极限分析方法在挖方边坡稳定性分析中的应用

东南大学

硕士学位论文

极限分析法在挖方边坡稳定性分析中的应用

姓名：赵向阳

申请学位级别：硕士

专业：道路与铁道工程

指导教师：杨军;陈谦应

2001.1.1

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８

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摘要

用岩土极限塑性平衡理论解决岩土工程力学问题是近二、三十年岩土工程界的新发现，它通过引入一个联系着应力与应变的流动法则，为岩土边坡稳定性的研究开辟了～个独立的途径，推动了土体塑性理论的飞速发展。本文从以土体塑性理论为基础的极限分析上限定理出发，通过虚功方程获得一组塑性平衡方程，推导出了任一假想岩土边坡稳定安全系数的实用计算公式，然后通过数学规划方法求得任一假想岩土边坡的最小安全系数，同时还将这些理论程序化，从而为建立公路岩土边坡稳定性评价系统提供了一个新的途径。为了验证本文提供的程序的正确性，还与已熟知的砂尔码（Ｓａｒｍａ）法及一些理论解进行对比。最后运用编制的程序对公路路堑边坡的若干问题进行分析讨论。

芙键词：极限分轿法公路挖力边坡稳定性分析稳定安全系数数学规翱法评价系统

ＡＢＳＴＲＡＣＴ

Ｔｈｅｐｌａｓｔｉｃｌｉｍｉｔｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｃｈｏｐｅｎｓｕｐａｎｅｗｗａｙｔｏｓｔｕｄｙｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆＳｌｏｐｅａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｓｔｈｅｐｌａｓｔｉＣｔｈｅｏｒｙｏｆｓｏｉｌｂｏｄｙｔｈｒｏｕｇｈｉｍｐｏｒｔｉｎｇａｆｌｏｗｒｕｌｅ，ｉｓｗｉｄｅｌｙｕｓｅｄｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆｇｅｏｔｅｃｈｎｉｃａｌｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｉｎｔｈｅｌａｓｔｔｈｉｒｔｙｙｅａｒｓ．Ａｄｏｐｔｉｎｇｔｈｅｕｐｐｅｒｂｏｕｎｄｔｈｅｏｒｅｍｓｏｆｉｉｍｉｔａｎａｌｙｓｉｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｐｌａｓｔｉｃｔｈｅｏｒｙｏｆｓｏｉｌｂｏｄｙ．ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｅｓｅｎｔｓａｐｅｒｆｅｃｔ

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硕士论文：撮鞭分析法在挖方边域稳定性分析中的应甩研究末南在趟壁专箜望童些

第一章概论

１。１概述

极限分析理论始终是路堤、天然边坡、人工边坡及其它岩土结构中稳定分析的主要方法。它作为岩土力学中的一个古典而重要分支，在分析过程中既能避开追踪实际加载路径逐步增量的非线性计算，又能较为有效地直接推求出所求问题的极限荷载和安全系数，因而在土工结构物和边坡的稳定性评价中得到了较为广泛的应用。经过上百年的发展，极限平衡理论已形成了基于某些近似假定的极限平衡法理论、以数学变分原理为基础的滑移线场理论和以塑性力学为基础的极限分析理论。尤其是近一、二十年，极限分析理论以其特有的优势，并结合数学规划理论，已在岩石边坡的稳定性分析中得到越来越多的应用。

１．２国内、外水平

众所周知，岩土力学中的稳定问题是一个非常古老的问题。早在１７７３年，库仑首创了土体塑性理论，提出了土体的库仑屈服准则，建立了连续介质极限塑性平衡的重要概念，并应用这种概念确定了填土对挡墙的压力。后来，Ｒａｎｋｉｎｅ于１８５７年研究了无限体的极限塑性平衡问题，引入了滑移面的概念。１８９９年，Ｍａｓｓａｕ用特征线方法近似地确定了土体的应力场，对无粘性土的平面应变问题提出了滑移线场网的基本几何特性，确认了存在极限线的可能性，并对应力间断问题进行了深入讨论。但在这些土压力理论的发展中，由于只局限于考虑极限塑性平衡，未曾引用应力．应变关系，使这些土压力理论中的某些证明不能令人满意，使土体塑性理论的发展非常缓慢。

