买房卖房最优化问题数学建模
芜湖买房租房最优化问题
摘要
摘要对于很多人来说，买房还是租房是困扰很多人的问题。从租售比的角度看，目前北上广（北京、上海和广州）以及其它沿海大中城市的房价过高，存在泡沫，因此比较理性的行为应该是租房。但是，从投资的角度看，很多人对于房价都有看涨心理，认为房产从长远来看是升值的，是投资，而房租却是消费，因此应该买房。
买房的主要收入是房租和房产升值，主要成本是按揭的债务成本和投入本金的机会成本，外加房屋持有成本。租房的主要收入是省下来的买房首付款加上每月房租低于按揭款部分的投资收益，主要成本就是房租。把每年的收益/支出按通货膨胀率进行折现，就可以算出买房和租房的回报净现值。当这两个净现值相等时，买房与租房没有区别。
那么到底应该买房还是租房呢？请你以芜湖市为背景，建立相应的数学模型解决问题。
对于问题一，本文通过分析售价租金比( PR) 、月还款额与月可支配收入之比(AY) 、长期利率水平( i) 等指标与买房决策之间的对应关系, 初步构建出买房租房的决策模型。当租房买房决策值(X) 较低时, 是买房的较好时机, 而X 值较高, 暂不买房较为明智。
对于问题二，首先比较买房投资之后房屋的租金收入与用买房的钱做其他投资所得的收入哪种更大；再比较购买房屋是一次性支付房费还是先付首付然后用首付剩余的钱去做投资，哪种方案更经济：最后比较房屋价格上涨之后，卖房差额的盈利与出租房屋所得的租金比较，哪种方案更合适。通过这些比较，从而做家庭住房投资决策。
根据问题一二的研究，写出建议书。
关键词：比较思想，多目标决策分析法，累加求和，SAS。
1、问题的重述
住房问题已经成为当前中国城市居民最关心的问题，主要原因是近几年住宅的价格上涨太快。但从最近的新闻中，我们却不难发现，多地松绑限购火速救市。而对于大多数人，买房则是一种刚性需求。根据调查显示，市场上置业需求最明显的特征是首次置业，户型面积90平以下、总价150万以内，单价1-2万/㎡。
买房还是租房，于是成了困扰很多人的问题。从租售比的角度看，目前北上广（北京、上海和广州）以及其它沿海大中城市的房价过高，存在泡沫，因此对大部分年轻人来讲，比较理性的行为应该是租房。但是，从投资的角度看，很多人对于房价都有看涨心理，认为房产从长远来看是升值的，是投资，而房租却是消费，因此应该买房。
买房的主要收入是房租和房产升值，主要成本是按揭的债务成本和投入本金的机会成本，外加房屋持有成本。租房的主要收入是省下来的买房首付款加上每月房租低于按揭款部分的投资收益，主要成本就是房租。把每年的收益/支出按通货膨胀率进行折现，就可以算出买房和租房的回报净现值。当这两个净现值相等时，买房与租房没有区别。
那么到底应该买房还是租房呢？以芜湖市为背景，建立数学模型，解决下面问题：
问题一.：从一个居住者的角度，分析在芜湖市租房和买房哪个合算。
问题二.：请从一个投资者的角度，根据市场房屋价格的变化情况，综合考虑各种因素（如家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、房屋空置率等），建立数学模型，为家庭进行住房投资做出决策。
问题三：根据你们建模分析的结果，给正受到买房还是租房所困扰的人们写一份建议书。
2、问题的分析
关于买房与租房的争论自从住房制度改革开始，到房地产业房、地产市场逐步发展，再到房价飞速上涨与徘徊的今天就从来没有停止过。尤其是2003年以后，由于房价快速上涨和人们买房意识的觉醒，使大量城市居民遭遇了购房难的
尴尬，包括政府官员、专家学者和普通公众都开始思考租房与买房的利弊得失。然而，至今人们对到底该租房与买房依然是莫衷一是，人们在茫然中不断作出自己的抉择。
从世界角度来看，拥有自己的房子对于刚成家立业的年轻人来说都是一个梦想。在德国，初次购房或建房者的平均年龄高达42岁；在美国，52%的首次购房者年龄在31岁；在比利时，许多人都是在35岁之后开始买房。
年轻人选择租房最多的是德国。德国联邦统计局数据表明：有77%的年轻人的家庭是“租房族”。多年来德国政府对自有房产采用重税手段压缩炒房者利润，一定程度上抑制了买房消费，相比高额的房产税负，低廉的房租使不少年轻人选择租房。美国年轻人租房理由很简单。美国大学不要求学生一定住在学校里，由于校外租房比住校便宜一些，大学生养成了租房习惯，毕业后也不愿回父母家居住。经济不宽裕又想追求自由的年轻人选择几个人合租的情况在美国比比皆是。比利时等一些欧洲国家的年轻人大约在35岁以后才能积蓄起买房贷款的资本(有储蓄才给放贷)。日本年轻人艰苦奋斗10年左右基本能攒齐购房的首付。可见，对于世界各国的年轻人来说，买房都不是一件容易的事情。相比昂贵的房子，租房住是最佳的选择。
著名经济学家叶檀在接受采访时提到，如果大家都买不起房子，都去租房，租房市场就会水涨船高。租房者所承担的成本就相应提高了，尤其在青年人热衷于选择的大趋势，租房标准就会提高。如果说租房价格提高会打压商品房的价格，这也是不现实的。从中国文化来看，从绝对需求量来看，如果一旦达到他可以购房了，他还会去购房，因为租房是一个相对来说比购房更没有保障的市场。因为它就面临着不断跟房主溢价，甚至有的地方现在出现了一月一议的情况。跟你购房二手房市场随地起价是一样的。如果租房市场非常供不应求，成了一个卖方市场的话，房主就会提价，又要靠政府的保障，比如一年一签或者半年一签，由政府来规定，半年之内房价不准动。正因为我们看到随时都需要政府保障的话，就可以看到租房市场是处在非常不安全的境地。
于是，在缺乏可靠投资渠道的情况下，有的家庭选择利用余钱或贷款购置房屋进行投资。买房既然是一个很重要的决策就需要一个投资策略，诸如房地产投资理财的好处和缺点、决定房产价格的因素、怎样买房卖房、怎么样利用房地产
周期、怎样做房东、怎样对房产的成本和风险评估等等如果我们能在房产理财中考虑应用这些知识，从而使我们将来的投资决策和理财更成功，进而避免出现负资产和在次贷危机中被迫放弃房产。
就投资人来说，综合考虑研究目的和各变量的数据可得性，首先，从住宅的消费品属性出发，收入代表家庭的购买力，但是各人的收入差距决定了不同的资本投资方式，资金较为充足的，选择现金购房的方式；负担不起高额的房价的，就选择贷款的形式进行。其次，在错综复杂的投资背景下，购房同时也会有一定的投资风险。有的人为了规避短期内房产价格波动所带来的风险，选择了相对长期的投资，还有的人，对于房地产市场价格波动的周期比较自信，选择了风险较大的短期投资，以追求在短时间的利益最大化。
就投资利润来讲，如果选择房地产投资获取利润可以通过租房或者卖房。卖房对房屋的折旧率小，是一种可以一次性获得较多的收益的投资；找中介和自己联系客源是租房的两种基本方式，选择中介可以规避因季度或租房者不足带来的风险，但其利润相对较低，自己选择客源可以获得高利润但也要面临高风险，政策的出台也会对房租的价格产生影响；先租后买也是许多人的选择，这种方式房屋折旧率大，但其优势在于可以在房屋尚未卖出时获取房屋的最大价值。另一种方式是选择非房地产投资，分为以下几类:股票基金类投资、商业银行存款国家债券类投资、期货投资、其他类型投资。股票基金类投资风险最大利润最高，商业银行存款债券类无风险但利润也最低，期货投资和其他类投资居中。
3.模型的假设
模型的基本假设：
1.家庭余钱为50万，购买100m2的房子，出租20年，并且在购房之后把余
款存入银行；
2.当前房屋均价为4000元∕m2；
3.房屋折旧率与使用年限的关系为：房屋租赁后每年折旧5%，但如果不使用
