UG NX6.0曲面造型第3章 曲线的创建
第3章曲线的创建
本章主要介绍UG NX6.0的点与曲线部分。曲线是创建曲面的框架，是构成曲面的主要途径之一。曲线主要包含直线、圆弧、圆、样条、矩形等，如图3.1所示。后面学习的曲面造型都是以曲线的创建和编辑为基础。因此曲线的创建命令和编辑命令特别重要。
3.1 创建点与点集
点是空间上某个位置的标记。创建点命令用于逆向工程、辅助线、面等的创建和特殊场合位置的确定。创建点集命令用于创建一组与现有几何体对应的点，如沿曲线、面、样条处生成点。
3.1.1 创建点
创建点命令一次只能创建一个点，如需要创建多个点需重复命令，单击菜单栏【插入】｜【基准/点】｜【点】按钮，弹出【点】对话框，如图3.2所示。创建点可以通过鼠标捕捉或键盘输入点的位置。
1．鼠标捕捉
2．键盘输入
3.1.2 实例：曲线上均布10点本实例要求在曲线上均布10点，如图所示曲线..
3.1.3 创建点集
创建点集命令用于创建一组与现有几何体对应的点，如沿曲线、面、样条处生成点。单击菜单栏【插入】｜【基准/点】｜【点集】按钮，弹出【点集】对话框，如图所示。
创建点集的类型一共有3种，分别是：曲线上的点、样条点、面的点。
1．曲线上的点
2．样条点
3．面的点
3.1.4 实例：在面上均布100点
本实例要求在曲面上均布100点（以整个面的百分比创建）。如图所示曲面：
3.2 基本曲线
基本曲线是集直线、圆弧、圆、曲线倒圆、修剪、编辑功能于一体的曲线工具。由于基本曲线没有关联性和方便的参数驱动，主要用于不需要变动零件的设计、辅助线条创建等。
3.2.1 直线
单击直线图标，基本曲线对话框可以设置直线的各参数。其中最基本参数输入在跟踪条，跟踪条含义如图3.21所示。
直线由两点连接而成，因此可以通过各种方法确定两点。
3.2.2 圆弧
单击圆弧图标，基本曲线对话框可以设置圆弧的各参数。最基本参数输入在跟踪条，直线的跟踪条含义。圆弧由3点或者2点加半径构成，其中绘制圆弧的一点可以是圆心点。
3.2.3 圆
单击圆图标，基本曲线对话框可以设置圆的各参数，如图所示。圆由圆心点和直径构成，其中绘制除圆心点外一点可以是半径、直径或者圆弧上点的坐标。
3.2.4 曲线倒圆
基本曲线是唯一能调用曲线倒圆的工具。单击圆图标，基本曲线对话框可以设置曲线倒圆的各参数，如图3.26所示。
曲线倒圆根据对象的不通，一共有3种方法：简单圆角、2曲线圆角和3曲线圆角。创建的具体方法如下：
1.简单圆角
2. 两曲线圆角
3. 三曲线圆角
3.2.5 修剪曲线
修剪曲线命令可以用来修剪或延伸直线、圆弧、二次曲线、样条等，可以将曲线修剪或延伸到指定的曲线、基准平面、曲面、点等，甚至可以设置修剪过的曲线与圆曲线之间的关联性。
1.一边界对象修剪
2. 两边界对象修剪
3.3 直线与圆弧/圆
直线与圆弧命令是曲面造型常用曲线创建方法，如图3.40所示。和基本曲线相比增加了关联性、参数驱动、多平面支持等。直线和圆弧非常能体现特征建模，而不是非参数的线条。其中圆弧命令通过调节参数可以绘制圆。
3.3.1 直线
直线功能是用于绘制两点间或其它限定方式创建空间线段。
虽然绘制直线的功能相对简单，但是在实际创建种相当的灵活。熟练后会大大的简化操作过程。
1.两点之间创建直线
2.创建平行或一定角度直线
3.创建长度为100平行于ZC的直线
4.创建相切直线
3.3.2 圆弧/圆
圆弧/圆功能是用于绘制两点间圆弧或三点圆弧，如图3.51所示。虽然绘制直线的功能相对简单，但是在实际创建种相当的灵活。圆弧/圆的绘制有两种类型：三点画圆弧、从中心开始的圆弧/圆。通过限制选项卡可以绘制整圆功能。
