应用泛函分析复习小结

第一章实分析概要

本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些基础知识，特别是点集的勒贝格测度与勒贝格积分理论。这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学及其它学科中有直接的应用。

第一节集合及其运算第

二节实数的完备性第三

节可数集与不可数集

第四节直线上的点集与连续函数第

五节点集的勒贝格测度与可测函数

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第六节勒贝格积分

第一节集合及其运算

1）A∪A=A,A∩A=A;

2）A∪ Φ=A,A∩ Φ=Φ；

3）若A?B，则A∪B=B,A∩B=A,A\B=Φ；

4) 设X为基本集，则

A ∪ A C= X , A ∩ A C=Φ, ( A C)C= A, A \

B = A ∩ B C

又若A?B，则A C?B C。

集合的运算法则：

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交换律 A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A ；

结合律( A∪B) ∪C=A∪ (B∪C) =A∪B∪C；

( A∩B) ∩C=A∩ (B∩C) =A∩B∩C；

分配律( A∪B) ∩C= ( A∩C) ∪ (B∩C) ；

( A∩B) ∪C= ( A∪C) ∩ (B∪C) ；

( A \ B) ∩C= ( A∩C) \ (B∩C) .

定理 1.1 设X为基本集，Aα为任意集组，则

1) ( U Aα )C=I ( Aα )C (1.6)

α∈I α∈I

2) ( I Aα )C=U ( Aα )C (1.7)

α∈I α∈I

A \ ( A \ B)= A I B

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第二节实数的完备性

2.1有理数的稠密性

2.2实数的完备性定理

定义 2.1(闭区间套)

设{[a n,b n]}(n=1,2,L, )是一列闭区间，a n

1）渐缩性，即[a1,b1]?[a2,b2]?L?[a n,b n]?L;

2) 区间长度数列{b n?a n }趋于零，即lim(b n?a n)=0

n→∞

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定理 2.1 (区间套定理)

设{[a n,b n]}为实数轴上的任一闭区间套，其中a n与b n都是实数，那么存在唯一的一个实数ξ属

∞

于一切闭区间[a n,b n](n=1,2,L)，即ξ∈ ∩[a n,b n]，并且

n=1

lim a n= lim b n=ξ

n→∞n→∞

利用区间套定理，可以直接推出所谓的列紧性定理（定理 2.2），这个定理的名称的含义在第二章中解释。我们先介绍一个有关的概念。

命题 2.1设{x n}是一个数列，则lim x n=a的充分必要条件是：

n→∞

{x n }的每一个子列都收敛而且有相同的极限值a .

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定理 2.2（列紧性定理）√

任何有界数列必有收敛子列

定义 2.3设{x n}是一个数列，如果当m,n→∞时，有x m?x n→0，那么就说{x n}是一个基本

数列或柯西数列。

定理 2.3柯西（Cauchy）收敛原理(完备性定理)√

数列{x n}收敛的充分必要条件是，它是一个基本数列。

定理 2.4(单调收敛定理)√

单调有界数列（即单调增有上界数列或单调减有下界数列）必然收敛

定义 2.4 (确界)设A是一个数集，M是A的一个上（下）界。如果对任意的ε 0，必存在

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A 中的数 xε，使得 xε> M ?ε(xε< M +ε)，那么就称 M 为数集 A 的上（下）确界。

定理 2.5确界存在定理(不讲)

由上（下）界的数集必有上（下）确界。

定义 2.5 (覆盖)设[a,b]是一个闭区间，Α={σa|a∈I}是一个区间族，其中区间σa可以是开的，闭的或者半开半闭的，而指标集I可以是有限集，也可以是无限集。如果[a,b]中的每一点必

含于区间族Α的某一区间σa之中，那么就称Α覆盖区间[a,b]，或者区间[a,b]被Α覆盖。

定理 2.6（有限覆盖定理）(不讲)

若闭区间[a,b]被区间族Α覆盖，则能从Α中选出有限个开区间覆盖[a,b]。

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上面我们介绍了刻画实数完备性的六个定理，它们是按这样的逻辑顺序进行的：从定理2.1 (区间套定理)出发，推出定理2.2（列紧性定理），又从定理2.2推出定理 2.3 柯西（Cauchy）收敛原理(完备性定理)，又从定理 2.3推出定理 2.4(单调收敛定理)，又从定理2.4推出定理2.5确

界存在定理)，最后，从定理 2.5推出定理2.6（有限覆盖定理）

第三节可数集与不可数集

3.1 映射

定义 3.1设A与B是两个非空集合，如果按照一定的法则f，对于A中的每个元

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x ，都存在B中的一个确定的元y与 x 相对应，那么我们称f为定义A上取值于B中的一个映射，记作y=f(x)。y称为x在映射f下的象，对于固定的y，A中适合关系式y = f (x)的 x 的全体称为y的原象。集A称为映射 f 的定义域， f ( A)={ f (x) | x ∈ A}称为

映射f的值域，一般f(A)?B。

为方便起见，今后常将把从集A到f(A)?B的映射写成

f : A → B

特别，若B是一个数集，此时映射f称为泛函；若A与B都是数集，f就是通常的函数。

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3.2 可数集与不可数集，集合的势

定理3.1有理数集是可数集。

定理3.3可数个可数集的并是可数集。

定理3.4区间[0, 1]中的点是不可数的。

第四节直线上的点集与连续函数本节先讨论直线上的点集的基本性质，然后，在此基础上研究

4.1 开集、闭集及其性质

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4.2开集的构造

4.3点集上的连续函数，函数的一致连续性

4.4函数列的一致收敛性

4.1开集、闭集及其性质

定义 4.1设E是直线R上的任一点集，a是直线上的任意一点，我们把直线上包含a的任一区间(α,β)称为点a的邻域；设a是E中的点，如果存在着a的一个邻域(α , β ) 整个包含于E内，则称a是E的内点；如果点集E的每一点都是它的内点，则称E 是一个开集。

定理4.1开集具有下列的性质：

1）空集Φ与直线R的本身都是开集；

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2）任意多个开集的并是开集；

3）有限多个开集的交是开集.