该房屋则不计算折损；
4.储蓄利率为3.25%，三年期国债利率为
5.18%，贷款利率为
6.8%；
5.短期内不考虑通胀及银行利率调整的影响；房租每年15600元。
4.符号说明
4.1（问题一）
X—租房买房决策值或买房指数;
PR—售价租金比;
AY—购房月还款额与月可支配收入之比;
i—长期利率水平
4.2（问题二）
Y：余钱可利用存款
C：房屋的价值
h：市场房屋价格的年变化情况，即变化率，取h>0
A：家庭每年出租房屋租金收入
i：银行储蓄利率
q：贷款利率
a：房屋每年折旧率
x：投资者购房时房屋价格
I：售房价格
m：国债利率
r：房产税
k：房屋每年增值率
5. 模型建立
5.1问题一:
5.1.1 租房与买房的优缺点比较
租房还是买房的优缺点是相对来说的。对于资金足够充足且想要一个家的居住者来说，其选择一定是买房，无所谓买房的缺点。在本模型里，我们研究的群体是资金有限的居住者。下表是对他们的买房与租房的优缺点对比。
买房租房
优点1.拥有房地产的所有权，可
以随意装修、买家具。不用
忍受房东催缴房租、搬家
等；
2.可保证稳定长期的居住条
件；
3.心理上的满足感和安全
感;
4.享受房地产升值带来的效
益;
5.有较好的抵抗通货膨胀的
能力，将来可以出租、转让，
家庭的保值资产。
6.孩子可以就近入托、入学。
1. 只需拎包入住，工作变
动没有处置房产的麻烦。
可以较灵活地选择适合自
己的住房;
2.储蓄资金有很好的流动
性, 可以进行其他形式的
投资, 获取相应收益;
3.不用担心能否拿上房产
证；
4.不必承担未来可能出现
的房屋维修费用和有关的
税收，也不必担心房价下
跌。
缺点1.需要负担可能出现的不动
产税和遗产税等;
2.负担房屋维修及其他管理
费用;
3.面临房地产价值下降的风
险;
4.变现能力差;
5.环境改善的余地较小;
6.面临由于利率提高导致的
月还款的增加。
7.无法还贷，那么你可能会
失去你的房子。
8. 买房之后可能会出现与
其他业主或物业的纠纷
1.可能遭受频繁搬家的麻
烦;
2.没有足够的安全感, 总
有受制于人的被动感;
3.难以在短时间内寻找到
满意的可租居所;
4.可能面临租金不断上涨
的风险;
5.未来房价上涨更加无力
买房;
6.只能拥有房屋的使用
权。
5.1.2 影响居住者租房买房决策的因素分析
5.1.2.1 购房月还款额与月可支配收入之比
购房的行为极大的程度上，取决于居住者的收入状况。一般来说，在居住者购房能力有限的情况下，多数居住者会选择向银行借贷来支付高额的房价。但是居住者不能将每月所有的收入全拿来还贷款，因此银行的放贷利率也会极大地影响居住者的消费行为。若商业银行贷款利率超过居住者的承受范围时，居住者会选择放弃购房，而选择租房。若每月购房还款额与月可支配收入之比在居住者的接受范围内，居住者会选择购房，放弃租房。当然不同的居住者可以承受的每月购房还款额与月可支配收入之比都是不同的，收入高的居住者，其比例要小，收入低的居住者，其比例要大。
5.1.2.2 售价租金比
购房也是一种消费行为，居住者更多的时候会选择物美价廉的房屋，那么售价租金比就是衡量房屋物美价廉的指标。售价租金比是指研究样本中单套房产在
自由买卖市场成交时的总价与该套房产在自由租赁市场成交时的月租金之间的比率, 是用来判断某一区域房地产是否存在价值泡沫的一个衡量指标, 也是用来判断某一区域是否具有投资价值的普遍标准。同时也可作为市场个体做出买房租房决策的参考指标。按照国际成熟市场的衡量标准来看, 售价租金比在200: 1～300: 1 是比较合理的, 如果售价租金比超过300,表明房产的泡沫较大, 投资风险较高, 不适宜投资持有和购买; 如果售价租金比低于200, 表明房产的价值还没有完全挖掘, 有一定的投资潜力, 是较佳的购买时机。例如芜湖弋江区一套住宅, 2014 年4 月底市场价格为48 万元, 而月租金仅为1300 元, 此时售价租金比为480000÷1300= 369: 1, 远远超过以上合理区间。这样的时期不适合购入住房。而此时的业主可能会由于高售价带来近期利益而抛售房产, 增加市场上的供给, 在一定幅度内房价会出现平抑或者下降。另外, 市场中存在的投机炒作的行为极可能导致售价租金比偏离正常区间, 诱发房地产泡沫。
5.1.2.3 利率水平
长期良好的经济发展可以拉动居住者的需求，使他们更加急迫地想要购买房子。房子作为一种土地资源是有限的。越早拥有一套属于自己的房子，不仅能极大地提高生活质量，也是一种省钱的方式。基于各种成本的增加，房子的内在价值一定会上升。所以，居住者购房会受未来预期的宏观经济影响。利率又是调控宏观经济的有效杠杆，当前的利率水平将会间接地影响房价的水平。利率水平降低,说明社会投资环境良好, 风险降低, 刺激社会消费与投资, 此时一方面人们会提取银行储蓄购买住房, 同时由于抵押贷款的低融资成本及其易得性也会刺激家庭的购买。此时住房租金会下降, 而售价上升。相反地, 经济过热期利率水平提高时, 会抑制一定的购房需求, 而原有的投资者也可能由于想获得稳定而又较高的利息收入而出售原有住房。此时售价会逐渐走低, 而租金开始上涨。仍然引用上文的例子, 该业主如果继续持有住房用于出租, 不考虑空置损失时每年租金收益为1300×12= 15600 元, 而其将住房以40 万元的价格出售后, 按一年期存款利率4.14% 来计算, 每年可获得的利息收入为480000×4.14% ×95% = 15732 元( 注: 扣除5% 的利息税) , 已经超过了每年的租金收益。
5.1.3 租房买房决策模型的初步构建与应用
依据以上的分析, 可以进行租房买房决策模型的初步构建, 公式为:
X=D (PR, AY, i)
上式中各个参数的取值均为当居民需要做出购房租房决策时所面对的真实数据, 其中的售价、租金以及月还款额数值均应取自同一套住房或相对类似的住房之间。当利率水平下降时, 住房价格会上升, PR 和AY 会增大,居民不适合在这样的时机买房。因此进一步将模型建立为以下公式:
X=PR×AY÷i。
可以看出, X 值与PR 和AY 值成正比, 与i 值成反比, 进而得出X 值越大, 居民越不适合买房, 对于一些住户群体来讲, 租房更合适、更安全。选取两组数据来进行对比, PR、AY 和i 的取值分别为: 第一组200: 1, 1/3, 4% ; 第二组300: 1, 1/2, 2% 。运用上述模型分别计算X 值:
X1= 200×1/3÷4% = 1667
X2= 300×1/2÷2% = 7500
很显然, 第一种情况下计算出的X 值较低, 是买房的较好时机, 而第二种情况下计算出的X 值较高, 暂不买房较为明智。
5.2问题二：
5.2.1、首先比较买房投资之后房屋的租金收入与用买房的钱做其他投资所得的收入哪种更大：
房屋的价值
C=x*s*(1+r)=4000*100*（1+0.6%）=402400元；
20年后所得收益为：
C*20
5%
-1）
8%
（++20*15600-402400=636378元；
k
a-1）
（++20A-C=402400*20
再考虑用这些钱做投其他资：
A、存入银行利息为：402400*20
1）
3
（+-402400=360485元；
%
.2
5
B、用来买国债所得利息为：402400*5.18%*20=416886元；
经比较，投资房屋收益大。
5.2.2、比较购买房屋是一次性支付房费还是先付首付然后用首付剩余的钱去做投资，哪种方案更经济：
