最短路问题的一个改进蚁群算法
兰州大学
硕士学位论文
最短路问题的一个改进蚁群算法
姓名：张美玲
申请学位级别：硕士
专业：数学、运筹学与控制论
指导教师：王海明
20080601
最短路算法[1]
最短路算法及其应用 广东北江中学余远铭【摘要】 最短路问题是图论中的核心问题之一，它是许多更深层算法的基础。同时，该问题有着大量的生产实际的背景。不少问题从表面上看与最短路问题没有什么关系，却也可以归结为最短路问题。本文较详尽地介绍了相关的基本概念、常用算法及其适用范围，并对其应用做出了举例说明，侧重于模型的建立、思考和证明的过程，最后作出总结。 【关键字】 最短路 【目录】 一、基本概念 (2) 1．1 定义 (2) 1．2简单变体 (2) 1．3负权边 (3) 1．4重要性质及松弛技术 (4) 二、常用算法 (5) 2．1 Dijkstra算法 (5) 2．2 Bellman-Ford算法 (7) 2．3 SPFA算法 (8) 三、应用举例 (10) 3．1 例题1——货币兑换 (10) 3．2 例题2——双调路径 (11) 3．3 例题3——Layout (13) 3．4 例题4——网络提速 (15) 四、总结 (18)
【正文】 一、基本概念 1．1 定义 乘汽车旅行的人总希望找出到目的地尽可能短的行程。如果有一张地图并 在地图上标出了每对十字路口之间的距离，如何找出这一最短行程？ 一种可能的方法是枚举出所有路径，并计算出每条路径的长度，然后选择最短的一条。然而我们很容易看到，即使不考虑含回路的路径，依然存在数以百万计的行车路线，而其中绝大多数是没必要考虑的。 下面我们将阐明如何有效地解决这类问题。在最短路问题中，给出的是一 有向加权图G=(V ,E)，在其上定义的加权函数W:E →R 为从边到实型权值的映射。路径P=(v 0, v 1,……, v k )的权是指其组成边的所有权值之和： 11()(,)k i i i w p w v v -==∑ 定义u 到v 间最短路径的权为 {}{}min ():)w p u v u v v δυ→(,=∞ 如果存在由到的通路 如果不存在 从结点u 到结点v 的最短路径定义为权())w p v δυ=(,的任何路径。 在乘车旅行的例子中，我们可以把公路地图模型化为一个图：结点表示路口，边表示连接两个路口的公路，边权表示公路的长度。我们的目标是从起点出发找一条到达目的地的最短路径。 边的权常被解释为一种度量方法，而不仅仅是距离。它们常常被用来表示 时间、金钱、罚款、损失或任何其他沿路径线性积累的数量形式。 1．2简单变体 单目标最短路径问题： 找出从每一结点v 到某指定结点u 的一条最短路 径。把图中的每条边反向，我们就可以把这一问题转化为单源最短路径问题。 单对结点间的最短路径问题：对于某给定结点u 和v ，找出从u 到v 的一 条最短路径。如果我们解决了源结点为u 的单源问题，则这一问题也就获得了解决。对于该问题的最坏情况，从渐进意义上看，目前还未发现比最好的单源算法更快的方法。 每对结点间的最短路径问题：对于每对结点u 和v ，找出从u 到v 的最短 路径。我们可以用单源算法对每个结点作为源点运行一次就可以解决问题。
Dijkstra最短路径算法的优化和改进
本科毕业设计（论文）Dijkstra最短路径算法的优化和改进
摘要 随着计算机和地理信息科学的发展，GIS（地理信息系统）的应用领域越来越广．最短路径分析是GIS地理网络分析功能中的一个关键性的问题．计算最短路径的经典算法之一就是Dijkstra算法，许多工程中解决最短路径问题都是采用这种算法．然而，传统的Dijkstra算法在求解节点间最短路径时，对已标识节点外的大量节点进行了计算，从而影响了算法的速度． 该算法的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止．Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍．本文在传统Dijkstra算法的基础上，对其进行了优化，此优化算法只对最短路径上节点的邻点做了一些处理，从而不涉及到其他的一些节点．提出的优化算法在更新最短路径值与选择最短路径值最小的节点时，仅仅涉及到节点的邻居集合及已标识集合中所有节点的邻居集合与已标识集合的差集，其运行时间取决于转接点的邻居集合的元素数量多少．通过减小算法中成功搜索的搜索范围和改进算法的存储结构这两个主要的研究方向使算法得到优化．因而，此优化算法在计算的节点数较传统算法大幅减少，提高了算法的速度．本文通过实验和实际应用对改进后的算法进行了简单的验证．之后将一些算法的改进和实际例子相结合，这样就能使文章中算法的优化更为理想． 关键词最短路径；Dijkstra；优化算法
