与点F,则 ADCF?(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ABCBAECF?∴ACCB∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ADAEDE??. ∴ABACBC而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时辅助线的做法.
【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似，求证：△ADE∽△ABC．D， CE⊥AB，垂足为E1、在△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为 断可判∠AEC=∠ADB=90°，利用∠EAC=∠DAB路点拨】由BD⊥AC，CE⊥AB得到【思 ，加上∠EAD=∠CAB，根据三角形相似的==，利用比例性质得△AEC∽△ADB，则判定方法即可得到结论．【答案与解析】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC=∠ADB=90°，而∠EAC= ∠DAB，∴△AEC∽△ADB，∴，=∴，= ∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC．有两组有两组角对应相等的两三角形相似；【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质：对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．举一反三°，ADE=60，且∠在BC、AC上，点是等边三角形D，E分别ABC【变式】如图，△CE. CD=AC?证求：BD? 【答案】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=AC， ∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°， ∴∠BAD=∠CDE， ，DCE△∽ABD△∴．ABBDCC BCD=AC BCD=AC 2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延
初中数学相似三角形的判定定理
相似三角形的判定 教学目标1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用“∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式； 2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1； 3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长. 4、了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l. 一、复习 1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？ 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形） 本节学习相似三角形的定义及相关判定定理. 二、学习新课 相似三角形的概念：我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一. [说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例． 相似比的概念：相似三角形对应边的比，叫做相似比（或相似系数）． [说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性．②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形． 注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应 边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的 对应边的比，叫做相似比. 如图，是相似三角形，则 相似可记作∽.由于，则与 的相似比，则与的相似比.
猜测两个三角形全等与相似的区别与联系：当两个相似三角形的相似比时，这两个相似三角形就成为全等三角形，因此全等三角形是相似三角形的特例. 想一想：如果∽，∽那么与相似吗？ 利用相似三角形的定义说理.得到相似三角形具有传递性（性质）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似. 思考问题：（l）所有等腰三角形都相似吗？所有等边三角形呢？为什么？ （2）所有直角三角形都相似吗？所有等腰直角三角形呢？为什么？ 练习一：选择题 下列四组图形，必是相似形的是（） Ａ、有一个角为的两个等腰三角形；Ｂ、有一个角为的两个等腰梯形； Ｃ、邻边之比都为2:3的两个平行四边形；Ｄ、有一个角为的两个等腰三角形. 新授2：相似三角形的预备定理 课本通过探讨的方法，根据题设中有平行线的条件，结合定理的结论，再根据三角形的定义，从而得出了这两个三角形相似的结论，这里要强调的是： （1）本定理的导出不仅复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下了基础。 （2）由本定理的题设所构成的三角形有三种可能，基本图形在“平行线分线段成比例”出现过． （3）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，做题时务必要认真仔细，如本定理的比例式，防止出现错误 （4）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边，对应边应写在对应位置．
【教案】相似三角形判定定理的证明
相似三角形判定定理的证明一、教学目标 1．知识目标： ①了解相似三角形判定定理 ②会证明相似三角形判定定理 2．能力目标： 掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 二、教学过程分析 1.复习提问 相似三角形的判定方法有哪些？ 答：（1）两角对应相等，两三角形相似. （2）三边对应成比例,两三角形相似. （3）两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 2.探究学习，得出新知 探究1 如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′， 那么，△ABC ∽△ A′B′C′. 如何证明呢？ 应用1 已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
学 解：∵∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴△ABD ∽△ACB , ∴ AB : AC=AD : AB, ∴ AB2 = AD · AC. ∵ AD=2, AC=8, ∴ AB =4. 探究2 如果∠B =∠B 1 ， 那么，△ABC∽△A 1 B 1 C 1 . 应用2 已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，求AD的长. 1 1111 , AB BC k A B B C == 2
探究3 如果 那么，△ABC ∽△A ′B ′C ′. 应用3 画一画 任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结论. 3： 例题学习 例1. 弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P. 求证:PA ·PB=PC ·PD. ,AB BC AC A B B C A C ==''''''
相似三角形判定基础 练习
