排列组合应用题解题技巧
城郊中学信息学奥赛基础（排列与组合）
排列与组合
3.1 加法原理与乘法原理
3.2 排列与组合概念与计算公式
3.3 排列与组合的产生算法
3.1加法原理与乘法原理
1.加法原理：
做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1 种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N= m1+m2+...+mn 种不同的方法。
2.乘法原理：
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有种mn不同的方法，那么完成这件事有N=m1*m2*...*mn 种不同的方法。
3.两个原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是
“分步完成”。
练习：
1.由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？
② 2.由数字0、1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？
③ 3.由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个十位数字大于个位数字的两位数？
例 4. 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少种？首位数字是0的密码数又是多少种？
5.如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种
颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
6.某班有22名女生，23名男生.
①选一位学生代表班级去领奖，有几种不同选法？
②选出男学生与女学生各一名去参加智力竞赛，有几种不同的选法？
7.105有多少个约数？并将这些约数写出来.
8.从5幅不同的国画、2幅不同的油画、7幅不同的水彩画中选不同画种的两幅画布置房间，有几
种选法？
9.若x、y可以取1，2，3，4，5中的任一个，则点(x,y)的不同个数有多少？
10.一个口袋内装有5个小球另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色各不相同①从两个
口袋内任取一个小球，有种不同的取法；
11.从两个口袋内各取一个小球，有种不同的取法.
12.乘积（a1+a2+a3）(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开共有个项。
13.有四位考生安排在5个考场参加考试.有种不同的安排方法。
(答案:125；180；15；1000，900，100；6；45，506；8；59；25；9；20；60；625）
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3. 2 排列与组合的概念与计算公式
1．排列及计算公式
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).
2．组合及计算公式
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号
c(n,m) 表示.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);
３．其他排列与组合公式
从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).
练习：
1．（1）用0，1，2，3，4组合多少无重复数字的四位数？（96）
（2）这四位数中能被4整除的数有多少个？（30）
（3）这四位数中能被3整除的数有多少个？（36）
2．用0，1，2，3，4五个数字组成无重复数字的五位数从小到大依次排列.
（1）第49个数是多少？（30124）
（2）23140是第几个数？（40）
３．求下列不同的排法种数：
（1）6男２女排成一排，2女相邻；(p(7,7)*p(2,2))
（2）6男２女排成一排，2女不能相邻；(p(6,6)*p(7,2))
（3）5男3女排成一排，3女都不能相邻;(p(5.5)*p(6,3))
（4）4男4女排成一排，同性者相邻；(p(4,4)*p(4,4)*p(2,2))
（5）4男4女排成一排，同性者不能相邻。(p(4,4)*p(4,4)*p(2,2))
４．有四位医生、六位护士、五所学校。
(1) 若要选派三位医生到五所学校之中的三所学校举办健康教育讲座，每所学校去一位医生有
多少种不同的选派方法？(c(5,3)*p(4,3))
(2) 在医生或护士中任选五人，派到五所学校进行健康情况调查，每校去且仅去一人，有多少
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种不同的选派方法？(p(10,5))
(3) 组成三个体检小组，每组一名医生、两名护士，到五所学校中的三所学校为老师体检，有多少种不同的选派方法？(c(5,3)*p(4,3)*c(6,2)*c(4,2)*c(2,2))
５．平面上有三条平行直线，每条直线上分别有7，5，6个点，且不同直线上三个点都不在同一条直线上。问用这些点为顶点，能组成多少个不同四边形？(2250)
６．平面上有三条平行直线，每条直线上分别有7，5，6个点，且不同直线上三个点都不在同一条直线上。问用这些点为顶点，能组成多少个不同三角形？(751)
７．将N个红球和M个黄球排成一行。例如:N=2,M=2可得到以下6种排法: 红红黄黄红黄红黄红黄黄红黄红红黄黄红黄红黄黄红红
问题:当N=4,M=3时有多少种不同排法?(不用列出每种排法)(35)
8.用20个不同颜色的念珠穿成一条项链,能做多少个不同的项链.(20!/20)
9．在单词MISSISSIPPI 中字母的排列数是(11!/(1!*4!*4!*2!)
10．求取自1,2,...k的长为r的非减序列的个数为(c(r+k-1,r))
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排列组合应用题解题技巧
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的,并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧.