1.三点创建圆弧
2.相切加半径创建圆弧
3.3.3 实例：凸轮的绘制本实例需要绘制凸轮，如图3.61所示。
3.4 样条曲线
直线、圆弧、样条是曲线的3大成员。样条作为发挥设计工作者充分想象力的工具，构造了美观、流线的产品外形。
在NX6.0中所有的样条都是非均匀有理的B样条，如图所示。它包含3种类型：艺术样条、样条、拟合样条。
3.4.1 艺术样条
艺术样条作为设计中最常用的样条，它与其他样条相比控制方便、轻松编辑、简单易懂。艺术样条有两种创建方法：通过点和通过极点，如图所示。
1.通过点
2.根据极点
3.4.2 实例：样条的创建
本实例需要通过五点创建艺术样条，其中点要落在样条曲线上面。因此使用通过点方式创建样条。
3.4.3 样条的约束
为了达到工艺要求、美观的目的，样条曲线和其他对象连接时步仅仅是连接的关系，需要达到相切（G1）或曲率（G2）甚至更高。样条的约束可以在G1、G2、G3之间调节。它们之间是阶梯关系，只有达到G1之后才能达到G2。
自由曲线曲面的基本原理(上)
自由曲线曲面的基本原理（上） 浙江黄岩华日（集团）公司梁建国 浙江大学单岩 1 前言 曲面造型是三维造型中的高级技术，也是逆向造型（三坐标点测绘）的基础。作为一个高水平的三维造型工程师，有必要了解一些自由曲线和曲面的基本常识，主要是因为：（1）可以帮助了解CAD/CAM软件中曲面造型功能选项的意义，以便正确选择使用；（2）可以帮助处理在曲面造型中遇到的一些问题。由于自由曲线和自由曲面涉及的较强的几何知识背景，因此一般造型人员往往无法了解其内在的原理，在使用软件中的曲（线）面造型功能时常常是知其然不知其所以然。从而难以有效提高技术水平。 针对这一问题，本文以直观形象的方式向读者介绍自由曲线（面）的基本原理，并在此基础上对CAD/CAM软件中若干曲面造型功能的使用作一简单说明，使读者初步体会到背景知识对造型技术的促进作用。 2 曲线（面）的参数化表达 一般情况下，我们表达曲线(面)的方式有以下三种： （1）显式表达 曲线的显式表达为y=f(x)，其中x坐标为自变量，y坐标是x坐标的函数。曲面的显式表达为z=f(x,y)。在显式表达中，各个坐标之间的关系非常直观明了。如在曲线表达中，只要确定了自变量x，则y的值可立即得到。如图1所示的直线和正弦曲线的表达式就是显式的。
曲线的隐式表达为f(x,y)=0，曲面的隐式表达为f(x,y,z)=0。显然，这里各个坐标之间的关系并不十分直观。如在曲线的隐式表达中确定其中一个坐标（如x ）的值并不一定能轻易地得到另外一个（如y ）的值。图2所示的圆和椭圆曲线的表达式就是隐式的。 图2 （3） 参数化表达 曲线的参数表达为x=f(t);y=g(t)。曲面的参数表达为x=f(u,v);y=g(u,v);z=g(u,v)。这时各个坐标变量之间的关系更不明显了，它们是通过一个（t ）或几个（u,v ）中间变量来间接地确定其间的关系。这些中间变量就称为参数，它们的取值范围就叫参数域。 显然，所有的显式表达都可以转化为参数表达，如在图1所示的直线表达式中令x=t 则立即可有y=t 。于是完成了显式表达到参数化表达的转换。由此，我 y 2 x 2/a
曲面造型的心得
