3.大学生数学竞赛模拟题三2015.9.4

3.大学生数学竞赛模拟题三2015.9.4
3.大学生数学竞赛模拟题三2015.9.4

大学生数学竞赛模拟题三

一、填空题(共有5小题,每小题6分,共30分) 1.

20()0sin ()lim 2(0)'(0).

x f x x x f x f f x x →=??+= ???已知函数在的某个邻域内有连续导数,且

,求及

2.

222()(1)(3)()y x x x x y y x =--=设,讨论曲线有几个拐点并说明理由.

3.

20(),()()(),()2e ()(0)0,(0)2,()

()d .

1(1)x f x g x f x g x g x f x f g g x f x x x x π''==-==??

-??++???设函数满足且求

4.

2221112121

.22n n n n n n n x ∞

∞--==--∑∑求幂级数的和函数,并求级数的和

5.

44

4000ln sin()d ln cos d ln(1tan )d .4x x x x x x πππ

π

+=+???说明,并计算

二、(本题满分12分)

()[0,](0,)()0.

444(0,)2()sin 2'()0

4f x f f f πππ

πξξξξ=∈+=设在上连续,在内可导,且证明:存在一点,使

三、(本题满分14分)

()()1

(),()e e ,'(0)e,'()()e a b x f x a b f a b f b f a f f x f x ++=+==+设函数对所有的实数满足:且证明:

四、(本题满分14分) 22()d ()d cos (,)(,)L x y x x y y x y L y x A B πππππ+--+=---?计算,其中是沿由到的曲线段.

五、(本题满分15分)

222222222()0(0).()()d ()'().

F x t z x y x y z t t F t f x y z V F t F t Ω

>Ω=+++=>=++???设为连续函数,,区域是由抛物线和球面所围起来的部分定义三重积分,求的导数

六、(本题满分15分)

2222221(0)(,)(,)2()(e )d d (e )d d [(,)2e ]d d (,).

x x x x y z z f x y f x y x y x z y z y z z x zf x y x y f x y ∑

∑++=≥=-+++++-??设为的外侧,连续函数满足:

全国大学生数学竞赛预赛试题

第一届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算__ ,其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设是连续函数,且满足, 则____________. 3.曲面平行平面的切平面方程是__________. 4.设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,则_____. 二、(5分)求极限,其中是给定的正整数. 三、(15分)设函数连续,,且,为常数,求并讨论在处的连续性. 四、(15分)已知平面区域,为的正向边界,试证: (1);(2) . 五、(10分)已知,,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 六、(10分)设抛物线过原点.当时,,又已知该 抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、(15分)已知满足, 且, 求函 数项级数之和. 八、(10分)求时, 与等价的无穷大量.

第二届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、(25分,每小题5分) (1)设其中求(2)求。 (3)设,求。 (4)设函数有二阶连续导数,,求。 (5)求直线与直线的距离。 二、(15分)设函数在上具有二阶导数,并且 且存在一点,使得,证明:方程在恰有两个实根。 三、(15分)设函数由参数方程所确定,其中具 有二阶导数,曲线与在出相切,求函数。 四、(15分)设证明:(1)当时,级数收敛; (2)当且时,级数发散。 五、(15分)设是过原点、方向为,(其中的直线,均 匀椭球,其中(密度为1)绕旋转。(1)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。 六、(15分)设函数具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上,曲线积分的值为常数。(1)设为正向闭曲线

最新全国大学生数学竞赛简介

全国大学生数学竞赛 百度简介

中国大学生数学竞赛

该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》,由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写,已经由清华大学出版社出版。 编辑本段竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 (一)中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下: Ⅰ、数学分析部分

一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质). 2. 数列收敛的条件(Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性),归结原则和Cauchy收敛准则,两个重要极限及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号O与o的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性). 三、一元函数微分学