相似三角形的判定① 1、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两数的比例中项，第 三个数是 (只需写出一个即可). 2、在△ABC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上，且AD=2，若要在AB 上找一点E ，使△ADE 与原三角 形相似，那么AE= 。 3、如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB ，那么可添加的条件是 4、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件， 使ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的 条件即可). 5、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角 形都相似；④所有的直角三角形都相似. 其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上). 6、如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2)，如果点C 在x 轴 上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为 或 时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与 ΔAOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标). 7、下列命题中正确的是 （ ） ①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④ 8、如图，已知D E ∥BC ，E F ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ） A AC AE AB AD = B FB EA CF CE = C BD AD BC DE = D CB CF AB EF = 9、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ， 下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是 （ ） A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB C. BE=CD ，AB=AC D. AD ∶AC=AE ∶AB 10、在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF= 90°，则一定有 （ ） A ΔADE ∽ΔAEF B ΔECF ∽ΔAEF C ΔADE ∽ΔECF D ΔAEF ∽ΔABF 11、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点， 连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ） A 1对 B 2对 C 3对 D 4对 12、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
相似三角形的判定定理1
1 / 7 1、 相似三角形的定义 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． 如图，DE 是ABC ?的中位线，那么在ADE ?与ABC ?中， A A ∠=∠， ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠； 1 2AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作 ADE ?∽ABC ?，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分 别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”． 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“?”后相应的位置上． 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、 相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与ABC ?的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ?∽ABC ?． 相似三角形判定定理1 A B C D E A B C D E A B C D E D A B C E
2 / 7 A B C A 1 B 1 C 1 3、 相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在ABC ?与111A B C ?中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ?∽111A B C ?． 常见模型如下：
相似三角形的判定定理
24.4（1）相似三角形的判定 教学目标 1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用 “∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式； 2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1； 3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长. 4、了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l. 一、复习 1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？ 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形） 本节学习相似三角形的定义及相关判定定理. 二、学习新课 相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一. [说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例． 相似比的概念 ：相似三角形对应边的比k ，叫做相似比（或相似系数）． [说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形． 注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比，叫做相似比. 如图，111,ABC A B C ??是相似三角形，则111,ABC A B C ??相似可记作ABC ?∽111A B C ?.由于 111 2 AB A B =，则ABC ?与111A B C ?的相似比111 2 AB k A B = =，则111A B C ?与ABC ?的相似比,112A B k AB == . C 1 B 1 A 1 C B A
《相似三角形判定定理的证明》基于标准的教学设计
《相似三角形判定定理的证明》基于标准的教学设计教材来源：义务教育教科书《数学》/北师大版 课时：第一课时 授课对象：九年级学生 设计者：张金辉/荥阳市城关乡初级中学 王娟 /荥阳市城关乡初级中学
目标2：通过活动2，能综合应用相似三角形判定定理以及性质解决相关问题。合作交流（学生活动2） （4人小组合作交流） 1.已知：如图，在△ABC 中，D 是 AC 上 一点，∠ CBD 的平分线交 AC 于点E，且 AE = AB 求证：AE2= AD · AC． (1)要证明结论中的等积式，一般将等积式转化成比例式。 (2)要证明比例式往往从（平行线分线段成比例）和（相似三 角形对应边成比例入手）。 (3)结合几何图形我们从后者入手，结合比例式找相似三角 形？ (4)发现找不到怎么办？（将条件中的等线段进行代换） 教师设置问题梯度分解证明思路: (1)从已知条件中我们能得到那些结论？ (2)根据结论我们选择哪个定理进行证明？ (3)具体的步骤有哪些？ 每小组组长说出 证明思路，组员 展示证明过程。 7成达标。 独立完成证明过 程。小组长负责 批改组员。并帮 助学困生完善证 明过程。 学生合作交流时教师积极观察各小组 的交流，主动参与个别组的讨论并及 时指导。教师巡视各小组并适时给予 点拨，并帮助完善。对交流中思考积 极的学生进行表扬，展示部分小组的 成果。对优秀小组的组长及成员大力 表扬。 学生展示这四个问题时要抓住这几个 问题的关键点。 教师点拨关键点：1.等积式转化成比 例式2.比例式中的等线段代换3.“三 点定形”确定相似三角形 教师观注学困生，点拨学困生，帮助 完善。教师批改小组长的作业，对优 秀小组的组长及成员表扬。 2．已知：如图， BC AE AB DE AC AD = =． 求证：AB = AE.