家电产品的三维造型设计方法的研究 随着社会的进步，人们生活水平的不断提高，追求完善已成为时尚．人们对消费产品的要求已不仅仅满足于基本功能的完备，同时更注重外观的美感．家电产品在不断提高和完善其功能的同时，在外观造型上要求越来越高，多以复杂方式自由地变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成．而这一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表达的．这就给家电产品的设计及制造带来了挑战．计算机技术和计算机图形学的不断发展，为人们提供了强有力的工具，三维CAD/CAM/CAE集成化软件被广泛应用于制造业．然而，要快速高质量地完成一个家电产品的造型设计，必须根据家电产品的特点，总结出一套建模方法和技巧．这样才能大大缩短设计周期，提高设计效率，满足客户对产品的各种特殊需求． 1掌握三维CAD造型的原理，充分了解应用软件中的造型方法 CAD的三维模型有三种，即线框、曲面和实体。早期的CAD系统往往分别对待以上三种造型。而当前的高级三维软件，例如UGII,PRO/E,EUCLID等则是将三者有机结合起来，形成一个整体，在建立产品几何模型时兼用线、面、体三种设计手段[1]。其所有的几何造型享有公共的数据库，造型方法间可互相替换，而不需要进行数据交换。此在进行产品造型时，必须首先充分了解应用软件中的各种造型方法，总结出造型方法的特点、相关参数及应用技巧，减少造型时的盲目性，便能快捷有效地获得满意结果。 1.1线框造型 线框造型可以生成、修改、处理二维和三维线框几何体。可以生成点、直线、圆、二次曲线、样条曲线等，又可以对这些基本线框元素进行修剪、延伸、分段、连接等处理，生成更复杂的曲线，线框造型的另一种方法是通过三维曲面的处理来进行，即利用曲面与曲面的求交，曲面的等参数线，曲面边界线，曲线在曲面上的投影，曲面在某一方向的分模线等方法来生成复杂曲线。实际上，线框功能是进一步构造曲面和实体模型的基础工具。在复杂的产品设计中，往往是先用线条勾划出基本轮廓，即所谓“控制线”，然后逐步细化，在此基础上构造出曲面和实体模型。 1.2曲面造型 曲面造型分两种方法，一是由曲线构造曲面；二是由曲面派生曲面。 （1）由曲线构造曲面 1)旋转曲面：一轮廓曲线绕某一轴线旋转某一角度而生成的曲面。 2)线性拉伸面：一曲线沿某一矢量方向拉伸一段距离而得到的曲面。 3)直纹面：在两曲线间，把其参数值相同的点用直线段连接而成的曲面。4)扫描面：截面发生曲线沿一条、二条或三条方向控制曲线运动，变化而生成的曲面。可根据各发生曲线与脊骨曲线的运动关系，把扫描面分为平行扫描曲面、法向扫描曲面和放射状扫描曲面。 5)网格曲面：由一系列曲线构成的曲面。根据构造曲面的曲线的分布规律，网格曲面可分为单方向网格曲面和双方向网格曲面。单方向网格曲面由一组平行或近似平行的曲线构成；而双方向网格曲面由 一组横向曲线和另一组与之相交的纵向曲线构成。 6)拟合曲面：由一系列有序点拟合而成的曲面。 7)平面轮廓面：由一条封闭的平面曲线所构成的曲面。 8)二次曲面：椭圆面q_抛物面，双曲面等。
复杂曲面精密加工的发展现状和趋势
复杂曲面精密加工的发展现状和趋势 摘要：随着高新技术的发展，人们对外观美学效果的需要，复杂曲面的应用也越来越广泛。但是复杂曲面的应用在应用方面仍然需要取决于力学特性和功能的需要和满足人们对产品外形的需求。复杂曲面的发展和实现，又取决于复杂曲面的设计技术和制造技术。所以我们从3个方面分别阐述它们的研究现状与发展趋势：复杂曲面设计技术，复杂曲面加工技术，复杂曲面加工设备。指出复杂曲面设计技术、加工技术及加工设备发展存在的主要问题，对其发展趋势进行科学预测。 关键词：复杂曲面精密加工装备现状趋势 一前言 随着全球经济的发展，市场竞争日趋激烈，具有复杂曲面的产品越来越多，广泛应用于模具、工具、能源、交通、航空航天、航海等领域。