到本世纪初，Ｋｏｔｔｅｒ（１９０３）提出了通过获得一组塑性平衡方程，将其转化成曲线坐标来求解土力学问题，也就是滑移线法。Ｆｅｌｌｅｎｉｕｓ（１９２６）提出了描述塑性平衡的一种简化理论“极限平衡法”，并通

壁丝丝型丝丝墅鳖丝堑丝塑堕生丝型垡型丝过各种简单形状（平面或圆柱面）的滑移面求解土力学的稳定问题。目前在工程中用于边坡稳定定性分析方法主要有：Ｆｅｌｌｅｎｉｕｓ法、简化Ｂｉｓｈｏｐ法、Ｊａｎｂｕ法、Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｍ．Ｐｒｉｃｅ法、Ｓｐｅｎｃｅｒ法等等。这些稳定分析方法均可归类为传统的极限平衡法，它原理简单而又富有成熟的实践经验，且往往能给出可以接受的结果，因而在传统上一直用于近似求解土力学稳定问题。这种方法在运用时，通常需人为假定一些描述破坏机构的破坏面，如平面、柱面或对数螺旋面等。从而将所求的稳定问题简化为：从所给的破坏面中寻找最危险的临界破坏面，然后假设沿破坏面的应力分布，通过总体静力平衡方程和内力间的极限平衡条件列出稳定性指标的表达式，通过试算求得稳定性指标的临界值。显然这种分析方法在理论上存在着一定的缺陷：１）其计算假设带有一定的随意性和近似性，且不同的假设得到不同的结果；

２）基本上未考虑土体运动学条件和应力．应变关系，而平衡条件也只是在有限意义才能满足；

３、由于破坏面上的应力分布不是精确确定的，因而其解也就不能肯定是一个真实解。正是由于这些缺陷，阻碍了该方法的进一步推广和发展。

另一种较为熟知的方法是滑移线法，它首先通过库仑屈服准则和静力平衡方程导出基本微分方程，结合应力边界条件，确定所谓“滑移线网”而得到各种问题的解。由于滑移线法只考虑了平衡条件和屈服条件，忽略了土的应力一应变关系。因而从变形力学上看，它不是一个有效解。同时在考虑土重时会使其数学解相当复杂，不利于计算机的实现，因而在实用中常采用近似解或图表解。

在上述方法的发展中，都忽略了一个重要事实，既应力一应变关系是变形体连续力学中任何理论分支的一个基本组成部分。同时，我们也应注意这样一个事实：在从金属变形过程到钢筋混凝土结构设计的广泛领域内，运用金属塑性理论已可得到许多令人满意的结果。正如Ｐｒａｇｅｒ（１９５５）所指出的，金属塑性理论的新发展避免了土力学理

堕塑丝丝堡坌丝壁竺垄型查型堑型生塑塑堕型巡皇篓苎型Ｌ论中的缺点，引入了一个联系着应力与应变的流动法则，从而为金属塑性的研究开辟了一个独立的途径，推动了金属塑性理论的飞速发展。同时以理想塑性理论和极限分析为中心的金属塑性理论的基本原理也开始对土体塑性理论产生影响，六十年代，在金属塑性理论的基础上发展起来的极限分析的一般理论，已及时地用来阐明岩土极限塑性平衡理论的基本原理。

进入七十年代，极限分析理论推广到了岩体工程力学中，早期的应用主要局限于土体静力学，近十几年来，利用拟静力法把静力学稳定性分析推广到了地震荷载的情况。特别是随着计算机的普及，最优化方法已广泛地用于确定最小安全系数及其相应的临界破坏面，使边坡稳定问题得到了迅猛的发展。边坡工程界已开始接受极限分析方法的概念，并运用极限分析方法解决了诸如带有张裂缝的边坡临界高度、竖直坑壁临界高度等诸多问题。九十年代，我国根据实际发展的需要，由国家自然科学基金资助，与国外开展了大量的合作，从极限分析上限定理出发，相继提出了一些有建设性意义的理论和方法，并将这些理论和方法运用在诸如小浪底、思林、三峡等水电工程中［２］，得到了较好的评价。极限分析方法最显著的优点是：

