数学(快速幂)

数学

——Shine_Sky -13,快速幂

先有一个问题给出n , k 求n k,如果k 很小我们完全可以用一个for 循环得出答案，但是往往OI 中要求幂的题出题人都不会良心，所以我们得学习快速幂。

虽然C++中的cmath 库中有个pow 函数可以快速求出n k但是其缺陷是不能及时取mo 所以而且又返回double 所以难以储存为我们想要的，所以我们不提起它

现在相求1001000mod1000007 如果我们用for 循环那么时间复杂度是O(k) =

O(1000)的虽然这不大，但是接下来看快速幂就知道这是有多慢了

我们将k 转换为二进制就是1111101000 即1000 = 23 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29;

由于同底数幂的运算我们可以把1001000转换为

10023 × 10025 × 10026 × 10027 × 10028 × 10029

这样我们可以发现我们只要运算log2k次也就是说6 次，怎么实现得到每一个小数的值呢，for 循环肯定不能考虑我们看到二进制就可以想到位运算，我们用k&1 判断k 的二进制最后一位是不是1，是则ans *= x 如果不是就不作为然后再将 x *= x 并k 右移一位伪代码如下：

Int ans = 0;

while(k 非 0)

{

If(k 最后一位是1) ans *= x;

X *= x; k 右移一位

}

-14，矩阵乘法

数学上的东西（这几章都关于数学，这是个废话），是用来计算两个数矩形的积的其中公式为我们现在有两个矩阵A , B 如果要求他们的积，则必须满足A 的第一行与B 的第一列相同则有积C 各个位置值为;

例子：无

-13 + 14 矩阵快速幂

将上述两个结合起来，我们只要把快速幂的乘法更换一下改为一个函数，这个函数是用来求矩阵乘法的，这都不是很困难，但是我们要返回一个 2 维数组，我们用一的方法很难做到，所以要用不一般的，我们定义一个结构体 JX 储存一个矩阵，再将快速幂和矩阵乘法的返回值改为 JX 就好了，下见 Code(为了容易截图，压了行)

幂函数题型归纳

幂函数知识点归纳及题型总结一、幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数定义说明： 1、定义具有严格性，x α系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况二、幂函数的图像幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜时图像是横卧的抛物线.例如()1 2x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如() -1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像三、幂函数的性质幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解 2、奇偶性要结合定义域来讨论 3、单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两

点；α≤0时，过（1,1） 5、由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限一、幂函数解析式的求法 1. 利用定义（1）下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = （2（3 2 3 1．（1）、函数3 x y =的图像是（）（2）右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是（）

高中数学必修一幂函数及其性质

幂函数及其性质专题一、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质（1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ；

过点（1，0），即当x =1，y =0；在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数，在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。【例题选讲】例1．已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =- （4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2．比较大小：（1）1122 ,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.5 30.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．解：∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =．例4、设函数f （x ）＝x 3，（1）求它的反函数；（2）分别求出f － 1（x ）＝f （x ），f － 1（x ）＞f （x ），f － 1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围．解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f － 1（x ）＝x 3 1 ．（2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1 （x ）＝x 3 1 的图象都经过点（0，0）和（1，1）．

初一数学幂的运算

第1讲幂的运算专题一同底数幂的乘法一、基本公式： m n m n a a a += 二、应用公式： 1、顺用公式：问题1、计算：（1）3 5aa a （2）3 5x x -? ⑶231m m b b +? ⑷m n p a a a ?? （5）()() 7 6 33-?- （6）()() 57 a a a --- 变形练习：（1）234 aa a a （2） ()()48x x x --- 2、常用等式： ()()b a a b -=-- ()() 2 2 b a a b -=- ()()33 b a a b -=-- ()() 44 b a a b -=- () () 21 21 n n b a a b ++-=-- () () 22n n b a a b -=- 问题2、（1）()()() 3 8 b a b a b a --- （2）()() () 21 221 222n n n x y y x x y +----

（3）()()() 4 8 x y y x y x --- （4）()()() 37 x y y x y x --- 3、逆用公式：问题3、已知64,65m n == ，求6m n +的值。变形练习：（1）已知7,6m n a a == ，求m n a +的值。（2）已知21 29,5m m a a ++==，求33 m a +的值。 4、利用指数相等解题：问题4、已知21 11m a a +=，求m 的值；变形练习：（1）已知31 232m -=，求m 的值；（2）已知，146m n x x x --=，求n m 22-的值。