复杂曲面的复杂性主要体现在：许多边缘学科、高科技产品领域对产品涉及的曲面造型有很高的精度要求，以达到某些数学特征的高精度为目的；现代社会中，人们在注重产品功能的同时，对产品的外观造型提出了越来越高的要求，以追求美学效果或功能要求为目的。因此，进一步提高复杂曲面的设计和加工水平成了国内外竞相研究的焦点。 二主题 1 复杂曲面设计与加工技术的发展 1.1 复杂曲面造型技术的发展及现状 复杂曲面造型技术是计算机辅助设计和计算机图形学中最为活跃、同时也是最为关键的学科分支之一，它随着CAD/CAM技术的发展而不断完善，渐趋成熟。它主要研究在计算机图像系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析，肇源于飞机、船舶的外形放样工艺。从研究领域来看，曲面造型技术已从传统的曲面表示、曲面求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面等距性。此外，随着工业生产的发展和需要，其他学科的技术方法被引进到计算机图形学中来，形成一种融合的趋势，出现了许多新造型方法的研究：如基于物理模型优化的曲面造型方法、基于力密度方法的曲线曲面的造型方法等。 1.2复杂曲面反求技术的发展和现状 反求技术,也称逆向技术、反向技术,是指用一定的测量手段对实物或模型进行测量,根据测量数据通过三维几何建模方法重构实物的CAD模型的过程,是一个从样品生成产品数字化信息模型,并在此基础上进行产品设计开发及生产的全过程。 随着计算机、数控和激光测量技术的飞速发展，反求技术不再是对己有产品进行简单的“复制”，其内涵与外延都发生了深刻变化，成为家电、汽车、玩具、轻工、
《计算机图形学》的主要研究内容及发展趋势
《计算机图形学》作业 第一次作业 《计算机图形学》的主要研究内容及发展趋势： 图形通常由点、线、面、体等几何元素和灰度、色彩、线型、线宽等非几何属性组成。从处理技术上来看，图形主要分为两类，一类是基于线条信息表示的，如工程图、等高线地图、曲面的线框图等，另一类是明暗图，也就是通常所说的真实感图形。 计算机图形学一个主要的目的就是要利用计算机产生令人赏心悦目的真实感图形。为此，必须建立图形所描述的场景的几何表示，再用某种光照模型，计算在假想的光源、纹理、材质属性下的光照明效果。所以计算机图形学与另一门学科计算机辅助几何设计有着密切的关系。事实上，图形学也把可以表示几何场景的曲线曲面造型技术和实体造型技术作为其主要的研究内容。同时，真实感图形计算的结果是以数字图像的方式提供的，计算机图形学也就和图像处理有着密切的关系。 图形与图像两个概念间的区别越来越模糊，但还是有区别的：图像纯指计算机内以位图形式存在的灰度信息，而图形含有几何属性，或者说更强调场景的几何表示，是由场景的几何模型和景物的物理属性共同组成的。 计算机图形学的研究内容非常广泛，主要有以下几个方面：计算机图形学的应用；计算机图形设备和系统；国际标准化组织(ISO) 发布的图形标准；人机交互接口技术；基本图形实体、自由曲线和自由曲面的生成算法；图形变换和裁剪；曲面和实体造型算法；颜色、光照模型及真实感图形显示技术与算法等内容。 从计算机图形学目前学科发展来看，有以下几个发展趋势：与图形硬件的发展紧密结合，突破实时高真实感、高分辨率渲染的技术难点；研究和谐自然的三维模型建模方法；利用日益增长的计算性能，实现具有高度物理真实的动态仿真；研究多种高精度数据获取与处理技术，增强图形技术的表现；计算机图形学与图像视频处理技术的结合；从追求绝对的真实感向追求与强调图形的表意性转变。 第二次作业 上机实习 目的： 1、在掌握计算机图形学的基本原理、算法和实现技术的基础上，通过编程实现简单的二维图形生成。 2、培养综合运用计算机高级语言（C语言）有关课程的知识去分析和解决实际问题的能力。以进一步巩固，深化，扩展本课程所学到的理论知识。
