随机变量及其分布测试题
随机变量及其分布综合检测
时间120分钟,满分150分。
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
2.已知随机变量X 满足D (X )=2,则D (3X +2)=( ) A .2
B .8
C .18
D .20
3.设服从二项分布X ~B (n ,p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和45
4,则n 、p 的
值分别是( )
A .50,1
4
B .60,14
C .50,3
4
D .60,3
4
.
4.某次语文考试中考生的分数X ~N (90,100),则分数在70~110分的考生占总考生数的百分比是( )
A .68.26%
B .95.44%
C .99.74%
D .31.74%
5.某市期末教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布,则由如图曲线可得下列说法中正确的是( )
A.甲学科总体的方差最小 B.丙学科总体的均值最小
C.乙学科总体的方差及均值都居中 D.甲、乙、丙的总体的均值不相同
6.两台相互独立工作的电脑,产生故障的概率分别为a ,b ,则产生故障的电脑台数的均值为( )
A.ab B.a b + C.1ab - D.1a b --
7.甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击,设击中的概率分别为0.4、0.5,则恰有一人击中敌机的概率为( )
A .0.9
B .0.2
C .0.7
D .0.5
8.盒中有10只螺丝钉,其中有3只是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是
3
10的事件为( )
A .恰有1只是坏的
B .4只全是好的
C .恰有2只是好的
D .至多有2只是坏的
9.若X 是离散型随机变量,P (X =x 1)=23,P (X =x 2)=13,且x 1<x 2.又已知E (X )=4
3
,D (X
)
=2
9
,则x 1+x 2的值为( ) A.53
B.73
C.11
3
D .3
10.利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是( )
A.A 1 23 4
二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.)
11.将一颗骰子连掷100次,则点6出现次数X 的均值E (X )=________. 12.一离散型随机变量X 的概率分布列为
且E (X )=1.5,则a -b =13.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者,若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望(均值)E (ξ)________(结果用最简分数表示)
14.在高三某个班中,有1
4的学生数学成绩优秀,若从班中随机找出5名学生,那么其中
数学成绩优秀的学生数X ~B ????5,14,则P (X =k )=C k 5????14k ·????345-k 取最大值时k 的值为________
15.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A 1,A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).
①P (B )=2
5;
②P (B |A 1)=5
11
;
③事件B 与事件A 1相互独立; ④A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件;
⑤P (B )的值不能确定,因为它与A 1,A 2,A 3中究竟哪一个发生有关.
三、解答题(本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本题满分15分)袋中有5个大小相同的小球,其中1个白球和4个黑球,每次从中任取一球,每次取出的黑球不再放回去,直到取出白球为止.求取球次数X的均值和方差.
18.(本题满分15分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75,
Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率;
Ⅱ.经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为X,求随机变量X的均值.
19.(本题满分15分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求X的分布列.
20.(本题满分13分)坛子里放着5个相同大小,相同形状的咸鸭蛋,其中有3个是绿皮的,2个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个鸭蛋,求:
(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率;
(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率;
(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率.
21.(本题满分14分)(2010·山东理,20)某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A、B、
C、D四个问题,规则如下:
①每位参加者计分器的初始分均为10分,答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分,答错任一题减2分;
②每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束,淘汰出局;
③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答,直至答题结束.
假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34,12,13,1
4,且各题回答正确
与否相互之间没有影响.
(1)求甲同学能进入下一轮的概率;
(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求ξ的分布列和数学期望Eξ.
参考答案
一、选择题:
1、D
2、C
3、B
4、B
5、A
6、B
7、D
8、C
9、D 10、C 二、填空题:
11、503 12、0 13、4
7
14、1 15、②④
三、解答题:
16. [解析] 取球次数X 是一个随机变量,X 的所有可能值是1、2、3、4、5.为了求X 的均值和方差,可先求X 的分布列.
P (X =1)=1
5=0.2,
P (X =2)=45×1
4=0.2,
P (X =3)=45×34×1
3=0.2,
P (X =4)=45×34×23×1
2=0.2,
P (X =5)=45×34×23×12×1
1=0.2.
于是,我们得到随机变量X 的分布列
E (X )=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2 =0.2×(1+2+3+4+5)=3,
D (X )=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.2+(4-3)2×0.2+(5-3)2×0.2=0.2×(22+12+02+12+22)=2.
17. [解析] (1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=1
8,
所以甲坑不需要补种的概率为1-18=7
8=0.875.
(2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为
C 1
3×78×???
?182≈0.041.
(3)因为3个坑都不需要补种的概率为????783
,所以有坑需要补种的概率为1-????783≈0.330.
18. [解析] 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A 1、A 2、A 3. Ⅰ.设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则
P (E )=P (A 1·A 2·A 3)+P (A 1·A 2·A 3)+P (A 1·A 2·A 3)=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38.
Ⅱ.解法一:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p =0.3,所以X ~B (3,0.3),故E (X )=np =3×0.3=0.9.
解法二:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A 、B 、C ,则 P (A )=P (B )=P (C )=0.3, 所以P (X =0)=(1-0.3)3=0.343, P (X =1)=3×(1-0.3)2×0.3=0.441, P (X =2)=3×0.32×0.7=0.189, P (X =3)=0.33=0.027.
于是,E (X )=1×0.441+2×0.89+3×0.027=0.9.
19. [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ,那么P (E A )=A 33
C 25A 44=140.
即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是1
40
.
(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ,那么P (E )=A 44
C 25A 44=110.
所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )=1-P (E )=9
10
.
(3)随机变量X 可能取的值为1,2,事件“X =2”是指有两人同时参加A 岗位服务,则
P (X =2)=C 25A 33
C 25A 44=14.所以P (X =1)=1-P (X =2)=34
,X 的分布列为:
20. [解析] 设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A ,第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B ,则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB .
(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的基本事件数为μ(Ω)=A 25=20.
又μ(A )=A 13×A 1
4=12.于是P (A )=μ(A )μ(Ω)=1220=35. (2)因为μ(AB )=A 23=6,所以P (AB )=μ(AB )μ(Ω)=620=310
. (3)解法一:由(1)(2)可得,在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为
P (B |A )=P (AB )P (A )=3
1035
=1
2
.
解法二:因为μ(AB )=6,μ(A )=12,所以P (B |A ) =μ(AB )μ(A )=612=1
2
.
21.[解析] (1)因为甲同学能进入下一轮与淘汰出局互为对立事件,所以甲同学能进入下一轮的概率为1-14×12+14×12×23+34×12×23=13
24
.
(2)ξ可能取2,3,4,则
P (ξ=2)=14×12=18;P (ξ=3)=34×12×13+34×12×23=3
8;
P (ξ=4)=1-P (ξ=2)-P (ξ=3)=1-18-38=1
2,
所以ξ的分布列为
数学期望E (ξ)=2×18+3×38+4×12=27
8
.