工程电磁场

关于静电场和电流的一些问题的探讨

1．关于微分形式：

电磁学或者电动力学中遇到的数学都是我们非常熟悉的，例如：第二型曲线积分和旋度；第二型曲面积分和散度；还有标量场的梯度。实际上，这些都可以用微分形式替代。对于，我们自然可以得到如下的三个同构映射：

；

；

；

其中，，于是上有的微分形式都可以用矢量与函数“代替”。对于，绝大多数情况下我们可以认为，即所有闭的微分形式同时也是恰当的。鉴于此我们可以用微分形式替代原有的表述，例如：旋度：，；散度：，；

梯度：，；外积：，；

由于，在电磁学中，磁感应强度（二形式）自然可以表示为：，其中称为磁矢势。而静电场的电场强度（一形式）自然可以表示为：，其中称为静电势。在解决电磁学问题时，我们可以先求出辅助量或，进而再去求解或。

2．关于基本方程：

考虑Maxwell方程的一种特殊情况，即研究不随时间变化的场，这时候电场与磁场之间去耦合，我们可以得到描述静电场的基本方程：；；这是静电场的基本方程，不过高斯定律任何情况下都成立，而安培环路定律仅仅对静电场成立。由此，利用电势，我们可以将基本方程化为，即静电场的泊松方程。其解的存在性与唯一性是一个有趣的问题，不过，这次我们先不去考虑它，把它留到以后再说。

对于静电场，我们可以写其作用量为：

，容易发现它和静电场能量的关系为，。一般的，系统的基本方程等价于，也就是说，基本方程的解仅仅能保证作用量取驻值，而不能保证其取极小值。不过，对于泊松方程的第一边值问题（），我们可以证明：；

。进一步的，我们可以得到，泊松方程是静电场的作用量：取极小值的充要条件（而不仅仅是必要条件）。

3．关于边值关系：

我们利用散度定理和旋度定理把Maxwell方程从积

分形式化成微分形式的时候要求场量一定要是可微

的，对于场量不连续的情况公式就不能用了。不过，场量不连续性在物理上有着十分重要的意义，即不同介质分界面上场量的“突变”。描述分界面上场量突变情况的方程称为边值关系，它可以由积分形式推导出来。而当我们求解电磁场的微分方程时，我们给出的边界条件必须与相应的边值关系相容。

具体来说，边值关系为：

；；

；；

对于静电场，利用电势，我们可以把与静电场相关的两个边值关系写为：

；。

4．关于介质：

这是一个内容丰富且比较复杂的问题，不过在电动力学中，我们大部分情况下仅仅考虑：线性的，各项同性的，均匀的介质。那么，把换成，把换成就好。理论上讲，求解泊松方程就可以解决静电场的所有问题了。但实际上，很多实际问题是很难求解的。下面我们给出几个容易求解且非常常见的例子。对于无源区域，我们只需要求解拉普拉斯方程就OK了，区域外场源的影响通过边界条件来体现。

考虑介电常数为的导体球置于真空中的均匀外场

之下，我们来求解电势。

考虑区域的几何性质，我们选择在球坐标系下求解拉普拉斯方程。

介质球外：；

介质球内：；

（1）由于无穷远处场强趋于，所以：。（2）介质球内电势应为有限值。

（3）介质球表面上由边值关系可得，；。由此，我们可以确定常数：，其余；；

；，其余。

5对于有源的情况，我们可以先求解相应的格林函数，即方程的解。进而再利用格林函数结合区域内电荷分布和边界条件给出区域内电势的值。在某些情况下，我们可以利用镜像法给出特定研究对象的格林函数。

由此，我们可以从理论上给出方程的解：

第一类边值问题：

第二类边值问题：

某些情况下，电荷所在的区域很小，而我们离电荷所在区域又很远，这时候我们可以对需要求解的电势做多级展开，进而求出各级的近似解。例如，对于

，其一级近似就是点电荷，即把整个带点区域当做一个点电荷近似处理；第二项就是电偶极子；第三项即为电四极子。

6 电流的本质是导体材料中的自由电子在电源产生

的电场的作用下作定向运动。

这个解释中有几个名词，分别是：导体、自由电子、电源电场、电场作用、定向运动。我们来很初步地了解这些名词的意义。

下图是元素周期表：

在这张条中，我们看到元素外围电子S轨道，有的有1个电子，有的有两个电子。对于元素周期表中的金属原子，原子核对外围电子的控制能力不是很强，因此外层轨道中的电子有可能脱离原子核的控制，成为自由电子。

在这张条中，我们看到元素外围电子S轨道，有的有1个电子，有的有两个电子。对于元素周期表中的金属原子，原子核对外围电子的控制能力不是很强，因此外层轨道中的电子有可能脱离原子核的控制，成为自由电子。

