化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法
化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法

一、绪论

高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景,以线性变换为方法,以矩阵为工具,着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数,其内容本应属于函数讨论的范围,然而二次型用矩阵表示之后,用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确,二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形,也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。

二次型是高等代数的重要内容之一,二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项,即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题,而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用,因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。

我们知道,任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定,而任一实对称矩阵都可以化成一对角矩阵,相应的任一实二次型都可以化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法:配方法和正交变换法;此外,由于任意矩阵可以利用初等变换化为对角矩阵,因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。

通过典型例题,更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性,我们应熟练掌握各种方法。

以下就是几种方法的简单介绍,并且又提出了一种新的方法:雅可比方法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。

二、 二次型及其矩阵表示

在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程是 2

2

ax 2bxy cy f ++=. (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度θ,作转轴(反时针方

向转轴) ''

''

x x cos y sin y x sin y cos θθ

θθ

?=-??=+?? (2) 把方程(1)化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。

(1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现,而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。

设P 是一数域,一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的

二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++

称为数域P 上的一个n 元二次型,或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ;12n y ,y ,...,y 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系式

11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n

x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++??

=++???=++?? (4) 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换,。如果ij c 0≠,那么线性替换(4)就称为非退化的。

在讨论二次型时,矩阵是一个有力的工具,因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另

ij ji a =a ,i

22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++

=

n n

ij

i

j

i 1j 1

a x x ==∑∑

它的系数排成一个n*n 矩阵

11121n 21222n n1n2

nm a a a a a a A a a a ??

? ?

= ?

??

?

它就称为二次型的矩阵。显然它是对称矩阵。

令 12n x x X x ?? ? ?= ? ???

于是二次型可写成12n f (x ,x ,...,x )='

X AX 非退化线性替换可以表示成X=CY

三、化二次型为标准形的方法之一:配方法

定理:数域P 上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式,即标准形。

证明:下面的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法,也就是“配方法”。 我们对变量的个数做数学归纳法。 对于n=1,而二次型就是

2

1111f (x )a x =

已经是平方和的形式了。现假定对n-1元二次型,定理的结论成立。再假设

n n

12n ij i j i 1j 1

f (x ,x ,...,x )a x x ===∑∑(ij a =ji a )

分三种情况来讨论:

1)ii a (i=1,2,…,n )中是少有一个不为零,例如11a ≠0。这时

12n f (x ,x ,...,x )=2111

a x +n 1j 1j j 2a x x =∑+n i1i 1i 2a x x =∑+n n

ij i j i 2j=2

a x x =∑∑

=2111

a x +2

n

1j 1

j j 2

a

x x =∑+n n

ij i j i 2j=2

a x x =∑∑

=11a 2n 1

1111j j j 2x a a x -=??+ ???∑-111a -2

n 1j j j 2a x =?? ???∑+n n ij i j i 2j=2a x x =∑∑

=11a 2

n 1

1111j j j 2x a a x -=??+ ???∑+n n ij i j i 2j=2

b x x =∑∑,

这里

n n

ij i j i 2j=2

b x x =∑∑

=-1

11a -2

n 1j j j 2a x =?? ???∑+n n

ij i j i 2j=2

a x x =∑∑

是一个2n x ,...,x 的二次型。令

n

-1

11111j j

j 2

22

n n

y x a a x y x ...........y x =?=+???

=???=??∑ 即

n -11

1111j j j 2

22

n n

x y a a x x y ...........x y =?=-???

=???=??∑ 这是一个非退化线性替换,它使12n f (x ,x ,...,x )=2

111

a y +

n n

ij i j i 2j=2

b x x =∑∑

有归纳法假定,对

n

n

ij

i j

i 2j 2

b y y ==∑∑有非退化线性替换

22222332n n 33223333n n

n n22n33nn n

z c y c y ...c y z c y c y ...c y ...........z c y c y ...c y =++??=++??

??=++? 能使它变成平方和222

2233n n d z d z ...d z ++。

于是非退化的线性替换

11

22222332n n 33223333n n n n22n33nn n

z y z c y c y ...c y z c y c y ...c y ...........z c y c y ...c y =??=++??

=++???=++?? 就使12n f (x ,x ,...,x )变成

12n f (x ,x ,...,x )=222

2233n n d z d z ...d z ++

由归纳法,即证。

2)所有ii a 都等于0,但至少一1j a 0≠(j>1),不是一般性,设12a 0≠。令

112

212

n n

x z z x z - z ...........x z =+??=??

??=? 它是非退化线性替换,且使12n f (x ,x ,...,x )=12122a x x ...+

=1212122a (z z )(z - z )...++

=22

1211222a z 2a z ...-+

这时上式右端是12n z ,z ,...,z 的二次型,且2

1z 的系数不为0,属于第一种情况,定理成立。 3)11121n a a ...a 0===

由于对称性,有21222n a a ...a 0=== 这时n n

12n ij

i

j

i 2j 2

f (x ,x ,...,x )a x x ===

∑∑是n-1元二次型。根据归纳假设,它能用非退化线性替

换变成平方和。

这样就完成了定理得证明。

说明:虽然配方法是基础方法,但在应用化简二次型时比较麻烦。配方法需要通过观察来配

方,对初学者来讲,具有一定的盲目性。

四、化二次型为标准形方法之二:合同变换法(初等变换法)

由上述配方法即得:

定理 在数域P 上,任意一个对称矩阵都合同于以对角矩阵。

即对于任意一个对称矩阵A ,都可以找到一个可逆矩阵C 使T

C AC 成对角形。 也即任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角矩阵。

典型例题:用合同变换法化二次型为标准型,并写出非退化的线性替换。

2221231231213(,,)222f x x x x x x x x x x =+-+-

解:123(,,)f x x x 的矩阵为A=111120101-?? ?