1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
2.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
3.排列数公式: 3
4.组合数公式:
5.排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？
分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题. 解 先排学生共有种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的
4个空档,共有
种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为
种.
结论1 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可. 例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?
分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.
解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,
有种排法,其中女生内部也有
种排法,根据乘法原理,共有
种不同的排法.
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列
.
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例3 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.
解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有
种不同的放法,所以名额分配方案有
种.
结论3 转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.
例4 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?
分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.
解 把所有的硬币全部取出来,将得到0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有
种取法.
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?
分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性. 解 不加任何限制条件,整个排法有
种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之
前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有
种.
结论5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.
例6 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.
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解 43人中任抽5人的方法有种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有
种,所以正
副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有
种.
结论6 排异法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除.
练习1 某人射击8枪，命中4枪，那么命中的4枪中恰有3枪是连中的情形有几种？ 练习2 一排8个座位，3人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种？
练习3 马路上有编号为1,2,3,……10的十只路灯,为节约电而不影响照明,可以把其中的三只路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉马路两端的灯,问满足条件的关灯方法有多少种？
练习4 A 、B 、C 、D 、E 五人站成一排，如果B 必须站在A 的右边，那么不同的站法有多少种？
练习5 某电路有5个串联的电子元件,求发生故障的不同情形数目? 小结:
解决排列组合应用题的一些解题技巧,具体有插入法,捆绑法,转化法,剩余法,对等法,排异法;对于不同的题目,根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种技巧结合起来应用,便于我们迅速准确地解题.在这些技巧中所涉及到的数学思想方法,例如:分类讨论思想,变换思想,特殊化思想等等,要在应用中注意掌握.
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排列组合问题的基本解法
排列组合问题主要依据分类计数原理和分步计数原理，其本身应用的知识并不多，但由于题目灵活多样，在各级各类考试中经常出现，在数学竞赛活动中尤其突出。其解题方法也多种多样，归纳起来，我们一般可用下面的方法来解决。 一、列举法：
例1、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有 。（1998年全国高中数学联赛）
解：从10个数中取出3个数，使其和为偶数，则这三个数都为偶数或一个偶数二个奇数。当三个数都为偶数时，有
种取法；当有一个偶数二个奇数时，有
种取法。要使其和为
不小于10的偶数。我们把和为小于10的偶数列举出来，有如下9种不同取法：（0，1，3），（0，1，5），（0，1，7），（0，3，
5），（0，2，4），（0，2，6），（1，2，3），（1，2，5），（1，3，4）。因此，符合题设要求的取法有
+
－9=51种。
例2、设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一。若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动。那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种。（1997年全国高中数学联赛） 解：如图：
青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D 点。故青蛙的跳法只有下列两种： （1）青蛙跳3次到达D 点，有ABCD ，AFED 两种跳法。
（2）青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定不到达D ，只能到达B 或F ，则共有AFEF ，AFAF ，ABAF ，ABCB ，ABAB ，AFAB 这6种跳法。随后的两次跳法各有四种，比如由F 出发的有：FEF ，FED ，FAF ，FAB 共四种。因此这5次跳法共有64=24种不同跳法。一共有2+24=26种不同跳法。 二、分类讨论：
在排列组合问题中，利用分类讨论来解决问题最为常见。如何分类、分几类成为解题的关键。下面举例说明。
例3、如图：在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同植物可供选择，则有 种栽种方案？（2001年全国高中数学联赛）
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解：由题意，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。则可先考虑A 、C 、E ．因此作如下分类：
（1）若A 、C 、E 种同一种植物，此时共有4333=108种方法。 （2）若A 、C 、E 种二种植物，此时共有343322=432种方法。 （3）若A 、C 、E
种三种植物，此时共有222=192种方法。