一次性支付房费，价钱为：
C=x*s*(1+r)=4000*100*（1+0.6%）=402400元；
采用分期付款形式，首付30%，分8年付清；
即为402400*30%=120720元；
余钱为：500000-120720=379280元；
将余钱存入银行所得利息为：379280*20
1）
（ -379280=339773元；
3
.2
5
%
将余钱用来买国债所得利息为：379280*5.18%*20=392934元；
等额本金还款法
第一年需付房贷：
402400/8+402400*6.8%=77663元；
第二年需付房贷：
402400/8+（402400-77663）*6.8%=72382元；
第三年需付房贷：
402400/8+（402400-77663-72382）*6.8%=67460元；
第四年需付房贷：
402400/8+（402400-77663-72382-67460）*6.8%=62872元；
第五年需付房贷：
402400/8+（402400-77663-72382-67460-62872）*6.8%=58597元；
第六年需付房贷：
402400/8+（402400-77663-72382-67460-62872-58597）*6.8%=54612元；
第七年需付房贷：
402400/8+（402400-77663-72382-67460-62872-58597-54612）*6.8%=50899元；
第八年需付房贷：
402400/8+（402400-77663-72382-67460-62872-58597-54612-50899）
*6.8%=47438元；
总的房贷为491923元，这样由于分期付款而多付的其钱为：491923-（402400-120720）=210243元；
比较知，储蓄和买国债的利息收入均大于210243元，所以应选择分期付款，并把余钱进行投资。
5.2.3、比较20年之后，卖房差额的盈利与出租房屋所得的租金比较，哪种方案更合适。
对于投资者来说，其主要收益为房产升值和房租两部分
主要成本为首付本金的机会成本、按揭的债务成本、外加房屋持有成本、房屋折旧成本等
根据问题一知，房屋租金收入为：
C*20
-1）
（++20*15600-402400=636379元；
5%
（++20A-C=402400*20
k
a-1）
8%
20年后房子的价值增值量为：
C*20
（+-C=402400*20
1）
k
（+-402400=1473169元；
8%
1）
比较得，选择20年后卖房更合适。
6.模型的分析
6.1买房和租房对房地产市场的最终影响
虽然买房和租房的过程以及最终所获取的权益是有差异的, 但是这两种方式对房地产市场的最终影响基本是一致的。因为, 从宏观市场的角度来分析, 居民通过买房或租房满足了自己当前的居住需求, 而最终用来满足这些需求的供给就是市场上住房供给的两大组成部分, 即新建住宅和二手住宅。
因此, 这两种看似不同的住房需求从图2 可以看出, 居民决定通过买房或租房来解决自己的住房需求并不能改变房地产市场中的供求关系, 也不会进而对房价产生大的影响。
因此, 一些政府官员和学者以期通过提倡居民租房来缓解房地产市场中的供求矛盾无疑是缘木求鱼。对于微观的市场个体而言, 购买和租赁之间是存在着
替代关系的, 但对于宏观市场而言, 租赁和购买的实质是一样的, 只是实现需求的方式不同而已。
由于房地产产品的供给弹性较小, 因此对房地产市场与价格影响至关重要的因素就是需求。需求总量的增加与减少, 需求类型与结构的改变都会迅速影响房地产价格的走势。从图2 可以看到, 居民在购买住宅的时候内在的需求是不一样的, 其一是自用性需求, 也就是直接用于自己居住, 包括第一套住房和第二套住房的购买; 其二是投资性需求, 即购买者以未来的出租经营为目的而实施的投资行为。
但是, 投资与投机从来就不能完全地分开, 因此还有第三种需求, 即投机型需求, 购买者在短时间的持有之后通过再售转手获取收益, 也就是通常所说的炒房。这三类需求的变化共同影响着房地产市场的走势。
6.2模型的优点和存在的不足：
在本文中，我们使用了比较的方法直观的给出了那种决策对住房投资者是正确的选择，并且此模型具有以下的优点：
1、通过合理的假设将原本复杂的房产与资金的投资趋于简单化，简化的计
算，减少计算的复杂度；
2、如今买房子的认识越来越多，本文所最后的决策方式可以为投资房产的
买房者作为参考，具有很高的使用价值。
但是本文也有如下的缺点：
1、房产政策瞬息万变，本方法不可能对未来没有颁布得政策的投资进行分
析和决策；
2、鉴于国家近几年来的持续的加息政策，银行的利率和国债的回报率都不
是固定不变的，所以本模型存在一定得误差；
3、通货膨胀对近几年的资金回报率也有着一定的影响，但是本文没有考虑
这个对投资者的影响。
7.建议书
目前先租房后买房的“梯度住房消费”模式已成为一种流行的住房时尚，同时也是市场经济社会中最被提倡的住房消费观念。专家认为，对于三类人来说租房是更为理性的选择。
1.初入职场的年轻人
目前购房群体中有不少刚进入职场的大学毕业生。由于这部分毕业生刚刚进入职场，没有过多的资本积累，大多数都是通过父母提供购房首付的形式买的房子。就目前情况来看，刚毕业的大学生，月收入1500元左右，扣除生活费用和其他花销，落在手头上的钱所剩无几。按照房屋租赁价格，还是租房、尤其是合租比较划算。如果把父母辛辛苦苦积攒下用来养老的钱，花费在提高自己居住品质上，无论在道义还是风险上都是讲不通的。
2.工作流动性大的人群
不知何时起，换工作、跳槽成为了一种流行趋势，而且大有愈演愈烈之势。更有甚者，把不跳槽一直呆在一个固定单位视为一种无能的行为。由于这类人的流动性较大，所以他们更适宜租房。假如在工作尚未固定时购买房子，一但工作变动，可能造成新单位离居住地较远的情况，就会产生一笔不小的交通花费。选择租房的话，就不会有这笔花费。况且没有了带不动的固定资产，减轻了不少的负担，可以一心一意发展自己的事业。
3.收入不稳定的人群
银行利率的不断上调，从紧货币政策的实施，使不少人切身体验到了贷款的巨大压力。对于这类人来说，买房还须谨慎，如果不考虑自身经济情况，盲目地贷款购房，很有可能让自己背上重重的房贷躯壳，成为痛苦的房奴。况且买房也不是一朝一夕的事情，是人生的一件大事。先有了稳定的收入，再作购房打算也不迟。
8.参考文献
[1]杨继瑞.促进住房租赁消费的思考和对策[J].消费经济,2007( 1) .
[2]蔡晓钰, 陈忠, 蔡晓东, 等.租赁还是购置: 个人住房投资的时机选择问题[J].系统工
程学报, 2006( 3) .
[3]向肃一,龙奋杰.中国城市居民住房支付能力研究[J].城市发展研究, 2007( 2) .
[4]《技术经济学概论》吴添祖，虞晓芬，龚建立主编。北京，高等教育出版社。2003。
[5] 《财务管理学》邵军，程春梅主编。沈阳，东北大学出版社。.2009。
9.附录
SAS软件调用原始数据
?从2006年2月借起，20年（240个月）还清、每月2000元，还贷利息名义年率6%。最多能借多少元？最近5年还贷情况，在编辑器窗口上写SAS 程序（SAS命令）
?proc loan start=2006:2;
?fixed life=240 rate=6 payment=2000 schedule=5;
?run;
?
?Fixed Rate Loan Summary
?Loan No. 1
?
