2019年人教版最新高考数学练习题---文科圆锥曲线Word版

2019年人教版最新高考数学练习题---文科圆锥曲线Word 版

一、选择题

1.【2012高考新课标文4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）12

F F 22

22:1(0)x y E a b a b +=>>P 32

a x =12PF F ?30E

【答案】C

【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.

【解析】∵△是底角为的等腰三角

形，

21F PF 030

∴，，∴=，∴，∴=，故选 C.0260PF A ∠=212||||2PF F F c ==2||AF c

322c a =

e 34

2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）,A B

AB =C

【答案】C

【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.

【解析】由题设知抛物线的准线为：，设等轴双曲线方程为：，将代入等轴双曲线方程解得=，∵=，∴=，解得=2，4x =222x y a -=4x =y

||AB a

∴的实轴长为4，故选C.C

3.【2012高考山东文11】已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为

1

C 22

22

1(0,0)

x y a b a b -=>>22:2(0)C x py p =>1C 2C

(A) (B) (C) (D)2x y =

2x y =2

8x y =216x y = 【答案】D

考点：圆锥曲线的性质

解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。a b 3=x y 3=

4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为44x =-

（A ） （B ） 2211612x y +=22

1

128x y += （C ） （D ）22184x y +=22

1

124x y +=

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数，从而得到椭圆的方程。,,a b c

【解析】因为，由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县，

所以。故选答案C 242c c =?=4x =-x 2

2448

a a c c

=?==

222844b a c =-=-=

5.【2012高考全国文10】已知、为双曲线的左、右焦点，点在

上，，则

1F 2F 22

:2C x y -=P C 12||2||PF PF =12cos F PF ∠= （A ） （B ） （C ） （D ）

1435344

5

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。

【解析】解：由题意可知，，设，则，故，，利用余弦定理可得。

,2a b c ==∴=12||2,||PF x PF x =

=12||||2PF PF x a -==

=12|||PF PF ==124

F F

=222121212123

cos 24PF PF F F F PF PF PF +-∠===?

6.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是

【答案】B

【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，通过

对两者公交点求解离心率的关系.

【解析】设椭圆的长轴为2a ，双曲线的长轴为，由M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则，即，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c ，则双曲线的离心率为，，.2a '222a a '=?2a a '=c e a '=

'c e a =2e a e a '=='

7.【2012高考四川文9】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）x O

0(2,)M y M 3||OM =

A 、

B 、

C 、

D 、

4【答案】B

[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（），准线方程为x=,0,2

p

2

p -

[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，d 为点M 到准线的距离).

8.【2012高考四川文11】方程中的，且互不相同，在所有这些方

程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）

22

ay b x c =+,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-,,a b c

A 、28条

B 、32条

C 、36条

D 、48条

【答案】B

[解析]方程变形得，若表示抛物线，则22ay b x c =+2

22b c y b a x -=

0,0≠≠b a

所以，分b=-2,1,2,3四种情况： （1）若b=-2， ; （2）若

b=2, ??

???======2,1,033

,1,0,23

,2,0c ,1或或，或或或或c a c a a ??

?

??-==-===-=1,0,233,0,2c ,13

,1,0,2或或，或或或或c a a c a 以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条； 同理 若b=1，共有9条； 若b=3时，共有9条. 综上，共有14+9+9=32种

[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.

9.【2012高考上海文16】对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）m

A 、充分不必要条件

B 、必要不充分条件

C 、充分必要条件

D 、既不充分也不必要条件

【答案】B.

【解析】方程的曲线表示椭圆，常数常数的取值为所以，由得不到程的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，

能推出，因而必要.所以答案选择 B.122=+ny mx n m ,0,

0,,m n m n >??>??≠?0

mn >122=+ny mx 0mn >

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数的取值情况.属于中档题.n m ,

10.【2012高考江西文8】椭圆的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆

的离心率为22

2

21(0)x y a b a b +=>>

A. B. C. D. 1

4

1

2

【答案】B

【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.