所以共计有108+432+192=732种方法。
例4、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方案共有 种。 （注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同。）（1996年全国高中数学联赛）
解：本题情况较为复杂，我们对用了多少种颜色进行分类讨论。 （1）若只用三种颜色，从六种不同颜色中选用3种颜色有
种选法。由于每两个具有公
共棱的面染成不同的颜色，则正方体的相对面均为同色，由正方体的对称性知这样的染色方案只有一种。因此共有
=20种不同的染色方案。
（2）若只用四种颜色，从六种不同颜色中选用4
种颜色有种选法。则仅有一个相对面
不同色，共有
种不同的涂法。因此共有
=90种不同的染色方案。
（3）若只用五种颜色，从六种不同颜色中选用5种颜色有种选法。则仅有一个相对面
同色，不妨定为上、下底面，其有种涂法。再涂侧面，有3种涂法。因此共有
3=90
种不同的染色方案。
（4）用六种不同颜色来涂色。则六个面的颜色均不相同，假想颜色已经涂好，我们可以通过适当的翻转，使上底面均为同一种颜色（例如红色），再考虑下底面，则一定有5种不同的颜色。对下底面是同一种颜色的（例如蓝色），再用余下的四种颜色来涂侧面，有种涂法。因此共有53！=30种不同的染色方案。 一共有20+90+90+30=230种不同的染色方案。
三、构造不定方程： 先介绍一个引理： 引理：求证：不定方程
（的正整数解有
组。
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证明：本题可用“挡板法”求解，由于，，---，，把n 分成
n 个1，这n 个1共有n
―1个空挡。插入
m ―1块"挡板
"，把n 个1
分成m 个部分。则每一种情况对应不定方程的一组解，所以原不定方程共有
组解。
推论：不定方程
（的非负整数解有
组。
证明：把方程化为
，令
，
，
，----，
，即求
的正整数解的组数，由引理
可得共有
组解。
在一些排列组合问题中，除了用其他的解法外，我们还可以用不定方程的正整数解的组数来确定排列组合数的多少。 例5、已知两个实数集合
与
。若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原像，且，则这样的映射
共有（ ）
（A ）
（B ）
（C
）
（
D ）
（2002年全国高中数学联赛）
解：
不妨设，又因为B 中每个元素都有原像，设原像的集合为
，
其元素个数为；
原像的集合为
，其元素个数为
；--------原像的集合为，其元
素个数为
。 则
（），则问题转化为求不定方程（）的正整
数解的组数，共有
组解，故选（D ）。
例6、8
个女孩和25
个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站两个男孩，那么，共有多少种不同的排列方法。（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）（1990
年全国高中数学联赛）
解：
先排女孩，这是一个圆排列问题，易知共有种不同的排列。8个女孩的圆排列
共留出8个空挡。再排男孩，设这8个空挡中的男孩数分别为
，
，
，------，
，由于任意两个女孩之间至少站两个男孩，即求不定方程
在
，
，
，
-----
，
下的正整数解的组数，所以不定方程可化
为
，
令
，
，
，-----，
， 即得
，其正整数解的组数是。再对男孩全排列，
共有
种排列。所以共有种不同的排列方式。
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例7、如果从数1、2、3、---14中，按由小到大的顺序取出a1、a2、a3使同时满足a2―
a13与a3―a23，那么所有符合上述要求的不同取法有 种。 （1989年全国高中数学联赛）
解：由
，
，
，
，令
，
，，，则
，
问题即求不定方程在
，
，，
下的整数解的组数，又方程转化为
。
令
，，
，
， 而
的正整数解的组数是
。所以符合条件的a1、a2、
a3 的不同取法有
=120种。 四、利用递推关系：
在一些排列组合问题中，我们可以从简单问题入手，寻找规律，继而把问题一般化，寻找更一般的关系式，即递推关系式，然后解决具体问题。
例8、有排成一行的n 个方格，用红、黄、蓝三色涂每个格子，每格涂一色，要求任何相邻的格不同色，且首尾两格也不同色，问有多少种涂法？（1991年江苏省数学夏令营）
解：设共有
种不同涂法。易得
=3，
=6，
=6
。且当
时，将n 个格子依此编
号后，则格1
与格（）不相邻。
（1
）若格（）涂色与格1不同，此时格n
只有一色可涂，且前格满足首尾两格
不同色，故有种不同涂法。
（2
）若格（）涂色与格1
相同，此时格（）与格1涂色必然不同，否则格 （
）与格（
）相同，于是前
格有
种不同涂法。因为格n 与格1不同色，
有两种涂法，故有
种不同涂法。
综上可得递推关系式：
=
+
（
），并可得
（
）。
例9、一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多上跃三级。从地面上到最上一级，一共可以有 种不同的爬跃方式。 （中等数学2001.3奥林匹克训练题）
解：易得
=1，
=2，
=4，
=7。把问题一般化，设一共有n 级梯子，每次可爬一
级或上跃二级，最多上跃三级。设共有种不同的爬跃方式。若第一次爬了一级，则有
种
方式；若第一次上跃二级，
则有种方式；若第一次上跃三级，
则有
种方式。
因此
=
+
+
。易得
。即共有81种不同的爬跃方式。
练习题：
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1、用红、黄、蓝三色给正方体表面染色，每面只染一种颜色，每色各染两个面，如果经过适当翻转可使两个染色的正方体各对应面的颜色相同者视为一种染色方法，那么，不同的染色方法种数为 （ ）
（A ）3种 （B ）5种 （C ）8种 （D ）12种 （2003江苏省数学夏令营）
（提示：三种颜色都涂相对两面，有1种方法；一种颜色涂相对两面，有3种方法；三种颜色都不涂在相对面，有1种方法。共有5种方法。） 2、如果：（1）a ，b ，c ，d
都属于
； （2）
，
，
，
；
（3）a 是a ，b ，c ，d
中的最小值。那么，可以组成的不同的四位数的个数是 。
（2000年全国高中数学联赛） （提示：（1
）
由2个不同数字组成，则必有a=c
，故有
=6个。（2）由3
个不同数字组成，则唯一确定，当，
有2种取法；当
，c 有2种取法，
b=d
为余下的数，故有
（2+2）=16个。（3）由4
个不同数字组成，
，故有
3！=6个。因此一共有6+16+6=28个不同的四位数。）
3、在正方体的8个顶点、12条棱的中点、六个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是 （ ）
（A ）57 （B ）49 （C ）43 （D ）37 （1998年全国高中数学联赛）
（提示：（1）两端点皆为顶点的共线三点组共有个；（2）两端点皆为面的
中心的共线三点组共有个；两端点皆为各棱
中点的共线三点组共有个；因此共有
28+3+18=49个。）
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解答排列组合应用题的策略
解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。
以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。
下面对几种典型的排列组合问题进行策略分析，拟找到解决相应问题的有效方法。 一、特殊优先，一般在后
对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
例1 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？
解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有
种，0在十位有
种；
第二类，不含0，有
种。
故共有
。