１）具有较为严密的理论基础，在分析过程中严格地遵循塑性力学极限分析来寻找岩体稳定性指标；

２）对破坏面及其上的应力分布不作事先的假设，事实上，在求解边坡稳定过程中回避了不是精确确定的应力分布；

３）同时无论所研究结构的几何形状和荷载情况多么复杂，总能求出～个能实用的稳定性指标；

４）应用起来其解题手续比较简便：

５）继承了传统极限平衡法特点，能给出一个简单、明了、实用的稳定性指标（如安全系数、临界滑裂面、临界荷载等）；

６）能为使用者提供一个清晰的破坏模式物理图形。

近年来，随着计算机的普遍应用，许多工程技术人员也尝试用有限元法或有限差分法来解决弹塑性问题的数值解，但在实际运用中发

丝丝苎！塑丝丝丝垄丝蕉垄星丝丝！丝堡星塑塑型塑塑型丝．现：随着塑性区的扩延，用这些数值方法求解会愈来愈困难，误差也

会愈来愈大。当把这些适用于弹性区的方法推广到弹塑性区时，由于

会出现一些新的困难而可能要做很大的修改。就其根本原因是由于当

塑性区开始相遇并进而彼此合并时，塑性一弹性边界便开始迅速扩展，

进一步求解就极端困难。同时由差分方程代替微分方程，或由有限单

元代替连续介质，必将引进不可避免的误差。特别是当一个或多个位

移分量在跨塑性区的一个薄层后就很快改变时，造成的误差将会更

大。因而，在出现自由塑流之前，求解土体稳定问题常常会不得不放

弃数值解法，转而求助于传统的方法。

１．３本文主要工作

近年来，随着我国高等级公路的迅速发展，平原地区高等级公路

密度大为提高，目前正向地形复杂、地质病害多的山岭区延展。受地

形条件及路线平纵线形的限制，山区高等级公路路堑边坡呈现出不仅

比例增大，而且边坡高度也在增高的特点，其最大高度已达１００米以

上（正在建设中的成一南高速公路上）。受现有技术条件的限制和传统

观念的束缚，目前公路系统仍仅局限于采用传统的极限平衡法进行边

坡的评价。深挖路堑边坡已成为目前山岭高等级公路设计中很难处理

的问题，急需建立一套适合公路特点的边坡稳定性评价系统。

本方法根据近期极限分析理论在岩土塑性力学中的一些成果，在

二维领域运用极限分析理论对公路路堑挖方边坡的稳定问题进行了理

论研究，提出了评价岩土边坡稳定分析的实用方法。在分析中主要从

塑性力学、上限解定理和变形协调出发，对于任一假想的破坏面，建

立协调的速度场，根据外力功等于内能耗损的原理确定相应的安全系

数或加载系数，然后应用最优化方法，确定相应的最小的安全系数及

临界破坏面，为路堑挖方边坡的评价和加固提供理论依据。

本论文主要工作有：

１）结合岩土边坡的特点，简要叙述了极限分析法上限定理的基本

理论：

、、

丝丝：墅丝丝丝塑塑丝壁竺坌丝丝璧丝型

２）运用极限分析法上限定理的基本理论，

边坡稳定安全系数的实用计算公式；

幕角大学道铬ｓ铁道专监

推导出了任一假想岩土

３）通过随机搜索法和数学规划方法求得任一假想岩土边坡最小稳定安全系数及其对应的临界滑裂面；

４）推导了需加固边坡加固外力的计算公式；

５）将２）、３）、４）程序化并与熟知的砂尔码（Ｓａｒｍａ）法及一些理论解进行比较，以验证其正确性；

６）运用编制的程序对公路路堑边坡的若干问题进行分析和讨论。

第二章极限分析的假设和定理

２．１极限分析法上限定理的基本理论

极限分析法实质上是通过找出一个问题最大胆（上限解）和最保守（下限解）的解答后，再从中确定一个解作为问题的正确解。如果上限解等于下限解，则所得的解就是准确解。由此可见，我们可以把极限分析简单地划分为求上限解和求下限解的过程。其中上限解通常被运用在边坡稳定性分析中，文献［２］［３］已在应用上限定理的原理进行边坡稳定分析方面作了大量的工作，结论为，由上限定理确定的破坏荷载不会小于实际破坏荷载，由此再应用最优化方法求出的最小破坏荷载，则必最接近实际破坏荷载。同时文献［２］在运用这一方法对一些具有闭合解的经典问题进行了对比验算，不仅得到了与理论解接近的结果，而且得到了与理论解一致的临界破坏面，这就证明极限分析法是一个具有坚实的理论基础而又实用的方法。