原创!!全面大学生数学竞赛试题

2011年数学竞赛练习题C_3解答 1. 设数列{}n x 满足: 11 sin (2)sin 11 n n x n n n <<+++, 则1 1lim 1n k n k x n →∞==+∑_______。 11 sin (2)sin 111 n n n x n x n n <<+∴→++解 ; Q 1 1 1 1lim lim lim lim 1111n n k k n k k k n n n n k x x n n x n n n n n ==→∞→∞→∞→∞ =∴=?=?=+++∑∑∑ 2.设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切, 则极限lim n ________。 (0)0,(0)1n n f f '===已知有: 2. 设(1n n a b =+, 其中,n n a b 为正整数,lim n n n a b →∞=__ 2224 113 (1) 1)3)(13)3) )()3) ) n n n n n n n C C C C C C =+++ =+++++ 224 41133(1(1)() n n n n n C C C C =++-++ (1=+(1=n n n n n n a b a b a b -所以,若则解得:

lim =n n n n n a b →∞∴= 3. 设()f x 有连续导数且0 () lim 0x f x a x →=≠, 又20 ()()()x F x x t f t dt =-?, 当0x →时()F x '与n x 是同阶无穷小, 则n =________。 2020 ()()()()()x x x F x x t f t dt x f t dt tf t dt =-=-? ?? 20 ()2()()()x F x x f t dt x f x xf x '=+-? 0() lim 0x F x x →'=显然 20 2 02()()() lim x x x f t dt x f x xf x x →+-?考虑: 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim 0x x x f t dt f x x x →→=-+?0a =-≠ 2n ∴= 5. ()f x ∞设在[1,+)上可导,下列结论成立的是:________。 +lim ()0()x f x f x →∞ '=∞A.若,则在[1,+)上有界;

全国大学生数学竞赛试题及答案

河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续,故dx x ?1 02-1存在,且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i , 所以,= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中,无论a 为何值总有分母趋于零,因此要想极限存在,分子必 须为无穷小量,于是可知必有0=b ,当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?, 由上式可知:当0→x 时,若1≠a ,则此极限存在,且其值为0;若1=a ,则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x , 综上所述,得到如下结论:;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。

【解】 作变换t x -= 2 π ,则 =I 22 20π π = ?dt , 所以,4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0, 容易看出:当e x <<0时,0<'y ;当e x >时,0>'y 。 所以,x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? <

历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 一、填空题(每小题5分,共20分) 1. 计算()ln(1) d y x y x y ++=??,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足22 ()3()d 2f x x f x x =--? ,则()f x =. 3.曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是. 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且 1≠'f ,则=22d d x y . 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→Λ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,10()() g x f xt dt =?,且A x x f x =→) (lim 0,A 为常数,求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证: (1)??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 2 5d d π?≥--L y y x ye y xe . 五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1.试确定 c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、(15分)已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ,且n e u n =)1(,求 函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和.

大学生数学竞赛真题非数学类

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f ,则=)(x f ____________. 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则 =2 2d d x y ________________. 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,? =10 d )()(t xt f x g , 且A x x f x =→) (lim 0 ,A 为常数, 求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证: (1)?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22 ++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、(15分)已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n ,且n e u n =)1(,求函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、(10分)求- →1x 时,与 ∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量.

全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 (非数学类) 考试形式: 闭卷 考试时间: 150 分钟 满分: 100 分. 一、 计算下列各题(共20分,每小题各5分,要求写出重要步骤). (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元,而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案:即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少? (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+,求()f x .

二、(10分)求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????; (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、(10分)设()f x 在1x =点附近有定义,且在1x =点可导, (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、(10分) 设()f x 在[0,)+∞上连续,无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?.

五、五、(12分)设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明:(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=;(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、(14分)设1n >为整数, 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根.

全国大学生数学竞赛大纲(数学专业组)

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 (一)中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下: Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、2 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质). 2. 数列收敛的条件(Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性),归结原则和Cauchy 收敛准则,两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号O 与o 的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性). 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理:Fermat 定理,Rolle 定理,Lagrange 定理,Cauchy 定理,Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用:函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书 及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=, v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.