注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。 解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有
种；第二类，0不在个位，先从
两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有
种。
故共有
。
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练习1 （89年全国）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 个（用数字作答）。
答案：36
二、排组混合，先选后排
对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。
例2 (95年全国)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒内，则恰有一个空盒的放法有几种？
解：由题意，必有一个盒内有2个球，同一盒内的球是组合，不同的球放入不同的盒子是排列。因此，有
种放法。
练习2 由数字1，2，3，4，5，6，7组成有3个奇数字，2个偶数字的五位数，数字不重复的有多少个？
答案：有
=1440（个）
三、元素相邻，整体处理
对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排。
例3 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？
解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应全排列。由乘法原理共有
种。
练习3 四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？ 答案：
=384
四、元素间隔，分位插入
对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法。
例4 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？
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解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生之间的4个空隙，由乘法原理共有
种。
注意：①必须分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素；②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。
练习4 4男4女站成一行，男女相间的站法有多少种？ 答案：
2
例5 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？
解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有
种。
练习5 从1、2、…、10这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不同的取法？
答案：
。
五、元素定序，先排后除或选位不排或先定后插
对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。
例6 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？ 解法一：先5人全排有
种，由于全排中有甲、乙的全排种数
，而这里只有1种是符合要求的，故要除以定序元素的全排
种，所以有
/
=60种。
解法二：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有
种，再排列其它3人
有
，由乘法原理得共有
=60种。
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解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有3种方法，接着插入第二人有4种方法，最后插入第三人有5种方法。由乘法原理得共有
=60种。
练习6 要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要插入5个歌唱节目，则共有几种插入方法？
答案：
或
或
种
六、“小团体”排列，先“团体”后整体
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。
例7 四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？
解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有
种，把这个“女男
男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有
种，由乘法原理，共有
种。
练习7 6人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种？ 答案：
七、不同元素进盒，先分堆再排列
对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。
例8 5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？
解：先把5位老师分3堆，有两类：3、1、1分布有
种和1、2、2分布有
种，再排列到3个班里有
种，故共有
。
注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位(否则有重复计数)。即“同一盒内的元素必须一次进入”。
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练习8 有6名同学，求下列情况下的分配方法数： ①分给数学组3人，物理组2人，化学组1人； ②分给数学组2人，物理组2人，化学组2人；
③分给数学、物理、化学这三个组，其中一组3人，一组2人，一组1人； ④平均分成三组进行排球训练。
答案：①
；②
；③
；④
。
八、相同元素进盒，用档板分隔
例9 10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？
解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同的盒内，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9个间隔中选4个位置插入4块“档板”分成5格(构成5个盒子)有
种方法。
注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。
练习9 从全校10个班中选12人组成排球队，每班至少一人，有多少种选法？ 答案：
九、两类元素的排列，用组合选位法
例10 10级楼梯，要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？
解：由题意知，有4步跨单级，3步跨两级，所以只要在7步中任意选3步跨两级即可。故有
种跨法。
注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。
练习10 3面红旗2面黄旗，全部升上旗杆作信号，可打出几种不同的信号？ 答案：
例11 沿图中的网格线从顶点A 到顶点B ，最短的路线有几条？
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解：每一种最短走法，都要走三段“|”线和四段“—”线，这是两类元素不分顺序的排列问题。故有
或
种走法。
例12 从5个班中选10人组成校篮球队(无任何要求)，有几种选法？
解：这个问题与例12有区别，虽仍可看成4块“档板”将10个球分成5格(构成5个盒子)，是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球，故4块“档板”与10个球一样也要参与排成一列而占位置，故有
种选法。
练习
11