Abstract With the development of computer and geographic information science, the applications of GIS (Geographic Information System) are becoming more and more widely. However, shortest path analysis is the key problem of network analyses, Dijkstra algorithm is a classic arithmetic for the shortest path. It is the academic foundation that many engineerings were solved in the shortest path is use. When a shortest path between nodes is searched with Dijkstra algorithm, a lot of nodes away from lagged nodes are involved, so that the efficiency of Dijkstra algorithm is low. Main features of the algorithm is the starting point as the center outward expansion layers until it extended to the end point. Dijkstra's algorithm is very representative of the shortest path algorithm, in many professional courses in the basic content as described in detail. The proposed algorithm updates the shortest path in the value of the minimum value of the shortest path to the node, only the set of neighbors of the node related to the identified set and a neighbor set of all nodes in the identified set with the set difference, its running time depends transfer the contact elements of the set of neighbors of quantity. Successful search algorithm by reducing the search range and improved algorithm storage structure of these two main research directions to optimize the algorithm. Therefore,the number of processed nodes is largely reduced in the optimization algorithm, and efficiency of the optimization algorithm is improved. The improved algorithm is proved to be correct and efficient by experiments and practical application. After some of the algorithm and the combination of practical examples, so you can make the article more ideal algorithm optimization. Keywords The shortest path; Dijkstra; Optimization algorithm
图论及其应用(精)
图论及其应用 学时：40 学分：2 课程属性：专业选修课开课单位：理学院 先修课程：高等代数后续课程：无 一、课程的性质 《图论及其应用》是数学与应用数学专业的专业选修课程。 二、教学目的 通过教学，使学生掌握图论及其算法的基本理论和基本技巧，初步掌握图论及其算法的基本应用手段、基本算法设计及编程，并能用所学理论解决一些应用问题。 三、教学内容 1.图的基本概念 2.图的连通性 3.树的基本性质及其应用 4.Euler Graphs and Hamilton Graphs with Applications 5.平面图性质 6.匹配，求最大匹配算法及应用 7.图的染色及应用 8.极图理论 四、学时分配 章课程内容学时 1 图的基本概念 4 2 图的连通性 6 3 树的基本性质及其应用 6 4 Euler Graphs and Hamilton Graphs with Applications 4 5 平面图性质 6 6 匹配，求最大匹配算法及应用 6
