2013高三数学(人教新课标理)《必考问题16 椭圆、双曲线、抛物线》(命题方向把握+命题角度分析)

2013高三数学(人教新课标理)《必考问题16 椭圆、双曲线、抛物线》(命题方向把握+命题角度分析)
2013高三数学(人教新课标理)《必考问题16 椭圆、双曲线、抛物线》(命题方向把握+命题角度分析)

必考问题16 椭圆、双曲线、抛物线

1.(2012·福建)已知双曲线x 24-y 2

b 2=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则该双曲

线的焦点到其渐近线的距离等于( ).

A. 5 B .4 2 C .3 D .5

答案: A [易求得抛物线y 2

=12x 的焦点为(3,0),故双曲线x 24-y 2

b

2=1的右焦点为(3,0),

即c =3,故32=4+b 2,∴b 2=5,

∴双曲线的渐近线方程为y =±5

2x ,∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为

???

?

52×31+5

4

5.]

2.(2012·新课标全国)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ,B 两点,|AB |=4 3,则C 的实轴长为( ).

A. 2 B .2 2 C .4 D .8

答案:C [抛物线y 2=16x 的准线方程是x =-4,所以点A (-4,2 3)在等轴双曲线C ;x 2-y 2=a 2(a >0)上,将点A 的坐标代入得a =2,所以C 的实轴长为4.]

3.(2012·山东)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2-y 2=1的渐近

线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为( ).

A.x 28+y 2

2=1 B.x 212+y 2

6=1 C.x 216+y 2

4

=1

D.x 220+y 2

5

=1 答案:D [因为椭圆的离心率为

32,所以e =c a =32,c 2=34a 2,c 2=3

4

a 2=a 2-

b 2,所以b 2

=14a 2,即a 2=4b 2

.双曲线的渐近线方程为y =±x ,代入椭圆方程得x 2a 2+x 2b 2=1,即x 24b 2+x 2b 2=

5x 24b 2=1,所以x 2=45b 2,x =±25b ,y 2=45b 2

,y =±25b ,则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为??

??25b ,25b ,所以四边形的面积为4×25b ×25

b =16

5b 2=16,所以b 2=5,

所以椭圆方程为x 220+y 2

5

=1.]

4.(2012·北京)在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ,且与该抛物线

相交于A ,B 两点,其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为________.

解析 直线l 的方程为y =3(x -1),即x =33y +1,代入抛物线方程得y 2-4 33

y -4=0,解得y A =

4 3

3

+ 163+162

=2 3(y B <0,舍去),故△OAF 的面积为1

2

×1×2 3= 3.

答案

3

圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一,在高考中一般有1~2个选择或者填空题,一个解答题.选择或者填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用,主要针对圆锥曲线本身,综合性较小,试题的难度一般不大;解答题主要是以椭圆为基本依托,考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系.

复习中,一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法,在抓住通性通法的同时,要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧.

二要熟悉圆锥曲线的几何性质,重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略,提高运用函数与方程思想,向量与导数的方法来解决问题的能力.

必备知识

椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0),点P (x ,y )在椭圆上.

(1)离心率:e =c

a

1-b 2a 2; (2)过焦点且垂直于长轴的弦叫通径,其长度为:2b 2

a .

双曲线x 2a 2-y 2

b 2=1(a >0,b >0),点P (x ,y )在双曲线上.

(1)离心率:e =c

a

1+b 2a

2; (2)过焦点且垂直于实轴的弦叫通径,其长度为:2b 2

a

.

抛物线y 2=2px (p >0),点C (x 1,y 1),D (x 2,y 2)在抛物线上. (1)焦半径|CF |=x 1+p 2

(2)过焦点弦长|CD |=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p ,|CD |=2p sin 2α(其中α为倾斜角),1|CF |+

1

|DF |

=2p

; (3)x 1x 2=p 2

4

,y 1y 2=-p 2;

(4)以抛物线上的点为圆心,焦半径为半径的圆必与准线相切,以抛物线焦点弦为直径的圆,必与准线相切.

必备方法

1.求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法

①顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为y 2=2ax 或x 2=2ay (a ≠0),避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时a 不具有p 的几何意义.

②中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,椭圆方程可设为x 2m +y 2

n =1(m >0,n >0).

