圆锥曲线中的方法与运算 苏教版

圆锥曲线中的方法与运算 苏教版

1. (与名师对话第51练) 已知抛物线221y x =-,点(2,0)A , 问是否存在过

点A 的直线l ,

使抛物线上存在不同的两点关于直线l 对称,如果存在, 求出直线l 的斜率k 的取值范围; 如果不存在,请说明理由.

分析: 这是一个求变量(斜率k )的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜

率k )相关的变量(根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到.

我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线l 对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线l 上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量k 的取值范围. 解: 设直线l 的方程为(2)y k x =-,若0k =,则结论显然成立,即0k =可取.若0k ≠,

则直线PQ

的方程为1y x m k =-+, 由方程组21,21,

y x m k

y x ?=-+?

??=-?

可得,22210y y kb +-+=.

∵ 直线PQ 与抛物线有两个不同的交点,

∴ 244(21)0,k kb =--+> 即 2

120k kb -+>. 设线段PQ 的中点为G(00,x y ), 则12

02

y y y k +==-, ∴ 212

0(

)()2

y y x k km k k km k km +=-+=--+=+, ∵ 点G(00,x y )在直线l 上, ∴ k -=2

(2)k k km +-, 由 0k ≠可得, 2

1k m k

-=,

∴ 2

12k k -+2

1k k

-0>, 21k < (0k ≠) , ∴ 10k -<<或01k <<. 综上所述, 直线l 的斜率k 的取值范围为1-1k <<.

2. (与名师对话第51练)已知椭圆2

2

:4580E x y +=, 点A 是椭圆与y 轴的交点, F 为椭圆的右焦点, 直线l 与 椭圆交于B,C 两点.

（1） 若点M 满足1(),22

OM OB OC AF FM =+=

,求直线l 的方

程;

（2） 若0AB AC ?= ,D 在BC 上,且0AD BC ?=

,求动点D

的轨

迹

方程.

分析: 题(1)是个定状态的问题: 由2AF FM =

可知,点M 是定点,且由 1()2

OM OB OC =+

是线段BC 的中点, 由此可求得直线BC 即直线l 的方程.

解(1) 由椭圆22:4580E x y +=可知A(0,4), F(2,0).

∵ 2AF FM =

, ∴ (2,0)-(0,4)=2[(00,x y )-(2,0)], ∴ 003,2,x y ==-即

M(3,-2).

∵ 1()2

OM OB OC =+

, ∴ 点M 是线段BC 的中点,

∴ 直线BC 即直线l 的斜率为65. (可以有四中方法:①2

02F l a k k b =-,②点差法,③设

k 法,④设而不求法求得).

∴ 直线l 的方程为6

(3)25

y x =

--,即65280x y --=. 分析: 题(2)是一个动状态的问题:①点D 随AB 的变化而变化,从而点D 的坐标是刻画直线AB 的变化的量的参数(斜率k )的函数, ②可设BC 的方程为y kx b =+(k 存在), 从而点M 是直线AM(直线AD 用参数k 刻画)与直线BC 的交点,在由BAC ∠是直角得参数k 与b 的关于式,消参数k 与b 即得点D 的方程.

解法(一) 设直线AB 的斜率为k ,则直线AC 的斜率为1k

-

. 直线AB 的斜率为方程为4y kx =+,由方程组2

2

4,

4580,

y kx x y =+??+=?可得,2

2

(54)400,k x kx ++=

∴ 24054B k x k =-+, 22162054B k y k -=+， 同理得240k 45C x k =+, 22

1620

45

C k y k -=+. ∴ 222222216201620

4(1)5445404095445

BC

k k k k k k k k k k k --+--++==--+

++， ∴ 直线BC 的方程为, y =24(1)9k k --(x +240)54k k ++2

2

162054

k k -+， y =24(1)9k k --x +2222160(1)16209(54)54k k k k --+++，y =24(1)9k k --x -22

4(54)

9(54)

k k ++，

y =24(1)

9k k

--49x -.

∵ 直线AD 的方程为, 2942(1)

k

y x k =-

+-,

∴由y =

22(1)9k k -49x -与2942(1)k

y x k =-+-移项相乘消去k 可得24

()(4)9

y y x +

-=-, 即 2

221620

()()(4)99

x y y +-

=≠. 说明: 本解法用的是参数法中的特殊方法--------交轨法. 解法(二): 设直线l 的方程为y kx m =+, 则直线AD 的方程为1

4y x k

=-+. (显然由方程y kx m =+和方程1

4y x k

=-+消去k 和m 即可得点D 的轨迹方程, 这里

我们必须给出k 和m 的关系式,将0AD BC ?=

这一几何条件转化为代数形式即可得k 和

m 的关系式)

由方程组22

,

4580,

y kx m x y =+??