?Downpayment 0.00 Principal Amount 279161.54
?Initialization 0.00 Points
0.00
?Total Interest 200838.39 Nominal Rate
6.0000%
?Total Payment 479999.93 Effective Rate
6.1678%
?Pay Interval MONTHLY Compounding MONTHLY
?No. of Payments 240 No. of Compoundings
240
?Start Date FEB2006 End Date FEB2026
?
?上表（表头Fixed Rate Loan Summary）说明最多能借279161.54元，共还利息200838.39元。
?Rates and Payments for Loan No. 1
?Date Nominal Rate Effective Rate Payment
?FEB2006 6.0000% 6.1678% 2000.00
?上表（表头Rates and Payments for Loan No. 1）说年明名义利率是6%，实际月利率是6%/12=0.5%，实际年利率是=6.1678%
?
?
?
?Loan Repayment Schedule
?
?Loan No. 1
?
?Beginning Interest Principal Ending
?Date Outstanding Payment Payment Repayment Outstanding
?
?FEB2006 279161.54 0.00 0.00
0.00 279161.54
?MAR2006 279161.54 2000.00 1395.81 604.19 278557.35
?APR2006 278557.35 2000.00 1392.79 607.21 277950.14
?MAY2006 277950.14 2000.00 1389.75 610.25 277339.89
?….
?JAN2007 272981.84 2000.00 1364.91 635.09 272346.75
?FEB2007 272346.75 2000.00 1361.73 638.27 271708.48
?… …
?上表（表头Loan Repayment Schedule）是还贷情况：第1月原欠279161.54元，还贷2000元，其中还利息1395.81元，本金604.19元，还欠278557.35元；2007年2月原欠272346.75元，还贷2000元，其中还利息1361.73元，本金638.57元，还欠271708.48元。… …
附表1 芜湖市房价走势（2014年4月对比2013年4月）
附表2 2014年芜湖市各区房价变化情况
附表3 1年内芜湖市房价走势图
附表4 2014年芜湖房价涨跌榜
附表5 2013年10月~2014年3月价格走势
附表6.2006~2009年全国部分大城市房价走势图
附表7居住楼用价与容积比
附表8. 各国房价走势（1960~2007）
数学建模路线优化问题
选路的优化模型 摘要: 本题是一个有深刻背景的NPC问题，文章分析了分组回路的拓扑结构，并构造了多个模型，从多个侧面对具体问题进行求解。最短树结构模型给出了局部寻优的准则算法模型体现了由简到繁，确保较优的思想而三个层次分明的表述模型证明了这一类问题共有的性质。在此基础上我们的结果也是比较令人满意的。如对第一题给出了总长为599.9，单项长为216的分组，第二题给出了至少分四组的证明。最后，我们还谈到了模型的优缺点及推广思想。 一、问题描述 “水大无情，人命关天”为考察灾情，县领导决定派人及早将各乡（镇），村巡视一遍。巡视路线为从县政府所在地出发，走遍各乡（镇），村又回到县政府所在地的路线。 1.若分三组巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 2.假定巡视人员在各乡（镇）停留时间为T=2小时，在各村停留时间为t =1 小时， 汽车行驶速度为V=35公里/时，要在24小时内巡视完，至少分成几组；给出这 种分组下你认为最佳的巡视路线。 3.上述关于T，t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多 少？给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。 4.巡视组数已定（如三组）要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变时最佳路线的 影响（图见附录）。 二、问题假设 1、乡（镇）村只考察一次，多次经过时只计算一次停留时间。 2、非本县村不限制通过。 3、汽车的行驶速度始终一致。 三、符号说明 第i 人走的回路Ti=vv i(i) v2(i)v n(i) Ti=00表示第i人在0点没移动 四、模型建立
在这一节里，我们将提出若干个模型及其特点分析，不涉及对题目的求解。 最简树结构模型 在这个模型中我们依靠利用最短树的特殊结构所给出的准则，进行局部寻优，在一个不大的图里，我们较易得到较优解。 (a)分片 准则1利用最短树的长度可大致的估算出路程长，在具体操作中，各片中 的最短路程长度不宜相差太大。 准则 2 尽可能将最短树连成一个回路，这可保证局部上路程是较短的。 (b)片内调整 a2 a3 a4 a5 a6假设a3 a4有路相连 细准1对于右图的最短树结构，最好的走法是a 若a3 a4 进去重复走的话，它与上述的走法路程差w(a3, a2)+w(a2 ,a5)+w(a4, a5)—w(a3, a4)。由两点间最小原则上式是大于0的优劣可见 细准2若有如图所示结构，一般思想是：将中间树枝上的点串到两旁树枝，以便连成回路。 五、模型求解 问题一该问题完全可以用均衡模型表述 用算法模型 1 经过局部优化手工多次比较我们能够给出的最佳结果为第一组路径为 0—P—28—27—26—N—24—23—22-17—16—1—15—1—18—K—21—20—25— M--0 长191.1 经5 镇6 村 第二组路径为 0—2—5—6—L—19—J—11--G—13—14—H—12—F—10—F—9—E—8—E—7—6—5—2—0 长216.5 经6 镇11 村第三组路径为O—2—3—D—4—D—3—C—B—1—A—34—35—33—31—32—30—Q—29 —R 长192.3 经6 镇11 村总长S=599.9 公里 由算法2 给出的为 1组0—P—29—R—31—33—A—34—35—32—30—Q—28—27—26—N—24—33—22—23—N—2 6—P—0 5 乡13 村长215.2 公里 2组0—M—25—21—K—17—16—I—15—I—18—K—21—25—20—L—19—J—11—G—13—14 —O 5 乡11 村长256.2 公里 3组 O—2—5—6—7—E—9--F—12--H--—12—F—10—F—9—E-8—4—0—7—6—M—5-2—3—L —13—1—0 8 乡11 村长256.3 公里 总长727.7 公里
数学建模优化问题经典练习
1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000
运筹学与最优化方法习题集
一．单纯性法 1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12 2121212max 2515 6224..5 ,0 z x x x x x s t x x x x =+≤??+≤??+≤??≥? 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12 121212max 2322 ..2210 ,0 z x x x x s t x x x x =+-≥-??+≤??≥? 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 1234 123412341234max 24564282 ..2341 ,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+≤? ?-+++≤??≥ ? 4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 123 123123123123max 2360 210..20 ,,0 z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++≤??-+≤??+-≤??≥? 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 123 12312123max 224 ..26,,0 z x x x x x x s t x x x x x =-++++≤??+≤??≥? 6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）
12 121212 max 105349..528 ,0z x x x x s t x x x x =++≤??+≤??≥? 7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分） 12 121212max 254 212..3218 ,0 z x x x x s t x x x x =+≤??≤??+≤??≥?
