BOTTEST9简易使用指南

BOTTEST9简易使用指南

如何安装和运行BOTTEST9？

BOTTEST9是在Maple平台上开发的应用程序，如果离开了Maple您将无法使用这个程序。首先将BOTTEST9拷贝到您的计算机的某个子目录之下，譬如说X:\YY\ZZZ。在进入Maple环境后您就可以运行这个程序。首先读入bottest9（或者bottest9.dat，如果该程序带扩展名的话），即键入：

> read `X:/YY/ZZZ/bottest9`;

或者

> read `X:/YY/ZZZ/bottest9.dat`;

注意标点 ` ` 是不能省略的，

然后您就可以执行BOTTEST9的所有指令，使用其所有功能。

关于三角形中几何不变量的约定记号列表（可扩充）

如果您需要证明某个三角形中的几何不等式，那么在输入指令时对其中一些主要的几何不变量必须采用约定的记号，如下表所列：

a, b, c, 三角形各边之长

s, s=(a+b+c)/2, 即三角形周界长度之半

x, y, z, x=s-a, y=s-b, z=s-c

R, 外接圆半径

r, 内切圆半径

ra, rb, rc, 各旁切圆半径

ha, hb, hc, 各边对应的高

ma, mb, mc, 各边对应的中线长

wa, wb, wc, 各边对应的内角平分线长

S, 三角形的面积

p, p=4*r*(R-2*r)

q, q=s^2-16*R*r+5*r^2

A, B, C, 三角形的各内角

sin(A)... 角的正弦，其他三角函数类似

abs( ), 绝对值

aa, 这是一个约束条件，表示讨论的是一个锐角三角形

提示：

这些代表几何不变量的记号在BOTTEMA中属于保留字符，对它们赋值是无效的。对于代数不等式没有约定记号和保留字符（除Maple固有的保留字符之外）。

证明不等式型定理的主要指令及其例解

prove

目的–证明某个三角形中的几何不等式或与之等价的代数不等式。

输入指令：

prove(ineq);

prove(ineq,[ineqs]);

指令中各项的含义:

ineq - 一个待证的不等式，它是用上面列表中的几何不变量来表述的。 ineqs –作为假设条件的一组不等式，其中每一个都是用上面列表中的几何不变量来表述的。

注意：

—待证的几何不等式必须是 <= 型或者 >= 型的，而且作为假设条件的那组不等式定义一个开集或者一个开集加上它的全部/部份边界；

ineq和ineqs必须由上述表列的几何不变量的根式表出。

—指令prove也适用于这样的命题：其假设ineqs和结论ineq都是用x, y, z(其中 x>0, y>0, z>0)的有理函数或根式表出的齐次代数

不等式，它是<= 型或者 >= 型的，而且作为假设条件的那组不等式定

义一个开集或者一个开集加上它的全部/部份边界。这样的代数命题等

价于一个几何不等式命题。

例子：

> prove( a^2+b^2+c^2 >=

4*sqrt(3)*S+(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2 );

> prove( A >= B,[ a >= b ] )

xprove

目的–证明某个具有非负变量的代数不等式。

输入指令：

xprove(ineq);

xprove(ineq,[ineqs]);

指令中各项的含义:

ineq -一个待证的代数不等式，它的所有变量都取非负值。

ineqs –作为假设条件的一组代数不等式，其中所有变量都取非负值。

注意：

—待证的代数不等式必须是 <= 型或者 >= 型的，而且作为假设条件的不等式组ineqs定义一个开集或者一个开集加上它的全部/部份边界。

—其假设ineqs和结论ineq中只出现有理函数和根式。

—“所有变量非负”在此是默认的，不必写入假设条件中。

例子：

> xprove( sqrt(u^2+v^2)+sqrt((1-u)^2+(1-v)^2) >= sqrt(2),[ u <= 1,v <= 1 ] );

> xprove( (x+1)^(1/3)+sqrt(y-1)+x*y+1/x+1/y^2 >= 42496/10000,[ y > 1 ] );

> xprove( (x+1)^(1/3)+sqrt(y-1)+x*y+1/x+1/y^2 >= 42497/10000,[ y > 1 ] );

yprove

目的–证明某个代数不等式。

输入指令：

yprove(ineq);

yprove(ineq,[ineqs]);

指令中各项的含义:

ineq -一个待证的代数不等式。

ineqs –作为假设条件的一组代数不等式。

注意：

—待证的代数不等式必须是 <= 型或者 >= 型的，而且作为假设条件的不等式组ineqs定义一个开集或者一个开集加上它的全部/部份边界。

—其假设ineqs和结论ineq中只出现有理函数和根式。

例子：

>f:=x^6*y^6+6*x^6*y^5-6*x^5*y^6+15*x^6*y^4-36*x^5*y^ 5+15*x^4*y^6+20*x^6*y^3-90*x^5*y^4+90*x^4*y^5-20*x^3*y^6 +15*x^6*y^2-120*x^5*y^3+225*x^4*y^4-120*x^3*y^5+15*x^2*y ^6+6*x^6*y-90*x^5*y^2+300*x^4*y^3-300*x^3*y^4+90*x^2*y^5 -6*x*y^6+x^6-36*x^5*y+225*x^4*y^2-400*x^3*y^3+225*x^2*y^ 4-36*x*y^5+y^6-6*x^5+90*x^4*y-300*x^3*y^2+300*x^2*y^3-90 *x*y^4+6*y^5+15*x^4-120*x^3*y+225*x^2*y^2-120*x*y^3+15*y ^4-20*x^3+90*x^2*y-90*x*y^2+20*y^3+16*x^2-36*x*y+16*y^2-6*x+6*y+1:

> yprove(f>=0);

sprove

目的–证明某个具有非负变量的对称的多项式不等式。

输入指令：

sprove(ineq);

ineq - 一个待证的具有非负变量的对称的多项式不等式。

“所有变量非负”在此是默认的。

此版本尚未考虑另加约束条件的sprove.

