1.2.3绝对值
1.2.3 绝对值
教学目标：
1、借助数轴理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值；
2、通过对|a|的讨论的教学，让学生体会分类时应做到不重复、不遗漏，渗透符
号意识。
重点：求一个有理数的绝对值。
难点：对|a|的讨论及对绝对值的几何意义的理解。
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
观察：它们分别距原点多远？它们与原点的距离有何关系？
二、合作交流，解读探究
1、学习绝对值的概念
（1）在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
（2）绝对值的表示：
一个数的绝对值就是在这个数的两旁各画一条竖线，如+2的绝对值等于2，记作|+2|＝2。
数a的绝对值记作|a|.
（3）想一想互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？
一对相反数虽然分别在原点两边，但它们到原点的距离是相等的。
互为相反数的两个数的绝对值相等。
2、一个数的绝对值与这个数有什么关系？
例如：|3|＝3，|＋7|＝7
一个正数的绝对值是它本身；
例如：|－3|＝3，|－2.3|＝2.3
一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
因为正数可用a＞0表示，负数可用a＜0表示，所以上述三条可表述成：
(1) 如果a＞0，那么|a|＝a
(2) 如果a＜0，那么|a|＝－a
(3) 如果a＝0，那么|a|＝0
三、做一做
1、在数轴上表示下列各数，并求出各数的绝对值. -15，-3，-1，-5.
2、绝对值是7的数有几个？各是什么？有没有绝对值是－2的数
3、绝对值是0的数有几个？各是什么
4、绝对值小于3的数是否都小于绝对值小于5的数？
5、绝对值小于10的整数一共有多少个？
6、判断：(1)若一个数的绝对值是2 ，则这个数是2 ；（）
(2)|5|＝|－5|；（）(3)|－0.3|＝|0.3|；（）
(4)|3|＞0；（）
(5)|－1.4|＞0；（）
(6)有理数的绝对值一定是正数；（）
(7)若a＝b，则|a|＝|b|；（）
(8)若|a|＝|b|，则a＝b；（）
(9)若|a|＝－a，则a必为负数；（）
(10)互为相反数的两个数的绝对值相等；（）
7、求绝对值不大于2的整数；
8、已知x是整数，且2.5＜|x|＜7，求x．
练习一
2. 如果一个数的绝对值等于
3.25 ，则这个数是___
3、如果a的相反数是-0.74，那么|a| =______
4. 如果|x-1|=2，则x=______．
练习二
1.绝对值等于6的数有_______, 绝对值是0的数是。
2.比较大小：│－5││－8││-0.05│0；│-3│1；
3. 判断（对的打“√”，错的打“×”）：
（1）一个有理数的绝对值一定是正数。( )
（2）－1.4<0，则│－1.4│<0。( )
（3）│－32︱的相反数是32 ( )
（4）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等( )
（5）互为相反数的两个数的绝对值相等( )
4. 足球比赛中对所用的足球有严格的规定，下面是5个足球的质量检测结果（用正数表示超过规定质量的克数，用负数表示不足规定质量的克数）
-20 +10 +12 -8 -11
请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识加以说明。
答：记为-8的足球质量好一些。
因为│－20│=20，│+10│=10，│+12│=12，
│－8│=8，│－11│=11
所以│－8│< │+10│< │－11│< │+12│< │－20│
也就是说记为-8的足球与规定的质量相差比较小，
因此其质量比较好
四、本章小结
一个正数的绝对值等于它本身
一个负数的绝对值等于它的相反数
0的绝对值等于0
互为相反数的两个数的绝对值相等
五、作业
初一数学绝对值典型例题
绝对值 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质 绝对值 简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用 绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|
[例1] （1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 （3） 下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 （4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析： （1） 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2） 答案C 不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。 （3） 选择D 。 （4） 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ <分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。 [巩固] 有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ） A.a ＞b B.a=b C.a高中数学 含绝对值的函数图象的画法及其应用素材
含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4
巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题
巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题 【例1】求 y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值，并指出y为最小值时，x的值为多少 初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止。绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义，另一个几何意义，但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义。 绝对值的代数意义：｜a｜=a, (a≥0)；｜a｜=－a, (a＜0)。 绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离。 众所周知，如果数轴上有两点A,B，它们表示的数分别为a, b（a≤b)，则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜（如图1）。 设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜， 由图2可以看出，如果X在A，B两点之间，那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜，即：当a≤x≤b时，｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜； 同样，设点C在数轴上表示的点为c，（a≤b≤c)，则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜， 由图3可以看出，如果X落在B点，那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜，即：当x=b时，｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜。 一般说来，设f(x)=｜x-a?｜+｜x-a?｜+｜x-a?｜+???+｜x-a n｜， 其中a?≤a?≤…≤a n，那么： 当n为偶数时，f min(x)=f(a)，其中a n/2≤a≤a n/2+1； 且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+???+(a n/2+1-a n/2) =(a n+a n-1+??? a n/2+1)-(a1+a2+???+a n/2) 当n为奇数时，f min(x)=f(a（n+1）/2)； 且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+???+【a(n+1）/2+1-a(n+1）/2-1】 =【a n+a n-1+??? a(n+1）/2+1】-【a1+a2+???+ a(n+1）/2-1】
绝对值分三种情况讨论
分三种情况讨论 在解形如3|x﹣2|=|x﹣2|+4这一类含有绝对值的方程时，我们可以根据绝对值的意义分x＜2和x≥2两种情况讨论： 解题回顾：本题中2为x﹣2的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了x＜2和x≥2两部分，所以分x＜2和x≥2两种情况讨论． 知识迁移： （1）运用整体思想先求|x﹣3|的值，再去绝对值符号的方法解方程：|x﹣3|+8=3|x﹣3|； 知识应用： （2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解类似的方程：|2﹣x|﹣3|x+1|=x﹣9． 提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？ 适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值有﹣3，﹣2，﹣1，0． 1.（1）若|x+5|=2，则x=﹣3或﹣7； （2）代数式|x﹣1|+|x+3|的最小值为4，当取此最小值时，x的取值范围是﹣3≤x≤1； （3）解方程：|2x+4|﹣|x﹣3|=9． （1）解方程：|2x+3|=8． （2）解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|=1． 3.解方程：|x+1|+|x﹣3|=4． 4.解方程:|x﹣2|+|x﹣1|=3， 5.解绝对值方程：|x﹣1|﹣|x﹣2|=x﹣3． 6.方程|x+1|﹣2|x﹣2|=1的解为x=或x=4． 7.|2x+1|=|x﹣3| 8.解绝对值方程：|x﹣4|+|x﹣3|=2． 8.解方程：|x|+|2x﹣1|=5． （1）根据上面的解题过程，方程2|x﹣1|﹣x=4的解是x=6或x=﹣．（2）根据上面的解题过程，求解方程：2|x﹣1|﹣|x|=4． （3）方程|x|﹣2|x﹣1|=4无解．（直接在_____上填“有”或“无”）
高三数学复习绝对值函数及函数与方程
1 精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年级：高三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学 学科教师：刘剑授课 类型 T (同步知识主题) C （专题方法主题） C （专题方法主题） 授课日 期时段教学内容 绝对值类型（2） 专题二：局部绝对值 例1：若不等式a ＋21 x x ≥2log 2x 在x ∈(12，2)上恒成立，则实数a 的取值范围为． 例2：关于x 的不等式x 2＋9＋|x 2－3x |≥kx 在[1,5]上恒成立，则实数k 的范围为________．例3：设实数1a ，使得不等式a a x x 23，对任意的实数2,1x 恒成立，则满足条件的实数a 的范围是 .
2 例4：设函数f(x)＝x 2＋|2x －a|(x ∈R ，a 为实数)． (1)若f(x)为偶函数，求实数 a 的值；(2)a=2时，讨论函数)(x f 的单调性； (3)设a>2，求函数f(x)的最小值． 例习1：已知函数f(x)＝|x －m|和函数g(x)＝x|x －m|＋m 2 －7m. (1)若方程f(x)＝|m|在[4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围；[来源学#科#网Z#X#X#K](2)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f(x 1)>g(x 2)成立，求实数m 的取值范围．练习2：设 a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a . （1）若 (0)1f ，求a 的取值范围；（2）求()f x 的最小值； （3）设函数 ()(),(,)h x f x x a ，求不等式()1h x 的解集.