根据量子物理学，我们把电子的能级分为禁带和传导带。禁带中的电子都被原子核束缚在轨道上，而传导带中的电子则成为自由电子。

产生自由电子的原因很多，主要有温度、辐射等等。电子接受了一点能量后从禁带进入传导带叫做激发，处于激发态的电子还会放出能量返回禁带。由于金属

导体中的原子数量是天文数字，当然自由电子的数量也是天文数字。

于是，自由电子就如同海洋中的海豚一般，在金属原子禁带和传导带中进进出出。由于电子的数量众多，于是整块金属或者金属导体就如同浸泡了自由电子

的海绵一般。

现在，我们对这块金属海绵导体中的自由电子施加电场力，于是自由电子就在导体中产生定向运动，运动方向是从电池的负极指向正极。

由于历史的原因，人们认为电流方向是电池的正极指向电池的负极。好在这种规定与实际情况也不冲突，相差只是一个正负号而已。因此我们把实际运动着的自由电子叫做电子流，而把传统意义上导体中的电子叫做电流。

需要注意的是：

1）电流是被电场力推动才能做定向运动的

当加载电场的瞬间，电场以光速在整个导体回路中传播，并即时使得整条回路中所有参与导电的自由电子同时做定向运动；若电场撤离，则自由电子也即时停止定向运动。

2）由于电场是对导体回路中所有自由电子同时产生

作用，因此在导体的任意截面，在任意时刻流进和流出的自由电子数量之和等于零。

也就是说，导体中的自由电子不会产生堆积。

这种现象是基尔霍夫电流定律KCL的成立的原因，

也即“串联电路中电流处处相等“的原因。

3）即使在电场存在的任意时刻，自由电子进出传导

带/禁带的数量与未加电场时一模一样，没有任何区别。要证明这一点很容易：当自由电子返回禁带时它会把能量释放出来。电子所带的能量有高有低，所以当电子返回禁带时，它们所释放的能量会以某种确定频率的辐射光的形式（热辐射）释放出来，并且能产生某种金属表面的特殊颜色。我们发现，金属导体带电前后，它的表面颜色并未发生改变，这就证明了我们的结论。

4）参与导电的不但有自由电子，还有可能是正离子，或者带了电子的负离子等等。

这在电弧、电解池、电镀池中都能看到，在原电池中也能看到。

5 我们都知道电路，电路中有电源、导体材料，还有负载。当三者连在一起时，电路中就有电流流过。

显见，电流当然是在电路中绕行了。

我们看下图：图1中我们看到了电流，它是绕行的。图2种开关K已经打开，但开关K的触头间出现了电弧，此时的电流是电弧电流。即使在这种情况下，电流仍然是绕行的。

图1中我们看到了电流，它是绕行的。图2种开关K 已经打开，但开关K的触头间出现了电弧，此时的电流是电弧电流。即使在这种情况下，电流仍然是绕行的。

不过，电源建立电场的速度是光速，而电流自身的速度却是龟速，每秒钟仅仅只有几个厘米而已。

7 从电路原理的观点来看，电容中的电流是因为两个原因产生的：其一是电容两个极板上建立电场所致，其二是电容的漏电流所致。前者的电流呈现容性，后者的电流呈现阻性，因此它们的方向是正交的。

这两个电流的合成电流与容性电流方向间夹角叫做

介质损耗角，介质损耗角的正切是衡量电容（或者绝缘材料）品质的重要参数。

注意：显像管中发射的电子流与电容效应无关。此电

子流是因为在高真空高电压条件下阴极逸出电子向

阳极加速运动造成的。类似地，开关电器触头间的电弧也与此有关。

至于为何阴极有电子逸出？这很容易理解：阴极是灯丝，高温使得电子获得能量成为自由电子，而强电场又驱动电子流向阳极极板运动，同时偏转线圈会使得电子流束产生偏移，继而电子击打在阳极屏幕上并发出可见光，使得显示屏上出现我们需要的画面。

下图是CRT电视机线路图局部：注意看显像管，它的屏幕是阳极。屏幕的第一层是导电的透明铅膜（或者铝膜），后面才是显像颗粒。铅膜就是高压阳极。电子束从阴极出来，在高压电的吸引下射向阳极。

注意看显像管，它的屏幕是阳极。屏幕的第一层是导电的透明铅膜（或者铝膜），后面才是显像颗粒。铅膜就是高压阳极。电子束从阴极出来，在高压电的吸引下射向阳极。可见，此电子流的运动与电容无关

系

可见，此电子流的运动与电容毫无关系。