双曲线方程可设为x 2m -y 2

n =1(mn >0).

这样可以避免讨论和繁琐的计算. 2.求轨迹方程的常用方法

(1)直接法:将几何关系直接转化成代数方程.

(2)定义法:满足的条件恰适合某已知曲线的定义,用待定系数法求方程. (3)代入法:把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系.

(4)交轨法:写出两条动直线的方程直接消参,求得两条动直线交点的轨迹.

注意:①建系要符合最优化原则;②求轨迹与“求轨迹方程”不同,轨迹通常指的是图形,而轨迹方程则是代数表达式;③化简是否同解变形,是否满足题意,验证特殊点是否成立等.

椭圆、双曲线、抛物线定义的应用

圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本,利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线

的一个重要命题点,在历年的高考试题中曾多次出现.需熟练掌握.

【例1】? 已知椭圆x 26+y 22=1与双曲线x 23-y 2

=1的公共焦点F 1,F 2,点P 是两曲线的

一个公共点,则cos ∠F 1PF 2的值为( ).

A.14

B.13

C.19

D.3

5 [审题视点] [听课记录]

[审题视点] 结合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求. B [因点P 在椭圆上又在双曲线上,所以|PF 1|+|PF 2|=2 6, |PF 1|-|PF 2|=2 3.

设|PF 1|>|PF 2|,解得|PF 1|=6+3,|PF 2|=6-3, 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2

2|PF 1||PF 2|

=(6+3)2+(6-3)2-162(6+3)(6-3)

=13.]

涉及椭圆、双曲线上的点到两焦点的距离问题时,要自觉地运用椭圆、双曲

线的定义.涉及抛物线上的点到焦点的距离时,常利用定义转化到抛物线的准线的距离.

【突破训练1】 如图过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线与点A ,B ,C ,若|BC |=2|BF |,且|AF |=3,则抛物线的方程是________.

解析

作BM ⊥l ,AQ ⊥l ,垂足分别为M 、Q .则由抛物线定义得,|AQ |=|AF |=3,|BF |=|BM |.又|BC |=2|BF |,所以|BC |=2|BM |.由BM ∥AQ 得,|AC |=2|AQ |=6,|CF |=3.∴|NF |=12|CF |=3

2

.

即p =3

2.抛物线方程为y 2=3x .

答案 y 2=3x

椭圆、双曲线、抛物线的几何性质

圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容,主要考查椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解,难度中档.

【例2】? (2012·东北三省四市教研协作体二次调研)以O 为中心,F 1,F 2为两个焦点的椭圆上存在一点M ,满足|MF 1→|=2|MO →|=2|MF 2→

|,则该椭圆的离心率为( ).

A.

22 B.33 C.63 D.64

[审题视点]

[听课记录]

[审题视点] 作MN ⊥x 轴,结合勾股定理可求c ,利用椭圆定义可求a .

C [过M 作x 轴的垂线,交x 轴于N 点,则N 点坐标为????c 2,0,并设|MF 1→|=2|MO →|=2|MF 2→|=2t ,根据勾股定理可知,|MF 1→|2-|NF 1→|2=|MF 2→|2-|NF 2→

|2,得到c =62t ,而a =3t 2,则

e =c a =6

3

,故选C.]

离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a ,b ,c 的不等式,再根据a ,b ,

c 的关系消掉b 得到关于a ,c 的不等式,由这个不等式确定e 的范围.

【突破训练2】 设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点A (0,2).若线段F A 的中点B 在抛物线上,则B 到该抛物线准线的距离为________.

解析 抛物线的焦点F 的坐标为????p 2,0,线段F A 的中点B 的坐标为????p

4,1代入抛物线方程得1=2p ×p 4,解得p =2,故点B 的坐标为????2

4,1,故点B 到该抛物线准线的距离为

24+22=3 2

4

. 答案

3 2

4

求曲线的方程

轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合,着重考查分析问题、

解决问题的能力,对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求.

【例3】? (2011·天津)在平面直角坐标系xOy 中,点P (a ,b )(a >b >0)为动点,F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2

b

2=1的左、右焦点.已知△F 1PF 2为等腰三角形.