3 专题三：整体绝对值 3 例1.已知函数f(x)＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f(a)＝f (b)，则ab ＋a ＋b 的取值范围是． 例2.设函数d cx bx ax x f 23)(是奇函数，且当33x 时，)(x f 取得最小值932设函数)1,1()13()()(x x t x f x g ，求)(x g 的最大值)(t F 练习3：21 0x 时，21 |2|3x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为． 练习4：设函数3221() 23(01,)3 f x x ax a x b a b R . （Ⅰ）求函数f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的 ],2,1[a a x 不等式f x a 成立，求a 的取值范围。
绝对值和平方的非负性专题练习(学生版)
绝对值与平方的非负性专题练习 一、选择题 1、有理数的绝对值一定是（）． A. 正数 B. 整数 C. 自然数 D. 正数或零 2、下列代数式中，值一定是正数的是（）． A. x2 B. |-x+1| C. （-x）2+2 D. -x2+1 3、设a是有理数，则下列各式的值一定为正数的是（）． A. a2 B. |a| C. a+1 D. a2+1 4、若（a-2）2+|b+3|=0，则（a+b）2014的值是（）． A. 0 B. 1 C. -1 D. 2014 5、若|a-2013|+（b+1）2012=0，则b4的值为（）． A. -1 B. 1 C. -2013 D. 2013 6、若|m+3|+（n-2）2=0，则m n的值为（）． A. 6 B. -6 C. 9 D. -9 7、a为任何有理数，则下列代数式中，正确的有（）． ①-a＜a；②a2≥0；③a≤a2；④a＞1 a ；⑤|a|≥a． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、当式子（2x-1）2+2取最小值时，x等于（）． A. 2 B. -2 C. 0.5 D. -0.5 二、填空题 9、整式（2x-4）2-1的最小值是______． 10、若|m|=-|n-7|，则m+n=______． 11、已知（a-3）2与|b-1|互为相反数，则式子a2+b2的值为______． 12、已知z-|y+2|的最大值为8，y+z=______． 13、-（a-b）2的最大值是______；当其取最大值时，a与b的关系是______． 14、代数式15-|x+y|的最大值是______，当此代数式取最大值时，x与y的关系是______． 15、已知|a+2|+（b-3）2=0，则a-b=______． 16、已知5|3a+4|+|4b+3|=-|c+1|，a-b+c的值为______． 17、如果m、n为整数，且|m-2|+|m-n|=1，那么m+n的值为______．
思维特训(四) 绝对值与分类讨论
思维特训(四) 绝对值与分类讨论 方法点津 · 1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论． 用符号表示这一过程为：||a ＝???a （a >0）， 0（a ＝0），－a （a <0）. 2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论． 用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a . 3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；①讨论；①归纳． 典题精练 · 类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论 1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB|，定义|AB|＝|a －b|. (1)|AB|＝________； (2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|PA|－|PB|＝2时，求x 的值． 2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b|，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)|5－(－2)|的值为________； (2)若|x －3|＝1，则x 的值为________； (3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值； (4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值． 类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题
函数的性质与带有绝对值的函数(教师)
函数的性质与带有绝对值的函数 一、复习要点 基本初等函数性质主要包含了函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及周期性等，另外最值问题、含参问题、范围问题等是重点复习的内容，特别是含有绝对值的函数问题难度都比较大，当涉及到最值问题时，分类讨论与数形结合是常用方法. 二、基础训练 1．(1)若f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝1＋3 x ，则f (x ) ＝ ． （2）若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)=0，则f (x )＜0的x 的取值范围是 ． 【答案】（1）?????－1＋3x ，x ＜0 0， x ＝0 1＋3 x ， x ＞0 ；（2）(－2，2). 2.已知函数()log 1(01)a f x x a a =+>≠且，若当(0,1)x ∈时恒有()0f x <,则函数 23 ()log () 2a g x x ax =-+ 的递减区间是 . 【答案】(0,)3 a . 3．（1）若函数y ＝log 2(x ＋2)的图象与y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )= ． （2）已知f (x )＝log 2|ax ＋3|关于x ＝1对称，则实数a ＝ ． 【答案】（1）log 2(4－x )；（2）－3或0． 4.已知函数()lg f x x =，若0a b <<且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是 . 【答案】()3,+∞. 5.()||f x x a =-在()2+∞， 上为增函数，则实数a 的取值范围是 . 【答案】2a ≤. 6.关于x 的方程()(0)x a x a a a --=≠的实数解的个数为 . 【答案】1个. 7.2 3x m b --=有4个根，则实数b 的取值范围是 . 【答案】02b <<. 8.若不等式a ＋21x x -≥2log 2x 在x ∈(12，2)上恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】1a ≥. （2）若函数()x f 满足条件（1），且对任意[]10,30∈x ，总有()[]10,30∈x f ，求c 的取值范围； （3）若0b =，函数()x f 是奇函数，()01=f ，()2 3 2-=-f ，且对任意[)+∞∈,1x 时，