7 图的染色及应用 4 8 极图理论 4 合计40 五、教学方式 本课程采用多媒体课堂讲授，结合实际范例深入浅出讲解讨论。 六、考核方式 本课程考核采用平时与期末考核相结合的办法，特别注重平时的考核，作业采用简单练习、论文等形式，期末考试采用简单考题或论文形式。 七、教材及教学参考书 参考教材： [1] J.A.Bondy and U.S.R.Murty. Graph Theory with Applications, The Macmillan Press LTD,1976. [2] 蒋长浩．图论与网络流．北京：中国林业出版社，2000． 参考书目： [1] Bela Bollobas．Modern Graph Theory（现代图论，影印版）．北京：科学出版社，2001． [2] 殷剑宏、吴开亚．图论及其算法．合肥：中国科学技术大学出版社，2003． [3] 谢金星、邢文训．网络优化．北京：清华大学出版社．2000． [4] 程理民、吴江、张玉林．运筹学模型与方法教程．北京：清华大学出版社，2000． [5] 三味工作室．SPSS V10.0 for Windows 实用基础教程．北京：北京希望电子出版社2001． [６] 孙魁明、张海彤．Mathematica工具软件大全．北京：中国铁道出版社，1994． [７] 楼顺天、于卫、闫华梁．MATLAB程序设计语言．西安：西安电子科技大学出版社，1997．八、教学基本内容及要求 第一章图的基本概念 1．教学基本要求 掌握的图的基本概念、特殊图概念，了解最短路问题。 2．教学具体内容 图的基本概念，路和圈，最短路问题。
最短路径问题的算法分析及建模案例
最短路径问题的算法分析及建模案例
最短路径问题的算法分析及建模案例 一.摘要 (3) 二.网络最短路径问题的基础知识 (5) 2.1有向图 (7) 2.2连通性................... 错误！未定义书签。 2.3割集....................... 错误！未定义书签。 2.4最短路问题 (8) 三．最短路径的算法研究.. 错误！未定义书签。 3.1最短路问题的提出 (9) 3.2 Bellman最短路方程错误！未定义书签。 3.3 Bellman-Ford算法的基本思想错误！未定义书签 3.4 Bellman-Ford算法的步骤错误！未定义书签。 3.5实例....................... 错误！未定义书签。 3.6 Bellman-FORD算法的建模应用举例错误！未定义 3.7 Dijkstra算法的基本思想 (9) 3.8 Dijkstra算法的理论依据 (9) 3.9 Dijkstra算法的计算步骤 (9) 3.10 Dijstre算法的建模应用举例 (10) 3.11 两种算法的分析错误！未定义书签。
1.Diklstra算法和Bellman-Ford算法 思想有很大的区别错误！未定义书签。 Bellman-Ford算法在求解过程中，每 次循环都要修改所有顶点的权值，也就 是说源点到各顶点最短路径长度一直 要到Bellman-Ford算法结束才确定下 来。...................... 错误！未定义书签。 2.Diklstra算法和Bellman-Ford算法 的限制.................. 错误！未定义书签。 3.Bellman-Ford算法的另外一种理解错误！未定 4.Bellman-Ford算法的改进错误！未定义书签。 摘要 近年来计算机发展迅猛，图论的研究也得到了很大程度的发展，而最短路径 问题一直是图论中的一个典型问题，它已应用在地理信息科学，计算机科学等 诸多领域。而在交通路网中两个城市之间的最短行车路线就是最短路径问题的 一个典型例子。 由于最短路径问题在各方面广泛应用，以及研究人员对最短路径的深入研究， 使得在最短路径问题中也产生了很多经典的算法。在本课题中我将提出一些最 短路径问题的算法以及各算法之间的比较，最后将这些算法再应用于实际问题
最短路问题及其应用——最短路径
最短路问题及应用 摘要:主要介绍最短路的两种算法，迪杰斯特拉(Dijkstra)及弗罗伊德(Floyd)算法以及这两种算法在实际问题中的应用和比较。 关键词：最短路获克斯特拉(Dijkstra)，弗罗伊德(Floyd)算法 1.引言 图论是应用数学的一个分支，它的概念和结果来源非常广泛，最早起源于一些数 学游戏的难题研究，如欧拉所解决的哥尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏难题，如迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走路线问题等。这些古老的难题，当时吸引了很多学者的注意。在这些问题研究的基础上又继续提出了著名的四色猜想 和汉米尔顿（环游世界）数学难题。 1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学 等各个领域的问题时，发挥出越来越大的作用在实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、军事等领域中许多问题的有力工具之一。 最短路问题是图论理论的一个经典问题。