历届全国大学生数学竞赛真题

高数竞赛预赛试题(非数学类) 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4.设函数)(x y y =由方程29ln ) (y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则 =2 2d d x y ________________. 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,?=10d )()(t xt f x g ,且A x x f x =→) (lim 0,A 为常数,求) (x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证: (1)?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线 与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、(15分)已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n , 且n e u n =)1(, 求函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、(10分)求- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量.

大学生数学竞赛习题及详细解答

一、 填空题(每小题4分,共40分) 1. 设 ? ????? +=∞→x t x x t t f 2)11(lim )(,则=')(t f . 解:)(t f t x x x t 2)11(lim ?? ???? +=∞ →t te 2=,t t t e t te e t f 222)21(2)(+=+='∴. 2. 设曲线L 的方程为t e x 2=,t e t y --=,则L 的拐点个数为 . 解:)(2 1213-22t t t t t t e e e e x y dx dy += += ' '=--, )32(4 12/)32(2 15-423-22 2 t t t t t t t e e e e e x dx dy dx y d +- =--= '' ?? ? ??=--. 02 2

2015山东省大学生数学竞赛(专科)试卷2015总决赛答案

绝密★启用前 山东省大学生数学竞赛(专科)总决赛试卷 (非数学类,2015) 一、填空题(每小题5分,共30分) 一、填空题(每小题5分,共30分,请将答案填在题中横线上。) 1. 已知1 )1(42 +=+x x x x f ,)(x f =___________. 2. 设8)2(lim =-+∞→x x a x a x ,则a =___________. 3. 设方程x y e xy cos 2=+确定y 为x 的函数,则dx dy =_________________. 4. 曲线22)3()1(--=x x y 的拐点个数为__________个. 5. 求不定积分=___________. 2 02 d 6. cos d ______.d x x t t x =? 二、综合题(本题共6小题,共70分,请写出相应演算步骤。) 1. (15分) 1cos ,0()sin 0, 0(1)0(2)'(). x x f x x x x x f x ?-≠?=??=?=讨论函数在处的连续性和可导性;求出导函数 2. (12分)设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,且0)1()0(==f f ,1)21(=f ,试证: (1)存在)1,21(∈η,使得ηη=)(f (2)对任意实数λ,必存在),0(ηξ∈,使得1])([)(=--'ξξλξf f 3. (13分)求dx x t t 1 0 ?- 4. (10分)求平面上的圆盘)0()(222b a a y b x <<≤+-绕y 轴旋转所得圆环体的体积. 5. (10分)选做题(考生在下面两道题中选择一道作答,答题时请标明题号,两题全答的只计算一题得分。) 2222222(1)r r r r r x y z ???=++=???已知成立.

09-16大学生数学竞赛真题(非数学类)

2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则 =2 2d d x y ________________. 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,? = 10 d )()(t xt f x g ,且A x x f x =→) (lim ,A 为常数,求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证: (1)?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系 数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.

大学生数学竞赛(非数)试题及答案

大学生数学竞赛(非数学类)试卷及标准答案 考试形式: 闭卷 考试时间: 120 分钟 满分: 100 分. 一、填空(每小题5分,共20分). 计算)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→= . (2)设() f x 在2x =连续,且2 ()3 lim 2 x f x x →--存在,则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2)1 1(lim )(+=∞→,则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ,则()xf x dx '?= . (1) 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. 二、(5分)计算 dxdy x y D ??-2 ,其中 1010≤≤≤≤y x D ,:. 解: dxdy x y D ?? -2= dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ?? ≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2 210 -??+dy x y dx x )(1 2102??- -------------4分 姓名: 身份证号 所在院校: 年级 专业 线 封 密 注意:1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.