的展开式有几项？
提示：因为每一项都是由a,b,c,d 中的一个或多个相乘而得到的10次式，所以可以看成是10个球与3块档板这两类元素不分顺序的排列，故共有
项。
注意：怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。 十、个数不少于盒子编号数，先填满再分隔
例13 15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？
解：先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把9个球放入3个盒内即可,可用2块档板与9个球一起排列(即为两类元素的排列问题),有
种。
十一、多类元素组合，分类取出。
例14 车间有11名工人，其中4名车工，5名钳工，AB 二人能兼做车钳工。今需调4名车工和4名钳工完成某一任务，问有多少种不同调法？
解：不同的调法按车工分为如下三类：第一类调4车工4钳工；第二类调3车工4钳工，从AB 中调1人作车工；第二类调2车工4钳工，把AB 二人作为车工。故共有
+
+
=185种不同调法。
注：本题也可按钳工分类。若按A 、B 分类，会使问题变得复杂。
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练习12 求无重复数字的六位数中，能被3整除的数的个数。
提示：因为能被3整除的数，它的各位数字之和能被3整除，所以将0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字按被3除所得的余数分成四类，并将每一类所选取的个数列表如下：
前四类的6位数个数为
后四类的6位数个数为 共有4680个。
练习13 有红、白、兰三色卡片各五张（都标有代号1、2、3、4、5），若每次取出五张，要求三色齐全，各代号都有，问有多少种不同取法？
提示：按红色进行分类得
相加得150种不同取法。
练习14 在无重复数字的三位数中，能被3整除的数有多少个？ 答案：228个
十二、正难则反，间接处理
对于某些排列组合问题的正面情况较复杂而其反面情况却较简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的总数。
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例15 编号为1、2、3、4、5的五人入座编号也为1、2、3、4、5的五个座位，至多有2人对号的坐法有几种？
解：问题的正面有三种情况：全不对号；有且仅有一个对号；有且仅有两个对号。这三种情况都较难处理。而反面只有两种情况：全对号(四人对号时一定全对号)；有且仅有3个对号。而全对号只有1种情况，3人对号时只要先从五人中选出3人(有
种)，其余两
人不对号即可，此时只有1种情况，由加法、乘法原理得反面情况共有
种。
五人全排有
种。
所以满足要求的种数为
。
练习15 图书室新到20本不同的书，某老师要借其中的5本，但3本不同的字典至少留1本不借出，问有多少种不同的借法？
提示：分三类得解
+
+
也可如下使用间接当求得：
-
。显然要简单得多。
上面把常见的几类排列组合问题，进行了策略分析，并找到一定的规律，构造了相应的解决问题的模型，当然，在具体解决问题时，还是要认清问题特征，灵活选用有效策略，以便快速合理地解决问题。
排列组合问题的解法第三计
每周一计第三计——排列组合问题的解法 解决排列组合问题要讲究策略，用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。 （一）.特殊元素、特殊位置的“优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。 例1 ： 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？ 解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0：0在个位有 种，0在十位有 种； 第二类，不含0：有1 223A A 种。 故共有（ 24A ＋1123A A ）＋1223A A ＝３０种。 注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。 解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个 放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有 种。 故共有 练习：甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学选四人组队参加4*100m 接力赛，其中甲、乙不跑最后一棒，共有多少种不同的安排方法？（此题可有元素优先和位置优先两个角度两种解法，但位置优先则更简单） （二）．排除法 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去. 例２：５个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有543543 2A A A -+=78种． （三）.相邻问题“捆绑法” 对于某些元素要求相邻．． 排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。 例3： 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？ 解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应 全排列。由乘法原理共有6365A A 种。 （四）。不相邻问题“插空法” 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他可相邻元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的） 例4： 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？ 解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生间的4个空隙，由乘法原理共有 种。 注意：①分清“谁插入谁”的问题。要先排可相邻的元素，再插入不相邻的元素； ②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。 例5： 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？ 解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有3 5 C 种。 （五）。定序问题选位不排 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。 例6： 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？ 解：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有 种，再排列其它3人有 ，由乘法原理得共有 =60种。 1345240A A =5354A A 25C 3 3 A 25C 3 3A 24 A 1123A A 111233 A A A 2111423330 A A A A +=24A
☆排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结 教学内容 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =++ + 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =?? ? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其 它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 5 22480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ C 14A 34C 1 3