寻找最短路径就是在指定网络中两结点 间找一条距离最小的路。最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。 最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础，最短路径算法是计算机科学 与地理信息科学等领域的研究热点，很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。 2.最短路算法 2.1 最短路的定义 对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了，其中对赋权图()0 w≥的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra在1959年首次提出的，该ij 算法能够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G中一特定点到其它各顶点的最短
关于最短路问题算法的一点思考
关于最短路问题算法的一点思考 最短路问题，实际上是P95。也就是我们用一个算法解决SP问题时，就是在找这个加权图G中从s到t的P（s，t）中边权之和最小的P*(s,t). 由定义就可以看出，实际生活中经常有最短路问题的例子。例如： 实例1.某公司在六个城市s,t,a,b都有分公司，公司成员经常往来于它们之间，已知从Vi到Vj的直达航班票价由下述矩阵的第i行，第j列元素给出（∞表示无直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最廉价路线航费表。 图+矩阵 实例2.如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间，有向边表示单行道。若有一批货物要从s号顶点运往t号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？ 图+矩阵 因此怎么样快速又精确的求解一个最短路问题就显得至关重要。下面我们来介绍几种解决SP问题的有效途径。 一、把求最短路问题转化为LP问题 P95 二、最短路问题的原始对偶算法：Dijkstra算法 Pdf最短路+课本P138 综上，即为Dijkstra算法，它的有效实施体现在：P161 对Dijkstra算法的一点思考： 1.关于Dijkstra算法，书中的例子定义了一个使用范围，即寻求有向图中，从一固定顶点到其余各点的最短路径。那么一个简单的推广就是在于，对于无向图或者混合图的情况Dijkstra算法还能否使用？答案应该是肯定的。也就是说，实例2中无论是单行道，双行道的情况都是可以应用Dijkstra算法进行求解的。 2. 作为学习图论的一名学生，Dijkstra算法的本质可以说就是在一个图中，进行标号,每次迭代产生一个永久标号, 从而生长一颗以s为根的最短路树,在这颗树上每个顶点与根s 节点之间的路径皆为最短路径. 3.Dijkstra算法明确要求权（费用）非负，这无疑会限制一些是实际生活中的例子进行求解，若出现的边权为负的情况，Dijkstra算法就要进行修改。并且，如果我们对Dijkstra算法进行编程，即使根据书中拟Algol语言的提示以我现有的水平也根本写不出Matlab的高级程序语言。但是有另外一种算法有效的避免了这个麻烦，它的逻辑更为简单，并允许网络中的弧有负权，能探测网络中负费用圈，与一般的原始对偶算法不同。 三、Floyd-Warshall算法 P164 并且，有一点比较吸引我的地方是在于Floyd-Warshall算法的逻辑较为简单，我可以跟据课本上拟Algol语言，编写出一部分Matlab的程序，但是因为编译程序的水平的限制，每次运行的时候都会出现不同的错误。在与计算数学的同学进行讨论的时候，因为他们偏重绘图而我们偏重优化，导致也为得出有效的解决措施。
多条最短路算法的优化
*硕士研究生,北方交通大学系统所,100024;**工程师,北京重型电机厂设计所,100039北京收稿日期:1998-01-05 多条最短路算法的优化 王丽星* 郜 巍 ** 摘 要 先进的运输管理系统与先进的交通导行系统是智能交通系统(I T S )的关键组成部分,而最佳出行路线又是交通导行系统的关键技术之一,本文正是针对这一问题进行研究,并对现有多条最短路算法中存在的自回路现象及在大型网络中运行效率低等不适于实际网络的问题进行了优化。关键词 算法 多条最短路 自回路 优化 智能交通系统中图资料分类号 U 12 城市交通设施的建设远远落后于汽车的增长,由此造成的城市交通道路的堵塞和拥挤已成为世界各大城市面临的共同难题,其解决办法就是大力发展智能交通系统(I T S ),改变现有的交通管理模式。IT S 研究中的一项基础的研究工作就是如何确定最佳出行路线,也就是要确定任意两点间最短路问题。由于实际交通网络系统中存在着路段堵塞现象,所以仅仅给出任意两点间的一条最短路显然是不够的,应给出多条最短路供给IT S 系统判别并选出最佳出行路线。 