《等腰直角三角形中的常用模型》
等腰直角三角形中的常用模型
一【知识精析】
1、等腰直角三角形的特征：
①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45o） ②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。 2、等腰直角三角形与全等三角形：
以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。
模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点
（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
例1．如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90o，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD
于点E ，过C 作CF ⊥AD 于点F 。 （1）求证：BE-CF=EF ；
（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新
的结论并证明。
如图1，等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90o，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△P AQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。 （1）求证：M 为BE 的中点
（2）若PC=2PB ，求MB
PC
的值
(3)
(1)
(2)F E
D C B A
A B C D
E F (1)
（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：
3、如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90o，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。 （1）求证：BG=AF ；
（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。
变式1：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =45o，∠BAC =90o，AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD
于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE .
变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 的中点，AF ⊥BD 于点E ，
交BC 于点F ，连接DF ，求证：∠1=∠2。
变式3：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 、E 是AC 上两点且AD=CE ，AF ⊥BD 于点G ，交BC 于点F 连接DF ，求证：∠1=∠2。
(1)
G
G
B A C
D E F
(2)(1)F
E D C B A
模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边
等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形
例1：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，E 是AC 上一点，过C 作CD ⊥BE 于D ，
连接AD ，求证：∠ADB ＝45°。
变式1：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，E 是AC 上一点，点D 为BE 延长线上
一点，且∠ADC ＝135°求证：BD ⊥DC 。
变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，过C 作CD
⊥BE 于D ，DM ⊥AB 交BA 的延长线于点M ，
（1）求BC AB BM +的值；（2）求AB BC AM
-的值。
模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点
（1）两个等腰直角三角形共直角顶点
B
(1)
(2)
(3)
C
(2)
(1)
B
例1、如图1，△ABC 、△BEF 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠BEF =90o，连接AF 、CF ，
M 是AF 的中点，连ME ，将△BEF 绕点B 旋转。猜想CF 与EM 的数量关系并证明；
（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：
（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形：
如图，△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠BED =90o。把DE 平移到CF ，使E 与C 重合，连接AE 、AF ，则△AEB 与△AFC 全等（关键是利用平行证明∠ABE =∠ACF ）
例.如图：两个直角三角形ABC 、ADE 的顶点A 重合，P 是线段BD 的中点，连PC 、PE 。 （1）如图1，若∠BAC =∠DAE =45°，当A 、C 、D 在同一直线上时，线段PC 、PE 的关系是 ；
（2）如图2、3，将⊿BAC 绕A 旋转α度，（1）中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明你的结论。
(3)(1)图（1）
M F
E B
C
A 图1P E D C B
A A
B C
D E
P 图2
A
B C
D
E
P 图3(2)(1)
A
F
B D E
C
三【巩固练习】 1．如图，在ABC Rt ?中，AC AB =,∠?=90BAC ,D 、E 为BC 上两点，∠?=45DAE ，F 为ABC ?外一点，且FB ⊥BC ,AE FA ⊥,则下列结论：①BF CE =;②
222DE CE BD =+;③EF AD S ADE ?=
?41
;④2222AE BE CE =+,其中正确的是 A 、①②③④ B 、①②④
C 、①③④
D 、②③
2．已知：Rt ⊿ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，若O 是BC 的中点，以O 为顶点作∠MON ，交AB 、AC 于点M 、N 。 （1）若∠MON =90°（如图1），求证：①OM=ON ；②BM 2+CN 2=MN 2；
（2）若∠MON =45°（如图2），求证：①AM+MN =CN ；
3、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4）。
（1）若C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，∠ACD=90°，连OD ，求∠AOD 的度数；
（2）过A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG
图1N
M O C
B A 图2
N M O
C
B
A
为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式
1=-OF
FM
AM 是
否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。
4.在△ABC 和△DCE 中，AB =AC ，DC =DE ,∠BAC =∠EDC =90°，点E 在AB 上，连AD ，DF ⊥AC 于点F 。试探索AE 、AF 、AC 的数量关系；并求出∠DAC 的度数。
5．如图：等腰Rt △ABC 和等腰Rt △EDB ，AC=BC ，DE=BD ，∠ACB ＝∠EDB ＝90°，E 为AB 是一点，P 为AE 的中点。
⑴连接PC ，PD ；则PC ，PD 的位置关系是 ；数量关系是 ；并证明你的结论。
⑵当E 在线段AB 上变化时，其它条件不变，作EF ⊥BC 于F ，连接PF ，试判断△PCF 的形状；在点E 运动过程中，△PCF 是否可为等边三角形？若可以，试求△ACB 与△EDB 的两直角边之比。
6（2013年湖南常德10分）已知两个共一个顶点的等腰Rt △ABC ，Rt △CEF ，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF ，M 是AF 的中点，连接MB 、ME ．
F
A D
B C
E
(2)
（1）如图1，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：MB ∥CF ； （2）如图1，若CB=a ，CE=2a ，求BM ，ME 的长； （3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME ．
7、如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)。点N 为OA 上一点，OM ⊥BN 于M ，且∠ONB=45°+∠MON 。 （1）求证：BN 平分∠OBA ； （2）求
BN
MN
OM 的值；
（3）若点P 为第四象限内一动点，且∠APO =135°，问AP 与BP 是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。
8．已知：P A
PB=4，以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，且P、D两点在直线
AB的两侧.
(1)如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应∠APB的大小.
P