在运用上限定理的极限分析法解决土力学稳定性问题前，首先应明确几个基本概念和基本假定：

２．２上限定理与最优化

文献川中上限定理的基本定义是：在一个假设的，且满足：１）速

堕兰堑查型丝丝堕塑堕塑星丝堑丝生！要丝竺塑堕塑丝塑星堡丝度边界条件，２）应变与速度相容条件的变形模式（或速度场）中，

由外力功率等于所消耗的内功率而得到的荷载，必大于或等于实际破

坏荷载。同样，在边坡稳定分析中，上限定理可描述为：对于任意假

想的边坡破坏机构，在其塑性区Ｑ４，给出一个机动可能的应变场ｅ。；４，并在破坏面ｒ４上给出一个相应的速度场Ｖ４，塑性区的重量为ｗ，则根据外力功率等于所消耗的内功率计算获得的外荷载Ｔ４，将比一个包含有真实塑性区Ｑ和真实破坏面ｒ的临界荷载Ｔ大或相等。既：

ｄｖ＝』Ｗｄｖ＋ｆＴ＃ｄｖ２．１上式左边项为速度间断面上的能量耗损，右边项为重力和外力的功率．

因此在诸多协调的位移场中运用最优化法找出最小的外荷载Ｔ４一

定是最接近实际破坏荷载。上限定理只考虑速度（或破坏）模式和能

量耗损，应力分布并不要求满足平衡条件，而应力一应变关系只需在

速度（或破坏）模式的变形区内定义，这为边坡的稳定分析提供了非

常简便的计算工具。

２．３理想塑性假定和屈服准则

在极限分析中，需要忽略真实土体的应力一应变关系图中的应变软化段，而使土体的应力一应变关系图由两段直线组成。这种在常应力下有连续塑性特性的假想材料，称为理想塑性材料。很显然，对于理想塑性材料，当其达到极限荷载并在常值荷载下继续变形时，所有的应力均保持不变，仅产生塑性变形增量。

一般土体均是处在复杂应力状态下，为了表征土体从弹性状态变

为屈服或流动状态时的应力条件的可能形式，必须给定土体的屈服准

则。在极限分析中仍采用了库仑屈服准则，既：假设土体任意点的任

意面上产生塑性流动的条件是：剪应力ｔ所达到的值与粘聚力Ｃ和有

效正压力。一Ｕ呈线性关系：

ｆ２ｃ＋（仃－ｕ）?ｔａｎ妒２．２

其中（ｐ为土的内摩擦角，常数Ｃ和（ｐ可以简单地视为表征土介质的

翌主ｉ垡：堡丝丝垄丝杰垫茎丝窒丝坌堑！丝堕！｝！堕一薹曼查堂堂竺复丝堂型Ｌ总抗剪参数。

２．４土体变形的运动学假设和流动法则

极限分析的基本定理要求把屈服条件与流动法则具体结合起来。众所周知，当应力空间的应力点达到理想塑性屈服面时，就会产生塑流。同时土体的塑流值却是不确定的，通常可根据应变率来考虑［２３。总的应变率由弹性和塑性组成，弹性应变率可通过虎克定律求得，而其塑性部分则应通过变形的适当运动学假设并取决于应力状态。

文献［２］对土体变形的运动学假设和流动法则作了大量的阐述，从中可得出以下结论：１）表示塑性应变率状态的向量，其方向朝外且垂直于屈服面，既塑性应变率向量与其屈服面有正交性，同时屈服面形状必呈凸形；２）如果（ｐ≠０，库仑材料的任何变形必伴随体积的增加，既具有剪胀特性。它要求理想塑性在发生剪切破坏时，切向速度变化必伴随着一个分离速度；３）内能耗损只发生在速度间断面上，其内部为零。

２．５小变形假设和虚功方程

在证明和运用极限分析定理时，需假设固体在破坏瞬间产生的几何变形是微小的，这样，在所有计算中，变形后固体的几何尺寸均可采用未发生变化是的尺寸。同时小变形假设就意味着可以运用虚功方程。

２．６间断速度场

证明和运用极限分析法的关键在于运用虚功方程。为了合理地算出能量耗损，速度间断是容许的，物体的一部分相对另一部分的刚体运动，就是一个熟知的速度间断例子，在这种情况下，在跨越窄过度层时速度分量（一个或多个）的变化是很快的，为了方便起见，可以用速度间断面来代替。间断速度场不仅提供了方便，而且还可以获得实际破坏模式或破坏机构［２］。