1 算法的优选 总结现有的算法就不难发现当今算法可分为两大类。一是枚举法,它通过依赖函数在与局部梯度相关的方向上移动来寻找局部最优,即先找到局部最优,再沿最佳允许方向处理函数。枚举法现在很多情况和规模上被认可,但效率很低,由于很多实际问题的网络都很大,以至于搜索一次需要的计算量很大,运算速度缓慢,但它能一次算出多条最短路,而这恰恰是我们所需要的;二是随机算法,它是利用随机技术来实现的。根据随机技术的不同又可分为遗传算法和模拟退火算法。就目前较为热门的遗传算法而言,它是一种基于自然选择原理和自然遗传机制的搜索(寻优)算法,将达尔文进化论中的“适者生存”与利用随机信息进行变化相结合。说到随机性,遗传算法不是简单的随机走动,而是有效地利用、开发原有信息,并带着期望改善的性能去推测新的搜索点。因此在处理大型网络时比较有效,但它无法一次算出多条最短路〔4〕。比较上述两类算法的优、劣之后,决定选取枚举法来进行优化后使用。因为找到多条最短路是最终的目标,随机算法虽能有效地处理大型网络,但却无法搜索到多条最短路,进行优化也比较困难;枚举法虽在处理大型网络时效率较低,但却能搜索到多条最短路,且优化也较容易些。 枚举法中的算法又可分为求解一条最短路算法和求解多条最短路算法。文献〔2〕、〔3〕中均给出了在稀疏网络中一条最 短路的优化,但都不适于求解多条最短路问题。在求解多条最短路算法中又包含两个算法,既二重扫除法(Shie r)和推广的福劳德算法(Floy d )。其中用二重扫除算法求任意两点间K 条最短路需用O (K N 3)时间,(其中N 为节点数,K N 3为运算次数,O (K N 3)表示进行K N 3次运算所用的时间);而推广的福劳德算法需用O (2N 3)。因此当K 大于1时,推广的福劳德算法优于二重扫除算法,所以选择推广的福劳德算法作为进一步优化的算法。但推广的福劳德最短路算法存在着自回路现象;同时由于运输网络一般为大型网络,运算次数极为庞大,致使运算速度极为缓慢,使得在实际应用中难以操作,因此需要对现有的算法进行优化。 2 问题的描述 一个运输网络可以用一个有向图G =(V ,E ,W )来表示。 其中V 为顶点集,V ={V i |i =1,2,…n };E 为边集E ={e (V i ,V j )|V i ,V j ∈V i },W 为权集,W ={W (V i ,V j )|V i ,V j ∈V j }。假设要求出K 条最短路,则从点V i 到点V j 的K 条最短路的距离定义为一向量d i j ,d ij ={d ij 1,d ij 2,…d ijk },其中的元素d ijk 表示第k 条最短路的距离,而距离d ijk 对应的路径为向量R ijk ,R ijk 中的元素排列顺序为i 到j 依次经过的点的顺序。 此种算法包括了一个特殊的代数运算,称为广义和运算,在这类运算中把向量看成单个数值,参加运算的向量要求维数相同,其元素值允许含∞,取两个同维向量进行交叉和运算,结果经排序以后得第三向量,其维数相同,而元素取自排序后的最前部分,设广义和的运算符号为×,则广义和的运算为A ×B 。 3 优化后的多条最短路算法的思想 在推广的福劳德算法中存在着自回路现象,但这种自回路现象不会出现在最短路上,只会出现在K 大于1的短路 科技情报开发与经济 1999年 第2期
求最短路问题的改进算法
第18卷第1期工 科 数 学Vo l.18,№.1 2002年2月JO URN AL O F M AT HEM ATICS FO R TECHNO LOGY Feb.2002求最短路问题的改进算法 黄祖庆 (景德镇陶瓷学院,景德镇333001) [摘 要]本文对图论中含有负权的最短路问题的算法进行了讨论,给出了一个具有“可节省存储空间、提高运算速度、易编程实现”等优点的改进算法(算法三),并通过例题进一步验证了该改进算法的优越性,具有一定的现实意义. [关键词]负权有向图;最短路;Dijkst ra算法;改进算法 [中图分类号]O157.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-4120(2002)01-0052-03 图论中的最短路问题可描述为:在赋权有向图中,求两个顶点v1到v n之间的一条路,使得在这条路上各个弧的权值之和在从v1到v n的所有路中是最小的. 类似的实际问题有许多,如企业的投资决策问题、各种管线的铺设问题、设备更新问题等等,其求解的算法是由Dijkstra在1959年提出的,故称为Dijkstra算法.其基本思路是:假设在得到从v1到v n的最短路之前,已经知道了图中最接近顶点v1的m个顶点,以及从v1到m个顶点的最短路;然后再确定最接近顶点v1的第m+1个顶点v k,以及从点v1到v k的最短路;如此继续延伸,直到v n也被确定,此时问题求解结束. 记P,T分别为永久标号集和临时标号集.顶点v i的临时标号记成T(i),它表示从v1到v i的最短距离的上界;顶点v i的永久标号记成P(i),它表示从v1到v i的实际最短距离.已得到P类标号的顶点不再改变其标号,而没有标上P类标号的顶点必须标上T类标号.