高一数学幂函数知识点总结

高一数学幂函数知识点总结一、一次函数定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx(k为常数，k≠0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b>0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点当b<0时，直线必通过三、四象限。特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。一、高中数学函数的有关概念 1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从函数A 到函数B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

高一数学知识点：幂函数知识点_知识点总结

高一数学知识点：幂函数知识点_知识点总结高一数学知识点：幂函数知识点定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x 小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞),时间管理.因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q 为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到： (1)所有的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 (5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。 (6)显然幂函数无界。

初中数学《整数指数幂》

新课标人教版初中数学《整数指数幂（2）》精品教案教学目标： 1、能较熟练地运用零指数幂与负整指数幂的性质进行有关计算。 2、会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数。重点难点：重点：幂的性质（指数为全体整数）并会用于计算以及用科学记数法表示一些绝对值较小的数难点：理解和应用整数指数幂的性质。教学过程：一、指数的范围扩大到了全体整数. 1、探索现在，我们已经引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数.那么，以前所学的幂的性质是否还成立呢？与同学们讨论并交流．．．．．一下，判断下列式子是否成立. （1）)3(232-+-=?a a a ；（2）(a ·b )-3=a -3b -3；（3）(a -3)2=a (-3)×2 2、概括：指数的范围已经扩大到了全体整数后，幂的运算法则仍然成立。 3、例1 计算(2mn 2)-3(mn -2)-5并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式。解：原式= 2-3m -3n -6×m -5n 10 = 81m -8n 4 = 848m n 4 练习：计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：（1）(a -3)2(ab 2)-3；（2）(2mn 2)-2(m -2n -1)-3. 二、科学记数法 1、回忆：我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成 a ×10n 的形式，其中n 是正整数，1≤∣a ∣＜10.例如，864000可以写成8.64×105. 2、类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a ×10-n 的形式，其中n ．是正整数，．．．．．1．≤∣．．a ．∣＜．．10．．.．思考：对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m 个0呢？ 3、探索： 10-1=0.1 10-2= 10-3= 10-4=

高中数学知识点总结：幂函数的性质知识点

高中数学知识点总结：幂函数的性质知识点数学网整理高中数学知识点总结：包括有关函数、数列、平面解析几何、立体几何等知识点的整理。数学网各科复习资料： http://gaokao.xdf/list_1019_1.html 定义: 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域: 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域性质: 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各

自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q 次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

高中数学幂函数的定义练习及答案

高中数学幂函数的定义练习及答案题型一：幂函数的定义【例1】下列所给出的函数中，是幂函数的是（） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】形如(01)x y a a a =>≠且的函数叫做幂函数，答案为B ．【答案】B 【例2】 11．函数的定义域是 . 【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】【例3】如果幂函数()f x x α= 的图象经过点，则(4)f 的值等于（）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 12 【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D 【例4】幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2 ，则(8)f 的值为 . 【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】填空【关键词】无【解析】典例分析

【例5】下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（）. A.12y x = B. 4y x = C. 2y x -= D.13y x = 【考点】幂函数的定义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】B 【例6】下列命题中正确的是（） A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 A 错，当0α=时函数y x α=的图象是一条直线（去掉点（0，1））；B 错，如幂函数1y x -=的图象不过点（0，0）；C 错，如幂函数1y x -=在定义域上不是增函数；D 正确，当0x >时，0x α>．【答案】D 【例7】函数2221(1)m m y m m x --=--是幂函数，求m 的值. 【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】幂函数需要保证系数为1，同时指数为有理数，从此两个条件入手，可以得到关于m 的等式和不等式，从而解出m 的值. ∵2221(1)m m y m m x --=--是幂函数， ∴函数可以写成如下形式a y x =(a 是有理数) ∴211m m --=，解得121,2m m =-= 当11m =-时，211212m m Q --=∈ 22m =时，222211m m Q --=-∈ ∴m 的值域为-1或2. 【点评】本题为幂函数的基本题目，注意不要忘了检验a 是有理数. 【答案】-1或2 【例8】求函数1302 (3)y x x x -=+--的定义域. 【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】这是几个幂函数的复合函数，求复合函数的定义域需要保证每一个函数都有意义，即分母不为0、被开方数大于等于0.