实验四 自由曲线曲面算法实验(2)
实验四 自由曲线曲面算法实验 实验项目性质：设计性实验 所属课程名称：3D 游戏图形学 实验计划学时：3学时 一、 实验目的和要求 1. 了解自由曲线和曲面的生成原理； 2. 掌握并实现Bezier 曲线和B 样条曲线的生成算法； 3. 实现Bezier 曲面的生成算法。 二、 实验原理 1. Bezier 曲线是通过一组多边形折线的顶点来定义的。如果折线的顶点固定不变，则由其定义的Bezier 曲线是唯一的。在折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上且作为曲线的起始处和终止处，其他的点用于控制曲线的形状及阶次。曲线的形状趋向于多边形折线的形状，要修改曲线，只要修改折线的各顶点就可以了。因此，多边形折线又称Bezier 曲线的控制多边形，其顶点称为控制点。 三次多项式，有四个控制点，如图1所示， 其数学表示如下： ,300.31 1.32 2.33 3.30 ()()()()()()i i i Q t PB t P B t PB t P B t P B t ===+++∑
32230123(1)3(1)3(1),[0,1]t P t t P t t P t P t =-+-+-+∈ （1） 其矩阵形式为 01322313313630()(1),[0,1]33001000P P Q t t t t t P P --????????-????=∈????-???????? （2） 2. B 样条曲线保留了Bezier 曲线的优点，对Bezier 曲线进行了拓广，用B 样条基代替Bernstein 基，克服了Bezier 曲线由于整体表示带来的不具备局部性质的缺点。B 样条曲线的数学定义为 0n k k,m k p(t)P B (t) ==∑ （3） 式中，(0,1 ,,)k P k n = 为n+1个控制点，由控制点顺序连成的折线称为B 样条控制多边形。m 是一个阶参数，可以取2到控制顶点个数n+1之间的任一整数，m-1是B 样条曲线的次数。参数t 的选取取决于B 样条结点矢量的选取。k,m B (t)是B 样条基函数， ()()k 1,1,,11,111 1 ()0 ()k k k k m k m k m k m k m k k m k t t t B t t t t t B t B t B t t t t t ++-+-+-++≤
第4章 自由曲线与曲面建模
CAD/CAM
CAD/CAM
典型机械零件
CAD/CAM技术基础 —第4章 自由曲线与自由曲面建模
天津大学机械工程学院 产品设计与制造技术研究所 陈永亮
曲线曲面
1
曲线曲面
2
CAD/CAM
典型机构
CAD/CAM
圆柱齿轮
曲线曲面
3
曲线曲面
4
CAD/CAM
蜗轮蜗杆
CAD/CAM
锥齿轮
弧齿锥齿轮
摆线锥齿轮
曲线曲面
5
面齿轮
曲线曲面
6
1
CAD/CAM
? ? ? ? 齿轮类零件 涡轮类零件 凸轮类零件 叶轮叶片类零件
离心压缩机叶轮
CAD/CAM
曲线曲面
7
曲线曲面
8
CAD/CAM
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
圆的参数方程
? ? ? ? ? ? ? ?