专题十一：绝对值最值问题
绝对值最值问题 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离。数a的绝对值记作a 几个绝对值和的最小值问题：奇点偶段（含端点） 1、（1）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点， 如图甲，AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|； 当A、B两点都不在原点时， 1如图乙，点A、B都在原点的右边， AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|； ②如图丙，点A、B都在原点的左边， AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|； ③如图丁，点A、B在原点的两边 AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|． 综上，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的 距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是； ②数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB| ＝2，那么x＝； ③当代数式|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的取值范围是． ④当代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的值是． ⑤当代数式|x﹣5|﹣|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是．
2、在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则线段AB的长表示为|a﹣b|，例如：在数轴上，点A表示5．点B表示2，则线段AB的长表示为|5﹣2|＝3：回答下列问题： （1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是： （2）若AB＝8，|b|＝3|a|，求a，b的值． （3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，求b 的值．
绝对值应用(分类讨论)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：什么是绝对值，绝对值法则是什么？ 问题2：|x|=2表示在数轴上，x所对应的点与_______的距离为______，因此x=______．问题3：有关绝对值的分类讨论： ①__________，分类； ②根据__________，筛选排除． 绝对值应用（分类讨论）（北师版） 一、单选题(共9道，每道11分) 1.若，则的值为( ) A.4 B. C.-4 D.0 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：去绝对值 2.若，则的值为( ) A.1 B.±1 C.±7 D.1或7 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 3.若，则( ) A.4 B.8 C.4或8 D.4或-8 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：去绝对值 4.若，，则( ) A.8 B.±8 C.8或-2 D.±2 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 5.若，，则( ) A.-3 B.-3或7 C.3或-7 D.±3或±7 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：去绝对值 6.已知，，且，则a+b的值为( ) A.±3 B.±13 C.3或-13 D.-3或13 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 7.若，，且，则x与y的值分别为( ) A.或 B.或或 C.或或 D.或或或 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 8.已知，，且，则的值为( ) A.±3 B.-3或-7 C.-3或7 D.或 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：去绝对值 9.若，则的取值共有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：C 解题思路：
分段函数与绝对值函数练习
分段函数与绝对值函数练习 一、双基题目练练手 1.设函数f （x ）=?????≥--<+, 114,1)1(2x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( ) A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］ C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2006安徽)函数2 2,0 ,0x x y x x ≥?=?-
7. 已知函数13 2 (0)()(01)log (1)x x f x x x x ?<=≤≤>??,当a <0时,f {f [f (a )]}= 8.函数221(0)()(0)x x f x x x ?+≥?=?-≤n n 求f （2002）. 解：∵2002＞2000， ∴f （2002）=f ［f （2002－18）］=f ［f （1984）］=f ［1984+13］=f （1997）=1997+13=2010. 感悟方法 求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上. 【例2】判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ?-≥?=?-+0时，－x<0, f(－x)= －(－x)2(－x+1)=x 2(x －1)=f(x)； 当x=0时，f(－0)=f(0)=0；当x<0时，f(－x)=( －x)2(－x －1)= －x 2(x+1)=f(x)。因此，对任意x ∈R 都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数。
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)..
绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后,其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 １利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |＝(0)(0)x x x x ≥?? -????≤?；｜ x ｜>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>?? ?≠=??∈c (c >０)来解,如｜ax b +|>c (c >０）可为ax b +＞c 或ax b +<-c ;|ax b +| 思维特训(四) 绝对值与分类讨论 方法点津 · 1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论． 用符号表示这一过程为：||a ＝?????a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）. 2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论． 用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a . 3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳． 典题精练 · 类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论 1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB |，定义|AB |＝|a －b |. (1)|AB |＝________； (2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|P A |－|PB |＝2时，求x 的值． 2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为 AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b |，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)|5－(－2)|的值为________； (2)若|x －3|＝1，则x 的值为________； (3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值； (4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值． 类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题： 【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c 的值． 【解决问题】 解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋b b ＋c c ＝1＋1＋1 ＝3；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋－b b ＋－c c ＝1－1－1＝－1. 所以|a|a ＋|b|b ＋|c|c 的值为3或－1. 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 2．11分段函数与绝对值函数 ——随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化之 一、明确复习目标 了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法 二．建构知识网络 1.分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。 2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数. 3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。 4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究. 三、双基题目练练手 1.设函数f （x ）=???? ?≥--<+, 11 4,1) 1(2 x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( ) A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］ C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2006安徽)函数2 2,0 ,0x x y x x ≥?=? - 4.（2006全国Ⅱ）函数19 1 ()n f x x n == -∑的最小值为 ( ) （A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45 5.（2005北京市西城模拟）已知函数f （x ）=?? ?<-≥-), 2(2 ), 2(2 x x x 则f （lg30－lg3） =___________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_______________. 6. （2006浙江）对R b a ∈,,记则{}? ??≥=b a b b a a b a ＜,,,max 则函数 (){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 . 7. 已知函数1 3 2 (0)()(01)log (1) x x f x x x x ?<=≤≤>??,当a <0时,f {f [f (a )]}= 8.函数2 21(0) ()(0) x x f x x x ?+≥?=?- 一、绝对值的非负性及其应用 引例：(教材17页作业题A组3题) 例题：下面的说法对吗如果不对，应如何改正 (1)一个数的绝对值一定是正数； (2)一个数的绝对值不可能是负数； (3)绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数． 知识点归纳： 1、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值． 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关． 结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立． 2、绝对值是非负数 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即任何一个实数的绝对值是非负数 例题讲解 例1、a，b为实数，下列各式对吗若不对，应附加什么条件请写在题后的横线上。 (1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；； (2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；； (3)｜a-b｜=｜b-a｜；； (4)若｜a｜=b，则a=b；； （5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；； (6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜，。 例2? 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于 （? ）． （A） ? （B） ? （C） ? （D） 归纳点评? 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清： 1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数． 3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． 练习：设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．例3：│a│+ │b│=0，求a，b的值。 变式：│a│+ │b│+ │c│=0，求a，b，c 的值。 例4：│a－2│+ │b+3│=0,求a，b的值. 变式练习： 11、任何一个有理数的绝对值一定(D) A．大于0 B．小于0 C．不大于0 D．不小于0 2已知a为有理数，则下列四个数中一定为非负有理数的是 (C) A．a B．－a C．|－a | D．－|－a | 3若|x|－|y|＝0，则(D) A．x＝y B．x＝－y C．x＝y＝0 D．x＝y或x＝－y 变式训练4对于任意有理数a，下列各式一定成立的是(C) A．a＞| a | B．a＞|－a | C．a≥－| a | D．a＜| a | 变式训练5若| a |＋|b|＝0，则a与b的大小关系是(A) A．a＝b＝0 B．a与b互为相反数 C．a与b异号D．a与b不相等 变式训练6若x是有理数，则|x|＋1一定(C) A．等于1 B．大于1 C．不小于1 D．不大于1 变式训练7如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是 (B) A．负数B．负数或零C．正数或零D．正数 变式训练8已知：|2x－3|＋|y＋2|＝0，比较x，y的大小关系，正确的一组是 (B) A．x＜y B．x＞y 2016上海初一数学绝对值难题解析 绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。 绝对值有两个意义： （1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。 即|a|＝a（当a≥0）, |a|＝－a （当a＜0） （2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。 灵活应用绝对值的基本性质： （1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0) （4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|； 思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法： （1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况） （2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。 （3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 例题解析： 第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子： （1）|a－b|－|c－b| 解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0 c＜0，b＞0 ∴c－b＜0 故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a （2）|a－c|－|a＋c| 解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0 当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a 当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 解：∵x＜－1 ∴x－2＜0 原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0 原式＝（a－3）－(a－6) ＝3 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？ 答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b， 解得b＝0，这时a≥0； 初一数学绝对值难题解析 绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。 绝对值有两个意义： （1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。 即|a|＝a（当a≥0）, |a|＝－a （当a＜0） （2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。 灵活应用绝对值的基本性质： （1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0) （4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|； 思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法： （1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况） （2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。 （3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 例题解析： 第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子： （1）|a－b|－|c－b| 解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0 c＜0，b＞0 ∴c－b＜0 故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a （2）|a－c|－|a＋c| 解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0 当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a 当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 解：∵x＜－1 ∴x－2＜0 原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0 原式＝（a－3）－(a－6) ＝3 4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？ 答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b， 解得b＝0，这时a≥0； 【例题1】：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？ 分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程 可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值） 1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12 2）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40 3）当-13七年级数学(上)思维特训(4)：绝对值与分类讨论(含答案)
分段函数与绝对值函数
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2016上海初一数学绝对值难题解析
初一数学绝对值难题解析
绝对值的最值问题