+=?可得,222(54)105800k x kmx b +++-=,

设1122(,),(,)B x y C x y , 则2

12122

2105,5454

km m x x x x k k -+==++. ∵ 0AD BC ?=

, ∴ AD BC ⊥,

∴ 1212(4)(4)0x x y y +--=, 1212(4)(4)0x x kx m kx m ++-+-=, 221212(1)(4)()(4)0k x x k m x x m ++-++-=,

2

(1)k +22

554

m k ++(4)k m -21054km k -+2

(4)0m +-=化简得,2932160m m --=. 解得,4m =(舍去)或49

=-

. ∴ 方程y kx m =+即为49y kx =-

, 由方程49y kx =-和方程1

4y x k

=-+消去k 得, 220()(4)9y y x +-=-, 即 2221620

()()(4)99

x y y +-=≠. 3. (与名师对话第51练)已知直线l 过点M (1,0),且与抛物线2

2x y =交于,A B 两点,

O 为原点,点 P 在y 轴的右侧且满足:1122

OP OA OB =+

.

（1）求点P 的轨迹C 的方程;

（2） 若曲线C 的切线的斜率为λ,满足:MB MA λ=

,点A 到y 轴的

距离为a ,求a 的取值范围.

分析：由1122

OP OA OB =+

可知，点P 的轨迹C 就是弦AB 的中点的

轨迹.

解(1) 显然直线l 的斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为: 1y k x =-（）,由方程组2

12y k x x y =-??=?（），，

消去y 整理得2

220x kx k -+=,设1122(,),(,)A x y B x y , 122x x k +=,

∴ 12

2

p x x x k +=

=, 21p y k k k k =-=-（）, 消去k 得点P 的轨迹C 的轨迹方程为: 2y x x =-.

∵ 2

480k k ->, ∴ 0k <或2k >,

∵ 点P 在y 轴的右侧, ∴ 2x k =>,故点P 的轨迹C 为抛物线2y x x =-上的一段弧.

分析: 点A 到y 轴的距离为a 就是点A 的横坐标的绝对值.因为曲线C 的切线的斜率

为λ,所以λ='

21y x =-,由2x >知,3λ>,由此可知,我们必须建立点A 的横坐标的绝对

值关于λ的关系.

解(2): 设1122(,),(,)A x y B x y ,

则由MB MA λ=

可知,22(,)(1,0)x y -=λ[11(,)(1,0)x y -],

∴211(1)x x λ-=-,21y y λ= ,

∴ 211x x λλ=-+, 2221x x λ=, ∴ 2211[(1)]x x λλλ--= ∵ 1λ≠,

∴ 211210x x λλλ-+-=, 方法(一

) 11x =

=±

3λ>

),

∴

11(3)a x λ==>,

∴ a

∈(1,1)3

-

(1,13

?+. 方法(二) 2

11

(1)x λ

-=, (3λ>),

∴ 1

103λ<

<, 0<21(1)x -13<, ∴ 11x ≠

且11133

x -<<+ ∴ a

∈(1

(1,1?+.

4. (与名师对话第51练) 已知抛物线的方程为22x py = (0)p >,过点M (0,)m 且倾

斜角 为θ(0<θ<

2

π

)的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点,且212x x p =-. （1）求m 的值;

（2）若点M 分AB

所成的比为λ,求λ关于θ的函数关系式.

分析: 要求m 的值,必须给出关于m 的方程. 解(1): 设过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<

2

π

)的直线的方程为y kx m =+. 由方程组22y kx m x py =+??=?，

，

消去y 整理得2220x pkx pm --=, 则122x x pm =-,

∵ 212x x p =-, ∴ 2pm -2

p =-, 2

p m =. 分析: 由2p m =

可知过点M (0,)m 且倾斜角为θ(0<θ<2

π)的直线为2p y kx =+.先建立关于k 的函数关系式,再转换为关于θ的函数关系式. 解(2): ∵ 关于θ的函数关系式,

∴ AM MB λ= , 1122(0,)(,)[(,)(0,)]22p p x y x y λ-=-, 1212,(),22

x x p p y y λλ=-??