算法的每一步要把某一顶点的T类标号改为P类标号.当v n获得P类标号时,就求得了从v1到v n的最短路线.w ij为弧(v i,v j)的权值.则Dijkstra算法具体步骤为(称作算法一): i)给顶点v1标上永久标号P(1)=0,这表示从v1到v1最短距离为零.其余顶点标上临时标号T (j)=∞; ii)设顶点i是刚得到P类标号的顶点,把与顶点i有弧直接相连而又属于T类标号的各顶点j的标号改为下列T类标号: T(j)=min{T(j),P(i)+w i j}; iii)在T类标号中选标号最小的顶点j0,并把它的临时标号T(j0)改为永久标号P(j0).若终点获得P类标号,则算法终止,最短路已经找到;否则转向ii). Dijkstra的思路、算法简单,但是仅适用权值w i j≥0的情形.当权值w ij有负值时,此时须对Dijkstra 算法作些改动、补充,则仍可以求出含有负权值图的最短路,算法步骤如下(称作算法二): i)先对图中各个顶点按Dijkstra算法标号,称之为第一次标号(此次标号的结果是有可能改变的),记作P(1).令m=1,转向第二步; ii)对图中除v1外的所有点进行第m+1次标号.记P(m+1)(k)为对顶点v k的第m+1次标号的第二个标号值,其计算公式为: P(m+1)(k)=min{P(m)(k),{P(m)(i)+w ik|存在弧(v i,v k)}}; [收稿日期]2001-02-15
采用序优化的改进蚁群算法
第44卷 第2期2010年2月 西 安 交 通 大 学 学 报 J OU RNAL O F XI ′AN J IAO TON G UN IV ERSIT Y Vol.44 №2Feb.2010 收稿日期:2009Ο06Ο20. 作者简介:张兆军(1981-),男,博士生;冯祖仁(联系人),男,教授,博士生导师. 基金项目:国家自然科学基金资助项目(60875043);国家重点基础研究发展规划资助项目(2007CB311006). 采用序优化的改进蚁群算法 张兆军1,2,冯祖仁1,2,任志刚1,2 (1.西安交通大学系统工程研究所,710049,西安;2.西安交通大学机械制造 系统工程国家重点实验室,710049,西安) 摘要:为了评价蚁群算法在有限时间内所得优解的质量,基于序优化方法提出了一种改进的蚁群算法:使用盲目挑选规则选择初始解,并对信息素进行相应的初始化;确定得到满足要求的优解所需要的迭代次数,将其作为算法的终止条件;为了更好地利用每次迭代中的优解,在算法开始阶段使用前l 个迭代优解更新信息素,以增强探索能力;在算法结束阶段采用当前迭代最优解更新信息素,以加快收敛速度.改进算法在保证收敛的前提下,并没有增加算法的时间复杂度.对旅行商问题进行的仿真实验表明,改进算法在解的质量和收敛速度方面优于最大Ο最小蚂蚁系统.关键词:蚁群算法;序优化;盲目挑选;旅行商问题中图分类号:TP18 文献标志码:A 文章编号:0253Ο987X (2010)02Ο0015Ο05 Novel Ant Colony Optimization Algorithm B ased on Order Optimization ZHAN G Zhaojun 1,2,FEN G Zuren 1,2,REN Zhigang 1,2 (1.Systems Engineering Institute ,Xi ′an Jiaotong University ,Xi ′an 710049,China ;2.State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering ,Xi ′an Jiaotong University ,Xi ′an 710049,China ) Abstract :To evaluate t he quality of optimal solutions obtained by t he ant colony optimization (ACO )algorit hm in limited time ,an imp roved ACO algorit hm is presented on t he basis of t he or 2dinal optimization.An initial solution is selected using t he blind picking rule ,and t he p heromone is initialized correspondingly.The number of iterations to achieve t he optimal solution meeting t he demand is t hen determined and is used as t he termination condition of t he algorit hm.To make better use of t he solutions obtained at each iteration ,t he first l solutions are employed