? ?--??

以下为合同变换过程:

111120101-?? ? ? ?--??21*(1)+-????→111011101-?? ? ? ?--??21*(1)+-????→101011111-??

? ? ?--??31*(1)+???→ 100010001?? ? ? ???

100010001??

? ? ???

110010001-??

? ? ???

101011012-?? ? ? ?-??31*(1)+???→100011012?? ? ? ?-??32*(1)+-????→100011003??

? ? ?-??32*(1)+-????→ 110010001-?? ? ? ??? 111010001-??

? ? ???

111010001-??

? ? ???

100010003?? ? ? ?-?? 112011001-?? ?- ? ???

因此D=100010003?? ? ? ?-??,C=112011001-?? ?

- ? ???

令X=CY ,得123(,,)f x x x =222

1233y y y +-

五、 化二次型为标准形方法之三:正交变换法(实二次型)

利用欧式空间的理论,我们得到这样的结论:

对于任意一个n 级是对称矩阵A ,都存在一个n 级是正交矩阵T ,使

T -1T AT=T AT

成对角形。

定理 任意一个实二次型

n n

12n ij i j i 1j 1

f (x ,x ,...,x )a x x ===∑∑ (ij a =ji a )

都可经过正交的线性替换变成平方和

12n f (x ,x ,...,x )=2222233n n d z d z ...d z ++

其中平方项系数12n d ,d ,...,d 就使矩阵A 的特征多形式全部的根。

因此只要求出特征根,二次型标准形也就求出来了。

正交变换更具实用性。如:

典型例题:作直角变换,把下述二次曲面方程化成标准方程,并指出它是什么二次曲面?

22223441x y z xy yz ++--=

解:此方程左端的二项式部分为:(,y,z)f x =2

2

2

2344x y z xy yz ++-- 下把它正交替换成标准型:

它的矩阵A=120222023-?? ?

-- ? ?-??

E A λ-=1202

2

2

2

3

λλλ---=(2λ-)(5λ-)(1λ+)

A 的全部特征值是2,5,-1

对于特征值2,求出(2E-A )X=0的一个基础解系:1212α-??

?

= ? ???

把1α单位化,得1231323η??- ? ? ?= ? ? ? ???

对于特征值5,求出(5E-A )X=0的一个基础解系:2122α?? ?

=- ? ???

把2α单位化,得2132

323η?? ? ? ?=- ? ? ? ???

对于特征值-1,求出(-E-A )X=0的一个基础解系:3221α?? ?

= ? ???

把3α单位化,得3232

313η?? ? ? ?= ? ? ? ???

令T=2123331

223332213

3

3??- ? ?

?- ? ? ? ???

,则T 是正交矩阵,且1

200T AT=051000-?? ?- ? ??? 令***x x y T y z z ????

? ?= ? ? ? ?????

,则(,y,z)f x =*2*2*2

2x 5y z +- 所以原二次型在新的直角坐标系中的方程为:*2

*2*22x 5y z +-=1

由此看出,这是单叶双曲面。

六、化二次型为标准形方法之四:雅可比方法

(一)相关定义 1、 双线性函数定义

V 是数域P 上一个线性空间,f (α,β)是V 上一个二元函数,即对V 中任意两个向量α、β,根据f 都唯一地对应于P 中一个数f (α,β)。如果f (α,β)有下列性质:

1) f (α,1k 1β+2 2 k β)=11 2 2k f (,)k f (,)αβαβ+ 2) 112211,22,f k k k f ()k f ()ααβαβαβ+,(+)=

其中1212,,,,,αααβββ是V 中任意向量,12k ,k 是P 中任意数,则称f (α,β)为V 上的一个双线性函数。

例如:欧式空间V 的内积是V 上双线性函数。 2、 对成双线性函数的定义

f (α,β) 线性空间V 上的一个双线性函数,如果对V 中任意两个向量α,β都有f (α,β)=f(β,α),则称f (α,β)为对称双线性函数。 3、 度量矩阵定义

设f (α,β)是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数。12n ,,...,εεε是V 的一组

基,则矩阵11)1n n 1)n n)f (,f (,)A=f (,f (,εεεεεεεε??

?

? ???

叫做f (α,β)在12n ,,...,εεε下的度量矩阵。

结论:双线性函数是对称的,当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵。

(二)化二次型为标准型的雅可比方法

设V 是数域P 上一个n 维线性空间,取定V 的一组基12n ,,...,εεε,令

α=

n

i i

i=1

x ε

∑,β=

n

i i

i=1

y ε

∑,

x =T 1n (x ,...,x ),y=T

1n (y ,...,y ),

那么给定一个F 上的n 元二次型T

x Ay (其中A 是n 阶对称矩阵),则由A 可以定义一

个V 上对称双线性函数f (α,β)= T

x Ay ,其中11)

1n n 1)

n n)f (,f (,)A=f (,f (,εεεεεεεε??

?

?

???

