安徽省六安市第一中学2017届高三下学期第九次月考数学(文)试题含答案

六安一中2017届高三年级第九次月考

数学试卷（文科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合{}|0A x x =≥，且A B B = ，则集合B 可能是（ ） A ．{}|2x x ≥

B ．{}|1x x ≤

C ．{}|1x x ≥-

D ．R

2.下列四式不能化简为AD

的是（ ）

A ．M

B AD BM +-

B ．()()MB AD B

C CM +++ C ．()AB C

D BC ++

D ．OC OA CD -+

3.设i 是虚数单位，若复数512i

a i

+-（a R ∈）是纯虚数，则a =（ ） A ．1-

B ．1

C ．2-

D ．2

4.若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治，历史，物理，化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ） A ．

16

B ．

13

C ．

12

D ．

23

5.已知以抛物线2

2(0)x py p =>的顶点和焦点之间的距离为直径的圆的面积为4π，过点

(1,0)-的直线l 与抛物线只有一个公共点，则焦点到直线l 的距离为（ ）

A ．1

B

C ．1或4

D ．4

6.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器—商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中x 为（ ）

A ．2.5

B ．3

C ．3.2

D ．4

7.已知1x >，1y >，且lg x ，2，lg y 成等差数列，则x y +有（ ） A ．最小值20

B ．最小值2000

C ．最大值20

D ．最大值200

8.()sin()f x A x ω?=+（0A >，0ω>，||2

π

?<）的部分图象如图所示，把()f x 的图

象向右平移

3

π

个单位长度得到()g x 的图象，则()g x 的单调递增区间为（ ）

A ．5,1212k k ππππ??

-

++????

（k Z ∈） B ．,63k k ππππ??

-

++????

（k Z ∈）

C ．5,1212k k ππππ??

-

++????

（k Z ∈） D ．5,66k k ππππ??

++?

???

（k Z ∈）

9.执行如图所示的程序框图，如果运行结果为5040，那么判断框中应填入（ ）

A ．6?k <

B ．7?k <

C ．6?k >

D ．7?k >

10.已知定义在R 上的函数()y f x =满足()()f x f x -=-，当(0,2]x ∈时，

()ln f x x ax =-（1

2

a >

），当[2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为3，则a 的值等于（ ） A ．2

e

B ．e

C ．2

D ．1

11.面积为

2

的正六边形的六个顶点都在球O 的球面上，球心O 到正六边形所在平面的

距离为O 的体积为V ，球O 的表面积为S ，则V

S

的值是（ ） A ．2

B ．1

C

D

12.已知函数()sin cos f x x x x =-在(0,2)x π∈的一个零点为a ,则(0,2)x π?∈,下列不等式恒成立的是( ) A ．

sin sin x a

x a

≥ B ．

sin sin a x a x ≥ C ．3

22

a ππ≤≤ D ．cos cos a a x x -≥- 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =+,则数列{}n a 的通项公式为 ． 14.过点(1,2)P -且与曲线2342y x x =-+在点(1,1)M 处的切线平行的直线方程是 ．

15.设实数x ,y 满足20,

250,20,

x y x y y --≤??

+-≥??-≤?

则22y x xy ω-=的取值范围为 ．

16.过双曲线22

221x y a b

-=(0a >,0b >)的左焦点(,0)F c -(0c >),作倾斜角为6π的直线

FE 交该双曲线右支于点P ,若1()2

OE OF OP =+ ,且0OE EF ?=

,则双曲线的离心率

为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知锐角ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,

且cos sin 3

a b C B =+． （Ⅰ）求B ；

（Ⅱ）若2b =，求y ac =的最大值．

18.如图，AB 是圆O 的直径，矩形DCBE 垂直于圆O 所在的平面，4AB =，2BE =．

（Ⅰ）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；

（Ⅱ）当三棱锥C ADE -体积最大时，求三棱锥C ADE -的高. 19.某厂最近十年生产总量逐年上升，如表是部分统计数据：

（Ⅰ）利用所给数据求年生产总量与年份之间的回归直线方程 y bx

a =+ ； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该厂2018年生产总量．

（回归直线的方程： y bx

a =+ ，其中1

2

1

()()

()

n

i

i

i n

i

i x x y y b x x ==--=-∑∑ ， a

y bx

=- ） 20.已知1F ，2F 分别是椭圆

C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点，22(5AF F B =+

，且2OF （其中O 为坐标原点）的中点坐标为

6

． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于P ，Q 两点，已知点7

(,0)3

M -

，求证：MP MQ ?

是定值.

21.已知函数()ln f x x =，2

()()(21)g x f x mx m x =+-+.

（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y g x =在2x =处的切线方程； （Ⅱ）当0m >时，讨论函数()g x 的单调性；

（Ⅲ）设斜率为k 的直线与函数()f x 的图象交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，其中12x x <，求证：

21

11k x x <<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的

极坐标为)6π

，曲线C

的参数方程为2cos 2sin x y αα

=???=??（α为参数）.

（Ⅰ）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：cos 2sin 10ρθρθ++=距离的最小值.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数()|2||2|f x x x a =-++，a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()5f x ≥；

（Ⅱ）若存在0x 满足00()|2|3f x x +-<，求实数a 的取值范围．

六安一中2017届高三年级第九次月考数学试卷（文科）答案 一、选择题

1-5:AADAC 6-10:BBCDA 11、12：BA

二、填空题

13.15,12,2

n n n a n -=?=?≥? 14.240x y -+= 15.83,32??

-????