定义 4.2设E是直线R上的任一点集，a是直线上的任意一点(不一定属于E)。如

果a的任一邻域(α,β)中含有E中不同于a的点，则称a为E的极限点（或聚点）。

定理 4.2点a是集E的极限点的充要条件是存在E中的点列{a n}(a n≠a)，使

lim a n=a

n→∞

定义 4.3设E为直线上的点集，由E的所有极限点构成的集称为E的导集，记

作E'，称集E U E'为E的闭包,记作E。若集E的余集E C=R\E为开集，则称E为闭集.

定理4.3非空集E是闭集的充要条件是E'? E

定理4.4集合E为闭集的充要条件是E=E。

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定理4.5闭集具有下列基本性质

1）空集Φ与全直线R是闭集；

2）任意多个闭集的交是闭集；

3）有限多个闭集的并是闭集.

4.2 开集的构造

定义4.4设G是直线R上的一个有界开集，如果开区间(α,β)满足条件：

1)(α,β) ?G

2)α ? G,β ? G

则称(α,β)为开集G的一个构成区间。

定理4.6（开集的构造原理）设G为直线上的任意非空有界开集，则G可以表

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示为至多可数个互不相交的构成区间之并，即

G =U(αk,βk)

k∈I

其中I为有限的或可数的指标集.

4.3 点集上的连续函数，函数的一致连续性

定义在区间上的连续函数的概念几乎可以逐字逐句的推广到直线的点集上去。

定义4.5设E是直线R上的点集，f(x)是定义在E上的一个函数(即映射f : E → R )， x0是E中的任意一点。如果对于E中任何收敛于 x0的点列{x n}，都有

lim f (x n ) =f (x0 )

x n→x0

那么称函数f(x)在点x0连续。如果f(x)在E中每点都连续，那么称f(x)在集E上连续。定理4.7设F是直线R上的有界闭集，f(x)是定义在F上的连续函数，则

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(1) f (x)在集F上必有界，

(2)并且能取得它的最大值（上确界）与最小值（下确界）。

定义4.6 设f(x)定义在点集E?R上，如果对于任意的ε>0，都能找到δ(ε)> 0

（注意δ(ε)与点x无关），使得对于E中的任意两点x1与x2，只要x1? x2 <δ，就有

f (x1)? f (x2) < ε（1.13）成立，则称函数f(x)在集E上一致连续。

定理4.8 设f(x)在有界闭集F?R上连续，那么f(x)在F上必一致连续。

4.4 函数列的一致收敛性

定义 4.7设{f n(x)}是定义在点集E?R上的函数列。如果存在E上的函数f(x)，

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对于任意给定的ε>0，都能找到正整数N(ε)，使得当n>N(ε)时，不等式

f n(x)? f (x)<ε

对于所有x∈E的成立，那么就称f n(x)在集E上的一致收敛于f(x)。

定理 4.9定义在点集E?R上的函数列{f n(x)}一致收敛于f(x)的充要条件是：对于任给的ε>0，存在正整数N(ε)，使得当m,n>N(ε)时，不等式

f m(x)? f n(x) < ε（1.17）对于所有x∈E的成立.

定理 4.10设{f n(x)}是E上的一个连续函数列，如果在E上它一致收敛于函数 f (x)，那么极限函数 f (x)也在集 E 上连续。

定理 4.11设{f n(x)}是区间[a,b]上的连续函数列，若{f n(x)}在[a,b]上一致收敛于 f (x)，则极限函数 f (x)在[a,b]上可积，并且

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∫

b

f (x )dx = lim

∫

b

f n (x )dx

(1.18)

a

n →∞ a

或写成

b

b

∫a

[lim

n →∞ f n

(x )]dx =

lim

n →∞

∫a

f n

(x )dx

第五节 点集的勒贝格测度与可测函数

本节将简要地介绍点集的勒贝格测度与可测函数的基本理论，它不但是建立勒贝

格积分的必要准备，而且在其他的学科（如概率论与随机过程）中也经常用到。

5.1 从黎曼积分到勒贝格测度

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命题5.1如果f(x)在区间[a,b]上连续，那么f(x)在[a,b]上必R可积。

5.2 点集的勒贝格测度

定义 5.1设G为直线上的有界开集，定义G的测度为它的一切构成区间的长度之和，也就是说，若G=U(αk,βk)，其中(α,βk)是G的构成区间，则

k

mG =∑(βk?αk) （1.23）

k

定义5.2 设F为直线上的有界闭集，F?(a,b)，则G=(a,b) \F是有界开集，定义

F 的测度为

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