七年级数学幂的运算

《幕的运算》提高练习题一、选择题（共5小题，每小题4分，满分20分） 1. （4分）（2011春?江都市期末）计算（-2）100+ （- 2）99所得的结果是（） A. - 299 B. - 2 C. 299 D. 2 2. （4分）（2014春?肥东县校级期中）当m是正整数时，下列等式成立的有（）（1）a2m= （a。2；（2）a2n= （a2）m；（3）a2m= （-a n）2；（4）a2m= （- a2）m. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. （4分）（2012春?化州市校级期末）下列运算正确的是（） A. 2x+3y=5xy B. （ - 3x2y）3=- 9x6y3 C. 4 （-*护）二—心4y4 D. （x - y）3=x3- y3 4. （4分）a与b互为相反数，且都不等于0, n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（） A. a n与b n B. a2n与b2n C. a2n+1与b2n+1 D. a2n-1与-b2n-1 5. （4分）下列等式中正确的个数是（） ①a5+a5=a10;②（-a）6? （- a）3?a=a10;③-a4? （- a）5=a20;④2 5+25=26. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个二、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分） 13. ___________________________________________________ （5分）（2009秋?丹棱县期中）计算：x2?x3= _______________________________ ; / 2、 3 / 3、2 （-a）+ （-a ） = ________________ . 14. （5分）（2014春?临清市期中）若2m=5, 2n=6,则2m+2= ______________ 三、解答题（共17小题，满分0分） 1 .已知3x （x n+5）=3x n+1+45，求x 的值. 2. （2011春?溧阳市校级月考）若1+2+3+…+n=a,求代数式（x n y）（x n- 1y2）（x n - 2y3）…（x2y n-1）（xy n）的值. 3. （2010春?高邮市月考）已知2x+5y=3,求4x?32y的值. 4. 已知25m?2?10n=57?24，求m n. 5. 已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值. 6. 若x m+2=16, x n=2,求x m+n的值.

沪教版(上海)初中数学七年级第一学期 9.8 幂的乘方教案

课题：幂的乘方教学目标：通过自主学习，理解法则的意义和适用条件，能熟练运用法则进行计算，并能解决一些简单的实际问题。通过类比学习，运用“从特殊到一般”的方法发现并归纳幂的乘方的法则，经历“观察—猜想—验证—概括”的过程，培养观察、发现、归纳能力以及语言表达能力。体验用数学知识解决问题的乐趣，培养学生自主学习的能力。教学重点：幂的乘方的推导及应用教学难点：区别幂的乘方运算与同底数幂的乘法运算的不同。幂的运算性质的灵活应用教学过程设计意图一、提出问题 1、填空 ()()() 2258 2 5 2 3 (1) 1010 (2) 33(3) 4a a x y y x ???-?- 要求：（1）学生填空（2）交流答案，教师点评，共同回顾同底数幂的法则 2、思考：要求：（1）学生口答（2）利用乘方意义，引导写成幂的乘方的形式（3）初步感知幂的乘方和同底数幂之间的联系通过填空环节回顾同底数幂乘法的法则，为新知的学习作铺垫，由（1）的变式，让学生体会特殊的同底数幂乘法可写成更简单的形式，自然引入幂的乘方，提高学生探究的兴趣。二、探索新知 1、探究：尝试将下列各式写成幂的形式 ()6 210= = ()4 2a = = () 3 m a = = 要求：（1）小组讨论，尝试探索；（2）学生交流推导过程。（3）教师补充，完善探究思路 2、规律总结要求：学生在探究的基础上，交流转化规律 3、出示课题：幂的乘方 ()n m mn a a =（m, n 是正整数）三、新知应用引导学生经历知识的生成过程，明确每一步运算的依据，进一步体会由具体到抽象、特殊到一般的思想方法

高一年级数学幂函数知识点

高一年级数学幂函数知识点高一年级数学幂函数知识点（一） 1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从函数A到函数B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 注意：函数定义域：能使函数式有意义的实数x的函数称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的函数. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)

2.高中数学函数值域:先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3.函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x 为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的函数C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上. (2)画法 A、描点法： B、图象变换法常用变换方法有三种 (1)平移变换 (2)伸缩变换 (3)对称变换 4.高中数学函数区间的概念 (1)函数区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 5.映射一般地，设A、B是两个非空的函数，如果按某一个确定的

高中数学必修一幂函数教案

高中数学必修一幂函数教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高中数学必修一幂函数教案教学目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点：重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．教学程序与环节设计：问题引入．索一般幂函数的图象规律．