【智博教育原创专题】排列组合的常见题型及其解法大全(包含高中所有的题型)
★绝密 备战2014专题 主编：冷世平
排列组合的常见题型及其解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。 ◆处理排列组合应用题的一般步骤为： ①明确要完成的是一件什么事（审题）；②有序还是无序；③分步还是分类。 ◆处理排列组合应用题的规律 ⑴两种思路：直接法，间接法；⑵两种途径：元素分析法，位置分析法。 排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问题。同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律: ⑴使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。 ⑵排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。 ⑶复杂的排列问题常常通过试验、画“树图”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。 ⑷按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。 ⑸处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 ⑹在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。 总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等；其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。 【策略1】特殊元素（位置）用优先考虑 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 【例1】6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有种不同站法。 【分析】解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 【法一】（优先考虑特殊元素）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有4种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有120种站法，故站法共有480种； A种方法；剩下四【法二】（优先考虑特殊位置）先从除甲外的五个元素中任取两个站在两端，有2 5 A种方法，共计有480种。 个人作全排列有4 4 用0,2,3,4,5五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个。30 【策略2】相邻问题用捆绑法 将相邻的元素内部进行全排列，绑成一捆，看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列。
排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)
种。故不同插法的种数为：26A + 22A 16A =42 ，故选A 。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区 不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） 解：由题意，选用3种颜色时，C 43种颜色，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色 方法有C 43A 33=24种4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有 C 21A 44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72 六、混合问题--先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略． 例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案共有（ ）种 A. B.3种 C. 种 D. 解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三 个不同的路口的不同的分配方案共有： 种，故选A 。 例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出 3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共 有（） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种
解：黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33， ∴种法共有C32A33=18，故选B． 七．相同元素分配--档板分隔法 例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。 解一：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有2 C种插法，即有15种分 6 法。 2、解二：由于书相同，故可先按阅览室的编号分出6本，此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号，剩下的4本书有以下四种分配方案：①某一阅览室独得4本，有种分法；②某两个阅览室分别得1本和3本，有种分法；③某两个阅览室各得2本，有种分法；④某一阅览室得2本，其余两阅览室各得1本，有种分法.由加法原理，共有不同的分法3+=15种. 八．转化法: 对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解 。例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他
高中数学-排列组合解法大全
排列组合解法大全 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得1 1 3434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有5 2 2 522480A A A =种不同的排法 C 1 4 A 3 4 C 1 3 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
排列组合基础知识及解题技巧
排列组合基础知识及习题分析 在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式！ 35C ＝（5×4×3）/（3×2×1） 26 C ＝（6×5）/（2×1） 通过这2个例子 看出 n m C 公式 是种子数M 开始与自身连续的N 个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N 的阶层作为分母 35P ＝5×4×3 66P ＝6×5×4×3×2×1 通过这2个例子 n m P ＝从M 开始与自身连续N 个自然数的降序乘积 当N ＝M 时 即M 的阶层 排列、组合的本质是研究“从n 个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二： 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分 类：“做一件事，完成它可以有n 类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n 个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算最终完成. 两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.