曲线曲面
9
CAD/CAM
渐开线的参数方程
例1：圆 参数方程文件：Rel.ptd /* 为笛卡儿坐标系输入参数方程 /*根据t (将从0变到1) 对x, y和z /* 例如:对在 x-y平面的一个圆，中心在原点 /* 半径 = 50，参数方程将是: db=100 rb=db/2 x = rb * cos ( t * 360 ) y = rb* sin ( t * 360 ) z=0
例2：渐开线 1）采用直角坐标系 db=100 rb=db/2 u =t* 45 x=rb*cos(u)+rb* sin(u)*u* pi/180 y=rb* sin(u)-rb*cos(u)* u* pi/180 z=0
曲线曲面 10
CAD/CAM
渐开线的参数方程
CAD/CAM
渐开线的参数方程
rb-基圆半径 u=45t t-参数 ,[0,1]
曲线曲面 11
db=100 rb=db/2 u =t* 45 x=rb*cos(u)+rb* sin(u)*u* pi/180 y=rb* sin(u)-rb*cos(u)* u* pi/180 z=0
曲线曲面 12
2
自由曲线及曲面word版
第九章自由曲线及曲面的加工 第一节概述 经数学处理 直线或圆弧 逼近 第二节曲线、曲面加工的基础知识一、基点和节点 基点——零件上各几何元素间的连接点（宏观）节点——被分割的逼近线段间的交点或切点（微观）求节点坐标值：求分割后逼近线段间的交点或切点坐标值，是粗插补的重要组成部分；也是完成精插补运算的依据。精确计算节点坐标值，才能按要求走出预期的轨迹。 [注] 数据采样法中圆弧插补时的分割线段是等长均布的。
二、非圆曲线节点坐标的计算 非圆曲线——除直线和圆弧之外，可以用数学方程 式表达的平面轮廓曲线。 非圆曲线的计算步骤： 1）选择插补形式 直线段逼近——数学处理简单、加工精度较低； 圆弧段逼近——数学处理较复杂、加工精度较高。2）确定编程允许误差 取零件公差的1/5 ~ 1/10 。 3）确定计算方法 即后面将提及的计算方法的确定。 4）画计算机处理流程图 5）用高级语言编写程序，完成计算
下面介绍两种常用的处理平面非轮廓曲线的方法： 1．弦线逼近法 对于弦线逼近曲线而言，弦线越短，则逼近误差越小，但弦线越短，弦线数量则越多；若弦线长度不变，则曲率越大处逼近误差越大。
（1）等插补段法（等步长法） 如上a）图，以确保最大曲率处精度为原则，将各插补段长度取得相等，这使得线段处理上比较简单，但插补工作量较大。 插补工作量增大，意味着成本提高。同时，此法使精度提高，但是，这个提高，是超过要求的提高，这是需要引起设计人员注意的。 （2）等插补误差法 如上b）图，按照规定的精度要求，使各插补段的误差相等，这就使插补段长度不等，显然，插补段数是减少的。 大型零件的插补工作量极大，这时减少插补段数意义重大。 2．圆弧逼近法 先采用弦线逼近法求出节点坐标，再利用节点做圆，使逼近线段不是直线而是圆弧。 此法显然比弦线逼近法具有更高的精度，但线段处理比较复杂。
最经典CATIA曲线曲面设计基本理论
CATIA曲线曲面设计基本理论 一、概述 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design,CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)这二种手段为骨架的几何理论体系。 1．发展历程 形状信息的核心问题是计算机表示，既要适合计算机处理，且有效地满足形状表示与设计要求，又便于信息传递和数据交换的数学方法。象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解决的问题。曲面造型的目的就在如此。 1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线（三次Hermite 插值曲线），将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。
仅用端点的位置和切矢控制曲线形状是不够的，中间的形状不易控制，且切矢控制形状不直接。 1964年，美国麻省理工学院（MIT ）的孔斯（Coons ）用四条边界曲线围成的封闭曲线来定义一张曲面，Ferguson 曲线曲面只是Coons 曲线曲面的特例。而孔斯曲面的特点是插值，即构造出来的曲面满足给定的边界条件，例如经过给定边界，具有给定跨界导矢等等。但这种方法存在形状控制与连接问题。 1964年，舍恩伯格（Schoenberg ）提出了参数样条曲线、曲面的形式。 1971年，法国雷诺（Renault ）汽车公司的贝塞尔（Bezier ）发表了一种用控制多边形定义曲线和 曲面的方法。这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推 进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。 但当构造复杂曲面时，Bezier 方法仍存在连接问题和局部修改问题。 同期，法国雪铁龙（Citroen ）汽车公司的德卡斯特里奥（de Castelijau ）也独立地研究出与Bezier 类似的方法。 