数学建模：投资问题
投资的收益与风险问题 摘要 对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。 本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过“最大化策略”，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。然后分别使用Matlab的内部函数linprog，fminmax，fmincon对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。 关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好
2.问题重述与分析 3.市场上有种资产（如股票、债券、…）()供投资者选择，某公司有数额为的 一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。 购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（） 1、已知时的相关数据如下： 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。 本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。并给出对应的盈亏数据，以及一般情况的讨论。 这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这
数学建模面试最优化问题
C题面试时间问题 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队(即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的)。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示(单位：分钟)： 这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司．假定现在时间是早晨8:00问他们最早何时能离开公司? 面试时间最优化问题 摘要： 面试者各自的学历、专业背景等因素的差异，每个面试者在每个阶段的面试时间有所不同，这样就造成了按某种顺序进入各面试阶段时不能紧邻顺序完成，即当面试正式开始后，在某个面试阶段，某个面试者会因为前面的面试者所需时间长而等待，也可能会因为自己所需时间短而提前完成。因此本问题实质上是求面试时间总和的最小值问题，其中一个面试时间总和就是指在一个确定面试顺序下所有面试者按序完成面试所花费的时间之和，这样的面试时间总和的所有可能情况则取决于n 位面试者的面试顺序的所有排列数 根据列出来的时间矩阵，然后列出单个学生面试时间先后次序的约束和学生间的面试先后次序保持不变的约束，并将非线性的优化问题转换成线性优化目标，最后利用优化软件lingo变成求解。 关键词：排列排序0-1非线性规划模型线性优化 (1)
（一）问题的提出 根据题意，本文应解决的问题有： 1、这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在的时间是早晨8：00，求他们最早离开公司的时间； 2、试着给出此类问题的一般描述，并试着分析问题的一般解法。 （二）问题的分析 问题的约束条件主要有两个：一是每个面试者必须完成前一阶段的面试才能进入下一阶段的面试(同一个面试者的阶段次序或时间先后次序约束)，二是每个阶段同一时间只能有一位面试者(不同面试者在同一个面试阶段只能逐一进行)。 对于任意两名求职者P、Q，不妨设按P在前，Q在后的顺序进行面试，可能存在以下两情况： （一）、当P进行完一个阶段j的面试后，Q还未完成前一阶段j-1的面试，所以j阶段的考官必须等待Q完成j-1阶段的面试后，才可对Q进行j阶段的面试，这样就出现了考官等待求职者的情况。这一段等待时间必将延长最终的总时间。 （二）、当Q完成j-1的面试后，P还未完成j阶段的面试，所以，Q必须等待P完成j阶段的面试后，才能进入j阶段的面试，这样就出现了求职者等待求职者的情况。同样的，这个也会延长面试的总时间。 以上两种情况，必然都会延长整个面试过程。所以要想使四个求职者能一起最早离开公司，即他们所用的面试时间最短，只要使考官等候求职者的时间和求职者等候求职者的时间之和最短，这样就使求职者和考官的时间利用率达到了最高。他们就能以最短的时间完成面试一起离开公司。这也是我们想要的结果。 （三）模型的假设 1.我们假设参加面试的求职者都是平等且独立的，即他们面试的顺序与考官无关； 2.面试者由一个阶段到下一个阶段参加面试，其间必有时间间隔，但我们在这里假定该时间间隔为0； 3.参加面试的求职者事先没有约定他们面试的先后顺序； 4.假定中途任何一位参加面试者均能通过面试，进入下一阶段的面试。即：没有中途退出面试者； 5.面试者及各考官都能在8：00准时到达面试地点。 （四）名词及符号约束 1. aij （i=1,2，3，4；j=1,2,3)为求职者i在j阶段参加面试所需的时间 甲乙丙丁分别对应序号i=1，2,3，4 2.xij （i=1,2，3，4；j=1,2,3) 表示第i名同学参加j阶段面试的开始时间（不妨把早上8:00记为面试的0时刻） (2)
运筹学课程设计-个人学习时间优化分配
个人学习时间优化分配 设计总说明（摘要） 合理的安排时间方案，采取最优化的时间组合，有利于我们充分发挥各个时间阶段的学习效益。同时可以使我们的学习符合日常行为及自身特点，不仅使时间得到有效安排，也使得我们的身心得到和谐。此次，研究分配一天中四个阶段四门课程的学习时间，就是根据学生的身心特点，和各阶段对各课程学习的收获程度，采取获得程度量化的方法，设计出一个最优的时间组合方案，从而获得最大的收获效益。即获得学习的最大价值。 在这个过程中要将运筹学的各种理论知识与具体实际情况相结合。首先是确 定所要研究的问题，考虑所需要的各种数据，根据实际需求确定所需要的数据和模拟量化的数据。将数据整理形成分析和解决问题的具体模型。其次对已得模型利用计算机进行求解，得出方程的最优解。最后结合所研究问题的实际背景，对模型的解进行评价、分析以及调整，并对解的实施与控制提出合理化的建议。 关键词：时间优化，线性规化，最优解，获得效益最大 目录 1.绪论 1.1研究的背景 (3) 1.2研究的主要内容与目的 (3) 1.3研究的意义 (3) 1.4研究的主要方法与思路 (3) 2.理论方法的选择 2.1所研究的问题的特点 (4) 2.2拟采用的运筹学理论方法的特点 (4) 2.3理论方法的适用性及有效性论证 (5) 3.模型的建立 3.1 基础数据的确定 (5) 3.2变量的设定 (6) 3.3目标函数的建立 (6) 3.4限制条件的确定 (6) 3.5模型的建立 (7) 4.模型的求解及解的分析 4.1模型的求解 (7) 4.2解的分析与评价 (9) 5.结论与建议 5.1研究结论 (11)
数学建模课程设计——优化问题
在手机普遍流行的今天，建设基站的问题分析对于运营商来说很有必要。本文针对现有的条件和题目的要求进行讨论。在建设此模型中，核心运用到了0-1整数规划模型，且运用lingo 软件求解。 对于问题一： 我们引入0-1变量，建立目标函数：覆盖人口最大数=所有被覆盖的社区人口之和，即max=15 1j j j p y =∑，根据题目要求建立约束条件，并用数学软件LINGO 对其模型求解，得到最优解。 对于问题二： 同样运用0-1整数规划模型，建立目标函数时，此处假设每个用户的正常资费相同，所以68%可以用减少人口来求最优值，故问题二的目标函数为：max=∑=15 1j j j k p 上述模型得到最优解结果如下： 关键字：基站; 0-1整数规划；lingo 软件
1 问题的重述．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2 问题的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 3 模型的假设与符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 3.1模型的假设．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 3.2符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4 模型的建立及求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 5 4.1模型的建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4.2 模型的求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 5 模型结果的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 6 优化方向．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 7 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 8、附录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9
数学建模中的优化问题与规划模型
与最大、最小、最长、最短等等有关的问题都是优化问题。 解决优化问题形成管理科学的数学方法：运筹学。运筹学主要分支：（非）线性规划、动态规划、图与网络分析、存贮学、排队伦、对策论、决策论。 6.1 线性规划 1939年苏联数学家康托洛维奇发表《生产组织与计划中的数学问题》 1947年美国数学家乔治.丹契克、冯.诺伊曼提出线性规划的一般模型及理论. 1. 问题 例1 作物种植安排 一个农场有50亩土地, 20个劳动力, 计划种蔬菜,棉花和水稻. 种植这三种农作物每亩地分别需要劳动力1/2 1/3 1/4, 预计每亩产值分别为110元, 75元, 60元. 如何规划经营使经济效益最大. 分析：以取得最高的产值的方式达到收益最大的目标. 1. 求什么？分别安排多少亩地种蔬菜、棉花、水稻？ x 1亩、 x 2 亩、 x 3 亩 2. 优化什么？产值最大 max f=10x 1+75x 2 +60x 3 3. 限制条件？田地总量 x 1+x 2 +x 3 ≤ 50 劳力总数 1/2x 1 +1/3x 2 +1/4x 3 ≤ 20 模型I : 设决策变量：种植蔬菜x1亩, 棉花x2亩, 水稻x3亩， 求目标函数f=110x1+75x2+60x3 在约束条件x1+x2+x3≤ 50 1/2x1+1/3x2+1/4x3 ≤20 下的最大值 规划问题：求目标函数在约束条件下的最值, 规划问题包含3个组成要素: 决策变量、目标函数、约束条件。 当目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数时，称为线性规划问题, 否则称为非线性规划问题。 2. 线性规划问题求解方法 称满足约束条件的向量为可行解,称可行解的集合为可行域, 称使目标函数达最值的可行解为最优解. 命题 1 线性规划问题的可行解集是凸集. 因为可行解集由线性不等式组的解构成。两个变量的线性规划问题的可行解集是平面上的凸多边形。 命题2 线性规划问题的最优解一定在可行解集的某个极点上达到. 图解法：解两个变量的线性规划问题，在平面上画出可行域，计算目标函数在各极点处的值，经比较后，取最值点为最优解。 命题 3 当两个变量的线性规划问题的目标函数取不同的目标值时，构成一族平行直线,目标值的大小描述了直线离原点的远近。 于是穿过可行域的目标直线组中最远离(或接近)原点的直线所穿过的凸多边形的顶点即为取的极值的极点—最优解。 单纯形法: 通过确定约束方程组的基本解, 并计算相应目标函数值, 在可行解集的极点中搜寻最优解. 正则模型: 决策变量: x 1,x 2 ,…,x n . 目标函数: Z=c 1 x 1 +c 2 x 2 +…+c n x n . 约束条件: a 11 x1+…+a1n x n≤b1, ……a m1x1+…+a mn x n≤b m, 模型的标准化 10. 引入松弛变量将不等式约束变为等式约束. 若有 a i1x 1 +…+a in x n ≤b i , 则引入 x n+i ≥ 0, 使得 a i1 x 1 +…+a in x n + x n+i =b i 若有 a j1x 1 +…+a jn x n ≥b j , 则引入 x n+j ≥ 0, 使得 a j1 x 1 +…+a jn x n - x n+j =b j .