全等相似三角形的判定定理
相似三角形的判定定理: (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(简叙为两角对应相等两三角形相似). (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.) (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.) (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似. (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 相似三角形的性质定理: (1)相似三角形的对应角相等. (2)相似三角形的对应边成比例. (3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (4)相似三角形的周长比等于相似比. (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 射影定理 射影定理（又叫欧几里德定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 全等三角形 1. 三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。 2．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。 3．有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。 4．有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 5．直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA(角角角)和SSA(边边角)(特例：直角三角形为HL，属于SSA)，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
第15讲 相似三角形判定定理的证明(提高)知识讲解
相似三角形判定定理的证明(提高) 【学习目标】 1.熟记三个判定定理的内容. 2.三个判定定理的证明过程. 3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】 要点一、两角分别相等的两个三角形相似 已知：如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =∠A ′，∠B =∠B ′.求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′. 证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD =A ′D ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则∠ADE =∠B ，∠AED =∠C, (.AD AE AB AC =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F ,则 (AD CF AB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CF AC CB = ∵DE ∥BC,DF ∥AC, ∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE =CF . ∴ AD AE DE AB AC BC ==. 而∠ADE =∠B,∠DAE =∠BAC,∠AED ==∠C, ∴△ADE ∽△AB C.
∵∠A =∠A ′,∠ADE =∠B =∠B ′,AD =A ′B ′, ∴△ADE ∽△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. 要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时 辅助线的做法. 要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 已知，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =∠A ′, '''' AB AC A B A C = ,求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′. 证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD =A ′B ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则 ∠B =∠ADE,∠C =∠AED, ∴△ABC ∽△ADE (两个分别相等的两个三角形相似). ∴AB AC AD AE = . ∵''''AB AC A B A C = ,AD =A ′B ′, ∴''AB AC AD A C = ∴'' AC AC AE A C = ∴AE =A ′C ′ 而∠A =∠A ′ ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′.
35 相似三角形判定定理的证明
第三章图形的相似 5．相似三角形判定定理的证明 一、学生知识状况分析 “相似三角形判定定理的证明”是“探索三角形相似的条件”之后的一个学习内容，学生已经学习了相似三角形的有关知识，对相似三角形已有一定的认识，并且在前一节课的学习中，以充分经历了猜想，动手操作，得出结论的过程。本节主要进行相似三角形判定定理的证明，证明过程中需添加辅助线，对学生来说具有挑战性，需要通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程。 二、教学任务分析 本节共一个课时，本节是从证明相似三角形判定定理1、两角分别相等的两个三角形相似入手，使学生进一步通过推理证明上节课所得结论命题1的正确性，从而学会证明的方法，为后续证明判定定理2,3打下基础。 三、教学过程分析 本节课设计了个教学环节：第一环节：复习回顾,导入课题；第二环节：动手操作、探求新知；第三环节：动手实践，推理证明；第四环节：方法选择，合理应用；第五环节：课堂小结，布置作业。 第一环节：复习回顾，导入课题 内容：在上节课中，我们通过类比两个三角形全等的条件，寻找并探究判定两个三角形相似的条件，我们得出的结论是怎样的？您能证明它们一定成立吗？ 目的：通过学生回顾复习已得结论入手，激发学生学习兴趣。 效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。 第二环节：动手操作，探求新知 内容：命题1、两角分别相等的两个三角形相似。如何对文字命题进行证明？与同伴进行交流. 目的：通过学生回顾证明文字命题的步骤入手，引导学生进行画图，写出已知，求证。． 第一步：引导学生根据文字命题画图，