?-=-??

由(1)可知2

12122,x x pk x x p +==-,

由方程组1212212,2,,

x x x x pk x x p λ?=-?

+=??=-?可消去12,,x x p 得,222(21)10k λλ-++=.

∵ 0<θ<

2

π

, ∴ 1λ<,

故2

212k λ=+-

22

2

(1sin )2tan 12tan cos θθθ

-+-==1sin 1sin θ

θ-+. 5. (与名师对话第51练)

已知方向向量为v =

的直线l 过点(0,-2)和椭圆

C:22

221x y a b

+= (0)a b >>的焦点, 且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.

（1）求椭圆C 的方程;

（2）是否存在过点E(-2,0)的直线m 交椭圆C 于,M N ,满足:OM ON ?=

cot MON ∠ 0(O ≠为原点)? 若存在,求出直线m 的方程;若不存在,请说明理由.

6．(与名师对话第52练20) 椭圆C 的方程为

22

1189

x y +=，F 是它的左焦点，M 是椭圆C 上的一个动点，O 为坐标原点.

(1) 求OFM 的重心G 的轨迹方程;

(2) 若OFM 的重心G 对原点和点P(-2,0)的张角OGP ∠最大, 求点G 的坐标.

解(1): 设点)y ,x (G (y ≠0) , M(x 1,y 1)由题设可知

,F(-) 则11333

x y

x y -=

=，, ∴ 1333x x y =+=1，y , ∴ OFM 的重心G 的轨迹方程为

2

2112

x y ++=（）

(0y ≠). (2) 由(1)可知, 原点和点P(-2,0)是椭圆

2

2112x y ++=（）

的两个焦点.下面证明当点M 与椭圆

2

2112

x y ++=（）

的短轴的端点重合时张角OGP ∠最大. 方法(一) 用椭圆的定义

设椭圆C 上的一个动点M 到椭圆的两个焦点的距离为1r 、2r

，则由椭圆的定义可知

1r +2r =22.

在MOP ?中, 21222212r r OP r r OGP COS -+=∠=212

22124r r r r -+=212

1221224)(r r r r r r --+

=2

1212224)22(r r r r --=214

2r r +-≥4

)(422

21r r ++- (当且仅当21r r =时,等于号成立) =0

∴ 当21r r =,即点M 与短轴的端点重合时张角OGP ∠最大, 最大角为0

90,这时点M 的坐标为(-1,1)、（-1，-1）.

方法(二) 用椭圆的焦半径公式

将椭圆

2

2

112

x y ++=（）平移到中心在原点的位置,这时椭圆的方程为2212x y +=,原张角OGP ∠就是在点P 处的两条焦半径的夹角.设点P 的坐标为(00x y ，),

则

22

00124

cos x x F PF +-∠=））=2200020

11[02]12122222x x x x =?∈--2，（） 当00x =时,12cos 0F PF ∠=, 当2

002]x ∈

（，时, 12cos 01]F PF ∠∈（，, 故12cos [01]F PF ∠∈，, 12F PF ∠的最大值为0

90,这时相应点P 的坐标为(0,±1),在椭圆的原位置相应点P 的坐标为(-1,±1).

7. (与名师对话第52练21) 已知动点P 与双曲线

22

123

x y -=的两个焦点12F F ，的距 离之和为定值,且12cos F PF ∠的最小值为1

9

-. (1) 求动点P 的轨迹方程;

(2) 若已知点D (0,3),点M N ，在动点P 的轨迹上,且DM DN λ=

,求

实

数λ的取值范围;

(3) 若已知点D (1,1), 点M N ，在动点P 的轨迹上,且MD DN =

,求

直线

MN 的方程

.

分析: 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线

22

123

x y -=的两个焦点12F F ，为其焦点 的椭圆,因此动点P 的轨迹方程可以用待定系数法求得.

解(1): 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线

22

123

x y -=的两个焦点12F F ，为其焦点

的椭圆,设其方程为22

221x y a b

+= (0a b >>).

可以证明(仿例6)当动点P 在椭圆的短轴的端点时12cos F PF ∠的值最小,这时

21222

22010cos 12a F PF a a

-∠==-, ∴ 210119a -=-, 29a =. ∴ 2

4b =, ∴ 动点P 的轨迹方程为22

194

x y +=. 分析: 由DM DN λ=

可知, 点,,D M N 共线, 直线MN 的变化可以用其斜率表示(直线

的方程为3,y kx =+这时要k 作讨论),也可以用t 表示(直线的方程为(3)x t y =-,这时不需要对t 作讨论).下面用直线方程3y kx =+求解.

