《创新设计》2017届高考数学(理)二轮复习(江苏专用)解答题综合练习 (28份打包)解答题 第一周 星期六

星期六 (解答题综合练) 2017年____月____日

1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，c )，n ＝

2. (cos C ，cos A ).

(1)若m ∥n ，c ＝3a ，求角A ；

(2)若m ·n ＝3b sin B ，cos A ＝45，求cos C 的值.

解 (1)∵m ∥n ，∴a cos A ＝c cos C .

由正弦定理得sin A cos A ＝sin C cos C ，

化简得sin 2A ＝sin 2C .∵A ，C ∈(0，π)，∴2A ＝2C (舍)或2A ＋2C ＝π，∴A

＋C ＝π2，∴B ＝π2，

在Rt △ABC 中，tan A ＝a c ＝33，A ＝π6.

(2)∵m ·n ＝3b cos B ，∴a cos C ＋c cos A ＝3b sin B .

由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin 2B ，

从而sin(A ＋C )＝3sin 2B .

∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋C )＝sin B ，且sin B ≠0，从而sin B ＝13，∵cos A ＝

4

5>0，A ∈(0，π)，

∴A ∈?

????0，π2，sin A ＝35.∵sin A >sin B ， ∴a >b ，从而A >B ，B 为锐角，cos B ＝223.

∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B

＝－45×223＋35×13＝3－8215

.

2.如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱

形，点E 是A 1C 1的中点.

求证：(1)BE ⊥AC ；

(2)BE ∥平面ACD 1.

证明 (1)如图，连接BD 交AC 于点F ，由于E 是A 1C 1的

中点，则连接B 1D 1交A 1C 1于点E .

因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .

因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以BB 1⊥平面ABCD ，

又AC ?平面ABCD ，所以BB 1⊥AC .

又BD ∩BB 1＝B ，BD ?平面B 1BDD 1，BB 1?平面B 1BDD 1，

所以AC ⊥平面B 1BDD 1.

而BE ?平面B 1BDD 1，

所以BE ⊥AC .

(2)如图，连接D 1F ，因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱

柱，

所以四边形B 1BDD 1为矩形.

又E ，F 分别是B 1D 1，BD 的中点，

所以BF ＝D 1E ，且BF ∥D 1E .

所以四边形BED 1F 是平行四边形.

所以BE ∥D 1F .

又D 1F ?平面ACD 1，BE ?平面ACD 1，

所以BE ∥平面ACD 1.

3.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，

在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 26＋y 23＝1，A 1，A 2分

别为椭圆C 1的左、右顶点.椭圆C 2以线段A 1A 2为短轴且与

椭圆C 1为“相似椭圆”.

(1)求椭圆C 2的方程；

(2)设P 为椭圆C 2上异于A 1，A 2的任意一点，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，线段PQ 交椭圆C 1于点H .求证：H 为△P A 1A 2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)

(1)解 由题意可知A 1(－6，0)，A 2(6，0)，

椭圆C 1的离心率e ＝22.

设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，则b ＝ 6.

因为b a ＝1－e 2＝22，所以a ＝2 3.

所以椭圆C 2的方程为y 212＋x 2

6＝1.

(2)证明 设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则y 2012＋x 206＝1，

从而y 20＝12－2x 20.

将x ＝x 0代入x 26＋y 23＝1得x 206＋y 23＝1，

从而y 2

＝3－x 202＝y 204， 即y ＝±y 02.

因为P ，H 在x 轴的同侧，

所以取y ＝y 02，即H (x 0，y 02).

所以kA 1P ·kA 2H ＝y 0x 0－6·1

2y 0x 0＋6＝y 202（x 20－6）

＝12－2x 202（x 20－6）

＝－1， 从而A 1P ⊥A 2H .

又因为PH ⊥A 1A 2，所以H 为△P A 1A 2的垂心.

4.图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧ACB ︵的中点，渠宽AB 为2米.

(1)当渠中水深

CD 为0.4米时，求水面的宽度；

(2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？

解 (1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立如图所示的直角

坐标系xOy ，

因为AB ＝2米，所以半圆的半径为1米，

则半圆的方程为x 2＋y 2＝1(－1≤x ≤1，y ≤0).

因为水深CD ＝0.4米，所以OD ＝0.6米，

在Rt △ODM 中，DM ＝OM 2－OD 2＝1－0.62＝0.8米.

所以MN ＝2DM ＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米

.

(2)为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点P (cos θ，

sin θ)? ??

??－π2＜θ＜0是圆弧BC 上的一点，过点P 作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE ，得切线EF 的方程为x cos θ＋y sin θ＝1.

令y ＝0，得E ? ????1cos θ，0，令y ＝－1，得F ? ??

??1＋sin θcos θ，－1. 设直角梯形OCFE 的面积为S .