。反之亦然。

在固定的基

12n

,,...,εεε下,二次型T

x Ax 和对称双线性函数f (α,β)=T

x Ay 是互相唯

一确定的(都是由A 确定的)。

这种方法的中心问题是:对在V 的基12n ,,...,εεε下游二次型T

x Ax 确定的对称双

线性函数f (α,β)=T

x Ay ,满足条件

i j f (,)ηη=0,对i ≠j(i,j=1,2,…,n)

我们知道,设{1n ,...,ηη}是V 的另一组基,而B=ij n n b ?()=i,j (f ())ηη是f (α,β)

关于这个基的矩阵,又设C=ij n n c ?()是由基12n ,,...,εεε到基1n ,...,ηη的过渡矩阵,即

i η=n

ij j j 1

c ε=∑,i=1,…,n

那么 B=T

C AC , (1)

即一个双线性函数关于V 的两个基的两个矩阵式合同的。

由于任一对称矩阵必能合同于对角矩阵。设可逆矩阵C 使T

C AC 成对角阵,

B=11

nn b 00b ?? ?

? ???

, (2) 再设C 是基12n ,,...,εεε到基1n ,...,ηη的过渡矩阵,由(1)式知,f (α,β)关于基1n ,...,ηη的矩阵是对角矩阵(2)式,即

i j f (,)ηη=0,对i ≠j(i,j=1,2,…,n)

这表明,对于每一个对称双线性函数f (α,β),都存在一个适当的基1n ,...,ηη,使它可以写成如下形式

f (α,β)=T

z Bu =11112222nn n n b z u b z u ...b z u +++, 其中n

n

i i

i i

i 1

i 1

z ,u αηβη===

=∑∑,从而它所确定的二次型T

z

Bz 可以写成标准形

T z Bz =222111

222nn n b z b z ...b z +++ 且二次型T x Ax 化为T

z Bz 所作的非退化线性替换为

x=Cz ,

其中C 是由基12n ,,...,εεε到基1n ,...,ηη的过渡矩阵,它使T

C AC =B 。

于是,化二次型T

x Ax 为标准形的问题就可以归结为上述关于对称双线性函数的“中心问题”,为此,需要寻找满足条件(2)得V 的一个基1n ,...,ηη。

在n

R 中,从一个基12n ,,...,εεε出发,利用施密特正交化方法,可以构造一个与之等价

的正交基1n ,...,ηη。该方法的实质就是设

11112121222

n 1n 12n 2nn n,

c ,

c c ,...c c ...c ηεηεεηεεε=??=+??

??=+++? 然后用待定系数法求使得

()i

j

,ηη=0(其中 i ≠j ,i,j=1,2,…,n )的系数ij c

为此我们先解决下问题:

1)设V 是数域P 上一个n 维线性空间,f (α,β)=T

x Ay 使V 上对称双线性函数,其中

12n ,,...,εεε是V 的一组基,α=

n

i i

i=1

x ε

∑,β=

n

i i

i=1y ε

∑,

x =T

1n (x ,...,x ),y=T

1n (y ,...,y ),

A 是n 阶对称矩阵,那么从基{12n ,,...,εεε}出发,是否能构造如下形式的基1n ,...,ηη:

11112121222

n 1n 12n 2nn n,

c ,

c c ,...c c ...c ηεηεεηεεε=??=+??

??=+++? 使得 i j f (,)ηη=0,对i ≠j(i,j=1,2,…,n) 解:将j 1j 12j 2jj j c c ...c ηεεε=+++代入i j f (,)ηη得

i j f (,)ηη=i,j 1j 12j 2jj j f (c c ...c )ηηεεε=+++

=1j i,12j i,2jj i,j c f ()c f ()...c f ()ηεηεηε+++,

所以,若对任意的i 及j

i,j f ()ηη=0,

又因双线性函数f (α,β)是对称的,则对j>i ,有

i,j f ()ηη=j,i f ()ηη=0,

即1n ,...,ηη是所求的基。于是,问题归结为求待定系数1i 2i ii c ,c ,...,c ,i 1,2,...,n,=使向量

i 1i 12i 2ii i c c ...c ηεεε=+++ (3)

满足条件 i,j f ()ηε=j,i f ()εη=0,j=1,2,…,i-1 (4)

显然,若i η满足i,j f ()ηε=0,则i η的数量倍i c η也满足

i j f (c ,)ηε=0,

故为了确定i η,我们再要求i η满足条件

i i f (,)ηε=i,i f ()εη=1。 (5)

这样,i η可以利用条件(4)(5)唯一确定了,将(3)式代入(4)和(5),得到关于ji c 的线性方程组

1i 1,12i 1,2ii 1,i 1i 2,12i 2,2ii 2,i 1i i-1,12i i 1,2ii i 1,i

1i i,12i i,2ii i,i c f ()c f ()...c f ()0

c f ()c f ()...c f ()0...

c f ()c f ()...c f ()0

c f ()c f ()...c f ()1

εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε--+++=??

+++=??

??+++=??+++=? (6) 这方程组的系数行列式为

11)

1i i i 1)i i)f (,f (,)=f (,f (,εεεεεεεε??

??

? ???

因此,当i ?≠0时,方程组(6)由唯一解,从而可求得向量i η。于是,当A=ij n n a ?()=i i (f (,))

εε的顺序主子式1?=11a ,2?=

11122122

a a a a ,n ?=

1112

1n 21222n n1n2

nm

a a a a a a a a a

都不等于0时,可以由方程组(6)求出向量i η,i=1,2,…,n

2)由1)可知,在i ?≠0,i=1,2,…,n 的情形下,由方程组(6)可求出上三角矩阵

C=ij n n c ?()=11

1n nn c c 0c ?? ? ? ???