(1)求椭圆的离心率e ;

(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ,B 两点,M 是直线PF 2上的点,满足AM →·BM →

=-2,求点M 的轨迹方程.

[审题视点] [听课记录]

[审题视点] (1)根据|PF 2|=|F 1F 2|建立关于a 与c 的方程式. (2)可解出A 、B 两点坐标(用c 表示),利用AM →·BM →=-2可求解. 解 (1)设F 1(-c,0),F 2(c,0)(c >0).

由题意可得|PF 2|=|F 1F 2|,即(a -c )2+b 2=2c . 整理得2????c a 2+c a -1=0, 得c a =12或c a =-1(舍),所以e =12

. (2)由(1)知a =2c ,b =3c ,可得椭圆方程为3x 2+4y 2=12c 2, 直线PF 2方程为y =3(x -c ).

A ,

B 两点的坐标满足方程组???

3x 2+4y 2=12c 2

,y =3(x -c ).

消去y 并整理,得5x 2

-8cx =0,解得x 1=0,x 2=8

5c ,得方程组的解???

x 1=0,y 1=-3c ,

???

x 2=85

c ,

y 2

=335c .

不妨设A ????

85

c ,335c ,B ()0,-3c .

设点M 的坐标为(x ,y ),则AM →

=????x -85c ,y -335c ,

BM →

=(x ,y +3c ).由y =3(x -c ),得c =x -

33

y .

于是AM →

=??

?

?

8315y -35x ,85y -335x ,

BM →=(x ,3x ).由题意知AM →·BM →

=-2,即 ????8315y -35x ·x +????85y -335x ·3x =-2,

化简得18x 2-163xy -15=0.

将y =18x 2-15163x 代入c =x -3

3y ,得c =10x 2+516x >0,

所以x >0.

因此,点M 的轨迹方程是18x 2-163xy -15=0(x >0).

(1)求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥

曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解.

(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的取值范围.

【突破训练3】 (2012·四川)如图,动点M 与两定点A (-1,0)、B (2,0)构成△MAB ,且∠MBA =2∠MAB .设动点M 的轨迹为C .

(1)求轨迹C 的方程;

(2)设直线y =-2x +m 与y 轴相交于点P ,与轨迹C 相交于点Q 、R ,且|PQ |<|PR |,求|PR |

|PQ |

的取值范围. 解 (1)设M 的坐标为(x ,y ),显然有x >0,且y ≠0. 当∠MBA =90°时,点M 的坐标为(2,±3). 当∠MBA ≠90°时,x ≠2,且∠MBA =2∠MAB , 有t an ∠MBA =2 t a n ∠MAB 1-t a n 2∠MAB ,即-|y |

x -2=2

|y |

x +11-???

?|y |x +12,

化简可得3x 2-y 2-3=0.

而点(2,±3)在曲线3x 2-y 2-3=0上,

综上可知,轨迹C 的方程为3x 2-y 2-3=0(x >1).

(2)由?

????

y =-2x +m ,

3x 2-y 2-3=0消去y ,可得

x 2-4mx +m 2+3=0.(*)

由题意,方程(*)有两根且均在(1,+∞)内.

设f (x )=x 2-4mx +m 2+3, 所以?????

--4m 2>1,f (1)=12

-4m +m 2

+3>0,

Δ=(-4m )2

-4(m 2

+3)>0,

解得m >1,且m ≠2.

设Q 、R 的坐标分别为(x Q ,y Q ),(x R ,y R ),

由|PQ |<|PR |有x R =2m +3(m 2-1),x Q =2m -3(m 2-1). 所以|PR ||PQ |=x R x Q =2m +3(m 2

-1)2m - 3(m 2-1)

2+3???

?1-1m 22-

3???

?1-1m 2 =-1+

4

2-

3???

?1-1m 2. 由m >1,且m ≠2,有1<-1+

4

2-

3????1-1m 2<7+4 3,且-1+

4

2-3????1-1m 2≠7.

所以|PR ||PQ |

的取值范围是(1,7)∪(7,7+4 3).

直线与圆锥曲线之间的关系

在高考中,直线与圆锥曲线的位置关系是热点,通常围绕弦长、面积、定点(定值),范围问题来展开,其中设而不求的思想是处理相交问题的最基本方法,试题难度较大.