排列与组合解题技巧
佛山学习前线教育培训中心 高二数学（理）讲义 专题：排列与组合解题技巧 主要技巧： 一. 运用两个基本原理 例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 练习1：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（） （A）6种（B）9种（C）11种（D）23种 二. 特殊元素（位置）优先 例2：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？ 练习2：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？ 三. 捆绑法 例3：8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？ 练习3：记者要为5名志愿者和他们帮助的2为老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 .A1440种.B960种.C720种.D480种 四. 插入法 例4：排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？ 练习4：安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有种。 五. 排除法 例5：求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。 练习5：100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？ 练习6：8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？ 六. 机会均等法 例6：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？ 练习7：用1，4，5，四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求。 七. 转化法 例7：一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？ 练习8：动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有多少种走法？ 八. 隔板法 例14：20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？ 练习9：把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考
排列组合问题的解答技巧和记忆方法
排列组合问题的解题策略 关键词：排列组合,解题策略 ①分堆问题； ②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法 例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。 评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。 二、不相临问题——选空插入法 例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 . 评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。 三、复杂问题——总体排除法 在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个. 解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个. 四、特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种． 解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法. 例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种. 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种. 五、多元问题——分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。 例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ） A．42 B．30 C．20 D．12 解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选A。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？（以数字作答） 解：区域1与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色．用三种颜色着色有=24种方法, 用四种颜色着色有=48种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72. 六、混合问题——先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略． 例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（） A．种B．种
排列组合解法大全
排列组合解法大全 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花 盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素， 再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪， 4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排 好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进 行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法 种数是：73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有4 7A 种方法，其余的三个位
排列与组合解题技巧
排列与组合解题技巧
佛山学习前线教育培训中心 高二数学（理）讲义 专题：排列与组合解题技巧 主要技巧： 一. 运用两个基本原理 例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 练习1：同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（） （A）6种（B）9种（C）11种（D）23种 二. 特殊元素（位置）优先 例2：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？ 练习2：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？ 三. 捆绑法 例3：8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？ 练习3：记者要为5名志愿者和他们帮助的2为老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 .A1440种.B960种.C720种.D480种
四. 插入法 例4：排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？ 练习4：安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有种。 五. 排除法 例5：求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。 练习5：100件产品中有3件是次品，其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？ 练习6：8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？ 六. 机会均等法 例6：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？ 练习7：用1，4，5，四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求。 七. 转化法 例7：一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？
排列组合基础知识及解题技巧
排列组合基础知识及习题分析 排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二： 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. ⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式： “含”与“不含” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法. ***************************************************************************** 习题 1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ） (A)25个 (B)26个 (C)36个 (D)37个 2、（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？ （2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？ （3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？ 3、七个同学排成一横排照相. （1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（3600） （2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？（1440） （3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？（3120） （4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？（1440） （5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520）
(完整版)解排列组合应用题的解法技巧
解排列组合应用题的解法?技巧 引言： 1、本资料对排列、组合应用题归纳为8种解法、13种技巧 2、解排列组合问题的“16字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合 一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径（1）以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 （2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则 （3）先不考虑附加条件，计算岀排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接 解法，后一种方式叫间接（剔除）解法注：数量不大时可以逐一排出结果。 3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且 每次得岀的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得岀的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列, 无序组合. （一）排列组合应用题的解法 排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目 中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。 一.运用两个基本原理二.特殊元素（位置）优先三.捆绑法四.插入法五. 排除法六.机会均等法七.转化法八.隔板法 一.运用两个基本原理 加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们 都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。 例1: n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有C0种结果；1个人通过，有c n种结果，……； n个人通过，有C；种结果。所以一共有C： C n C：2n种可能的结果。 解法2 :用分步记数的原理。第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这 样，……，第n个人也是这样。所以一共有2n种可能的结果。 例2:同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（） （A） 6 种（B）9 种（C）11 种（D）23 种 解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d o 第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类： （1）乙取a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的， （2）乙取c或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。 根据加法原理和乘法原理，一共有 3 （1 2） 9种分配方式。
