1997年第三十八届IMO试题(不含答案)

第三十八届（1997年）

阿根廷 马德普拉塔（Mar del Plata ，Argentina ）

1. 平面上坐标值为整数的点是单位正方形的顶点。正方形被交替涂上黑色和白色（像棋盘一样）。

对于每对正整数m 和n ，考虑一个直角三角形，它的顶点坐标为整数，直角边长度为m 和n ，且都在正方形的边上。

设S 1为三角形黑色部分的总面积，S 2为三角形白色部分的总面积。令f (m ,n )=|S 1-S 2|。

(a) 对于m 和n 都是奇数或都是偶数的情况下，计算f (m ,n )的值。

(b) 证明对于所有的m 和n 都有1(,)max{,}2

f m n m n ≤。 (c) 说明不存在常数C 使得对于所有m 和n 都有f (m ,n )

2. 角A 是三角形ABC 中最小的角。点B 和C 将三角形的外接圆分成两条弧。设U 是B 和C 之间不包括A 的一段弧内的一点。AB 和AC 的垂直平分线分别交直线AU 于V 和W 。直线BV 和CW 交于T 。说明AU=TB+TC 。（英国）

3. 设x 1，x 2，…，x n 为满足条件121n x x x +++= 的实数，且

1 1,2,,2

i n x i n +≤

= 。说明存在x 1，x 2，…，x n 的排列y 1，y 2，…，y n ，使得12122n n y y ny ++++≤ 。（俄罗斯） 4. 一个n ×n 的矩阵，如果其元素取自集合S ={1,2, ... , 2n -1}，且对于每个i =1,2，…，n ，第i 行和第i 列的所有数包括了S 的所有元素，那么称这个矩阵为“银矩阵”。说明：

(a) 当n =1997时不存在银矩阵；

(b) 对于无限多个n ，存在银矩阵。（伊朗）

5. 找到所有整数对(a ,b )（a ，b ≥1），使其满足等式2

b a a b =。（捷克）

6. 对每个正整数n ，将n 表示成2的非负整数次方之和，令f (n )为正整数n 的上述不同表示法的个数。如果两个表示法的差别仅在于他们中各个数相加的次序不同，这两个表示法就被视为是相同的。例如，f (4)=4，因为4可以表示成下列四种形式：4；2+2；2+1+1；1+1+1+1。

求证：对于任一整数n ≥3，都有2

2422(2)2n n n f <<。（立陶宛）