解法(一): 由DM DN λ=

可知, 点,,D M N 共线.

若直线MN 的斜率不存在,则1

55

λλ=

=或. 若直线MN 的斜率存在,设直线MN 的方程为3,y kx =+则由方程组22

3,

4936,

y kx x y =+??+=?可得,

22(94)54450k x kx +++=,

设1122(,),(,)M x y N x y ,则121222

5445

,9494

k x x x x k k -+=

=++. 又由DM DN λ=

可得, 12x x λ=,

∴ 12

225454,(1)94(1)94k k x x k k λλλ--==++++, ∴ 2222(54)(1)(94)k k λ

λ=++24594

k +

∴

2(1)λ

λ=+22259454(9)324

324k k k +?=?+. ∵ 22(54)445(94)0k k ?=-?+≥, ∴ 2

5

9

k ≥. ∴

2

51

36(1)4

λλ<≤+, ∴ 115,555λλ<<≠且, 综上所述,

1

55

λ≤≤. 分析：用点,M N 的坐标表示直线MN 的变化.

解法(二): 由DM DN λ=

可知, 点,,D M N 共线.

设1122(,),(,)M x y N x y ,则2211194x y +=,22

22194

x y +=. ∵ DM DN λ=

, ∴ 12x x λ= , 1233y y λλ=-+,

∴

22

222(33)194x y λλλ-++=, 222222294

x y λλλ+=.

∴

22(33)4y λλ-+-22

2214

y λλ=-, 223(233)(1)14y λλλλ-+-=-, ∴ 1λ=或

23(233)14y λλλ-+=+, 213522,06y λλλ--≤=≤>解得1

55

λ≤≤.

8. 抛物线C 的方程为2(0)y ax a =<,过抛物线C 上一点00P x y （，） (00x ≠)作斜率 为12k k ，的两条直线分别交抛物线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点(P A B 、、三点各不相同),且满足210k k λλλ+=≠≠（0且-1）. (1) 求抛物线C 的焦点坐标和准线方程;

(2) 设直线AB 上一点M 满足:BM MA λ=

,证明线段PM 的中点在y 轴上;

(3)当1λ=时,若点P 的坐标为(1,-1),求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围. 分析: 将a 看作常量. 解(1): 抛物线C 的方程为2

1(0)x y a a =<, 故抛物线C 的焦点坐标为(1

04a

，),准线方程为1

4y a

=-

. 分析: 从形式上看, 线段PM 的中点坐标与12k k λ、、相关,而实际上肯定横坐标可以

消元为0.

解(2): 由题设可知,直线PA 的方程为:100y k x x y =-+（）

,由方程组1002

y k x x y y a x

=-+??=?（），，可得,2

11000ax k x k x y -+-=,即2211000ax k x k x ax -+-=, ∴ 110k x x a =

-, 同理 220k

x x a

=-, ∵ BM MA λ= , ∴ 21M M x x x x λ-=-（）

, 12

1M x x x λλ

+=+=12

001k

k x x a

a λλ

-+-+（）（

）

∵ 210k k λλλ+=≠≠（0且-1）

, ∴ M x =-0x , ∴ 线段PM 的中点横坐标为0, 即线段PM 的中点在y 轴上. 分析:

解(3): 由题设和题(2)可知, 抛物线C 的方程为2

y x =-, 111x k =-+（）

,又1λ=,故211x k =-,

∴ 21111A k k -++（（），-（））, 21111B k k --（，-（））

∴ 1124AB k k = （，）,211122AP k k k =++ （，）

, ∵ PAB ∠为钝角, P A B 、、三点各不相同, ∴ 0,AP AB ?<

即有

1124k k ?（，）2111

22k k k ++（，）0<,112(2)k k ++21114(2)0k k k +<,111(2)(21)0k k k ++< ∴ 111

202

k k <--

<<或, ∴ 211(1)y k =+, 111

202

k k <--<<或, ∴ 111114

y y <--<<-

或. 9.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在X 轴上,一条经过

点3（且方向向量

为2a =- （的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,交X 轴于M 点,又2AM MB =

. (1) 求直线l 的方程;

(2) 求椭圆C 的长轴长的取值范围. 解(1): 直线l

的方程为32

y x =-

-（）分析: “直线l 与椭圆C 有两个不同的交点”可以转化为一个关于a b ，的不等式,

向量等式 2AM MB =

可以转化为一个关于a b ，的等式.