则S ＝（CF ＋OE ）·OC 2＝? ????1＋sin θcos θ＋1cos θ×12＝2＋sin θ2cos θ? ??

??－π2＜θ＜0. S ′＝cos θ·2cos θ－（2＋sin θ）（－2sin θ）4cos 2θ＝1＋2sin θ2cos 2θ

，令S ′＝0，解得θ＝－π6.

当－π2＜θ＜－π6时，S ′＜0，函数单调递减；

当－π6＜θ＜0时，S ′＞0，函数单调递增.

所以θ＝－π6时，面积S 取得最小值，最小值为32，

此时CF ＝1＋sin ? ????－π6cos ? ??

??－π6＝33，即当渠底宽为233米时，所挖的土最少.

5.已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，S n 为数列{a n }的前n 项和.

(1)若数列{a n }是等差数列，且对任意正整数n 都有S n 3＝(S n )3成立，求数列{a n }的通项公式；

(2)对任意正整数n ，从集合{a 1，a 2，…，a n }中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a 1，a 2，…，a n 一起恰好是1至S n 全体正整数组成的集合.

(ⅰ)求a 1，a 2的值；

(ⅱ)求数列{a n }的通项公式.

解 (1)设无穷等差数列{a n }的公差为d ，因为S n 3＝(S n )3对任意正整数n 都成立，

所以分别取n ＝1，n ＝2时，则有：???a 1＝a 31，8a 1＋28d ＝（2a 1＋d ）3.

因为数列{a n }的各项均为正整数，

所以d ≥0.可得a 1＝1，d ＝0或d ＝2.

当a 1＝1，d ＝0时，a n ＝1，S n 3＝(S n )3成立；

当a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，所以S n 3＝(S n )3.

因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为a n ＝1或a n ＝2n －1.

(2)(ⅰ)记A n ＝{1，2，…，S n }，显然a 1＝S 1＝1.

对于S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2，有A 2＝{1，2，…，S n }＝{1，a 2，1＋a 2，|1－a 2|}＝{1，2，3，4}，

故1＋a 2＝4，所以a 2＝3.

(ⅱ)由题意可知，集合{a 1，a 2，…，a n }按上述规则，共产生S n 个正整数. 而集合{a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1}按上述规则产生的S n ＋1个正整数中，除1，2，…，S n 这S n 个正整数外，还有a n －1，a n ＋1＋i ，|a n ＋1－i |(i ＝1，2，…，S n )，共2S n ＋1个数.

所以，S n ＋1＝S n ＋(2S n ＋1)＝3S n ＋1.

又S n ＋1＋12＝3? ??

??S n ＋12， 所以S n ＝? ??

??S 1＋12·3n －1－12＝12·3n －12. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1

＝12·3n －12－? ??

??12·3n －1－12＝3n －1. 而a 1＝1也满足a n ＝3n －1.

所以，数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －1.

6.已知函数f (x )＝a ln x －1x (a 为常数).

(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y －5＝0垂直，求a 的值；

(2)求函数f (x )的单调区间；

(3)当x ≥1时，f (x )≤2x －3恒成立，求a 的取值范围.

解 (1)函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}，f ′(x )＝ax ＋1x 2.

又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y －5＝0垂直，所以f ′(1)＝a ＋1＝2，即a ＝1.

(2)由f ′(x )＝ax ＋1x 2(x ＞0)，当a ≥0时，

f ′(x )＞0恒成立，所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞).

当a ＜0时，由f ′(x )＞0，

得0＜x ＜－1a ，

所以f (x )的单调增区间为? ??

??0，－1a ； 由f ′(x )＜0，得x ＞－1a ，

所以f (x )的单调减区间为? ??

??－1a ，＋∞. (3)设g (x )＝a ln x －1x －2x ＋3，x ∈[1，＋∞)，

则g ′(x )＝a x ＋1x 2－2＝－2x 2＋ax ＋1x 2

. 令h (x )＝－2x 2＋ax ＋1，考虑到h (0)＝1＞0，

当a ≤1时，

h (x )＝－2x 2

＋ax ＋1的对称轴x ＝a 4＜1， h (x )在[1，＋∞)上是减函数，h (x )≤h (1)＝a －1≤0，

所以g′(x)≤0，g(x)在[1，＋∞)上是减函数，所以g(x)≤g(1)＝0，

即f(x)≤2x2－3恒成立.

当a＞1时，令h(x)＝－2x2＋ax＋1＝0，

得x1＝a＋a2＋8

4＞1，x2＝

a－a2＋8

4＜0，

当x∈[1，x1)时，h(x)＞0，

即g′(x)＞0，

g(x)在[1，x1)上是增函数；

当x∈(x1，＋∞)时，h(x)＜0，

即g′(x)＜0，

g(x)在(x1，＋∞)上是减函数.

所以0＝g(1)＜g(x1)，

即f(x1)＞2x1－3，不满足题意.

综上，a的取值范围为(－∞，1].