运筹学与最优化方法线性规划案例分析报告
案例：连续投资的优化问题 一、题目： 某企业在今后五年内考虑对下列项目投资，已知：，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末收回本利115%。项目A，但规定最大投资额不超B，第三年年初需要投资，到第五年末能收回本利125%项目40万元。过，但规定最大投资额不超，第二年年初需要投资，到第五年末能收回本利140%项目C 30万元。过6%。项目D，五年内每年年初可购买公债，于当年末归还，并加利息问它应如何确定给这些项目的每年投100万元，该企业5年内可用于投资的资金总额为资使得到第五年末获得的投资本利总额为最大？ 二、建立上述问题的数学模型的投资额，它们都是待定的年初给项目A,B,C,D, X （i=1.2.3.4.5）为第i设X,X , X iDiB1AiC每年年初均可投资，年末收回本利，固每年的投资额应该等于手中拥未知量。由于项目D 有的资金额。建立该问题的线性规划模型如下： +1.06X+1.40X+1.25XMax Z=1.15X5D 2C4A3B X+X=1000000 (1) 1D1A X+X+X=1.06X (2) 1D2C2A2D X+X+X=1.15X+1.06X (3) 3A 3B 3D 1A 2D s.t. X+X=1.15X+1.06X(4) 3D 4A 4D 2A X=1.15X+1.06X (5)5D 3A4D X<=400000 (6) 3B X<=300000 (7) 2C X , X , X, X>=0 i=1,2,3,4,5 iD1AiCiB 经过整理后如下： Max Z=1.15X+1.40X+1.25X+1.06X5D 2C4A3B X+X=1000000 1D1A-1.06X+ X+X+X =0 2D2A2C1D-1.15X-1.06X+ X+X+X=0 3D3A1A3B2D s.t. -1.15X-1.06X +X+X=0 4D3D4A2A-1.15X-1.06X+ X=0 5D4D3A X<=400000 3B X<=300000 2C i=1,2,3,4,5 , X , X, X>=0 X iDiBiC1A 求解过程以及相应的结果三、Excel中进行布局并输入相应的公式）在Excel1 （
数学建模案例之多变量最优化
数学建模案例之多变量最 优化
数学建模案例之 多变量无约束最优化 问题1[1]：一家彩电制造商计划推出两种产品：一种19英寸立体声彩色电视机，制造商建议零售价（MSRP）为339美元。另一种21英寸立体声彩色电视机，零售价399美元。公司付出的成本为19英寸彩电195美元/台，21英寸彩电225美元/台，还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售量会影响21英寸彩电的销售量，反之也是如此。据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。问题是：每种彩电应该各生产多少台？ 清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？ 1．问题分析、假设与符号说明 这里涉及较多的变量： s：19英寸彩电的售出数量（台）； t：21英寸彩电的售出数量（台）； p：19英寸彩电的售出价格（美元/台）； q：21英寸彩电的售出价格（美元/台）； C：生产彩电的成本（美元）； R：彩电销售的收入（美元）； P：彩电销售的利润（美元）
两种彩电的初始定价分别为：339美元和399美元，成本分别为：195美元和225美元；每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01美元（称为价格弹性系数）；两种彩电之间的销售相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元；固定成本400000美元。 变量之间的相互关系确定： 假设1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。 假设2：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。 因此，19英寸彩电的销售价格为： p=339-a×s-0.03×t，此处a=0.01 21英寸彩电的销售价格为： q=399-0.01×t-0.04×s 因此，总的销售收入为： R=p×s+q×t 生产成本为： C=400000+195×s+225×t 净利润为： P=R-C 因此，原问题转化为求s≥0和t≥0，使得P取得最大值。 2．建立数学模型 根据前面的分析，原问题的数学模型如下：
运筹学最优化方法复习
第1章 最优化问题的基本概念 §1.1最优化的概念 最优化就是依据最优化原理和方法，在满足相关要求的前提下，以尽可能高的效率求得工程问题最优解决方案的过程。 §1.2最优化问题的数学模型 1.最优化问题的一般形式 ??? ????===≤q v x x x h p u x x x g t s x x x f x x x f i n d n v n u n n ,,2,10),,,(,,2,10),,,(..),,,(m i n ,,,21212121 2.最优化问题的向量表达式 ??? ? ???=≤0)(0)(..)(m i n X H X G t s X f X f i n d 式中：T n x x x X ],,,[21 = T p X g X g X g X G )](,),(),([)(21 = T p X h X h X h X H )](,),(),([)(21 = 3.优化模型的三要素 设计变量、约束条件、目标函数称为优化设计的三要素！ 设计空间：由设计变量所确定的空间。设计空间中的每一个点都代表一个设计方案。 §1.3优化问题的分类 按照优化模型中三要素的不同表现形式，优化问题有多种分类方法： 1按照模型中是否存在约束条件，分为约束优化和无约束优化问题 2按照目标函数和约束条件的性质分为线性优化和非线性优化问题 3按照目标函数个数分为单目标优化和多目标优化问题 4按照设计变量的性质不同分为连续变量优化和离散变量优化问题 第2章 最优化问题的数学基础 §2.1 n 元函数的可微性与梯度
一、可微与梯度的定义 1.可微的定义 设)(X f 是定义在n 维空间n R 的子集D 上的n 元实值函数，且D X ∈0。若存在n 维向量L ，对于任意n 维向量P ，都有 0)()(lim 000=--+→P P L X f P X f T P 则称)(X f 在0X 处可微。 2.梯度 设有函数)(X F ，T n x x x X ],,,[21 =，在其定义域内连续可导。我们把)(X F 在定义域内某点X 处的所有一阶偏导数构成的列向量，定义为)(X F 在点X 处的梯度。记为： T n k x F x F x F X F ????????????=?,,,)(21 梯度有3个性质： ⑴函数在某点的梯度方向为函数过该点的等值线的法线方向； ⑵函数值沿梯度方向增加最快，沿负梯度方向下降最快； ⑶梯度描述的只是函数某点邻域内的局部信息。 §2.2极小点及其判别条件 一、相关概念 1.极小点与最优解 设)(X f 是定义在n 维空间n R 的子集D 上的n 元实值函数，若存在D X ∈*及实数 0>δ，使得)(),(**X X D X N X ≠?∈?δ都有)()(*X f X f ≤，则称*X 为)(X f 的局部极小点；若)()(*X f X f <，则称*X 为)(X f 的严格局部极小点。 若D X ∈?，都有)()(*X f X f ≤，则称*X 为)(X f 的全局极小点，若)()(*X f X f <，则称*X 为)(X f 的全局严格极小点。 对最优化问题??? ? ???=≤0)(0)(..)(min X H X G t s X f X find 而言 满足所有约束条件的向量T n x x x X ],,,[21 =称为上述最优化问题的一个可行解，全体可行解组成的集合称为可行解集。在可行解集中，满足： )(m i n )(*X f X f =的解称为优化问题的最优解。
数学建模-面试最优化问题