【例4】? 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为3

3,过右焦点F 的直线l 与C

相交于A ,B 两点.当l 的斜率为1时,坐标原点O 到l 的距离为

22

. (1)求a ,b 的值;

(2)C 上是否存在点P ,使得当l 绕F 转到某一位置时,有OP →=OA →+OB →

成立?若存在,求出所有的P 的坐标与l 的方程;若不存在,说明理由.

[审题视点] [听课记录]

[审题视点] (1)由直线l 的斜率为1过焦点F ,原点O 到l 的距离为

2

2可求解;(2)需分直线l 的斜率存在或不存在两种情况讨论.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由条件OP →=OA →+OB →

可得P 点坐标,结合A 、B 、P 在椭圆上列等式消元求解.

解 (1)设F (c,0),当l 的斜率为1时,其方程为x -y -c =0,O 到l 的距离为|0-0-c |

2

c 2,故c 2=2

2

,c =1. 由e =c a =3

3

,得a =3,b =a 2-c 2= 2.

(2)C 上存在点P ,使得当l 绕F 转到某一位置时,有OP →=OA →+OB →

成立.由(1)知C 的方程为2x 2+3y 2=6.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).

(i)当l 不垂直于x 轴时,设l 的方程为y =k (x -1).

C 上的点P 使OP →=OA →+OB →

成立的充要条件是P 点的坐标为(x 1+x 2,y 1+y 2),且2(x 1

+x 2)2+3(y 1+y 2)2=6,

整理得2x 21+3y 21+2x 22+3y 2

2+4x 1x 2+6y 1y 2=6, 又A 、B 在椭圆C 上,即2x 21+3y 21=6,2x 22+3y 22=6,

故2x 1x 2+3y 1y 2+3=0.①

将y =k (x -1)代入2x 2+3y 2=6,并化简得 (2+3k 2)x 2-6k 2x +3k 2-6=0, 于是x 1+x 2=6k 22+3k 2,x 1·x 2=3k 2-62+3k 2,

y 1·y 2=k 2

(x 1-1)(x 2-1)=-4k 2

2+3k 2

.

代入①解得k 2=2,此时x 1+x 2=3

2

.

于是y 1+y 2=k (x 1+x 2-2)=-k

2

,即P ????32,-k 2. 因此,当k =- 2时,P ????32,2

2,l 的方程为2x +y - 2=0;

当k =2时,P ????32

,-2

2,l 的方程为2x -y -2=0.

(ⅱ)当l 垂直于x 轴时,由OA →+OB →=(2,0)知,C 上不存在点P 使OP →=OA →+OB →

成立.综上,C 上存在点P ????32

,±22使OP →=OA →+OB →

成立,此时l 的方程为2x ±y -2=0.

本小题主要考查直线、椭圆、分类讨论等基础知识,考查学生综合运用数学

知识进行推理的运算能力和解决问题的能力.此题的第(2)问以向量形式引进条件,利用向量的坐标运算,将“形”、“数”紧密联系在一起,既发挥了向量的工具性作用,也让学生明白根与系数的关系是解决直线与圆锥曲线问题的通性通法.

【突破训练4】 设椭圆E :x 2a 2+y 2

b 2=1(a ,b >0)过点M (2,2),N (6,1)两点,O 为坐

标原点.

(1)求椭圆E 的方程;

(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B ,且OA →⊥OB →

?若存在,写出该圆的方程;若不存在,说明理由.

解 (1)将M ,N 的坐标代入椭圆E 的方程得

???

4a 2+2

b 2

=1,6a 2

+1

b 2

=1,

解得a 2=8,b 2=4.

所以椭圆E 的方程为x 28+y 2

4

=1.

(2)假设满足题意的圆存在,其方程为x 2+y 2=R 2,其中0<R <2.

设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,当直线AB 的斜率存在时,令直线AB 的方程为y =kx +m ,①

将其代入椭圆E 的方程并整理得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2-8=0. 由方程根与系数的关系得

x 1+x 2=-4km

2k 2+1,x 1x 2=2m 2-82k 2+1.②

因为OA →⊥OB →

,所以x 1x 2+y 1y 2=0.③

将①代入③并整理得(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0. 联立②得m 2=8

3(1+k 2).④

因为直线AB 和圆相切,因此R =

|m |

1+k 2

. 由④得R =2 63,所以存在圆x 2+y 2=8

3满足题意.

