随机变量及其分布测试题

随机变量及其分布测试题
随机变量及其分布测试题

随机变量及其分布综合检测

时间120分钟,满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

2.已知随机变量X 满足D (X )=2,则D (3X +2)=( ) A .2

B .8

C .18

D .20

3.设服从二项分布X ~B (n ,p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和45

4,则n 、p 的

值分别是( )

A .50,1

4

B .60,14

C .50,3

4

D .60,3

4

.

4.某次语文考试中考生的分数X ~N (90,100),则分数在70~110分的考生占总考生数的百分比是( )

A .68.26%

B .95.44%

C .99.74%

D .31.74%

5.某市期末教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布,则由如图曲线可得下列说法中正确的是( )

A.甲学科总体的方差最小 B.丙学科总体的均值最小

C.乙学科总体的方差及均值都居中 D.甲、乙、丙的总体的均值不相同

6.两台相互独立工作的电脑,产生故障的概率分别为a ,b ,则产生故障的电脑台数的均值为( )

A.ab B.a b + C.1ab - D.1a b --

7.甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击,设击中的概率分别为0.4、0.5,则恰有一人击中敌机的概率为( )

A .0.9

B .0.2

C .0.7

D .0.5

8.盒中有10只螺丝钉,其中有3只是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是

3

10的事件为( )

A .恰有1只是坏的

B .4只全是好的

C .恰有2只是好的

D .至多有2只是坏的

9.若X 是离散型随机变量,P (X =x 1)=23,P (X =x 2)=13,且x 1<x 2.又已知E (X )=4

3

,D (X

)

=2

9

,则x 1+x 2的值为( ) A.53

B.73

C.11

3

D .3

10.利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是( )

A.A 1 23 4

二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.)

11.将一颗骰子连掷100次,则点6出现次数X 的均值E (X )=________. 12.一离散型随机变量X 的概率分布列为

且E (X )=1.5,则a -b =13.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者,若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望(均值)E (ξ)________(结果用最简分数表示)

14.在高三某个班中,有1

4的学生数学成绩优秀,若从班中随机找出5名学生,那么其中

数学成绩优秀的学生数X ~B ????5,14,则P (X =k )=C k 5????14k ·????345-k 取最大值时k 的值为________

15.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A 1,A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).

①P (B )=2

5;

②P (B |A 1)=5

11

③事件B 与事件A 1相互独立; ④A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件;

⑤P (B )的值不能确定,因为它与A 1,A 2,A 3中究竟哪一个发生有关.

三、解答题(本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(本题满分15分)袋中有5个大小相同的小球,其中1个白球和4个黑球,每次从中任取一球,每次取出的黑球不再放回去,直到取出白球为止.求取球次数X的均值和方差.

18.(本题满分15分)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75,

Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率;

Ⅱ.经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为X,求随机变量X的均值.

19.(本题满分15分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.

(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;

(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;

(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求X的分布列.

20.(本题满分13分)坛子里放着5个相同大小,相同形状的咸鸭蛋,其中有3个是绿皮的,2个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个鸭蛋,求:

(1)第一次拿出绿皮鸭蛋的概率;

(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率;

(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率.

21.(本题满分14分)(2010·山东理,20)某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A、B、

C、D四个问题,规则如下:

①每位参加者计分器的初始分均为10分,答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分,答错任一题减2分;

②每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束,淘汰出局;

③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答,直至答题结束.

假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34,12,13,1

4,且各题回答正确

与否相互之间没有影响.

(1)求甲同学能进入下一轮的概率;

(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求ξ的分布列和数学期望Eξ.

参考答案

一、选择题:

1、D

2、C

3、B

4、B

5、A

6、B

7、D

8、C

9、D 10、C 二、填空题:

11、503 12、0 13、4

7

14、1 15、②④

三、解答题:

16. [解析] 取球次数X 是一个随机变量,X 的所有可能值是1、2、3、4、5.为了求X 的均值和方差,可先求X 的分布列.

P (X =1)=1

5=0.2,

P (X =2)=45×1

4=0.2,

P (X =3)=45×34×1

3=0.2,

P (X =4)=45×34×23×1

2=0.2,

P (X =5)=45×34×23×12×1

1=0.2.

于是,我们得到随机变量X 的分布列

E (X )=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2 =0.2×(1+2+3+4+5)=3,

D (X )=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.2+(4-3)2×0.2+(5-3)2×0.2=0.2×(22+12+02+12+22)=2.

17. [解析] (1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=1

8,

所以甲坑不需要补种的概率为1-18=7

8=0.875.

(2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为

C 1

3×78×???

?182≈0.041.

(3)因为3个坑都不需要补种的概率为????783

,所以有坑需要补种的概率为1-????783≈0.330.

18. [解析] 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A 1、A 2、A 3. Ⅰ.设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则

P (E )=P (A 1·A 2·A 3)+P (A 1·A 2·A 3)+P (A 1·A 2·A 3)=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38.

Ⅱ.解法一:因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p =0.3,所以X ~B (3,0.3),故E (X )=np =3×0.3=0.9.

解法二:分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A 、B 、C ,则 P (A )=P (B )=P (C )=0.3, 所以P (X =0)=(1-0.3)3=0.343, P (X =1)=3×(1-0.3)2×0.3=0.441, P (X =2)=3×0.32×0.7=0.189, P (X =3)=0.33=0.027.

于是,E (X )=1×0.441+2×0.89+3×0.027=0.9.

19. [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ,那么P (E A )=A 33

C 25A 44=140.

即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是1

40

.

(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ,那么P (E )=A 44

C 25A 44=110.

所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )=1-P (E )=9

10

.

(3)随机变量X 可能取的值为1,2,事件“X =2”是指有两人同时参加A 岗位服务,则

P (X =2)=C 25A 33

C 25A 44=14.所以P (X =1)=1-P (X =2)=34

,X 的分布列为:

20. [解析] 设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A ,第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B ,则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB .

(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的基本事件数为μ(Ω)=A 25=20.

又μ(A )=A 13×A 1

4=12.于是P (A )=μ(A )μ(Ω)=1220=35. (2)因为μ(AB )=A 23=6,所以P (AB )=μ(AB )μ(Ω)=620=310

. (3)解法一:由(1)(2)可得,在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为

P (B |A )=P (AB )P (A )=3

1035

=1

2

.

解法二:因为μ(AB )=6,μ(A )=12,所以P (B |A ) =μ(AB )μ(A )=612=1

2

.

21.[解析] (1)因为甲同学能进入下一轮与淘汰出局互为对立事件,所以甲同学能进入下一轮的概率为1-14×12+14×12×23+34×12×23=13

24

.

(2)ξ可能取2,3,4,则

P (ξ=2)=14×12=18;P (ξ=3)=34×12×13+34×12×23=3

8;

P (ξ=4)=1-P (ξ=2)-P (ξ=3)=1-18-38=1

2,

所以ξ的分布列为

数学期望E (ξ)=2×18+3×38+4×12=27

8

.

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