第一节 集合概念及其运算

第一章 集合与常用逻辑用语

【知识导读】

【方法点拨】

1. 集合蕴涵着一种数学思想即对应的思想，数学的统一靠集合的语言，语言的形式化、符号化为现代数

学的逻辑结构及相互关系提供了较好的表达、组织方式．在复习中应强调渗透和运用集合的语言、思想和方法．

2. 逻辑体现了一种数学思想，即转化的思想．命题的转化有等价和不等价的，主要依据四个命题的关系

和充分性、必要性．

3.

已知简单命题的真假而判断由其构成的复合命题的真假，主要是依据真值表而不是命题的具体内容，

这种判断实际上是一种命题演算，是抽象的判断，而不是经验的判断． 4. 判断全称命题是假命题，只要在限定的集合M 中找到一个0x x =使)(0x p 不成立；要判断一个特称命

题是真命题，只要在限定的集合M 中至少找到一个0x x =使)(0x p 为真．全称量词的否定是存在量词，存在量词的否定是全称量词；全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

第1课 集合的概念及运算

【考点导读】

1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具

体问题，感受集合语言的意义和作用．

2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．

3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的

含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．

4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较

强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】

1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}．

2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?=?．

3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=____________

． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I A =e，则实数a 的值为____8或2___．

5. 已知集合[1,4)A =,(,)B a =-∞，若A B A ?=，则实数a 的取值范围____________

． 6. 已知集合{|10}M x x =+<,1

{|

0}

N x x

=>，则图中

【范例解析】

例1. 设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}b

a b a b a

+=，求b a -的值.

分析：利用集合中元素互异性和集合相等性质，得到集合中对应元素的关系.

解：由题知，0a ≠， 0a b +=，则1b a =-，所以 1b

a

a b ?=???=?

，解得11a b =-??=?，所以2b a -=.

点评：本题以集合中元素的性质为载体，考察学生对条件的把握分析能力，以寻找解题的突破口. 例2.已知集合{026}A x ax =<+≤，{124}B x x =-<≤.

（1） 若A B A ?=，求实数a 的取值范围；

（2） 集合A ，B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由. 分析：（1）对a 进行分类讨论，利用数轴求a 的取值范围. 解： {124}B x x =-<≤1

{2}2

x x =-

<≤，{026}A x ax =<+≤{24}x ax =-<≤. ①当0a =时，A R =，所以A B ?不可能；

第6题

{0,2} [4,)+∞

②当0a >时，24{}A x x a a =-<≤，若A B ?，则2

1,2

4 2.

a a ?-≥-????≤??解得4a ≥.

③当0a <时，42{}A x x a a =≤<-，若A B ?，则41,2

2 2.a a

?>-????-≤??解得8a <-.

综上所得，a 的取值范围为(,8)[4,)-∞-?+∞.

(2)分析一：求出满足B A ?时a 的取值范围，再与（1）取交集.

解法一：①当0a =时，A R =，所以B A ?成立；

②当0a >时，24{}A x x a a =-<≤，若B A ?，则2

1,2

4 2.

a a ?-≤-????≥??解得02a <≤.

③当0a <时，42{}A x x a a =≤<-，若B A ?，则41,2

2 2.a a

?≤-????->??解得10a -<<.

综上，B A ?时，12a -<≤.

A B A B =?? 且B A ?，∴若A B =，则(1,2]a ∈-且(,8)[4,)a ∈-∞-?+∞，矛盾.

所以，集合A 与B 不可能相等.

分析二：利用两个相等集合中元素的对应关系，建立等量关系. 解法二：①当0a =时，A R =，所以B A ≠；

②当0a >时，24{}A x x a a =-<≤，若B A =，则2

1,2

4 2.a a

?-=-????=??无解.

③当0a <时，42

{}A x

x a a

=≤<-，若B A =，显然不成立. 综上，集合A 与B 不可能相等.

点评：在解决两个数集关系问题时，应合理运用数轴帮助分析与求解.另外，在解含参数的不等式（方程）时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循不重不漏的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答.

例3.（1）已知R 为实数集，集合2

{320}A x x x =-+≤.若R B A R ?=e，

{01R B A x x ?=<

（2）已知集合{,0}M a =，2

{30,}N x x x x Z =-<∈，且{1}M N ?=，记P M N =?，写出集合P

的所有子集.

分析：（1）先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.

（2）求出N ，由{1}M N ?=，可知1M ∈，解得a ，进而求出P .

解：（1）{12}A x x =≤≤ ，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=，R A C A R ?=，可得A B ?. 而{01R B C A x x ?=<<或23}x <<，∴{01x x <<或23}x <<.B ? 借助数轴可得B A =?{01x x <<或23}x <<{03}x x =<<.

（2）由2

30x x -<，得03x <<；又x Z ∈，故{1,2}N =.

由{,0}M a =且{1}M N ?=，可得1a =.{1,0}M ∴=，

故P 的子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}.

点评：（1）研究数集的相互关系时，可通过数轴示意，借助直观性探求，易于理解.（2）含有n 个元素的集合，共有2n 个子集，21n

-个真子集.另注意空集的情况.