C题面试时间冋题 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的）。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示（单位：分钟）： 这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司?假定现在时间是早晨8:00问他们最早何时能离开公司？ 面试时间最优化问题 摘要： 面试者各自的学历、专业背景等因素的差异，每个面试者在每个阶段的面试时间有所不同，这样就造成了按某种顺序进入各面试阶段时不能紧邻顺序完成，即当面试正式开始后，在某个面试阶段，某个面试者会因为前面的面试者所需 时间长而等待，也可能会因为自己所需时间短而提前完成。因此本问题实质上是求面试时间总和的最小值问题，其中一个面试时间总和就是指在一个确定面试顺序下所有面试者按序完成面试所花费的时间之和，这样的面试时间总和的所有可能情况则取决于n位面试者的面试顺序的所有排列数 根据列出来的时间矩阵，然后列出单个学生面试时间先后次序的约束和学生间的面试先后次序保持不变的约束，并将非线性的优化问题转换成线性优化目标，最后利用优化软件lingo变成求解。 关键词：排列排序0-1非线性规划模型线性优化 一）问题的提出 根据题意，本文应解决的问题有： 1、这4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在的时间是早晨8：00，求他们最早离开公司的时间； 2、试着给出此类问题的一般描述，并试着分析问题的一般解法。 （二）问题的分析问题的约束条件主要有两个：
一是每个面试者必须完成前一阶段的面试才能进入下一阶段的面试（同一个面试者的阶段次序或时间先后次序约束），二是每个阶段同一时间只能有一位面试者 （不同面试者在同一个面试阶段只能逐一进行）。对于任意两名求职者P、Q,不妨设按P在前，Q在后的顺序进行面试，可能存在以下两情况： （一）、当P进行完一个阶段j的面试后，Q还未完成前一阶段j-1的面试, 所以j阶段的考官必须等待Q完成j-1阶段的面试后，才可对Q进行j阶段的面试，这样就出现了考官等待求职者的情况。这一段等待时间必将延长最终的总时间。 （二）、当Q完成j-1的面试后，P还未完成j阶段的面试，所以，Q必须等待P 完成j 阶段的面试后，才能进入j 阶段的面试，这样就出现了求职者等待求职者的情况。同样的，这个也会延长面试的总时间。 以上两种情况，必然都会延长整个面试过程。所以要想使四个求职者能一起最早离开公司，即他们所用的面试时间最短，只要使考官等候求职者的时间和求 职者等候求职者的时间之和最短，这样就使求职者和考官的时间利用率达到了最高。他们就能以最短的时间完成面试一起离开公司。这也是我们想要的结果。 （三）模型的假设 1. 我们假设参加面试的求职者都是平等且独立的，即他们面试的顺序与考官无关； 2. 面试者由一个阶段到下一个阶段参加面试，其间必有时间间隔，但我们在这里假定该时间间隔为0； 3. 参加面试的求职者事先没有约定他们面试的先后顺序； 4. 假定中途任何一位参加面试者均能通过面试，进入下一阶段的面试。即：没有中途退出面试者； 5. 面试者及各考官都能在8：00 准时到达面试地点。 （四）名词及符号约束 1. aij （i=1,2 ，3，4；j= 1 ,2,3）为求职者i 在j 阶段参加面试所需的时间甲乙丙丁分别对应序号i=1 ，2,3 ，4 2. xij （i=1,2 ，3，4；j=1,2,3）表示第i 名同学参加j 阶段面试的开始时间（不妨把早上8:00 记为面试的0 时刻）
几个优化问题的数学建模
几个优化问题的数学建模 一、一个开放式基金投资问题
6、模型的评价 模型的主要优点是采用较为成熟的数学理论建立模型，利用数学软件计算，可信度比较高，便于推广。主要缺点是建立的模型是确定的而不是更符合实际情况的随机型模型。 二、结合人员分配的生产规划问题 1、问题 某公司要对四种产品（P1，P2，P3，P4）在五条生产线（L1到L5）上的生产进行规划。产品P1和P4的单位纯利润为7元，产品P2的单位纯利润为8元，产品P3的单位纯利润为9元。在规划期内这五条生产线各自可以进行生产的时间长度各不相同。L1到L5的最大可用生产时间分别为4500小时，5000小时，4500小时，1500小时和2500小时。表1列出了在每条生产线上生产每种产品一个单位所需要的时间。 （1）、假设生产是流水线作业，产品P1到P4各应生产多少才能使总利润最大？ （2）、如果在生产过程中允许在生产线之间进行人员转移（从而使工时也相应转移），如表2所示，则最大利润是多少？应转移多少个工时，如何转移？
（3）、如果生产不是流水线作业，模型应如何修改？ 表1 单位生产时间 表2 可以进行的人员转移 2、假设 （1）每条生产线可生产各种产品； （2）每个生产人员的工作效率相同，且熟练各条生产线的操作，可在各条生产线之间转移。 3、建模 3.1、问题(1) 设每种产品必须经过5条生产线才能生产出来，产品P i 的产量为x i ,单位纯利润为r i ,在生产线L j 上的单位生产时间为d ij 。生产线L j 的可用总工时数为c j ,则可得模型1： max 41 i =∑r i x i s.t. 41 i =∑ d ij x i ≤c j ，j=1，2，3，4，5 x i ≥0，i=1，2，3，4
数学建模优化问题
木材储运经营计划 摘要 本文针对某一木材储运公司在冬、春、夏、秋四季内进货价、出货价、储存费用、库存空间及最大销售量等预计数据进行分析，制定一个各季节的进货量和出货量计划使该公司的经营利润达到最大，可以把该问题归于将其归为求解利润最大化问题进行建模。 由于利润只直接与中间差价和销售量有关，并根据题目已知的预测量，建立一个木材储运最大利润模型，并通过运行LINGO软件编程来求解冬、春、夏、秋四季总最大利润为：5160万元。 上述木材储运最大利润模型: 是指冬、春、夏、秋前面的季节储存木材量可以在后面的季节卖，由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完，反过来，后面季节的储存木材量元素不能放在前面的季节卖，因此可以把一个季节卖哪几个季节进的木材当成几个，建立一个横轴的元素和代表当前季节的木材销售量，竖轴的元素和该季节应该购进的木材量含十六个元素的二维数组，通过运用LINGO软件编程可以得到这个数组元素为： 储存量 冬/万m3春/万m3夏/万m3秋/万m3 销售量 冬100 ——— 春0 140 —— 夏20 0 180 — 秋0 0 0 160 通过简单的基本运算可以知道每个季节进货量和出货量既为该木材储运公司这年的大体经营计划。 关键词：LINGO 木材储运最大利润数组元素
一．问题重述 一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分储存起来以后。已知该公司仓库的最大储存量为20万m3，储存费用为() a+元/m3，式中7 bu a=，10 b=，u为储存时间（季度数）。已知每季度的买进卖出价及预计的销售量如下表所示： 表1. 季度买进价/元/m3卖出价/元/m3预计销售量/万m3 冬410 425 100 春430 440 140 夏460 465 200 秋450 455 160 由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完。 根据上述条件建立一个模型制定一个该公司每个季节进木材量和销售木材量的大体经营计划，使这个公司获得最大的利润。 二．问题的简要分析 对于本文涉及到的问题，建立一个横方向的元素和代表当前季节的木材销售量，竖方向的元素和该季节应该购进的木材量含十六个元素的二维数组，由于冬、春、夏、秋前面的季节储存木材量可以在后面的季节卖，因此真正未知元素只有十个，而且这十个未知数的类型相同，更容易理解，如下： 表2. 冬/万m3春/万m3 夏/万m3秋/万m3储存量 销售量 冬Q11——— 春Q12Q22—— 夏Q13Q23Q33— 秋Q14Q24Q34Q44 由于假设的未知数都是销售量，因此在秋季末公司的仓库不存在储存的木材量，每个季度的进货量除了在本季度销售木材的量外，剩下的都是储存量，只要小于公司仓库的最大储存量，因此在约束条件考虑到即可。 然而市场上对该公司的需求是有限的，因此每个季度的销售量是有限，因此再在约束条件增加对每个季度的销售量的限制，然后通过数学软件编程求解即可。 三．模型的假设 1）假设公司预计销售量在各个季度几乎符合现实且预计销售量是是最大销售量； 2）假设各个季度木材的单位量的实际进价和销售价与预测价几乎符合； 3）假设每个月的库存量在该时期内的产品的单位量库存费用不变； 4）假设在该时期内储存费用大约不变； 5）假设人力财力等消耗的费用不在该问题中考虑；