, 从而由(3)式求得i η,i=1,2,…,n ,它们满足

ij b =i,j f ()ηη=0,对i ≠j ,i,j=1,2,…,n

使得双线性函数f (α,β)关于基1n ,...,ηη的矩阵为

B=T

C AC =

11nn b 00b ?? ? ? ???

, 是对角矩阵,由此可见,二次型T x Ax 可经非退化线性替换x=Cz ,化成标准形

T z Bz =222

111

222nn n b z b z ...b z +++ 其中x=T 1n (x ,...,x ),z=T

1n (z ,...,z ).

下面计算ii b =i,i f ()ηηi=1,2,…,n ,由(3)(4)(5)可得

ii b =i,i f ()ηη=i,1i 12i 2ii i f (c c ...c )ηεεε+++

=ii c =i,i f ()ηε

再由克拉默法则,由方程组(6)可解得

ii c =

i 1

i

-??(其中令0?=1)。 因此,ii b =

i 1

i

-??,i=1,2,…,n 综上所述,我们可得以下结论: 设二次型

n n

ij

i

j

i 1j 1

a x x ==∑∑(其中ij a

=

ji a )中,顺序主子式1?,2?,…, n ?都不等于零,

则该二次型必可化为下面的标准形:

222

01n-112n 12n

z z ...z ???+++??? 其中0?=1。

这个化二次型为标准形的方法称为雅可比方法。

典型例题:用雅可比方法化二次型为标准型,并写出非退化的线性替换。

123(,,)f x x x =2221231213234x x x x x x x ++++

解:由于矩阵A=32223

10220

1?? ? ?

? ? ? ? ??

?

,它的顺序主子式1?=2,2?=14-,3?=1

44-都

不等于零,故可用雅可比方法。

设1100ε?? ?= ? ???,2010ε?? ?= ? ???,3001ε?? ?

= ? ???

,双线性函数f (α,β)关于基

1ε,2ε,3ε的矩阵为A,则

A=()()()()()()()()()111213212223313233f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,εεεεεεεεεεεεεεεεεε??

? ? ??

?=32

223

10220

1?

? ?

?

? ?

? ? ??

?

设111121212223131232333

c c c c c c ηεηεεηεεε=??

=+??=++? 系数11c 可由条件()11f ,ηε=1求出,即()1111c f ,εε=211c =1

故11c =12,故有111111

2c ηεε===1200?? ? ? ? ?

???

系数1222,c c 可由方程组()()()()

1211221212122222,,0

,,1c f c f c f c f εεεεεεεε+=???+=??求出,

得122268c c =??=-?,故2121222c c ηεε=+=680??

?- ? ?

??

系数132333,,c c c 可由方程组13233313231333322023

02

21c c c c c c c ?++=???+=??+=???

求出,

得132333817

1217117c c c ?=??

?

=-???=??,故38171217117η?? ? ? ?=- ? ?

? ???

由此可得,由基1ε,2ε,3ε到123,,ηηη的过渡矩阵为C=1

86

217120

81710017?? ?

? ?

-- ? ? ? ?

?

? 因此

12(,,)f x x x 经线性替换

X=CZ 化成标准型

222012123123z z z ???++???=222

12311z 8z z 217

-+ (三)雅可比方法在判定二次型的正定性问题上的应用 1)实二次型n n

12n ij

i

j

i 1j 1

f (x ,x ,...,x )a x x ===

∑∑=T

x

Ax 是正定的充要条件是:

矩阵A 的顺序主子式1?,2?,…, n ?全大于零;

2)实二次型n n

12n ij

i

j

i 1j 1

f (x ,x ,...,x )a x x ===

∑∑=T

x

Ax 是负定的充要条件是:

k

k (1)0,k 1,2,...n.-?>=

证:1)必要性显然成立,下正充分性。

由于矩阵A 的顺序主子式全大于零,故该二次型必可化为

222

01n-112n 12n

z z ...z ???+++??? 由于

i 1

i

-??〉0(i=1,2,...,n ),故该二次型的正惯性指数等于n,所以它是正定的。 2)证明与1)类似,只是因k

k (1)0,k 1,2,...n.-?>=故

i 1

i

-??<0(i=1,2,...,n ) 所以该二次型的负惯性指数等于n,是负定的。 七、小结

化二次型为标准形的方法最基本的就是上述这些方法,当然还有其他许多比较灵活的方

法来解决特殊的二次型问题,这里就不一一详述。本科阶段只需熟练掌握并灵活应用上述方法,综合代数和几何知识灵活解决问题。

对于初学者来说,配方法是最基础的方法,它的原理很容易被学生消化吸收,因此,这种方法需要熟练掌握,灵活应用。配方法是推导二次型重要理论的基础,要熟悉它的推导过程。

对于简单的二次型也可以灵活使用合同变换法,有时候这种方法更具简便性,节约计算量和计算时间。

正交变换法由于具有保持几何形状不变的优点而备受青睐。在用正交变换法化二次型为标准型中,如何求正交矩阵是一个难点,常见的求法只有一种,求解过程大致如下:先用二次型矩阵A的特征方程求出A的n个特征值,然后通过直接求矩阵方程的基础解系,得到对应于征值的线性无关的特征向量,再用施密特正交化过程将它们正交化、单位化,进而得到n个两两正交的单位特征向量,最后由这n个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵,即得所要求的正交变换和对应的标准型。这种方法综合性比较强,算比较复杂。

雅可比方法是一种新的方法,它的过程与施密特正交化过程类似,思想上也有相似之处。用它解决正定性问题时比较方便。

体会并深刻理解各种方法的实质与技巧,才能帮助我们快速并正确解决二次型问题。这需要多做练习,熟能生巧,方可以不变应万变。

参考文献:

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M] 北京:高等教育出版社,2003

[2] 邱森.高等代数[M].武汉:武汉大学出版社,2008

[3] 丘维声.高等代数学习指导书[M].北京:清华大学出版社,2009

[4] 周金土.高等代数解题思想与方法.[M].杭州:浙江大学出版社,2008

二次型的标准型

§2 标准形 一、二次型的标准型 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 2 222211n n x d x d x d +++ . (1) 定理1 数域P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和(1)的形式. 易知,二次型(1)的矩阵是对角矩阵, ().000000 ,,,212 1212 222211?????? ? ????????? ??=+++n n n n n x x x d d d x x x x d x d x d 反过来,矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论,经过非退化的线性替换,二次型的矩阵变到一个合同的矩阵,因此用矩阵的语言,定理1可以叙述为: 定理2 在数域P 上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理2也就是说,对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C 使 AC C ' 成对角矩阵. 二次型),,,(21n x x x f 经过非退化线性替换所变成的平方和称为 ),,,(21n x x x f 的标准形. 例 化二次型 32312121622),,,(x x x x x x x x x f n -+= 为标准形. 二、配方法 1.,011≠a 这时的变量替换为

????? ????==-=∑=-. , , 222 11 1111n n n j j j y x y x y a a y x 令 ??? ? ? ? ? ? ?--=--100010 111 11121111 n a a a a C , 则上述变量替换相应于合同变换 11AC C A ' → 为计算11AC C ',可令 ()??? ? ? ??==nn n n n a a a a A a a 22221112,,,α. 于是A 和1C 可写成分块矩阵 ??? ? ??-=???? ? ?' =--11 1111111,n E O a C A a A ααα, 这里α'为α的转置,1-n E 为1-n 级单位矩阵.这样 .111 1 1111111 11 11111111 1111111 1111??? ? ??'-=???? ??-???? ? ?'-=???? ??-???? ??'? ??? ??'-=' --------αααααααααa A O O a E O a a A O a E O a A a E a O AC C n n n 矩阵αα'--1 111a A 是一个)1()1(-?-n n 对称矩阵,由归纳法假定,有 )1()1(-?-n n 可逆矩阵G 使 D G a A G ='-'-)(1 111αα 为对角形,令 ??? ? ??=G O O C 12,

化二次型为标准形的方法

化二次型为标准形的方法 内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。它以线性空间为背景,以 线性变换为方法,以矩阵为工具,着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数,其内容本属于函数的讨论范围,然而二次型用矩阵表示之后,用矩阵方法讨论函数问题,使得二次型的问题变得更加简洁明确,二次函数的内容也更加丰富多彩。而我们要讨论的是如何化二次型为标准形,也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一,二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项,即二次型的标准形。下面介绍了一些化二次型为标准形的方法:配方法,交变换法,初等变换法,雅可比方法,偏导数法 关键词:二次型线性替换矩阵标准形 导言:二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。二次型是学中 的一个极其重要的问题,这个问题不仅在数学上,而且在物理学,工程学,经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便,我们经常要化二次型为标准形。我们知道,任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的,而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵,相应的以实二次型都可以化为标准形,以下就是化二次型为标准形的几种方法,通过典型例题,体会二次型问题时的多样性和灵活性。 化二次型为标准形的方法 一. 配方法 配方法是解决这类问题时另一个常用方法,通过观察对各项进行配方,其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时,最重要的是要消去像 ()i j x x i j ≠这样的交叉项,其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。 定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和 222 1122...n n d x d x d x +++的形。 1.如果二次型含有i x 的平方项,那么先把含有i x 的乘积项集中,然后再配方,再对 其余的项同样进行,直到都配成平方项为止,写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换,就将二次型化为标准形了。 例1.上述所给出的方法化二次型23(,,)f x x x =22 1122 23224x x x x x x +++为标准形,写出所用的变换矩阵。

化二次型为实用标准型的方法

化二次型为标准型的方法 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程是 2 2 ax 2bxy cy f ++=. (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度θ,作转轴(反时针方 向转轴) '' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? (2) 把方程(1)化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现,而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域,一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式 22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型,或者在不致引起混淆时简称二次型。 设12n x ,x ,...,x ;12n y ,y ,...,y 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? (4) 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换,。如果ij c 0≠,那么线性替换(4)就称为非退化的。 在讨论二次型时,矩阵是一个有力的工具,因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 ij ji a =a ,i

化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法 二、二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程 ax 2 +2bxy+ cy 2 = f . 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度。,作转轴(反时针方 把方程(1)化成标准方程,在二次曲面的研究中也有类似的情况. (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量 的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几 何中出现,而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最 基本的性质。 设P 是一数域,一个系数在数域P 上的X“X2,...,Xn 的二次齐次多项式 f (X],x^,???,Xn ) = a.eX.2 +2a“X]X, +... + 2a.x.x n +... + 2a. x ?x n +... + a n x n 2 J x n ii I i i * in i n 匕 .n 二 n nil n 称为数域P 上的一个n 元二次型,或者在不致引起混淆时简称二次型。 设x p x 2,...,x n ; y,,y 2,…,yn 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系式 x 1=c I1y I +c 12y 2+...c ln y n x 2=c 2iyi +c 22y 2+-c 2nyn X 3=C 3iyi +C 32y2+-C 3ny n (4) /n =C niy2+C n2y2+-C nnyn 称为由X|,X2,...,Xn 到力必,…,yn 的一个线性替换,。如果|cJ #。,那么线性替换(4)就 称为非退化的。 在讨论二次型时,矩阵是一个有力的工具,因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 , i