２．７有效机构

在运用极限理论时要求所分析的机构具有有效性，既要求物体内由某一机构所产生的位移的小变化（也可理解为速度场）是相容的，

型丝：塑丝ｉ茎垄丝垄墼墼丝丝！丝塑塑塑壁塑皇篓堂型或者是运动学许可的。也就是说，该机构必须连续，在位移上应协调，

即在物体内不会产生间断或重叠。

综上所述，由极限分析上限定理可知，对于任一假想的有效机构，

其外力（包括重力）所作的功率超过其内部的能量耗损率，则该边坡

必破坏，如令外力功率等于内部的能量耗损率，便可得到极限荷载的

一个不安全的上限。用这种方法建立的方程，叫做该假想边坡机构的

功方程。建立这种功方程要求的条件主要有：

１）必须假设破坏有效机构满足力学边界条件；

２）必须计算外力（包括重力）在假想机构所确定的小位移上所做

的外力功；

３）必须计算与机构的塑性变形区相关联的内部能量耗损率；

４）必须借助功方程求出与任一假想边坡破坏机构相对应的上限

解，则该上限解必大于或等于实际破坏荷载。

从纯数学的角度，描述边坡稳定性的临界参数（如安全系数Ｆ值）

可以看作为该边坡破坏机构（如临界破坏面坐标ｘ。，ｙ，，ｘ。，ｙ：，…，ｘ。，ｙ。）的某一隐式泛函，并通过极限分析的功方程将参数显式化（既Ｆ－－－ｆ（ｘ。，ｙ。，ｘ：，ｙ２，…，ｘ。，ｙ。）），然后运用最优化法寻找ｌ腐界参数的最小值，这个最小值必然接近或稍大于该边坡的真实值。这就是在边坡稳定分析中运用塑性力学上限解在评价其稳定性的基本思路。

第三章边坡变形破坏特征及其滑裂面形态

在边坡稳定性分析的各种方法中，对边坡破坏面形态的选择将直接影响分析的结果，因此，在分析中通常要求所采用的滑裂面形态应尽量与边坡实际滑裂面形态一致。因而，在进行稳定性分析以前，有必要对边坡变形破坏特征及其滑裂面形态进行一些说明。国内、外对边坡变形破坏特征及其滑裂面形态的描述很多…，现仅就～些基本概

丝些缕丝：丝垄型堑丝塑塑燮竺塑．复型丝念作如下说明：

３．１土质边坡

土质边坡是实际工程中常见的一种边坡类型，一般破坏规模较小，但由于土体抗剪强度小，因此土质滑坡在所有类型的滑坡中占有的比例却较大。

３．１．１土坡破坏分类

土坡变形和破坏受很多因素的影响，其表现形式也是复杂多变的，按其运动形式一般可分为倒塌、倾覆、滑动、侧向扩展、流动和复合形式。

３．１．２土坡滑裂面形态

实际土坡破坏后形成的滑裂面通常是很不规则的，它与许多因素有关，其中主要取决于土坡材料的均匀性。天然土坡还取决于残留的节理和裂隙，它们通常决定了土坡滑裂面的位置。如果材料是均匀的，最危险的滑裂面将是一个圆柱面。如果一个圆柱面不能在土坡里形成，最危险的滑裂面将是一个平面，此时如果有一些软弱层面存在，最危险的滑裂面将由一系列沿着这些软弱层的平面构成。有时，也可能出现平面、圆柱面和其它不规则破坏面的组合体。

３．２岩质边坡

岩质边坡与土质边坡相比，不仅破坏规模大，而且岩石本身抗剪强度较高，因而破坏机制上是有差别的，岩质边坡的破坏更多地受控于结构面的发育特征及空间组合关系。因此，岩质边坡分析中首先应抓住岩体特征特别是岩体结构面的特性。