关于全局优化的主要指令及其例解

cmin

目的–对于某个依赖于一个参数（譬如var）的几何不等式，寻求使该不等式成立的var的最小可能值。

输入指令：

cmin(ineq,[ineqs],var);

指令中各项的含义:

ineq - 一个依赖于参数var的几何不等式，当var取常数值时它属于指令prove所能处理的不等式的类型。

ineqs –一组作为约束条件的几何不等式，其中每个都属于指令prove 所能处理的不等式的类型。

var - 参数。

输出–一个代数数。

例子：

> cmin( wa^2+wb^2+wc^2 <=

4*R^2+11*r^2+k*r*(R-2*r),[],k );

ccmin

这个指令的功能和用法与cmin几乎完全相同，但它只适用于如果我们已经知道该最小可能值只在等腰三角形上取到。

例子：

> ccmin( wa^2+wb^2+wc^2 <=

4*R^2+11*r^2+k*r*(R-2*r),[],k );

findmin

目的 - 对于某个依赖于一个参数（譬如var）的几何不等式，寻求使该不等式成立的var的最小可能值。与cmin不同的是：待证的几何不

等式以及作为约束条件的不等式组都必须是关于三角形三边对称的。

输入指令：

findmin(var,ineq,[ineqs]);

指令中各项的含义:

var - 参数。

ineq - 一个依赖于参数var的几何不等式，当var取常数值时它属于指令prove所能处理的不等式的类型，而且是关于三角形三边

对称的。

ineqs -一组作为约束条件的几何不等式，其中每个都属于指令prove 所能处理的不等式的类型，而且都是关于三角形三边对称的。

输出–一个代数数。

例子：

> findmin( k,wa^2+wb^2+wc^2 <=

4*R^2+11*r^2+k*r*(R-2*r),[] );

fmin

目的–对于某个依赖于一个参数（譬如var）的几何不等式，寻求使该不等式成立的va r的最小可能值的近似值。

输入指令：

fmin(ineq,start,end,dig,var,[ineqs]);

指令中各项的含义:

ineq - 一个依赖于参数var的几何不等式，当var取常数值时它属于指令prove所能处理的不等式的类型。

ineqs –一组作为约束条件的几何不等式，其中每个都属于指令prove 所能处理的不等式的类型。

start –参数var的最小可能值的一个已知的下界。

end - 参数var的最小可能值的一个已知的上界。

dig - 对近似值所要求的有效数字的位数。

var - 参数。

输出–参数var的最小可能值的满足要求精度的下界和上界。

例子：

> fmin( wa^2+wb^2+wc^2 <=

4*R^2+11*r^2+k*r*(R-2*r),-10,10,5,k,[] );

xmin

目的–对于某个依赖于一个参数（譬如var）的代数不等式，寻求使该不等式成立的var的最小可能值。

输入指令：

xmin(ineq,[ineqs],var);

指令中各项的含义:

ineq - 一个依赖于参数var的代数不等式，当var取常数值时它属于指令xprove所能处理的不等式的类型。

ineqs –一组作为约束条件的代数不等式，其中每个都属于指令xprove 所能处理的不等式的类型。

var - 参数。

输出–一个代数数。

例子：

> ineq:=1/5*(x2^3+1)^(1/3)*x2^2*x3^2<=k;

> ineqs:=x2^3+1 <= 12167/1000,

x3 <= 32/10,

10-(x2^3+1)^(2/3)-x2^2-x3^2-2/5*x2*x3 >= 0,

sqrt(250-25*(x2^3+1)^(2/3)-25*x2^2-25*x3^2+10*x2*x3) +sqrt(250-25*(x2^3+1)^(2/3)-25*x2^2-25*x3^2-10*x2*x3) <= 32;

> xmin(ineq,[ineqs],k);

xfmin

目的–对于某个依赖于一个参数（譬如var）的代数不等式，寻求使该不等式成立的var的最小可能值的近似值。

输入指令：

xfmin(ineq,start,end,dig,var,[ineqs]);

指令中各项的含义:

ineq - 一个依赖于参数var的代数不等式，当var取常数值时它属于指令xprove所能处理的不等式的类型。

ineqs –一组作为约束条件的代数不等式，其中每个都属于指令xprove 所能处理的不等式的类型。

start –参数var的最小可能值的一个已知的下界。

end - 参数var的最小可能值的一个已知的上界。

dig - 对近似值所要求的有效数字的位数。

var - 参数。

输出–参数var的最小可能值的满足要求精度的下界和上界。

例子：

> ineq:=1/5*(x2^3+1)^(1/3)*x2^2*x3^2<=k;

> ineqs:=x2^3+1 <= 12167/1000,

x3 <= 32/10,

10-(x2^3+1)^(2/3)-x2^2-x3^2-2/5*x2*x3 >= 0,

sqrt(250-25*(x2^3+1)^(2/3)-25*x2^2-25*x3^2+10*x2*x3) +sqrt(250-25*(x2^3+1)^(2/3)-25*x2^2-25*x3^2-10*x2*x3) <= 32;

> xfmin(ineq,0,40,5,k,[ineqs]);

关于寻求参数的“最大可能值”，我们有函数cmax,ccmax,findmax,fmax, xmax和xfmax，其用法相应地与 cmin,ccmin,findmin, fmin,xmin 和xfmin 类似。

注：由于这是一个简易的使用指南，以上介绍的只是软件的主要功能，并不包括所有的函数。