北京理工大学2010-2011学年第二学期工科数学分析期末试题(A卷)

课程编号：MTH17004, MTH17006

北京理工大学2010-2011学年第二学期

工科数学分析期末试题（A 卷）

班级_______________ 学号_________________ 姓名__________________

(本试卷共6页, 十一个大题，试卷后面空白纸撕下作草稿纸)

一. 填空题（每小题2分, 共10分）

1. 已知3||=a ，26||=b ，72||=?b a

，且a 与b 的夹角是钝角，则=?b a ______。 2. 设x yz ye y x u z ln 2++=，则=)1,1,1()grad (div u ______________。

3. 已知向量c b a

,,不共面，但向量c a c b b a +++λ,,2共面，则=λ _________。 4. 设L 是曲线1,,3===z t y t x 上从)1,0,0(A 到)1,8,2(B 的一段，若将

?++=L

zdz ydy dx x I 2化成第一类曲线积分，则有=I _________________________。

5. 变量替换x y v x u =

=,可将微分方程z y

z

y x z x =??+??化成 ________________________。

二. (9分) 交换积分次序并计算?

?=y

y

x

dx x

e dy I 1

。 三. (9分) 求函数y y y x y x f -+

=2

22

1),(的极值和极值点。 四. (9分)设方程523

=+-y xz z 确定函数),(y x z z =，求y

x z

???2。

五. (9分) 在曲面xy z =上求一点，使曲面在此点处的切平面垂直于直线

1

3211z

y x =-=+，并写出切平面方程。 六. (8分) 证明方程0ln 1=+-xdy x dx yx y y 是全微分方程，并求出通解。 七. (10分) 求幂级数∑∞

=-+11)1(n n x n n 的收敛域及和函数。

八. (10分) 设V 是球面1)(z 1)1(222≥=-++z y x 与锥面22y x z +=所围的立体，其上

每点的密度与此点到原点的距离的平方成反比（比例系数为1），求V 的质量及质心。

九.(9分) 将x x x f arctan )1()(2+=展开成x 的幂级数，并指出收敛域。

十.(9分) 利用高斯公式计算??-+-+-=S

dxdy z x dzdx y z dydz x y I )()()(222，其中S 是抛

物面)1(222≥--=z y x z 的上侧。

十一.(8分) 设0>n a ，且级数∑∞

=1n n a 收敛，n

n n a a b )

1ln(1+-

=λ（λ是常数），判断级数∑∞

=1

n n

b 的收敛性。