当切线AB 的斜率不存在时,易得x 21=x 2

2

=83, 由椭圆E 的方程得y 2

1=y 22

=83,显然OA →⊥OB →. 综上所述,存在圆x 2+y 2=8

3

满足题意.

讲讲离心率的故事

椭圆、双曲线的离心率是一个重要的基本量,在椭圆中或在双曲线中都有着极其特殊的应用,也是高考常考的问题,通常有两类:一是求椭圆和双曲线的离心率的值;二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围.

一、以离心率为“中介”

【示例1】? (2012·湖北)如图,双曲线x 2a 2-y 2b

2=1(a ,b >0)的两顶点为A 1,A 2,虚轴两

端点为B 1,B 2,两焦点为F 1,F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2,切点分别为A ,B ,C ,D .则

(1)双曲线的离心率e =________;

(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1

S 2=________.

解析 (1)由题意可得a b 2+c 2=bc ,∴a 4-3a 2c 2+c 4=0,∴e 4-3e 2+1=0,∴e 2=

3+52,∴e =1+5

2

. (2)设sin θ=b b 2+c 2,cos θ=c b 2+c 2,S 1S 2=2bc 4a 2sin θcos θ=2bc 4a 2bc

b 2+

c 2=b 2+c 22a 2=e 2-12=

2+5

2

. 答案 (1)1+52 (2)2+5

2

老师叮咛:离心率是“沟通”a ,b ,c 的重要中介之一,本题在产生关于a ,b ,c 的关系式后,再将关系式转化为关于离心率e 的方程,通过方程产生结论.

【试一试1】 (2012·南通模拟)A ,B 是双曲线C 的两个顶点,直线l 与双曲线C 交于不同的两点P ,Q ,且与实轴垂直,若PB →·AQ →

=0,则双曲线C 的离心率e =________.

解析 不妨设双曲线C 的方程x 2a 2-y 2

b 2=1(a >0,b >0),则A (-a,0),B (a,0).设P (x ,y ),

Q (x ,-y ),

所以PB →=(a -x ,-y ),AQ →

=(x +a ,-y ), 由PB →·AQ →=0,得a 2-x 2+y 2=0. 又x 2a 2-y 2

b 2=1,所以a 2+y 2a 2-y 2b 2=1, 即????1a 2-1b 2y 2=0恒成立,所以1a 2-1

b 2=0. 即a 2=b 2,所以2a 2=

c 2.从而e = 2. 答案

2

二、离心率的“外交术”

【示例2】? (2012·潍坊模拟)已知c 是椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的半焦距,则b +

c a 的取

值范围是( ).

A .(1,+∞)

B .(2,+∞)

C .(1,2)

D .(1, 2 ]

解析 由b +c a =a 2-c 2+c

a =1-e 2+e ,又0<e <1,设f (x )=1-x 2+x,0<x <1,则

f ′(x )=1-x 1-x 2=1-x 2-x 1-x 2

.令y ′=0,得x =22,则f (x )在

????0,22上单调递增,在???

?22,1上单调递减,∴f (x )max

1-12+2

2

=2,f (0)=1,f (1)=1.∴1<f (x )≤2,故1<b +c a

≤ 2.

答案 D

老师叮咛:离心率“外交”在于它可以较好地与其他知识交汇,本题中,如何求\f(b +c,a )的取值范围?结合离心率及关系式a 2=b 2+c 2,将待求式子转化为关于e 的函数关系式,借助函数的定义域(即e 的范围)产生函数的值域,从而完成求解.

【试一试2】 (2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2m -y 2

m 2+4=1的离心率

为5,则m 的值为________.

解析 由题意得m >0,∴a =m ,b =m 2+4.

∴c =m 2

+m +4,由e =c

a =5,得m 2+m +4m

=5,解得m =2.