３．２．１岩质边坡破坏分类

岩质边坡依据岩体结构特征可划分为四种基本类型［１】：

ａ）块状结构边坡稳定性一般较好，边坡失稳主要由岩体的结构面的特征及其在空间上的分布。

ｂ）层状结构边坡主要受控于岩体的产状、层面间夹层的抗剪

堡竺丝生丝！笙丝墅堕塑塑型堑型墼塑翌茎苎墼苎堂壁丝旦丝坠强度。在适宜的条件下，可能导致大规模的边坡变形破坏，因此，在

边坡工程中，应特别注意顺层滑动的可能性。

ｃ）碎裂结构边坡岩体的完整性较差，结构面的密度很大，抗

剪强度低，常具塑性，造成边坡稳定性差，常产生追踪破坏。

ｄ）散体结构边坡岩体的完整性及强度极低，具有明显的塑性

或流变特征，使其稳定性评价常采用土质边坡理论和方法。

３．２．２岩质边坡滑裂面形态

在实际工作中，岩质边坡变形破坏形态常采用边坡岩体变形破坏

地质模型来描述，该模型的建立对岩质边坡的分类及稳定性评价是非

常有益的，它不仅可以对千变万化的破坏边坡加以归类，而且为边坡

稳定性分析提供了计算模型，为判断边坡的稳定变化趋势提供了依

据。武汉地质大学李铁汉等（１９８０），以滑裂面的形状、数目、组合

特征及边坡岩体破坏时的力学性质，将岩质边坡滑裂面形态划分为五

类‘４Ｊ，见图３．１

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从数学的角度，在二维的领域内，又可将以上滑裂面形态分为三类：Ｉ）滑裂面由直线组成的平移机构；２）滑裂面由弧线组成的旋转机构；３）滑裂面由直线和弧线组成的混合机构。

第四章平面滑移机构的塑性力学上限解

当边坡滑裂面主要受岩体的结构面控制时（如顺层滑坡），边坡破坏一般多为平面破坏，下面分别讨论利用上限定理建立功方程的条件。

４．１建立多块体破坏模式

根据砂尔码（Ｓａｒｍａ）博士１９７９年在《边坡和堤坝稳定性分析》提出的基本概念：边坡岩体除非是沿一个理想的平面或弧面滑动，才可以作为一个完整刚体运动，否则，边坡岩体必先破裂成多块可相对滑移的块体，才可能产生滑动［４］。也就是说，边坡岩体在发生滑动前必先在内部产生剪切破坏，并分裂成一个个可相互滑动的小块体。这就是建立平面滑移机构多块体破坏模式的理论依据。

在二维领域，对于任一边坡破坏的塑性区，根据上述理论，我们可用一系列倾斜（当然也可是直立的）的线将其划分为若干个小楔块，每个楔块都被视着刚体，且可发生相互移动，显然这些线条也就代表了速度间断面。图４．２给出了一多块体的划分系统。如果岩体遵守库仑屈服准则和相关联的流动法则，则在发生剪切破坏时，边坡塑性体积膨胀要求：上刚体相对下刚体的切向速度变化６ｕ，必始终伴随着一个分离速度６ｖ＝６ｕ×ｔａｎ中，‘ｐ≠Ｏ。也就是说，在速度间断面内，相对速度变化６Ｗ必与速度间断面成交角币（（ｐ为滑面上的内摩擦角）。对于图４．２的多块体则可确认滑面上的速度Ｖ与滑面的夹角为（ｐ，对

堡兰丝苎：型型壁墅塑丝墅丝竺塑丝塑翌丝墅幽主型苎主生于与右侧相邻块体的相对速度Ｖｊ，则与这两块体的交界面的夹角为妒。（（Ｄｊ为交界面上的内摩擦角），内能耗损只发生在速度间断面上，在刚体内部为零。

Ｌ———！—＿Ｊ

豳４．１伴缱着分离的衡单滑动（９≠ｏ）

ｄｄ?

４，２多块体破坏模式

４．２内能耗损

对于速度间断面上单位面积内能耗损ｄＤ的计算公式如下Ⅲ：

ｄＤ＝ｆＣ×ｃｏｓ—Ｕｘｓｉｎ々ｏ）４．１

式中：Ｃ为粘聚力，ｕ为空隙水压力。

４．３外力功

边坡一般具有复杂的几何和受力条件，但外力（包括重力）总可分为水平分量和垂直分量，水平分量所作的功等于水平力与水平力作用点处速度的水平分量的乘积：垂直分量所作的功则等于垂直力与垂直力作用点处速度的垂直分量的乘积。在计算中，通常还须借助砂尔码（Ｓａｒｍａ）提出的计算地震力作用下边坡稳定的基本思路，即假设地震力对整个边坡体系的作用可由一个均匀分布的拟静力地震水平加速度