1972年，德布尔（de Boor ）给出了B 样条的标准计算方法。 1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden ）和里森费尔德（Riesenfeld ）将B 样条理论用于形状描述，提出了B 样条曲线和曲面。这种方法继承了Bezier 方法的一切优点，克服了Bezier 方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。但随着生产的发展，B 样条方法显示出明显不足，不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理混乱。 1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse ）大学的佛斯普里尔（Versprill ）提出了有理B 样条方法。 80年代后期皮格尔（Piegl ）和蒂勒（Tiller ）将有理B 样条发展成非均匀有理B 样条方法（即NURBS ），并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。 NURBS 方法的突出优点是：可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其它非有理方法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于控制和实现；NURBS 方法是非有理B 样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B 样条曲线 曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS 曲线曲面，便于继承和发展。 由于NURBS 方法的这些突出优点，国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP 国际标准，将NURBS 方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，从而使NURBS 方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。
曲线曲面基本理论
第二讲曲线曲面基本理论一、概述 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design,CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(Rational B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)这二种手段为骨架的几何理论体系。 1．发展历程 形状信息的核心问题是计算机表示，既要适合计算机处理，且有效地满足形状表示与设计要求，又便于信息传递和数据交换的数学方法。象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解决的问题。曲面造型的目的就在如此。 1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线（三次Hermite 插值曲线），将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。 图 Ferguson曲线 t= 0 t= 1 Q0 Q1 Q’ 0Q’ 1 图 Ferguson曲面 Q 0 0 u v Q 0 1 Q 1 0 Q 1 1
仅用端点的位置和切矢控制曲线形状是不够的，中间的形状不易控制，且切矢控制形状不直接。 1964年，美国麻省理工学院（MIT ）的孔斯（Coons ）用四条边界曲线围成的封闭曲线来定义一张曲面，Ferguson 曲线曲面只是Coons 曲线曲面的特例。而孔斯曲面的特点是插值，即构造出来的曲面满足给定的边界条件，例如经过给定边界，具有给定跨界导矢等等。但这种方法存在形状控制与连接问题。 图 Coons曲面 Q u v Q 0 1 Q 1 0 Q 1 1 Q(u,0) Q(u,1) Q(0,v) Q(1,v) 1964年，舍恩伯格（Schoenberg ）提出了参数样条曲线、曲面的形式。 1971年，法国雷诺（Renault ）汽车公司的贝塞尔（Bezier ）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。 但当构造复杂曲面时，Bezier 方法仍存在连接问题和局部修改问题。 同期，法国雪铁龙（Citroen ）汽车公司的德卡斯特里奥（de Castelijau ）也独立地研究出与Bezier 类似的方法。 1972年，德布尔（de Boor ）给出了B 样条的标准计算方法。 1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden ）和里森费尔德（Riesenfeld ）将B 样条理论用于形状描述，提出了B 样条曲线和曲面。