教学过程与操作设计：

环节教学内容设计师生双边互动组织探究材料二：幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0 > α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间) ,0[+∞上是增函数．特别地，当1 > α时，幂函数的图象下凸；当 1 0< <α时，幂函数的图象上凸；（3）0 < α时，幂函数的图象在区间 ) ,0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于∞ +时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表．

探究与发现 1．如图所示，曲线是幂函数αx y=在第一象限内的图象，已知α分别取2, 2 1 ,1,1 -四个值，则相应图象依次为：． 2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？（1）3- =x y和3 1 - =x y；（2）4 5 x y=和5 4 x y=．规律1：在第一象限，作直线 )1 (> =a a x，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线x y= 对称．作业回馈 1．在函数 1 , , 2 , 1 2 2 2 = + = = =y x x y x y x y中，幂函数的个数为： A．0 B．1 C．2 D．3 环节呈现教学材料师生互动设计2．已知幂函数) (x f y=的图象过点 )2 ,2(，试求出这个函数的解析式． 3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．（1）写出函数解析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率R的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率． 4．1992年底世界人口达到54．8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：（1）1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．

(完整word版)初中数学专题复习资料-----幂的运算性质

初中数学专题复习资料-----幂的运算性质【知识梳理】 1、知识结构 2、知识要点（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 n m n m a a a +=?←→a m+n =a m ·a n （2）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即() mn n m a a =←→a mn =(a m )n =(a n )m （3）积的乘方，等于每个因式分别乘方，即()n n n b a ab =←→a n b n =(ab)n （4）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 n m n m a a a -=÷←→a m-n =a m ÷a n （a ≠0）（5）零指数和负指数：规定10 =a ，p p a a 1 = -（其中a ≠0，p 为正整数）（其中，m 、n 均为整数） 3、中考预测对于幂的运算性质的考查，在中考中多以选择题和填空题出现，以考查对该性质的掌握，题目侧重于基础知识的掌握和运用，以及对该性质的理解，题目不会很难，但是会有一定的综合性，应准确把握和理解幂的运算性质，防止混淆。（一）同底数幂的乘法【解题讲解-------基础训练】【例1】 1、（－12）2×（－12 ）3= 。2、（－b ）2·（－b ）4·（-b)= ，（m+n ）5·（n+m ）8 = 。 3、a 16 可以写成（） A ．a 8 +a 8 ； B ．a 8 ·a 2 ； C ．a 8 ·a 8 ； D ．a 4 ·a 4 。 4、下列计算正确的是（） A ．b 4 ·b 2 =b 8 B ．x 3 +x 2 =x 6 C ．a 4 +a 2 =a 6 D ．m 3 ·m =m 4 【解题讲解-------能力提升】【例2】1、下面的计算错误的是（） A ．x 4 ·x 3 =x 7 B ．（－c ）3 ·（－c ）5 =c 8 C ．2×210 =211 D ．a 5 ·a 5 =2a 10 2、x 2m+2 可写成（） A ．2x m+2 Bx 2m +x 2 C ．x 2·x m+1 D ．x 2m ·x 2 3、若x ，y 为正整数，且2x ·2y =25 ，则x ，y 的值有（）对。A ．4；B ．3；C ．2；D ．1。 4、若a m =3，a n =4，则a m+n =（） A ．7 B ．12 C ．43 D ．34 5、若102 ·10n =10 2010 ，则n = 。幂的运算性质同底数幂相乘幂的乘方积的乘方同底数幂相除

高一数学必修一指数对数幂函数知识点汇总

指数函数与对数函数之间是反函数之间的关系 ★ 指数及指数幂的运算 1.根式的概念 a 的n 次方根的定义：一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1,n ∈N + 当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根是负数，表示为；当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为 . 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质： (1)当n 为奇数时，；当n 为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： ★指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . n √a n =a n √a n =|a|= a,a ≥0-a,a<0 n √a +n √a n √a (n √a )n =a a n =n √a m m (a>0,m,n ∈N,n>1); (a>0,m,n ∈N,n>1); a n 1 m a n = m (a>0,b>0,r,s ∈Q)(1)a r a s =a r+s (2) (a r )s =a rs (3) (ab)r =a r ·b r y=a x (a>0,且a ≠1)

y=a x 且★ 对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若 =N （a>0,a ≠0，N>0），则x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ，其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：x=log a N 等价于a x =N （a>0,a ≠0，N>0） 2.几个重要的对数恒等式 a x a x a x a x a x a x a x y=a x y=a x (a>0,且a ≠1)叫做指数函数