运筹学与最优化理论教学大纲doc - 三峡大学计算机与信息学院
硕士研究生课程大纲 课程名称（中文）：运筹学与最优化理论 课程名称（英文）：Operations Research and Optimization Theory 课程编码：Y04020B 开课单位：电气信息学院 授课对象：管理科学与工程、控制理论与控制工程、电力系统及其自动化专业硕士研究生任课教师：游文霞 学时：48 学分： 3 学期：2 考核方式: 撰写论文 先修课程：线性代数、高等数学、概率论、数理统计 课程简介： 运筹学是以定量分析为主来研究经济管理与生产实践等问题。它将工程思想和管理思想相结合，应用系统的、科学的、数学分析的方法，通过建模、检验和求解数学模型获得最优决策方案。 一、教学目的与基本要求：（150字以内） 通过讲授和各种实践环节(作业、讨论)，使学生掌握运筹学整体优化的思想和若干定量分析的优化技术，能正确应用各类模型分析、解决各种实际问题，培养和提高学生科学思维、科学方法、实践技能和创新能力。 二、课程内容与学时分配 1、课程主要内容：（200字以内） 主要讲授线性规划，单纯形法，线性规划的对偶理论及灵敏度分析，非线性规划，整数规划，目标规划，动态规划，网络模型，决策理论等与经济、管理、控制领域密切相关的运筹学分支的基本模型、方法和应用。 2、课程具体安排：（按教学章节编写，重点章节下划线）
三、实验、实践环节及习题内容与要求 针对每个章节的内容，结合实际应用，布置相应的习题作业，要求学生在大量做练习题的过程中，学习如何采用定量的分析方法来分析、求解相关的实际问题，掌握相关的优化方法的基本思想与求解算法。 四、教材及主要参考文献（顺序为：文献名，作者，出版时间，出版单位）： 教材名称： Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman. Introduction to Operation Research (8e) (运筹学导论，第八版). McGraw-Hill Press, 2005. 参考书： [1]Wayne L. Winston.《运筹学：数学规划》（影印版）[M]. 北京：清华大学出版社，2004. [2]Wayne L. Winston.《运筹学：决策方法》（影印版）[M]. 北京：清华大学出版社，2004. [3]V.G..Kulkarni.《运筹学：应用数学模型》（影印版）[M]. 北京：清华大学出版社，2006. [4]胡运权，郭耀煌. 运筹学教程（第二版）[M]. 北京：清华大学出版社，2003. [5]运筹学教材组编. 运筹学(修订版) [M]. 北京：清华大学出版社，2004. [6]徐渝，贾涛. 运筹学[M]. 北京：清华大学出版社，2005. [7]熊伟.运筹学[M].北京：机械工业出版社，2005. [8]胡运权.运筹学习题集[M].北京：清华大学出版社，2002. 撰写人：游文霞 学位分委员会签字： 学院主管研究生教学院长签字：
数学建模五步法与灵敏度分析
灵敏度分析 简介： 研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。 用途： 主要用于模型检验和推广。简单来说就是改变模型原有的假设条件之后，所得到的结果会发生多大的变化。 举例（建模五步法）： 一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降1美分，求出售猪的最佳时间。 建立数学模型的五个步骤： 1.提出问题 2.选择建模方法 3.推到模型的数学表达式 4.求解模型 5.回答问题 第一步：提出问题 将问题用数学语言表达。例子中包含以下变量：猪的重量w（磅），从现在到出售猪期间经历的时间t（天），t天内饲养猪的花费C（美元），猪的市场价格p（美元/磅），出售生猪所获得的收益R（美元），我们最终要获得的净收益P（美元）。还有一些其他量，如猪的初始重量200磅。 （建议先写显而易见的部分） 猪从200磅按每天5磅增加 （w磅）=（200磅）+（5磅/天）*（t天） 饲养每天花费45美分 （C美元）=（0.45美元/天）*（t天） 价格65美分按每天1美分下降 （p美元/磅）=（0.65美元/磅）-（0.01美元/磅）*（t天） 生猪收益 （R美元）=（p美元/磅）*（w磅） 净利润 （P美元）=（R美元）-（C美元） 用数学语言总结和表达如下： 参数设定： t=时间（天）
w=猪的重量（磅） p=猪的价格（美元/磅） C=饲养t天的花费（美元） R=出售猪的收益（美元） P=净收益（美元） 假设： w=200+5t C=0.45t p=0.65-0.01t R=p*w P=R-C t>=0 目标：求P的最大值 第二步：选择建模方法 本例采用单变量最优化问题或极大—极小化问题 第三步：推导模型的数学表达式子 P=R-C （1） R=p*w （2） C=0.45t （3） 得到R=p*w-0.45t p=0.65-0.01t （4） w=200+5t （5） 得到P=（0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t 令y=P是需最大化的目标变量，x=t是自变量，现在我们将问题转化为集合S={x:x>=0}上求函数的最大值： y=f（x）=（0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x （1-1） 第四步：求解模型 用第二步中确定的数学方法解出步骤三。例子中，要求（1-1）式中定义的y=f （x）在区间x>=0上求最大值。下图给出了（1-1）的图像和导数（应用几何画板绘制）。在x=8为全局极大值点，此时f（8）=133.20。因此（8，133.20）为f在整个实轴上的全局极大值点，同时也是区间x>=0上的最大值点。 第五步：回答问题 根据第四步，8天后出售生猪的净收益最大，可以获得净收益133.20美元。只要第一步中的假设成立，这一结果正确。
数学建模_投资最优问题
数学建模一周论文课程设计题目：最优投资方案 1：吴深深学号：201420181013 2：许家幸学号：201420180422 3：王鑫学号：201420181220 专业软件工程 班级1421801Z
指导教师朱琳 2016 年 6 月9 日
摘要 本文主要研究银行投资受益最优问题，根据投资证券的种类、信用等级、到期年限、到期税前收益等的具体情况，根据线性规划的方法分析出数学模型，并且运用Lingo软件进行编码求解。 根据问题一、根据此模型能够得到具体的解决方案，问题二、三都是根据问题一的模型做具体约束条件的变化，从而求出最优解。 此模型适用于一般简单的银行投资问题。这个优化问题的目标是有价证券回收的利息为最高,要做的决策是投资计划。即应购买的各种证券的数量的分配。综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限这些条件，按照题目所求，将决策变量、决策目标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决。 但是本模型不适合解决情况过于复杂的银行投资问题。 关键字：最优投资线性规划Lingo求解 一、问题重述 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制： 政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，所购证券的平均信用等
级不超过1.4（数字越小，信用程度越高），所购证券的平均到期年限不超过5年。 二、模型假设 假设: 1.假设银行有能力实现5种证券仸意投资； 2.假设在投资过程中，不会出现意外情况，以至不能正常投资； 3.假设各种投资的方案是确定的； 4.假设证券种类是固定不变的，并且银行只能在这几种证券中投资； 5.假设各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益是固定不变的； 6.假设各种证券是一直存在的。 三、符号约定 符号含义 X i取1-5，表示从A..E中证券的投资额（百万）i