to enhance search capability at t he beginning p hase of t he algorit hm.While t he current optimal solution is used at t he end p hase of t he algorit hm to accelerate t he convergence.The time complexity of t he novel algorit hm is not increased under t he condition t hat ensures t he convergence.Simulation re 2sult s on t he traveling salesman p roblem show t hat t he p roposed algorit hm is superior to t he max 2min ant system in bot h t he quality of solutions and t he speed of convergence. K eyw ords :ant colony optimization ;ordinal optimization ;blind picking ;traveling salesman problem 蚁群算法[1]是一种仿生随机优化算法,已被成功应用于旅行商问题(TSP )、二次分配、网络路由、属性约简[2]等问题的求解,具有鲁棒性、正反馈、分布式计算和易与其他算法结合等优点.然而,现有方法也存在一些不足,如初期搜索时间偏长,容易陷入局部最优解等.为此,学者们提出了很多改进算 法,例如使用局部更新策略和全局更新策略的蚁群系统[3],限制信息素的上、下界并使用最优解更新策略的最大2最小蚂蚁系统(max 2min ant system ,MMAS )[4]等.此外,文献[5]受神经网络和遗传算法的启发,提出了一种二进制蚁群进化算法;文献[6]将分散搜索的思想融入蚁群算法,提高了算法的
最短路算法
我写的Dijkstra最短路算法通用Matlab程序%dijkstra最短路算法通用程序，用于求从起始点s到其它各点的最短路 %D为赋权邻接矩阵，d为s到其它各点最短路径的长度，DD记载了最短路径生成树function [d,DD]=dijkstra_aiwa(D,s) [m,n]=size(D); d=inf.*ones(1,m); d(1,s)=0; dd=zeros(1,m); dd(1,s)=1; y=s; DD=zeros(m,m); DD(y,y)=1; counter=1; while length(find(dd==1)) for k=1:n for i=1:n for j=1:n if D(i,k)+D(k,j) Floyd最短路径算法 在图论中经常会遇到这样的问题，在一个有向图里，求出任意两个节点之间的最短距离。我们在离散数学、数据结构课上都遇到过这个问题，在计算机网络里介绍网络层的时候好像也遇到过这个问题，记不请了... 但是书本上一律采取的是Dijkstra算法，通过Dijkstra算法可以求出单源最短路径，然后逐个节点利用Dijkstra算法就可以了。不过在这里想换换口味，采取Robert Floyd提出的算法来解决这个问题。下面让我们先把问题稍微的形式化一下： 如果有一个矩阵D=[d(ij)]，其中d(ij)>0表示i城市到j城市的距离。若i与j之间无路可通，那么d(ij)就是无穷大。又有d(ii)=0。编写一个程序，通过这个距离矩阵D，把任意两个城市之间的最短与其行径的路径找出来。 我们可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n 是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i 到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。所以我们就可以用三个for循环把问题搞定了，但是有一个问题需要注意，那就是for循环的嵌套的顺序：我们可能随手就会写出这样的程序，但是仔细考虑的话，会发现是有问题的。 for(int i=0; i 最短路径问题的算法分析及建模案例 一.摘要2 二.网络最短路径问题的基础知识3 2.1有向图5 2.2连通性错误!未定义书签。 2.3割集错误!未定义书签。 2.4最短路问题6 三．最短路径的算法研究错误!未定义书签。 3.1最短路问题的提出6 3.2 Bellman最短路方程错误!未定义书签。 3.3 Bellman-Ford算法的基本思想错误!未定义书签。 3.4 Bellman-Ford算法的步骤错误!未定义书签。 3.5实例错误!未定义书签。 3.6 Bellman-FORD算法的建模应用举例错误!未定义书签。 3.7 Dijkstra算法的基本思想6 3.8 Dijkstra算法的理论依据6 3.9 Dijkstra算法的计算步骤6 3.10 Dijstre算法的建模应用举例7 3.11 两种算法的分析错误!