02 第二节 化二次型为标准型

第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n ),,,(21 在线性变换CY X 下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,222 2211n n y b y b y b 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理 3 4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点: 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量

进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ,则先作可逆变换 ),,,2,1(j i k n k y x y y x y y x k k j i j j i i 且 化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方. 注:配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A 的特征值无关. 因为二次型f 与它的对称矩阵A 有一一对应的关系,由定理1即得: 定理2 对任一实对称矩阵A ,存在非奇异矩阵C ,使 B AC C T 为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同. 二、用初等变换化二次为标准型 设有可逆线性变换为CY X ,它把二次型AX X T 化为标准型BY Y T ,则 B AC C T . 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵s P P P ,,,21 ,使 s P P P C 21 , 于是 s P P EP C 21 s T T T s T P P AP P P P AC C 2112. 由此可见, 对n n 2矩阵 E A 施以相应于右乘s P P P 21的初等列变换, 再对A 施以相应于左乘T s T T P P P ,,,21 的初等行变换, 则矩阵A 变为对角矩阵B , 而单位矩阵E 就变为所要求的可 逆矩阵C . 三、用正交变换化二次型为标准形 定理 2 若A 为对称矩阵,C 为任一可逆矩阵,令,AC C B T ,则B 也为对称矩阵,且).()(A r B r 注: (1) 二次型经可逆变换CY X 后,其秩不变,但f 的矩阵由A 变为;AC C B T (2) 要使二次型f 经可逆变换CY X 变成标准形,即要使AC C T 成为对角矩阵, 即 .),,,(2 222211212121n n n n n T T y b y b y b y y y b b b y y y ACY C Y

化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程 ax" + 2bxy+ cy' =f . (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度作转轴(反时针方 X = X cos&-y sin& ? ? y = X sin0+y cos0 把方程(1)化成标准方程。在二次曲而的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量 的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几 何中出 现,而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最 基本的性质。 向转轴) (2) 设P 杲一数感,一个系数在数域P I :的X|.X2,?…Xn 的二次齐次多项式 f(XpXx ???,Xn)= a…xf +2apX]X 》+???+ 2d]nX]Xn +a"X 分2 +??? + 2a*nXjXn +??? + annXn2 称为数域P 上的一个n 元二次型,或者在不致引起混淆时简称二次型。 设X|,X2■…,x…: y^y, y…是两组文字,系数在数域P 中的一组关系式 X| =勺』|+匂汙2+???5 人 X2=C2.yi+c…y,+...c,…y… X3=C3y +。32『2+…(3"九 (4) 1/"=5』2+%九+…5肌 称为由XpX2 x…到yid?人的一个线性替换八如果 G H0,那么线性替换(4)就 称为非退化的。 在讨论二次型时,矩阵是一个有力的工具,因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另 那二ivj ?由于XjXj=XjXi ,所以 f(X|,X2,???,x…) = a]]X/ + 2di2X|X2+??? + 2a]nX|Xn +3,2X2"+... + 2a2…X2Xj, + n n =工工a/iXj i —1 它的系数排成一个n*n 矩阵

化二次型为实用标准形地几种方法

化二次型为标准形的几种方法 摘要 二次型是代数学要研究的重要容,我们在研究二次型问题时,为了方便,通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点,本文介绍了一些化二次型为标准形的方法:正交变换法,配方法,初等变换法,雅可比方法,偏导数法.正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤,并举出合适的例题加以说明.其中,偏导数法与配方法又相似,只是前者具有固定的步骤,而配方法需要观察去配方. 关键词:正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法

reduce the quadratic forms to the standard forms Abstract:Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method

二次型化为标准形的几种方法

2015届本科毕业论文 题目:二次型化为标准型方法 所在学院:数学科学学院 专业班级:数学与应用数学11-2班 学生姓名:赵江南 指导教师:艾合买提 答辩日期:2015年5月5日

目录 1 引言.............................................. 错误!未定义书签。 2 关于二次型定义 ................................... 错误!未定义书签。 3 二次型化为标准型的方法 ........................... 错误!未定义书签。 正交变换法 ...................................... 错误!未定义书签。 . 配方法 ......................................... 错误!未定义书签。 . 初等变换法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 雅可比方法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 偏导数法 ....................................... 错误!未定义书签。 4. 小结 ............................................ 错误!未定义书签。参考文献 .......................................... 错误!未定义书签。致谢 .............................................. 错误!未定义书签。

用初等变换化二次型为标准规定型

莆田学院数学与应用数学系 “高等代数选讲”课程论文 题目:用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 姓名:廖丹 学号:410401141 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6月20日

用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 041数本 410401141 廖丹 摘要:本文介绍两种特殊方法:一种是用正交变换化实二次型为标准形,另一种是连续用第三种初 等行变换快速将二次型化为标准形. 关键词:初等变换 第三种初等阵 非异阵 实二次型标准形 1.数域下任意一个实二次型X AX ',总可以经过非奇异变换X PY =使得21n i i i X AX d y ='=∑,其中i d 为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法 最大的缺点是不易求矩阵P .下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形,一举求出非异阵P . 定义1.1以()ij k T 表示将单位矩阵的j 行(列)的k 倍加到i 行(列),所得到的第三种初等阵. 定理1.2设A 是n 阶实对称阵,P 是有限个第三种初等阵()ij k T ,1i >的乘积.且 1 10d a P A A ??'= ???其中a 是1n -维行向量,1A 是1n -阶阵,则必有100d P AP A ?? '= ??? . 证明:由于P 是()ij k T 的乘积,且1i >,根据矩阵的乘法规则,用P 右乘P A '时,P A '的 第一列元素不变,从而1 10 d P AP A β?? '= ??? ,即A 是实对称的. ∴ P AP '亦为实对称阵 ∴ 0β= 这个定理实质上就给出矩阵A 化标准形,求出变换矩阵P 的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A 化为上三角形.现作矩阵(),A E 找出P '使