高中数学-幂函数练习

高中数学-幂函数练习【选题明细表】知识点、方法题号幂函数的定义2,4,12 幂函数的图象3,6,7,10 幂函数的性质1,5,8,9,11,12,13,14,15 1.下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( C ) (A)y= (B)y=x3 (C)y=x2(D)y=x 解析:y=,y=x3,y=x在(-∞,0)上都是增函数,故选C. 2.幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)为减函数,则m的值为( C ) (A)1或3 (B)1 (C)3 (D)2 解析:因为f(x)=(m2-4m+4)为幂函数, 所以m2-4m+4=1, 解得m=3或m=1. 由x∈(0,+∞)时幂函数为减函数,则m2-6m+8<0, 解得2m>0 (D)m>n>0 解析:由题图及其单调性可得m

5.三个数a=(),b=(),c=()的大小顺序是( B ) (A)cb=(). 因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减, 所以b=()>c=(), 所以a>b>c.故选B. 6.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,),则f(4)的值等于. 解析:由f(x)=xα的图象经过点(2,),得=2α,所以α=-,则f(4)==2-1=. 答案: 7.函数y=xα+2(x>0)的图象恒过定点. 解析:由x=1,y=3得图象过定点(1,3). 答案:(1,3) 8.若幂函数f(x)的图象过点(4,),则f(x)的值域为. 解析:由题意设f(x)=x m,由点(4,)在函数图象上得4m=,解得m=-2. 所以f(x)=x-2=, 故其值域为(0,+∞). 答案:(0,+∞) 9.已知(m2+m≤(3-m,求实数m的取值范围. 解:设函数y=, 函数为R上的单调递增函数, 得m2+m≤-m+3, 即m2+2m-3≤0,

七年级数学幂的运算教案

（一）幂的意义及运算法则幂的意义：我们把乘方的结果叫做幂如（-2）3读作-2的3次幂。同底数幂：是指底数相同的幂。幂的底数可以任意的有理数，也可以是多项式或单项式。一、同底数幂的乘法的运算规则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 a m a n =a (m+n) m 和n 都是正整数应注意的几个问题： 1）法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时 2）指数是1时，不要误以为没有指数。 3）不能将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆。 4）当底数互为相反数时，可以提取一个负号，让底数变得相同。小练习：（1）()1258(8)-?-；（2）7x x ?；（3）36a a -?；（4）321m m a a -?（m 是正整数） 1．一颗卫星绕地球运行的速度是7.9310?m/s,求这颗卫星运行1h 的路程。

2．已知a m =3, a n =21, 求a m+n 的值. 填空：（1）-23的底数是，指数是，幂是 . （2） a 5·a 3·a 2= 10·102·104= （3）x 4·x2n-1= x m ·x ·x n-2= （4）(-2) ·(-2)2·(-2)3= （-x)·x 3·(-x)2·x 5= (x-y)·(y-x)2·(x-y)3= （5）若b m ·b n ·x=b m+n+1 (b ≠0且b ≠1)，则x= . （6） -x ·( )=x 4 x m-3· ( )=x m+n 选择： 1．下列运算错误的是（） A. (-a)(-a)2=-a 3 B. –2x 2(-3x) = -6x 4 C. (-a)3 (-a)2=-a 5 D. (-a)3·(-a)3 =a 6 2．下列运算错误的是（） A. 3a 5-a 5=2a 5 B. 2m ·3n =6m+n C. (a-b)3 (b-a)4=(a-b) D. –a 3·(-a)5=a 8 3．a 14不可以写成（） A.a 7+a 7 B. a 2·a 3·a 4·a 5 C.(-a)(-a)2·(-a)3·(-a)3 D. a 5·a 9 4．计算：（1）3x 3·x 9+x 2·x 10-2x ·x 3·x 8 （2）32 ×3×27-3×81×3 二、幂的乘方幂的乘方是指几个相同的幂相乘。底数不变，指数相乘。（a m ）n =a mn 1．计算：（1）62(10)；（2）4()m a （m 是正整数）；（3）32()y -；（4）33()x - 2．计算：（1）2432()x x x ?+；（2）3343()()a a ? 1．下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？ (1)(a 5)2＝a 7； (2)a 5·a 2＝a 10；(3)(x 6)3=x 18； (4)(x n+1)2=x 2n+1．

指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳

一、幂函数 1、幂的有关概念正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义一般地，函数 a y x =叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图：由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：

a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-．