例4.已知函数2()f x x px q =++，集合{()}A x f x x ==，集合{[()]}B x f f x x ==. （1）求证：A B ?；

（2）若{1,3}A =-，求集合B .

分析：（1）要证明A B ?，根据定义，只要证A 中任一元素都是B 中的元素即可； （2）由{1,3}A =-，可以求出p ，q 的值，从而求出B .

解：（1）设0x 是集合A 中的任一元素，即0x A ∈. {()}A x f x x ==，∴ 00()x f x =， 即有000[()]()f f x f x x ==.∴0x B ∈.故A B ?.

（2） {1,3}A =-2{}x x px q x =++=，1∴-，3是方程2

(1)0x p x q +-+=的两个根，

∴1(1)(1)0,9(1)30,p q p q +-?-+=??

+-?+=?1,

3.

p q =-?∴?=-?2() 3.f x x x ∴=-- 因为集合B 中的元素是方程[()]f f x x =的根，也就是222

(3)(3)3x x x x x ------=的根.

方程整理得22

(23)(3)0x x x ---=

，解得1x =-

{1B =-.

点评：本题考查集合语言与集合思想在解决方程问题时的运用，在解答过程中，应脱去集合符号和抽象函

数符号的“外衣”，显出本质的数量关系，要不断实施各种数学语言间的相互转换. 【反馈演练】

1．设全集U =R ，集合M ={x | x >1}，P ={x | x 2>1}，则下列关系中正确的是（ C ） A ．M ＝P B ．P üM C ．M üP D ．U M P =? e

2．设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A =_________

． 3．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是____8___个．

4．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2

m }．若B ?A ，则实数m ＝ 1 ． 5．若集合M ＝{0，l ，2}，N ＝{(x ，y )|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x ，y ∈M }，则N 中元素的个数为 ______4____个．

6．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧

＝{n ∈N |f (n )∈P }，

Q ∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧∩N eQ ∧)∪(Q ∧∩N eP ∧

)＝_____________

. 7．若集合1

31,11,2,01A y y x x B y y x x ??????

==-≤≤==-<≤??????????

，则A ∩B 等于[]1,1-．

8．已知集合}

1≤-=a x x A ，{}

0452

≥+-=x x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范围是 .

9．已知A ，B ，C 为三个集合，若C B B A ?=?，给出下列结论：

①C A ?；②A C ?；③C A ≠；④φ=A ． 其中正确结论的有_______①______．

提示：由A B B C = 知，,A B B A B C A B C ??∴?? ．

10．已知集合2

{20}A x x x =+-≤，{214}B x x =<+≤，2{0}C x x bx c =++>，若集合A ，B ，C

满足()A B C ??=?，()A B C R ??=，求b ，c 的值.

解：由题知：{(1)(2)0}A x x x =-+≤{21}x x =-≤≤，{13}B x x =<≤.{23}A B x x ∴?=-≤≤.

()A B C ??=?，()A B C R ??=，()R C A B ∴=?e.{2C x x ∴=<-或3}x >.

又2{0}C x x bx c =++>，∴2

0x bx c ++=的两根为2-和3，

即有420,

930.

b c b c -+=??

++=?解得1b =-，6c =-．

11．设集合2

{60}P x x x =--<，{23}Q x a x a =≤≤+.

（1）若P Q P ?=，求实数a 的取值范围； （2）若P Q ?=?，求实数a 的取值范围；

{}4,2,1 {0,3} (2,3)

（3）若{03}P Q x x ?=≤<，求实数a 的值.

解：（1）由题意知：{23}P x x =-<<， P Q P ?=，Q P ∴?. ①当Q =?时，得23a a >+，解得3a >．

②当Q ≠?时，得2233a a -<≤+<，解得10a -<<． 综上，(1,0)(3,)a ∈-?+∞．

（2）①当Q =?时，得23a a >+，解得3a >；

②当Q ≠?时，得23,3223

a a a a ≤+??

+≤-≥?或，解得3

532a a ≤-≤≤或．

综上，3

(,5][,)2

a ∈-∞-?+∞．

（3）由{03}P Q x x ?=≤<，则0a =．

12．设集合2{40}A x x x =+=，22

{2(1)10}B x x a x a =+++-=．

（1）若A B B ?=，求a 的值； （2）若A B B ?=，求a 的值． 解：由题知：{0,4}A =-． （1）A B B ?= ，B A ∴?．

①当B =?时，224(1)4(1)0a a ?=+--<，解得1a <-；

②当{0}B =或{4}-时，224(1)4(1)0a a ?=+--=，解得1a =-，此时，{0}B =，满足B A ∴?；

③当{0,4}B =-时，222

24(1)4(1)0,10,168(1)10.a a a a a ??=+-->?-=??-++-=?

综上所述，实数a 的取值范围是1a =或1a ≤-．

（2）A B B ?= ，A B ∴?，故{0,4}B =-．即222

24(1)4(1)0,10,168(1)10.a a a a a ??=+-->?-=??-++-=?

，解得1a =．