= 30 11 -------------5分. 三、(10分)设)](sin[2 x f y =,其中f 具有二阶 导数,求22dx y d . 解: )],(cos[)(2 22x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 222222222 2x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 = )]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10 分. 四、(15分)已知3 1 23ln 0 = -?? dx e e a x x ,求a 的值. 解: )23(232123ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-??? ---------3分 令t e x =-23,所以 dt t dx e e a a x x ?? -- =-?231ln 0 2 123---------6分 =a t 231 2 33 2 21-?-------------7分 =]1)23([31 3--?-a ,-----------9分 由3123ln 0=-??dx e e a x x ,故]1)23([313--?-a =31 ,-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3 =a -------------15分.

全国大学生数学竞赛(数学类)模拟试题一

全国大学生数学竞赛(数学类)模拟试题 一、解答题(本题满分10分) 1、下面的说法可以用作()0 lim x x f x A →=的定义吗? “00,0,:0x x x εδδ?>?>?<-<,有()f x A εδ-<”。 正确的给以证明,不正确的举例说明。 2、求sin sin sin lim sin x t x t x t x -→?? ??? ,记此极限为()f x 。求()f x 的间断点并指出其类型。 二、(本题满分10分) 证明数列{}n x 是收敛的并求其极限,其中{}n x 满足:10x <()11n n n c x x c x ++=+,1c >。 三、(本题满分10分) 设()f x 在[),a +∞()0a >内连续,且满足Lipschitz 条件,即存在0L >,使得 [)12,,x x a ?∈+∞,有()()1212f x f x L x x -≤-,证明()f x x 在[),a +∞内有界且一致连续。 四、(本题满分10分)

若()f x 在[],a b 上连续,且()f x 在[],a b 上每点处都取极值,则()f x 恒等于某个常数。 五、(本题满分10分) 记()[]()()(){}:0,10,00,11E f f x f f x f f =≥==在上连续,。 (i )求(){}1 0inf :f x dx f E ∈?; (ii )不存在g E ∈,使得()1 0o g x dx =?。 六、(本题满分15分) 设()f t 在[],a x 上连续,(),a x ξ∈,使得()()()x a f t dt f x a ξ=-? 若()f t 在t a =可导,且()0f a '≠,则1 lim 2a a x a ξξ→-=-。 七、(本题满分15分) 已知向量组m ααα,,,21 线性无关,向量s βββ,,,21 都可用m ααα,,,21 表出, 即1 (1,2,,)m i ij j j c i s βα===∑ 求证:s βββ,,,21 线性相关的充分必要条件是矩阵m s ij c C ?=)(的秩s C R <)(.

[实用参考]大学生数学竞赛试题(专业组).doc

优质参考文档 优质参考文档 大学生数学竞赛试题(数学专业组) 1.求平面10Ax By Cz +++=与椭球222 2221x y z a b c ++=之间的最短距离( 令h = ,m =,试用代数式表示并讨论平面在椭球外面的条件。(10分) 2.利用定积分求极限221lim n n k n n k →∞=+∑.(10分) 3.证明:若函数()f x 在[,]a b 连续,在(,)a b 内存在二阶导数,且()()0f a f b ==,()0f c >,其中 a c b <<,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()0f ξ''<。 (10分) 4.证明:函数 1nx n ne ∞-=∑在(0,)+∞内连续.(10分) 5. 求积分3 1(1)x ?;1311(2)d x x x e e +∞+-+?.(10分) 6.设(,,)L x y z 为从原点到球面2222x y z R ++=上的点(,,)P x y z 的切平面的距离,求积分 (,,)d L x y z S ∑ ??,其中∑为球面2222x y z R ++=.(10分) 7.证明下列命题: (1).如果多项式(),()f x g x 不全为零,证明: ()((),())f x f x g x 与()((),()) g x f x g x 互素。 (2).证明:0x 是()f x 的k 重根的充分必要条件是1000()()()0k f x f x f x -'====而0()0k f x ≠.(10分) 8.设数域K 上的n 级矩阵A 的),(j i 元为j i b a - (1).求A ; (2).当2≥n 时,2121,b b a a ≠≠.求齐次线性方程组0=AX 的解空间的维数和一个基。(10分) 9.设A 是数域R 上n 维线性空间V 上的一个线性变换,用I 表示V 上的恒等变换,证明: n rank rank =+++-?=)()(23A A I A I I A .(10分) 10.设矩阵11111,1112a A a a β???? ? ?== ? ? ? ?-???? ,已知线性方程组AX β=有解但不唯一,试求:(1)a 的值;(2) 正交矩阵Q ,使T Q AQ 为对角矩阵,其中T Q 表示Q 的转置(求Q 和T Q AQ ).(10分)