型丝查幽垄垄型丝！星丝堑型生丝塑堕一———堕丝塑笪塑丝ＫＣ来表示。ＫＣ为正，方向朝坡外，ＫＣ为负，方向朝坡内。并假设该边坡在ＫＣ作用下达到极限平衡。

４．４建立功方程

利用上限定理的描述，边坡在极限平衡时，外力功等于内能耗损，建立功方程：

艺△Ｄ｛＋艺曲：＝∑％《＋朋∑％《＋善＆《４?２

ｔ。ｌＫ－１Ｋ?ｌ《，ｌｆ－Ｉ

上式左边第一和第二项分别为沿条间界面和滑裂底面的内能耗损，可由式４．１求得。

４．５安全系数

功方程建立起来后，即可求出安全系数Ｆ＝Ｉ．００时的拟静力地震力加速度ＫＣ，它可以作为一个估算安全系数Ｆ的指标。然而，地震仅仅是一个偶然事件，人们常常需要对无地震时边坡的稳定作出评价。在实际操作中，无地震时的安全系数可按式４．３实现：既同时降低各速度面的抗剪强度指标，使地震水平加速度从ＫＣ降至零，即在计算中用Ｆ除以各面的抗剪强度指标：

巳：％ｔ觚％＝ｍ％ｑ＝％ｔ肌％＝‰％４．３当Ｆ一直增加到使算出的ＫＣ为零时，这时的Ｆ值既为无地震时的边坡安全系数。

４．６最小安全系数

将式４．３代入式４．２中，右侧的地震力ＫＣ不再存在，而安全系数Ｆ隐含在其中并可解出具体的值。然后应用最优化方法，在诸多协调的速度场中，寻找一个自变量空间（多块体模式及其协调的速度场），它使目标函数Ｆ最小，这个解必接近或约大于真实解。

硬士论文：极嚷分析法在挖方边坡稳窀性分蝗皇睦堡銎墼塞塞塑态兰遵鬯兰氅蓬童些

第五章极限分析法的公式推导

根据上述基本理论的分析，可以得出边坡极限分析法的稳定性计算的具体表达式。在推导过程中根据边坡滑面形状分为：平面滑移、弧线滑移及组合式滑移。

５．１平面滑移机构的塑性力学上限解

对于如图４．２所示的一个三块体平面滑移机构，每块体重量为Ｗ；，滑面上的粘聚力、内摩擦角及空隙水压力分别为Ｃ…％。，ＵＢｉ，块体界面间的粘聚力、内摩擦角及空隙水压力分别为ＣＪｉ＇１３…ＵＪｉ，块体沿滑面的速度为Ｖ…与右侧相邻块体的相对速度为Ｖ”设在作用了一个ＫＣＷ；的水平地震力时该边坡达到了极限破坏，则此时外力仅有块体的重力和水平地震力作功，既：

■＾，３

∑％《＋朋艺取眨＝∑形％ｓｉｎ（ａ，一ｔＰｓｉ）＋脱艺％ｃｏｓ（ａ，一伊。）５．１Ｋ?ｌＫ，Ｉｉｌｌｉ＝ｌ

内能耗损仅发生在块体的底面和界面上，在刚体内部为零，则

ｎ－Ｉ＾２

∑凹；＋∑△Ｄ：＝∑［巳ｃｏｓ（％）一％ｓｉｎ（ｒＰ，ｉ）］Ｖｊｉ

３

＋∑【ｃⅢｃｏｓ（ｆｏⅢ）－ｕⅢｓｉｎ（ｅⅢ）眠５．２

ｌｔＩ

将式５．１和５．２代入式４．２，通过功方程得：

２３

∑［巳ｃｏｓ（ｐ。）一叱ｓｉｎ（％）儿＋∑【Ｇｃｏｓ（妒Ⅲ）一％ｓｉｎ（伊Ⅲ）】％

ＫＣ＝』＝Ｌ———————————————亍———————生Ｌ—————————————————一

∑％％ｃｏ“ａ，一９。）

ｉ＝ｌ

３

－Ｚｗｙ。ｓｉｎ（ａｉ—Ｉｐ３●

ｉ－ｔ５．３上式中如用式４．３代入，则ＫＣ＝Ｏ，安全系数Ｆ隐含其中，Ｆ值需

ｐ、

型墼查丝丝型鲨望塑型型丝塑塑．一一』显垡塑塑兰睦生通过迭代求出。

在具体求解时，可根据变形位移协调条件将上式中的Ｖｅｔ和ＶＪｔ替换掉，根据有效机构的定义，位移协调条件要求相邻块体间的位移不会导致块体产生间断或重叠，也就是说，它们的速度多边形要闭合，如图５．１所示。根据这个要求，右侧条块的速度Ｖ。；和条块间的相对速度Ｖ。可通过左侧条块的速度确定。