化二次型为标准型

化二次型为标准型公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b +++ 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n =),,,(21 在线性变换CY X =下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 ? ?????????? ?=n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,2222211n n y b y b y b +++ 其标准形中的系数恰好为 对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ?4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点: 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形;

化二次型为标准形的方法

编号2009011146 毕业论文 (2013 届本科) 论文题目:化二次型为标准形的方法 学院:数学与统计学院 专业:数学与应用数学 班级: 2009级本科(1)班 作者姓名:王瑜 指导教师:完巧玲职称:副教授 完成日期: 2013 年 05 月 07 日

目录 陇东学院本科生毕业论文(设计)诚信声明 (1) 0引言 (1) 1矩阵及二次型的相关概念 (1) 1.1矩阵的相关概念 (1) 1.2二次型的相关概念 (2) 2化二次型为标准形的方法 (3) 2.1配方法 (3) 2.2初等变换法(合同变换法) (5) 2.3正交变换法 (6) 2.4雅可比法 (8) 2.5MATLAB法 (12) 3 小结 (14) 参考文献 (15) 英文摘要 (15) 致谢 (16)

陇东学院本科生毕业论文(设计)诚信声明 本人郑重声明:所呈交的本科毕业论文(设计),是本人在指导老师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,成果不存在知识产权争议,除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名: 二O一年月日

化二次型为标准形的方法 王瑜 完巧玲 (陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000 ) 摘 要:化二次型为标准形的方法通常有配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法,这五种方法各有长处.本文通过对这些方法的归纳整理,使人们在解题时根据其特点和要求选取最佳方法,以达到简明快速的目的. 关键词:二次型;标准形;初等变换;正交变换;雅可比. 0 引言 二次型是高等代数的重要内容之一,二次型的基本问题是化二次型为标准形.二次型化为标准形的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,其理论应用也非常广泛.将二次型化为标准形往往是困惑学生的一大难点问题,而且它在各个领域都有非常重要的应用,因此探索将实二次型化为标准形的方法有重要的理论与应用价值. 实数域P 上的二次型可通过配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法、MATLAB 法等方法将其化为标准形.对于配方法或初等变换法即用非奇异变换 py x =将其化为2 1i n i i y d ∑=(d i 为实数)的形式,然而这种方法不易求出矩阵P ,下 面将介绍几种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形,并求出P ,使问题简化.下面首先介绍有关概念,再分别讨论二次型化为标准形的方法. 1 矩阵及二次型的相关概念 1.1 矩阵的相关概念 定义]1[1.1.1 设V 是数域F 上的一个向量空间,V 中满足下列两个条件的向量组{n ααα,,,21 }叫做V 的一个基. i ) n ααα,,,21 线性无关; ii ) V 的每个向量都可以由n ααα,,,21 线性表示. 定义]1[2.1.1 设{n ααα,,,21 }和{n βββ,,,21 }是n 维向量空间V 的两个基.那么向量β j ,n j ,,2,1 =,可以由n ααα,,,21 线性表示.设

6.2化二次型为标准形(全)

§2 化二次型为标准形●用配方法化二次型为标准形 ●用正交变换法化二次型为标准形

6.2.1用配方法化二次型为标准形 定理6.2.1任何一个二次型都可以通过非退化线性变换化为标准形。 定理6.2.2对任意一个n 阶实对称矩阵A ,都存在可逆矩阵C ,使得 C T AC =diag(d 1, d 2, ¨, d n )例6.2.1 用配方法把三元二次型 化为标准形,并求所用的线性变换X=CY 及变换矩阵C 。()2221231 2 3 121323 ,,23448f x x x x x x x x x x x x =+++--解先按及含有x 1的混合项配成完全平方,即 ()()()22 123112323,,22f x x x x x x x x x ?? =+-+-?? 21 x ()222 232323 238x x x x x x --++-()2 221232 3 23 24x x x x x x x =+-+--

()()2 221231232 3 23 ,,24f x x x x x x x x x x =+-+--在上式中,再按22 234x x x -配成完全平方,于是 ()()()22 2 123123233 ,,225f x x x x x x x x x =+-+--令 11232233 32y x x x y x x y x =+-?? = -??=?代入上式中,得到二次型的标准形 ()2221231 2 3 ,,25f x x x y y y =+-

由 11232233 32y x x x y x x y x =+-?? = -??=?解得 112233*********x y x y x y --???? ?? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ?????上式是化二次型为标准形所做的线性变换X=CY ,其中 111012001C --?? ?= ? ???