利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，，.又已知，，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.1AF a c

=-122F F c =1F B a c =+1

AF 12

F F 1F B 2()()(2)a c a c c -+=2224a c c -=22

5a c

=c e a =

= 【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关的齐次式方程，进而转化为只含有离心率的方程，从而

求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.,a c ,a c e

11.【2012高考湖南文6】已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点

P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为22x a 2

2y b

A ．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1[

220x 25y 25x 220y 280x 220y 220x 2

80

y 【答案】A

【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，则.22x a 2

2y b

c 210,5c c ==

又 C 的渐近线为，点P （2,1）在 C 的渐近线上，，即.

b y x a =±

12b

a

∴=2a b =

又，，C 的方程为-=1.2

2

2

c a b =+a ∴==∴220x 25

y

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.

12.【2102高考福建文5】已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），

则该双曲线的离心率等于22x a 2

5

y

324

3

【答案】C.

考点：双曲线的离心率。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率即可。

a

c e =

解答：根据焦点坐标知，由双曲线的简单几何性质知，所以，因

此.故选C.

)0,3(3=c 952=+a 2=a 23

=

e

二 、填空题

13.【2012高考四川文15】椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是

______。

22

21(5x y a a +=a >F x m =A B FAB ? 【答案】，32

[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又522=-c a

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.

14.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.-

【答案】【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。

【解析】由双曲线的方程可知121,22,a c PF PF a ==∴-== 【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—

积—和的转化。

15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系中，若双曲线

的离心率为，则的值为 ▲ ．

xOy 22

21

4x y m m -=+m 【答案】2。

【考点】双曲线的性质。

【解析】由得。22

214

x y m m -=+a b c

∴，即，解得。

=c e a 244=0m m -+=2m 16.【2012高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

l

【答案】.62

【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点的坐标为（0,0），O

设与抛物线的交点为，根据题意，知（-2，-2），（2，-2）．l A B 、A B

设抛物线的解析式为，2ax y = 则有，∴． ()2

22-?=-a 2

1-=a

∴抛物线的解析式为．22

1x y -=

水位下降1米，则-3，此时有

或．y =

6=x 6-=x

∴此时水面宽为米．62

17.【2012高考重庆文14】设为直线与双曲线 左支的交点，是左

焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率 P 3b y x a =22

221(0,0)

x y a b a b -=>>1F 1PF x e =

18.【2012高考安徽文14】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，

若，则=______。2

4y x =F ,A B ||3AF =||BF

【答案】3

2

【解析】设及；则点到准线的距离为(0)AFx θθπ∠=<

:1l x =-3

得： 又1323cos cos 3θθ=+?=23

2cos()1cos 2

m m m πθθ=+-?=

=+

19.【2012高考天津文科11】已知双曲线与双曲线有相同的渐近

线，且的右焦点为,则

)

0,0(1:22

221>>=-b a b y a x C 1

16

4:2

22=-y x C 1C F a =b =

【答案】1，2

【解析】双曲线的渐近线为，而的渐近线为，所以有，，又双曲

线的右焦点为，所以，又，即，所以。116422=-y x x y 2±=1

22

22=-b

y a x x a b y ±=2=a b a b 2=122

22=-b

y a x )0,5(5=c 222b a c +=2

22545a a a =+=2,1,12===b a a

三、解答题

20. 【2012高考天津19】（本小题满分14分）

已知椭圆（a>b>0）,点P （,）在椭圆上。

（I ）求椭圆的离心率。

（II ）设A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。OQ

【解析】(Ⅰ) 点在椭圆上)P (Ⅱ) 设；则(cos ,sin )(02)Q a b θθθπ≤<(,0)A a

直线的斜率OQ sin cos OQ b k a θ

θ

=

=21.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心

率．

xoy 22

221(0)x y a b a b +=>>1(0)F c -，2(0)F c ，(1)e ，e ? ?e

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P ．,A B

x 1AF

（i ）若，求直线的斜率； （ii ）求证：是定值．12PF PF +

【答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得

222==

c

a b c e a

+，(1)e ，

22222222222

22222

111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b +=?+?+??，∴。

22=1c a -

由点在椭圆上，得

e ? ?