豳５．１稿邻决俸∞位移协讽

ＶＢｉ＋Ｉ＝％器岽州

％＝％面ｓｉｎ（ｇｉＢｉｉ－丽Ｏａｉ）５－５

式中ｏｉ为速度Ｖ相对Ｘ轴的夹角。

８Ｊ？＝妥一６＋咖ｌｌ５．６

６为侧面与Ｙ轴的夹角，显然式５．４和５．５是一递推公式，式５．３中的ＶＢｉ和Ｖｊｉ均可表示为Ｖｌ的函数。

５．２平面滑移机构的加固

上面运用塑性力学上限定理推导了对任～边坡平面滑移机构稳定性评价的公式，当得到的安全系数Ｆ小于所要求的安全系数ｒ时，

一般需对边坡进行加固处治。边坡加固处治的方法有很多，一般可分为：１）通过加固处治（如排除地下水、灌浆等），以提高边坡的力学参数，从而提高边坡的安全系数；２）通过改变受力状况（如锚索、锚杆等），来提高边坡的安全系数。对于前一类方法，一般只需在计

型垫塑丝墼丝垫篓墼壁丝堑丝塑塑塑丝塑童丝丝算安全系数时，边坡力学参数采用提高后的指标即可。后一类方法则

需另外推导计算公式。

对于图５．２所示的三块体边坡，设其计算安全系数Ｆ小于规定安

全系数Ｐ，需采用锚索进行加固，锚索与水平成ｐ角，施加的锚固

力为ＫＣＷｉ，指向坡内，根据前面所述计算安全系数的基本原理，我

们可以通过式５．７来减少边坡的力学强度指标，同时将施加的锚固力

分解为水平方向ＫＣＷｉ＊ｓｉｎＢ和垂直方向ＫＣＷｉ＊ｃｏｓ多的二个分力。此

时按式５．８计算可得ＫＣ值，则ＫＣ与边坡重力的乘积既是安全系数为

ｒ时边坡须施加的平均锚固力。

Ｙ?，

豳ｓ．２锚固力计算镝霭．三抉体酸坏缝梅

Ｇ＝％．ｔａｎ”伽嘭．ｑ＝钐唧，＝‰％５．ｚ

２３

∑【Ｇｃｏｓ‰）一％ｓｉｎ（ｑＪ』）】％＋∑［巳ｃｏｓ（伊“一ＵⅢｓｉｎ（ｑ７。ｉ）蚝

ＫＣ＝蔓—１———————————皇｝———————一

∑％％∞ｓ卢ｃｏ《口ｆ一妒ｍ）＋∑％％ｓｉｎ声ｓｉｎ（口，一妒ｍ）

ｊ－ｔｉ，１

３

－ＺＷｌｖ∞ｓｉｎ（ａ』一妒Ｂｉ）

ｊ，Ｉ５．８

５．３弧线旋转机构的塑性力学上限解

当边坡为均匀的土质或岩质边坡，滑裂面不受岩体的结构面控制时，滑裂面一般呈弧线，由变分原理已经证明，在库仑破坏准则下，

丝垫堡堡坌丝丝型丝塑生丝堑丝塑塑————－盟壁丝笺望｝刍刚性滑动体的滑裂面选择为对数螺旋面是合适的嘲。极限分析的上限

定理在此可陈述为：对于任意假想破坏机构，如外力功超过了内部能量耗损，则图５．３和图５．４所示的边坡就会因外力而破坏，因此，对于这类破坏机构，使外力功率等于内能耗损率即可得到安全系数的一个上限解。

在具体求解时可根据对数螺旋面通过坡趾的情况将边坡分为两类：１）通过坡趾的对数螺旋机构；２）不通过坡趾的对数螺旋机构。利用极限分析的上限定理对这两类边坡的稳定性计算在原理上与前面的平面滑移机构完全相同，但具体的推导公式却有所不同。下面以通

过坡趾的对数螺旋机构为例来说明。

ＬＩ莎

巴箩啉

‘荡二。

５．３．１通过坡趾的对数螺旋机构

图５．３示出了一个旋转间断机构，其破坏面假设通过坡趾。塑性变形区ＡＢＣＤＥ绕旋转中心０（尚未确定）相对对数螺旋面ＡＢ以下的静止刚体作刚体旋转。此时，ＡＢ面是一速度间断面。假想破坏机构完全可由两个变量ｏ。和ｏ。确定。