第二步：根据图形和文字命题写出已知，求证。 已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'。 求证: △ABC∽△A'B'C'。 第三步：写出证明过程。（分析现在能说明两个三角形相似的方法只有相似三角 形的定义，我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内 角和定理可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等，下一步，我们只要 再证明三边对应成比例即可。根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在△ABC 内部或外部构造平行线，从而构造出与△A'B'C'全等的三角形。） 教师可以以填空的形式进行引导。 证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A'B',过点D作BC的平行线，交 AC于点E,则∠ADE=∠B, ∠AED=∠C, ________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的 对应线段成比例)。 过点D作AC的平行线，交BC于点F,则 __________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的 对应线段成比例)。 ∴____________ ∵DE∥BC，DF∥AC ∴四边形DFCE是平行四边形。 ∴DE=CF ∴____________ ____________ ∴． C, AED=∠∠BAC, ∠而∠ADE=∠B, ∠DAE=____________ ∴, ', AD=A'B, ∠ADE=∠B' ∵∠A=∠A'____ ≌△∴△____ . ''C∽△A'B∴△ ABC 从而得出相似三角形判定定1是一个真命题，通过证明，我们可以得到命题：两 角分别相等的两个三角形相似。现在，我们已经有两种判定三角形相似理1 的 方法。 第三环节：动手实践，推理证明，两边成比例且夹角2下面我们可以类比 前面的证明方法，来继续证明命题相等的两个三角形相似。能自己试试吗？或 可让学生板书过程，鼓励学生积极思考，模仿前面的证明过程进行证明。老师 在学生中寻找资源，通过投影修正过程中存在的问题。 ：两边成比例且夹角相等的2通过证明，学生可以得到相似三角形判定定理两 个三角形相似。下面让每个学生独立完成三边成比例的两个三角形相似的证明。 从而得到相似三角形判定定理：三边成比例的两个三角形相似。第四环节： 方法选择，合理应用相似三角形的判定定理的选择：1.已知有一角相等，可
《相似三角形的判定》教案
《相似三角形的判定》教案 课标要求 1．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 2．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似； 3．了解相似三角形判定定理的证明． 教学目标 知识与技能： 1．了解相似三角形及相似比的概念； 2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论； 3．掌握相似三角形判定方法：平行线法、三边法、两边夹一角法、两角法； 4．进一步熟悉运用相似三角形的判定方法解决相关问题． 过程与方法： 类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法． 情感、态度与价值观： 发展学生的探究能力，渗透类比思想，体会特殊与一般的关系． 教学重点 掌握相似三角形的概念，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似． 教学难点 探究三角形相似的条件，并运用相似三角形的判定定理解决问题． 教学流程 一、知识迁移 类比相似多边形的相关知识回答下面的问题： 1．对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 师介绍：“相似”用符号“∽”来表示，读作“相似于”，2题可以用符号表示为 ∵△ABC∽△DEF，
∴A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF EF ==． 如何判断两个三角形相似呢？反过来 ∵A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF k EF === ∴△ABC∽△DEF． 师介绍：△ABC与△DEF的相似比为k，△DEF与△ABC的相似比为1 k ． 追问：当k＝1，这两个三角形有怎样的关系？ 引出课题：如何判断两个三角形相似呢？有没有更简单的方法？回顾学习三角形全等时，我们知道，除了可以验证所有的角和边分别相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？ 二、探究归纳 （一）平行线分线段成比例 探究1：如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5．分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB ，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度， AB BC 与 DE EF 相等吗？任意平移l5． AB BC 与 DE EF 还相等吗？ 当l3//l4//l5时， 有 AB DE BC EF =， BC EF AB DE =， AB DE AC DF =， BC EF AC DF =等． 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．迁移：将基本事实应用到三角形中， 当DE//BC时，有
相似三角形判定的证明