这种方法继承了Bezier 方法的一切优点，克服了Bezier 方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。但随着生产的发展，B 样条方法显示出明显不足，不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理混乱。 1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse ）大学的佛斯普里尔（Versprill ）提出了有理B 样条方法。 80年代后期皮格尔（Piegl ）和蒂勒（Tiller ）将有理B 样条发展成非均匀有理B 样条方法（即NURBS ），并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。 NURBS 方法的突出优点是：可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其它非有理方法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于控制和实现；NURBS 方法是非有理B 样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B 样条曲线曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS 曲线曲面，便于继承和发展。 由于NURBS 方法的这些突出优点，国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP 国际标准，将NURBS 方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，从而使NURBS 方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。
自由曲面
自由曲面 自由曲面简介 自由曲面是工程中最复杂而又经常遇到的曲面，在航空、造船、汽车、家电、机械制造等部门中许多零件外形，如飞机机翼或汽车外形曲面，以及模具工件表面等均为自由曲面。工业产品的形状大致上可分为两类或由这两类组成:一类是仅由初等解析曲面例如平面、圆柱面、圆锥面、球面等组成。大多数机械零件属于这一类。可以用画法几何与机械制图完全清楚表达和传递所包含的全部形状信息。另一类是不能由初等解析曲面组成，而由复杂方式自由变化的曲线曲面即所谓的自由曲线曲面组成。例如飞机，汽车，船舶的外形零件。自由型曲线曲面因不能由画法几何与机械制图表达清楚，成为摆在工程师面前首要解决的问题。 自由曲面用途 主要用于汽车拉伸模型、注模、轮机叶片、舰船螺旋桨及各种玩具成型塑料模等，随着自由曲面应用的日益广泛，对自由曲面的设计、加工越来越受到人们的关注己成为当前数控技术和CAD/CAM的主要应用和研究对象。 自由曲面特征识别方法 自由曲面特征识别方法的种类己经很多，从整体上可以将它们分为两大类，一类是基于边界匹配的特征识别方法，另一类是基于立体分解的特征识别方法。Ratnakar Sonthi在1997年提出了一种基于曲率区域表示的特征识别方法。Eelco van den Berg等在2002年提出了一种基于形状匹配的自由形状特征识别算法。 自由曲面的加工 自由曲面加工包括曲面造型、曲面光顺、轨迹规划和数控编程等。其中NC 轨迹的生成是自由曲面加工的关键，而对于形状复杂的自由曲面零件，如何解决NC轨迹生成过程中的干涉处理又是其中的关键。过程大致总结如下:首先在被加工曲面上规划刀具路径，确定合理的走刀步距，在给定的步距点上检查干
第八章 B样条曲线曲面(Ⅱ)
第八章 B样条曲线曲面 （Ⅱ）
第一节 反算B样条插值曲线 的控制顶点 2
3 问题： 设计一条 设计一条k k 次 次B B 样条曲线，插值给定的数据点， 如何确定 如何确定节点矢量、控制顶点的个数和位置 节点矢量、控制顶点的个数和位置？ 解决方案： 一般地，将曲线的首末端点分别与首末数据点对 应起来，为实现这一目的，需要将首末节点都取作 应起来，为实现这一目的，需要将首末节点都取作k ＋ ＋1 1重。另外，将曲线的分段连接点和内数据点（除 首末数据点以外的数据点依次对应，根据上一章节点 矢量的确定方法，曲线分段连接点和定义域内的内部 节点也一一对应起来，所以： 节点也一一对应起来，所以：
分 分 段 段 连 连接 接 点 定 定 义 义 域 域 内 内 节 节 点 内数据点 建立了这种对应关系后，曲线的 段数以及节点矢量的大小就可以 确定了。 确定了。 n,0,1,, i p i n = r L 设有个待插值的数据点 k1 首节点为 ＋重，即： 01 k u u u === L p r 它们与第一个待插值点 对应。 4
5 内部数据点与定义域内的节点一一对应，所以： ,0,1, i k i p u i n + = r L 与节点值 一一对应。 [ ] , k n k u u + 这样，插值曲线的定义域就是 [ ] 1 m 1k B , k m u u + 因为，一般情况下，对于 ＋个控制顶点的 次 样条曲线，它的定义域为： 所以，插值曲线应有n＋k个控制顶点，记作： 011 ,, n k d d d +- r r r L