解(2):

由方程组22222232

,

y x b x a y a b ?=---???+=?

（）

可得2222222405b a y y b a b ++-=（）. 设设1122(,),(,)A x y B x y ,

则222

12122222455

b a b y y y y b a b a -+==

++，. 由2AM MB =

可知, 122y y = ,

∴

1225y b a =+

222

5

y b a

=+∴ 2

22232545b

b a =+（）2222245b a b b a -+, ∴ 2

22

2

51409a a b a

-=>-（）

∵

22222224

()4()()05b a b a b =-+-> , ∴ 22545a b +>,

∴ 2

2

2225(1)0,9545,

a a a a

b ?->?-??+>? ∴ 22222

225(1)

0,95(1)55,9a a a a a a a ?->??-?-?+>?-?

2

19a <<.

∵ 22,b a < ∴ 2

22

2

2

51449a a b a a

-=<-（）, ∴ 224199a a <>或, ∴ 2

4119a <<

, 13

a <<, ∴

22a <<

,即椭圆C

的长轴长的取值范围为. 10.自点(0,1)A -向抛物线C:2

y x =作切线AB,切点为B ,且点B 在第一象限,再过线 段AB 的中点M 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点E,F,直线AE,AF 分别交抛物线C 于P,Q

两点.

(1) 求切线AB 的方程及切点B 的坐标;

(2) 证明()PQ AB R λλ=∈

.

解(1): 设切点B 的坐标为00(,)x y ,过点B 的切线的方程为20002()y x x x x =-+, ∵ 切线过点(0,1)A -, ∴ 200012()x x x -=-+, 01x =, ∵ 点B 在抛物线上, ∴ 01y =,

∴ 切线AB 的方程为21y x =-, 切点B 的坐标为(1,1). 分析: 即证明AB ∥PQ .

(2) 证明: 由(1)可知, 线段AB 的中点M 的坐标为1(,0)2

,设直线l 的方程为1()2

y k x =-, 222211223344(,),(,),(,),(,)E x x F x x P x x Q x x .

由方程组21(),2,

y k x y x ?

=-???=?

可得2

102x mx m -+=, 故12121,2x x m x x m +==.

2243434343(,)()(1,)PQ x x x x x x x x =--=-+

.

∵ A,E,P 三点共线, ∴ 2331x x +=211

1

x x +,131x x = , 同理241x x =,

∴ 21211111()(1,)PQ x x x x =-+ =1212

1212122()(1,)(1,2)x x x x x x x x x x m -+-=

由(1,2)AB = 可知, 122()

()x x PQ AB R m

λλ-==

∈ 其中. 11. 设双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点为A, P 为双曲线上异于点A 的一个动点,

从A 引双曲线的渐近线的两条平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.

(1) 证明:无论P 点在什么位置,总有2OP OQ OR =?

(O 为坐标原点);

(2) 若以OP 为边长的正方形的面积等于双曲线的实,虚轴围成的矩形的面积,求双曲线的离心率的取值范围.

(1) 证明: 设直线OP 的方程为y kx =, 直线AR 的方程为()b

y x a a

=

-, AQ 的方程为()b

y x a a

=--.

由方程组(),,b y x a a

y kx ?=-?

??=?

得 (,)ab kab R ak b ak b ----, ∴ OR =(,)ab kab ak b ak b ----

,

同理OQ =(

,)ab kab

ak b ak b ++, ∴ OQ OR ? =(

,)ab kab ak b ak b ----?(,)ab kab

ak b ak b

----=222222

(1)

a b k a k b +-. 设(,)P m n ,

由方程组22

221,,

x y a b y kx ?-=???=?

得2m =22222a b b a k -,2

n =222222

k a b b a k - ∴ 2OP =222222

(1)a b k b a k

+-. ∵ 直线OP 过原点, ∴ 2

2

2

0b a k ->, ∴ 2OP OQ OR =?

.

(2) 解: 由题设知, 222222

(1)a b k b a k +-=4ab , 22

2

40,4b ab k ab a -=>+ 又22

2b k a <, ∴ 22

44b ab ab a

-+2

2b a <, (恒成立)) 解得4a b <, ∴

e >

.