2

2

2224222244

1311144=0=214e c a a a a a b a a

-????+=?+=?+=?-+?∴椭圆的方程为。2

21

2x y +=

（2）由（1）得，，又∵∥，1(10)F -，2(10)F ，1AF 2BF

∴设、的方程分别为，。

1AF 2BF =1=1

my x my x +-，()()11221200

A x y

B x y y >y >，，，，，

∴。(

)

2

2122

111111

1221=02

=1

x y m y my y my x ?+=??+--???+?

∴

。

①

1

AF=

同理，。②

2

BF

（i）由①②得，。解

得=2。

12

AF BF

-

2

m

∵注意到，∴。0

m>m

∴直线的斜率为。1

AF

1

m

（ii）证明：∵∥，∴，即。1

AF

2

BF

2

11

BF

PB

PF AF

=

2121

1111

11

BF PB PF BF AF

PB

PF AF PF AF

++

+=+?=

∴。

1

11

12

=

AF

PF BF

AF BF

+

由点在椭圆上知，

，∴。B12

BF BF

+=

()

1

12

12

=

AF

PF BF

AF BF

+

同理。。

()

2

21

12

=

BF

PF AF

AF BF

-

+

∴

(

)()

122 1221

121212

2

+=

AF BF AF BF

PF PF BF AF

AF BF AF BF AF BF

-+-=-

+++

由①②得，，，

1

AF BF

+

2

2

1

=

2

m

AF BF

m

+

+

∴。12

+

PF PF

∴是定值。12

PF PF

+

【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

【解析】（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。(1)e

，

e

?

?

（2）根据已知条件，用待定系数法求解。12

AF BF

-=

22.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分）

如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，

是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，

=60°.2

1

,F

F C2

2

a

x

2

2

b

y

>

>b

a A C B2

AF C

1

F

∠A

2

F

（Ⅰ）求椭圆的离心率；C

（Ⅱ）已知△的面积为40，求a, b 的值.

A B

F

1

3

【解析】（I）

12

1

602

2

c

F AF a c e

a

ο

∠=?=?==

（Ⅱ）设；则

2

BF m

=

1

2

BF a m

=-

在中，

12

BF F

?222

1212212

2cos120

BF BF F F BF F Fο

=+-??

面积

1

A F B

?

21113sin 60()22510,5,S F F AB a a a a c b ο=??????+=?=== 23.【2012高考广东文20】（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上.

xOy 1C 22

221

x y a b +=0a b >>1(1,0)F -(0,1)P 1C

（1）求椭圆的方程；1C

（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.l 1C 2

C 24y x =l

【答案】

【解析】（1）因为椭圆的左焦点为，所以，1C 1(1,0)F -1c =

点代入椭圆，得，即，

(0,1)P 22221x y a b +=21

1b =1b = 所以，222

2a b c =+=

所以椭圆的方程为.1C 22

12x y +=

（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，l l y kx m =+

2

212

x y y kx m ?+=???=+?，消去并整理得，y 222(12)4220k x kmx m +++-= 因为直线与椭圆相切，所以，l 1C 2222164(12)(22)0k m k m ?=-+-=

整理得 ①22

210k m -+=

24y x y kx m ?=?=+?，消去并整理得。y 222

(24)0k x km x m +-+=

因为直线与抛物线相切，所以，

l 2C 222

(24)40km k m ?=--= 整理得 ②1km =

综合①②，解得或。k m ?=??

?=

?k m ?=???=?

所以直线的方程为或。

l

y x =

+y x =

24.【2102高考北京文19】(本小题共14分)

已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为，

直线y=k(x-1)与椭圆C 交与不同的两点M,N 22x a 22y

b

（Ⅰ）求椭圆C 的方程

（Ⅱ）当△AMN 的面积为时，求k 的值

【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。

解：（1）由题意得解得.所以椭圆C 的方程为

.2222a c a a b c =???=?