化二次型为标准型的方法样本

化二次型为标准型的方法 一、 绪论 高等代数是数学专业的一门重要基础课。该课程以线性空间为背景, 以线性变换为方法, 以矩阵为工具, 着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数, 其内容本应属于函数讨论的范围, 然而二次型用矩阵表示之后, 用矩阵方法讨论函数问题使得二次型的问题变得更加简洁明确, 二次型的内容也更加丰富多彩。本文的中心问题是如何化二次型为标准形, 也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。 二次型是高等代数的重要内容之一, 二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项, 即二次型的标准型。二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、 二次曲面的化简问题, 其理论也在网络、 分析、 热力学等问题中有广泛的应用。将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题, 而且它在物理学、 工程学、 经济学等领域有非常重要的应用, 因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值。 我们知道, 任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定, 而任一实对称矩阵都能够化成一对角矩阵, 相应的任一实二次型都能够化为标准型。在高等代数课本中介绍了将实二次型化为标准型的两种方法: 配方法和正交变换法; 另外, 由于任意矩阵能够利用初等变换化为对角矩阵, 因此也可用初等变换法将二次型化为标准型。 经过典型例题, 更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性, 我们应熟练掌握各种方法。 以下就是几种方法的简单介绍, 而且又提出了一种新的方法: 雅可比喻法。我们在解决二次型问题时可对它们灵活应用。 二、 二次型及其矩阵表示 在解析几何中, 我们看到, 当坐标原点与中心重合时, 一个有心二次曲线 的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=.

_化二次型为标准形的方法

密级: JINING UNIVERSITY 学士学位论文 THESIS OF BACHELOR 题目化二次型为标准型的方法 系别:数学系 专业年级:数学与应用数学专业 2012级(3+2) 学生姓名:邢桃桃学号: 2012063331 指导教师:唐庆晨职称:副教授 起讫日期: 2014年3月7日至2014年5月27日

目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1 配方法 (2) 1.1解题步骤 (2) 1.2 典型例题 (3) 2 初等变换法 (4) 2.1 解题步骤 (5) 2.2 典型例题 (5) 3正交变换法 (6) 3.1解题步骤 (6) 3.2 典型例题 (7) 4 雅克比法 (8) 4.1解题思路 (8) 4.2典型例题 (8) 5偏导数法 (9) 5.1 解题思路 (9) 5.2典型例题 (10) 6 总结 (12) 参考文献 (13) 致谢 (13)

化二次型为标准形的方法 数学与应用数学专业学生邢桃桃 指导教师唐庆晨 摘要:二次型是代数学要研究的重要内容,我们在研究二次型问题时,为了方便,通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点.本文介绍了一些化二次型为标准形的方法:配方法、初等变换法、正交变换法、雅可比法和偏导数法.正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤,并举出合适的例题加以说明。其中,偏导数法与配方法又相似,只是前者具有固定的步骤,而配方法需要观察去配方。 关键词:配方法初等变换法正交变换法雅可比方法偏导数法 Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard Student majoring in mathematics and applied mathematics xingtaotao Tutor Tang Qingchen Abstract:Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Keywords: orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method 引言二次型是代数学中的一个极其重要的问题,这个问题不仅在数学上,而且在物理学,工程学,经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便,我们经常要化二次型为标准形,本文介绍了五种化二次型为标准形的方法,各种方法的解题思路步骤及依据在正文部分都有详细的说明,并且每种方法后面配有例题这样理解起来就会

用初等变换化二次型为标准型

莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文 题目:用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 姓名:廖丹 学号:410401141 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6月20日

用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 041数本 410401141 廖丹 摘要:本文介绍两种特殊方法:一种是用正交变换化实二次型为标准形,另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形. 关键词:初等变换 第三种初等阵 非异阵 实二次型标准形 1.数域下任意一个实二次型X AX ',总可以经过非奇异变换X PY =使得21n i i i X AX d y ='=∑,其中i d 为实数,通常的方法是采用配方法或初等变换法,然而传统的方法 最大的缺点是不易求矩阵P .下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为标准形,一举求出非异阵P . 定义1.1以()ij k T 表示将单位矩阵的j 行(列)的k 倍加到i 行(列),所得到的第三种初等阵. 定理1.2设A 是n 阶实对称阵,P 是有限个第三种初等阵()ij k T ,1i >的乘积.且 1 10d a P A A ??'= ???其中a 是1n -维行向量,1A 是1n -阶阵,则必有100d P AP A ?? '= ??? . 证明:由于P 是()ij k T 的乘积,且1i >,根据矩阵的乘法规则,用P 右乘P A '时,P A '的第一列元素不变,从而1 10 d P AP A β?? '= ??? ,即A 是实对称的. ∴ P AP '亦为实对称阵 ∴ 0β= 这个定理实质上就给出矩阵A 化标准形,求出变换矩阵P 的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A 化为上三角形.现作矩阵(),A E 找出P '使

化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的办法 二、 令狐采学 三、 二次型及其矩阵暗示 在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个 有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. (1) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度θ,作转轴(反时针标的目的转轴)'' '' x x cos y sin y x sin y cos θθ θθ ?=-??=+?? (2) 把方程(1)化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含平方项。二次齐次多项式不单在几何中呈现,并且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。 设P 是一数域,一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多 项 式 222 12n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++ 称为数域P 上的一个n 元二次型,或者在不致引起混淆时简称二次型。

设12n x ,x ,...,x ;12n y ,y ,...,y 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系式 11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn n x c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++??=++?? =++???=++?? (4) 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换,。如果ij c 0≠,那么线性替换(4)就称为非退化的。 在讨论二次型时,矩阵是一个有力的工具,因此把二次型与线性替换用矩阵来暗示。另ij ji a =a ,i

02 第二节 化二次型为标准型学习资料

02第二节化二次型 为标准型

第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b +++ 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n =),,,(21 在线性变换CY X =下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 ? ?????????? ?=n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,222 2211n n y b y b y b +++ 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 -4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点: 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ≠≠,则先作可逆变换

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