1

三、解答题

17.解：（Ⅰ）∵cos sin 3

a b C c B =+

，

∴sin sin cos sin A B C C B =，

∴sin()sin cos sin B C B C C B +=，

∴cos sin sin B C C B =

，

∵sin 0C ≠，∴tan B = 又B 为三角形内角，∴3

B π

=

．

（Ⅱ）在ABC ?中，由余弦定理得：

22222cos

3

a c ac π

=+-222a c ac ac ac =+-≥-，

即4ac ≤，

∴y ac =的最大值为4．

18.（Ⅰ）证明：因为AB 是直径，所以BC AC ⊥， 因为矩形DCBE 垂直于O 所在的平面， 所以CD ⊥平面ABC ，CD BC ⊥， 又CD AC C = ，所以BC ⊥平面ACD ， 因为四边形DCBE 为矩形，

所以//BC DE ，所以DE ⊥平面ACD ， 又DE ?平面ADE ，

所以平面ADE ⊥平面ACD ． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

11113323C ADE E ACD ACD V V S DE AC CD DE AC BC --?==?=????=?221

()

6

AC BC ≤+21863

AB ==，

当且仅当AC BC ==时等号成立，

此时AD =

=1

2ADE S AD DE ?=

??=设三棱锥C ADE -的高为h ，则1833

C ADE ADE V S h -?=??=，

所以3

h =

． 19.解：（Ⅰ）由所给数据可知，年生产总量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如表：

对预处理后的数据，容易算得：0x =， 3.2y =，

2222(4)(21)(2)(11)219429260 6.5422440

b

-?-+-?-+?+?===+++ ， a

y bx =- 3.2=， 由上述计算结果，知所求回归直线方程为 263 6.5(2012) 3.2y x -=-+，即

6.5(2012)266.2y x =-+．

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中回归直线方程，可预测2018年生产总量为：

6.5(20182012)266.2 6.56266.2305.2-+=?+=（万吨）．

20.解：（Ⅰ）∵2OF

的中点坐标为6

，∴2(

3F

，则3

c =，

∵22(5AF F B =+

，

∴(5)a c a c +=+-

，解得a = ∴2

2

2

105533

b a

c =-=-

=， ∴椭圆的标准方程为

22

155

3

x y +=. （Ⅱ）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，

将(1)y k x =+代入

22

155

3

x y +=，得2222(13)6350k x k x k +++-=， 则2

48200k ?=+>，2122613k x x k +=-+，2122

35

13k x x k -=+，

∴

112277(,)(,)33MP MQ x y x y ?=+?+ 1212

77

()()33

x x y y =+++2121277

()()(1)(1)33

x x k x x =+++++

222

2222357649(1)()()133139k k k k k k k -=+?++-++++222

2(31)(5)49139

k k k

k -++=+++22494

599

k k =--+

+=， ∴MP MQ ?

为定值.

21.解：（Ⅰ）当1m =时，2

()ln 3g x x x x =+-（0x >），

则1

'()23g x x x

=

+-（0x >），3

'(2)2g =

. 又(2)ln 22g =-，所以切线方程为，即3

5ln 22

y x =-+.

（Ⅱ）(21)(1)'()mx x g x x --=

，令'()0g x =，得11

2x m

=，21x =.

①当112m <，即12m >时，令'()0g x >，得102x m <<或1x >；令'()0g x <，得1

12x m

<<， 所以当12

m >时，()g x 单调增区间为1(0,)2m 和(1,)+∞；单调减区间为1

(,1)2m . ②当112m >，即102m <<时，令'()0g x >，得01x <<或12x m

>， 所以当102m <<，()g x 单调增区间为(0,1)和1(

,)2m +∞；单调减区间为1

(1,)2m

. ③当112m =，即12m =时，2

(1)'()0x g x x

-=>， 易知()g x 单调增区间为(0,)+∞ . （Ⅲ）根据题意，2121

2121

ln ln y y x x k x x x x --=

=

--.（以下用分析法证明） 要证

21

11

k x x <<，只要证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，

只要证

21221211

ln x x x x x

x x x --<<， 令

2

1

(1)x t t x =>，则只需证：11ln 1(1)t t t t -<<->，令1()ln 1u t t t =+-，

则2

11

'()0u t t t

=-

>，所以()u t 在(1,)+∞上递增， ∴()(1)0u t u >=，即1

ln 1(1)t t t

>->，同理可证：ln 1t t <-，

综上，11ln 1(1)t t t t

-<<->，即

21

11

k x x <<得证． 22.解：（Ⅰ）由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得点P

的直角坐标为

，由

2cos ,

2sin ,

x y αα=???

=??

得22(4x y +=，所以C

的直角坐标方程为22(4x y +=． （Ⅱ）直线l 的普通方程为210x y ++=，

由参数方程，设(2cos ,2sin )Q αα，则3(cos ,sin )2

M αα+， 那么点M 到直线l 的距离

35

|

cos 2sin 1|)|d ααα?+++++==

51≥=-（1tan 2?=）．

所以点M 到直线l

1-． 23.解：（Ⅰ）当1a =时，()|2||21|5f x x x =-++≥，

当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，∴2x ≥；

当1

22x -

<<时，不等式等价于2215x x -++≥，即2x ≥，∴解集为空集； 当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，∴4

3

x ≤-．

故原不等式的解集为4|23

x x x ?

?≤-≥???

?

或． （Ⅱ）

()|2|2|2||2|f x x x x a +-=-++|24||2|x x a =-++|2(24)||4|x a x a ≥+--=+，

∵原命题等价于min (()|2|)3f x x +-<，即|4|3a +<， ∴71a -<<-．