相似三角形判定的证明 一．选择题（共5小题） 1．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（） A．1.25尺B．57.5尺C．6.25尺D．56.5尺 2．如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并 =4，则下列结论：①=；②S△BCE=36；③S△ABE=12； 延长交AD于点F，已知S △AEF ④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（） A．①②③④B．①④C．②③④D．①②③ 3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）A．B．C．D． 4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，那么△ADE与四边形DBCE的 面积之比是（） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 5．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：AE=2：3，△BDC的面积 为25，则四边形AEFB的面积为（） A．25 B．9 C．21 D．16 二．填空题（共3小题） 6．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，=，则 =．
7．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=． 8．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，且∠ADE=60°，AB=3， BD=1，则EC=． 三．解答题（共2小题） 9．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上． （1）求证：△BDE∽△CEF； （2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC． 10．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若AD=3，AB=5，求的值．
相似三角形的判定优秀教案
相似三角形的判定 【教学目标】 1．理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角； 2．掌握相似三角形判定定理的“预备定理”； 3．能灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。 【教学重点】 灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。 【教学难点】 三角形相似的判定定理的探索与证明。 【课时安排】 5课时。 【教学过程】 【第一课时】 三角形相似判定定理的“预备定理”。 一、复习旧知： 前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念，下面请同学们思考以下几个问题：（一）辨析： 1．四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？ 2．四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？ 3．什么样的两个多边形是相似多边形？ 4．什么是相似比（相似系数）？ （二）简答： 1．正方形和长方形或长宽之比不相等的两个矩形。 2．正方形和不是正方形的菱形或两组内角均不相等的菱形。 3．两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。 4．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
二、概念讲解： 概念：如图1，△ABC与△A′B′C′相似。记作“△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相似于△A′B′C′”。 注意：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角。 明确：对于，根据相似三角形的定义，应有…… （引导学生明白定义的双重性。） 问题：将△ABC与△A'B'C'相似比记为k1，△A'B'C'与△ABC相似比记为k2，那么k1与k2有什么关系？ k1＝k2能成立吗？ 说明：三角形全等是三角形相似的特例。 （一）类比猜想： 1．两个三角形全等的判定有哪几种方法？ 2．全等是不是需要所有的对应边和对应角都相等？ 3．猜想：两个三角形相似是不是也需要所有的对应边？ 和对应角都相等？有没有简便的方法？ （二）简析： 1．两个三角形全等的判定方法有：SAS、ASA、SSS、AAS，直角三角形还有HL。 2．不需要所有的对应边和对应角都相等。 3．猜想：两个三角形相似也不需要所有的对应角和对应边长度的比相等。 三、探索交流。 （一）探究： 1．在△ABC中，D为AB的中点，如图，过D点作DB∥BC交AC于点E，那么△ADE 与△ABC相似吗？
初中数学相似三角形的判定定理
相似三角形的判定 教学目标 1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用 “∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式； 2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1； 3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长. 4、了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l. 一、复习 1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？ 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形） 本节学习相似三角形的定义及相关判定定理. 二、学习新课 相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一. [说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例． 相似比的概念 ：相似三角形对应边的比k ，叫做相似比（或相似系数）． [说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形． 注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比，叫做相似比. 如图，111,ABC A B C ??是相似三角形，则111,ABC A B C ??相似可记作ABC ?∽111A B C ?.由于 111 2 AB A B =，则ABC ?与111A B C ?的相似比111 2 AB k A B = =，则111A B C ?与ABC ?的相似比,112A B k AB == . C 1 B 1 A 1 C B A