?=+?

?

b =22

142

x y +=

（2）由得.22

142

x y ??+

=??2222(12)4240k x k x k +-+-= 设点M,N 的坐标分别为，，则，，，.11(,)x y 22(,)x y 11(1)y k x =-22(1)y k x =-2122412k x x k +=

+2122

24

12k x x k -=+ 所以

|MN|===.

由因为点A(2,0)到直线的距离，(1y k x =-

）d =

所以△AMN 的面积为. 由，解得

.1||2S MN d =?=

=

1k =± 25.【2012高考山东文21】 (本小题满分13分)

如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD 的面积为

8.22

22:1(0)

x y M a b a b

+=>

>x a =±y b =± (Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；

(Ⅱ) 设直线与椭圆M 有两个不同的交点与矩形ABCD 有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m 的值.:()l y x m m =+∈R ,,P Q l

,S T

||

||PQ ST

【答案】(21)(I)

……①

222

34c a b e a a -==?= 矩形ABCD 面积为8，即……②228a b ?= 由①②解得：，2,1a b == ∴椭圆M

的标准方程是.2

21

4x y +=

(II)，2258440,x mx m y x m ?++-=?

=+?

设，则，1122(,),(,)P x y Q x y 21212844

,55m x x m x x -+=-=

由得.

22

6420(44)0m m ?=-->m <<

||PQ ==.

当过点时，，当过点时，.l A 1m =l C 1m =-

①当时，有，1m <<-(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---+=+

||||PQ ST ==

其中，由此知当，即时，取得最大值.

3t m =+13

4

t =

45

,(1)33t m ==-∈-||||PQ ST

②由对称性，可知若，则当时，取得最大值.1m <<

53m =

||

||

PQ ST

③当时，，，11m -≤≤||ST =||||PQ ST =

由此知，当时，取得最大值.0m =||||PQ ST

综上可知，当和0

时，取得最大值.53m =±||||PQ ST

26.【2102高考福建文21】（本小题满分12分）

如图，等边三角形OAB 的边长为，且其三个顶点均在抛物线E ：

x2=2py （p ＞0

）上。（1） 求抛物线E 的方程；

（2）

设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y=-1相较

于点Q 。证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点。

考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。 难度：难。

分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。

解答：

（I ）设；则1122(,),(,)A x y B x y 2211222,2x py x py == 得：点关于轴对称（lfxlby ）,A B y

代入抛物线的方程得：抛物线的方程为E 2

22x p y

==?E 24x y =

（II ）设；则200(,)4

x P x 211

42y x y x '=?=

过点的切线方程为即P 200011()42y x x x x -=-2001124

y x x x =-

令2

00

4

1(,1)2x y Q x -=-?- 设满足：及(0,)M t 0MP MQ =20000

4

(,),(,1)2x MP x y t MQ t x -=-=-- 得：对均成立2204(2)(1)0t t t x +-+-=00x ≠ 以为直径的圆恒过轴上定点PQ y (0,1)M

27.【2012高考上海文22】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分

在平面直角坐标系中，已知双曲线

xOy 22

:21C x y -= （1）设是的左焦点，是右支上一点，若，求点的坐标；F C M C

MF =M

（2）过的左焦点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；C C

（3）设斜率为（）的直线交于、两点，若与圆相切，求证：⊥k

k

[解]（1）双曲线，左焦点.1:22

12=-y C x )0,(26-F

设，则， (2)

分)

,(y x M 2

2

2222

62)

3()(||+

=++

=x y x MF 由M 是右支上一点，知，所以，得.2

2≥

x 223||2

2

=+

=x MF 2

6=

x

所以. ……5分)2,(26±M

（2）左顶点，渐近线方程：.)0,(22-A x y 2±=

过A 与渐近线平行的直线方程为：，即.x

y 2=)(22

2+

=x y 12+=x y

解方程组，得. ……8分