全国大学生数学竞赛练习题(解析)

9月11日练习题(解析) 1 设()f x 在[0,1]上二阶可导,且(0)(1)f f =,求证:(0,1),ξ?∈使得 2()(1)()f f ξξξ'''=- 解 令2()(1)()F x x f x '=-,则()F x 连续,由于(0)(1)f f =,故(0,1)c ?∈,使 ()0f c '= 故(1)()0F F c ==,因此(,1)(0,1)c ξ?∈?,使 ()0F ξ'= 即 2(1)()2(1)()0f f ξξξξ'''---= 故 2()(1)()f f ξξξ'''=- 2 设()f x 在[0,1]上连续, 1 10 0()0,()1f x dx xf x dx ==? ?,考虑积分101 ()()2 x f x dx -?,证明: (1)存在[0,1]ξ∈,使()4f ξ≥ (2)存在[0,1]ξ∈,使()4f ξ= 证明(1)利用广义积分中值定理,[0,1]ξ?∈,使 1 1 00 1()()2I xf x dx f x dx =-?? 1010 1 1121021()()21 ()2 1() 2 11()221 () 4 x f x dx x f x dx f x dx f x dx x dx f ξξξ= -≤- =- ??????=-+-?? ? ???????=??? ?? 因此()4f ξ≥ (2)因为()f x 在[0,1]上连续,故()f x 在[0,1]上连续,由(1). 1[0,1]ξ?∈,使 1()4f ξ≥

根据积分中值定理,2[0,1]ξ?∈,使 1 20 ()()f x dx f ξ=? 故2()0f ξ=.因此根据介值定理,在1ξ与2ξ之间存在ξ,使 ()4[0,1]f ξξ=∈ 3(1)设(,,)u u x y z =,若0x y z xu yu zu '''++=,试证明在球坐标下u 仅为,θ?的函数; (2)设(,)z z x y =,若y x z z x y ''=,试证明z 仅为r 的函数,其中r = 证明 (1)由于 (,,)(cos sin ,sin sin ,cos )u u x y z u r r r θ?θ??== cos sin sin sin cos u u u u r x y z θ?θ??????=++???? 1()0u u u x y z r x y z ???=++=??? (2)由于 (,)(cos ,sin )z z x y z r r θθ== (sin )cos z z z r r x y θθθ???=-+??? 0z z y x x y ??=-+=?? 故z 仅为r 的函数 4 求 4 8 12 4812 15! 9! 13! 13!7!11!15! ππππππ+ + + +++++ 的值 解设分子为p ,分母为q ,则有 5 9 3 7 11 3 sin 05! 9! 3! 7! 11! p q πππππππππ-=+ + +- - - -== 故原式= 2p q π= 5 雨水从屋檐上滴入下面的一圆柱形水桶中,当下雨停止时,桶中雨水以与水深的平方根成正比的概率向桶外渗漏,如果水面高度在1h 内由开始的90cm 减少至88cm ,问需要多少时间桶内的水全部渗漏掉

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

前三届高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书 及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=, v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 15165132 21 53= ??????+-=t t t 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4= A 。因此310 3)(2-=x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面22 22 -+=y x z 在

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