超全超全的排列组合的二十种解法
排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算。定义的前提条件是m≦n，m与n均为自然数。①从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。②从n个不同元素中，取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。 ③用具体的例子来理解上面的定义：4种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排列方法，如果是6种颜色呢。从6种颜色中取出4种进行排列呢。 解：A(4,4)=4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)=4x1x2x3x1=24。 A(6,6)=6x5x4x3x2x1=720。 A(6,4)=6!/(6-4)!=(6x5x4x3x2x1)/2=360。 [计算公式] 排列用符号A(n,m)表示，m≦n。 计算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)! 此外规定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2) (1) 例如：6!=6x5x4x3x2x1=720，4!=4x3x2x1=24。 组合的定义及其计算公式 1 组合的定义有两种。定义的前提条件是m≦n。 ①从n个不同元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 ②从n个不同元素中，取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 ③用例子来理解定义：从4种颜色中，取出2种颜色，能形成多少种组合。 解：C(4,2)=A(4,2)/2!={[4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)]/[2x(2-1)x(2-2+1)]}/[2x(2-1)x(2-2+1)]=[( 4x3x2x1)/2]/2=6。 [计算公式] 组合用符号C(n,m)表示，m≦n。 公式是：C(n,m)=A(n,m)/m! 或C(n,m)=C(n,n-m)。
排列组合7个解题技巧
排列组合7个解题技巧 一、排列和组合的概念 排列：从n个不同元素中，任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 组合：从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。 二、七大解题策略 1.特殊优先法 特殊元素，优先处理;特殊位置，优先考虑。对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。 例：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有( ) (A) 280种 (B)240种 (C)180种 (D)96种 正确答案：【B】 解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C(4,1)=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A(5,3)=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有 C(4,1)×A(5,3)=240种，所以选B。 2.科学分类法 问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素(即组合)后排列。 对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生。同时明确分类后的各种情况符合加法原理，要做相加运算。 例：某单位邀请10为教师中的6为参加一个会议，其中甲，乙两位不能同时参加，则邀请的不同方法有()种。 A.84 B.98 C.112 D.140 正确答案【D】 解析：按要求：甲、乙不能同时参加分成以下几类： a.甲参加，乙不参加，那么从剩下的8位教师中选出5位，有C(8，5)=56种;
排列组合应用题的解法
排列组合应用题的解法 湖北省京山县第五高级中学高二（3） 李敏 排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。 一、运用两个基本原理 加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分类或分步处理。 例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 分析1：用分类记数的原理：没有人通过，有种结果；1个人通过，有种结果，……；n个人通过，有种结果。所以一共有种可能的结果。 分析2：用分步记数的原理：第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。所以一共有种可能的结果。 二、特殊元素（位置）用优先法 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 例2：6人站成一排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在中间四个位置的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故站法共有：=480（种） 三、相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。 例3：5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ 分析：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有种，然后女生内部再进行排列，有种，所以排法共有：=4320（种）。 四、相离问题用插空法 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。 例4：7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？
完整版排列组合的二十种解法最全的排列组合方法总结
教学目标 1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2. 掌握解决排列组合问题的常用策略 ；能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分 析问题的能力 3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 复习巩固 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有 m i 种不同的方法，在第 2类办法中有m 2种不同的方 法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m i m 2 L m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有叶种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，… 做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有: N mi m 2 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 ： 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事 ，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少 类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题 （有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素 . 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置 . 先排末位共有C ； 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3 由分步计数原理得C 4C ；A ； 288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素分析为主，需 先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位 置。若 有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里 多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排 A 3 ,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，冋有 A 5 A 2 A 2 480种不同的
排列组合问题常用的解题方法含答案
高中数学排列组合问题常用的解题方法 一、相邻问题捆绑法 题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列． 例1:五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的 排法种数有种。 二、相离问题插空法 元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相 离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端． 例2：七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是。 三、定序问题缩倍法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法． 例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可 不相邻)，那么不同的排法种数有。 四、标号排位问题分步法 把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一 个元素，如此继续下去，依次即可完成． 例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。 五、有序分配问题逐分法 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。 例5：有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人 中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有。 六、多元问题分类法 元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计。 例6：由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数 字小于十位数字的共有个。 例7：从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7 整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？ 例8：从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种？ 七、交叉问题集合法 某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 n A B n A n B n A B ?=+-?。 ()()()() 例 9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙 不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？ 八、定位问题优先法 某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素。 例10：1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不