未定义书签。 1.Diklstra算法和Bellman-Ford算法思想有很大的区别错误!未定义书签。 Bellman-Ford算法在求解过程中，每次循环都要修改所有顶点的权值，也就是说 源点到各顶点最短路径长度一直要到Bellman-Ford算法结束才确定下来。错误! 未定义书签。 2.Diklstra算法和Bellman-Ford算法的限制错误!未定义书签。 3.Bellman-Ford算法的另外一种理解错误!未定义书签。 4.Bellman-Ford算法的改进错误!未定义书签。 摘要 近年来计算机发展迅猛，图论的研究也得到了很大程度的发展，而最短路径问题一直是图论中的一个典型问题，它已应用在地理信息科学，计算机科学等诸多领域。而在交通路网中两个城市之间的最短行车路线就是最短路径问题的一个典型例子。 由于最短路径问题在各方面广泛应用，以及研究人员对最短路径的深入研究，使得在最短路径问题中也产生了很多经典的算法。在本课题中我将提出一些最短路径问题的算法以及各算法之间的比较，最后将这些算法再应用于实际问题的建模问题中。 关键词：计算机图论交通道路网最短路径 A. In this paper, Computer developing rapidly in recent years, graph theory research also have been greatly developed, and the shortest path problem is a typical problem in graph theory, it has been applied in geographical information science, computer science, and many other fields. And in the transportation network of the shortest route between two cities in is a typical example of the shortest path problem. Due to the shortest path problem is widely used in various aspects, and the researchers on the in-depth study of the shortest path, make in the shortest path problem also generates a lot of classical algorithm. In this topic I'll suggest some algorithm and the algorithm of the shortest path problem between the comparison, finally the algorithm is applied to the modeling of the actual problem again. Key words: computer graph traffic road network The shortest path 湖北大学 本科毕业论文（设计） 题目最短路径算法及其应用 姓名学号 专业年级 指导教师职称 2011年 4月 20 日 目录 绪论 (1) 1 图的基本概念 (1) 1.1 图的相关定义 (1) 1.2 图的存储结构 (2) 1.2.1 邻接矩阵的表示 (2) 1.2.2 邻接矩阵的相关结论 (3) 2 最短路径问题 (3) 2.1 最短路径 (4) 2.2 最短路径算法 (4) 2.2.1Dijkstra算法 (4) 2.2.2Floyd算法 (5) 3 应用举例 (5) 3.1 Dijkstra算法在公交网络中的应用 (5) 3.1.1 实际问题描述 (5) 3.1.2 数学模型建立 (5) 3.1.3 实际问题抽象化 (6) 3.1.4 算法应用 (6) 3.2 Floyd算法在物流中心选址的应用 (7) 3.2.1 问题描述与数学建模 (7) 3.2.2 实际问题抽象化 (7) 3.2.3 算法应用 (8) 参考文献 (10) 附录 (11) 最短路径算法及其应用 摘要 最短路径算法的研究是计算机科学研究的热门话题，它不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的实用价值。最短路径问题有广泛的应用，比如在交通运输系统、应急救助系统、电子导航系统等研究领域。最短路径问题又可以引申为最快路径问题、最低费用问题等，但它们的核心算法都是最短路径算法。经典的最短路径算法——Dijkstra和Floyd算法是目前最短路径问题采用的理论基础。本文主要对Dijkstra和Floyd算法进行阐述和分析，然后运用这两个算法解决两个简单的实际问题。 【关键字】最短路径 Dijkstra算法 Floyd算法图论最短路算法程序
最短路径问题的算法分析及建模案例
最短路径算法及其应用