答案 2

高三数学复习专题讲座

2010届高三数学复习专题讲座 数列复习建议 江苏省睢宁高级中学北校袁保金 数列是高中数学的重点内容之一,是初等数学与高等数学的重要衔接点,由于它既具有函数特征,又能构成独特的递推关系,使得它既与高中数学其他部分的知识有着密切的联系,又有自己鲜明的特点.而且具有内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性,所以数列一直是高考考查的重点和热点.纵观江苏省近几年高考数学试卷,数列都占有相当重要的地位,一般情况下都是以一道填空题和一道解答题形式出现,填空题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容,对基本的计算技能要求比较高,具有“小、巧、活、新”的特点,解答题属于中高档难度的题目,甚至是压轴题.具有综合性强、变化多、难度较大特点,重点以等差数列和等比数列内容为主,考查数列内在的本质的知识和推理能力,运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 一、考纲解读 2、考纲解读(1)考纲中对数列的有关概念要求为A级,也就是说只要了解数列概念的基本含义,并能解决相关的简单问题.(2)等差数列和等比数列要求都为C级,2010年数学科考试说明中共列出八个C级要求的知识点,等差数列、等比数列占了其中两个,说明这两个基本数列在高考中的地位相当重要.具体要求我们对这两个数列的定义、性质、通项公式以及前n项和公式需要有深刻的认识,能够

系统地掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强的或较为困难的问题.这也说明涉及等差数列和等比数列的综合题在高考中一定出现.(3)由于数列这一章含有两个C级要求的知识点,可以命制等差数列、等比数列以及它们之间相互联系的综合题,也可以命制数列与函数、方程、不等式等知识点相融合的综合题,以及数列应用问题,着重考查思维能力、推理论证能力以及分析问题,解决实际问题的能力. 二、考题启示1、考题分布 自2004年江苏省单独命题以来,对数列知识的考查一直是命题的重 2、考题启示(1)数列在高考试卷中占的比重较大,分值约为13%左右,呈一大一小趋势,对等差数列和等比数列都有考查,纵观近几年江苏省高考试题,我们会发现江苏考题与全国卷、其他省市卷数列题有很大区别,具有十分明显的特色,对数列的考查不与其他知识综合,同时也回避了递推数列和不等式,主要揭示等差数列和等比数列内在的本质性的知识,形成江苏卷的一大特色.因此复习中在递推数列方面,特别是利用递推数列求通项,要大胆取舍,不要深挖.(2)客观题主要考查了等差、等比数列的基本概念和性质,突出了“小、巧、活、新”的特点,属容易题或中档题.主观题年年都考,且以中等和难度较大的综合题出现,常放在压轴题的位置.回顾江苏省单独命题以来,对数列的考查可以称得上到了极致.如2007年、2008年在倒数第二题,2005年、2006年在最后一题,2009年数列题前移到第17题,以中等题形式出现,这一显著地变化似乎一种信号,具有一定的导向作用.

广东省华南师范大学附中2013届高三5月综合测试--数学(理)

广东省华南师范大学附中 2013届高三5月综合测试 数学(理)试题 第Ⅰ卷(共40分) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的 1. 已知i 是虚数单位,则复数3 2 32i i i z ++=所对应的点落在 A. 第一象限; B. 第二象限; C. 第三象限; D. 第四象限 2. 已知全集R U =,}21|{<<-=x x A ,}0|{≥=x x B ,则=)(B A C U A. }20|{<≤x x ; B. }0|{≥x x ; C. 1|{->x x ; D. }1|{-≤x x 3. 公比为2的等比数列}{n a 的各项都是正数,且16122=a a ,则=92log a A. 4; B. 5; C. 6; D. 7 4. 若y x 、满足约束条件?? ?≤+≥+1 02 2 y x y x ,则y x +2的取值范围是 A. ??? ? ??5,22 ; B. ?? ? ???-22,22; C. [ ] 5,5-; D. ?? ????-5, 2 2 5. N M 、分别是正方体1AC 的棱1111D A B A 、的中点,如图是过A N M 、、和1C N D 、、的两个截面截去两个角后所得的几何体,则该几何体的主视图为 6. 若将函数5 2)(x x f =表示为5 52 210)1()1()1()(x a x a x a a x f +++++++= ,其中0a ,1a ,2a , ,5a 为实数,则=3a A. 10; B. 20; C. 20-; D. 10- 7. 在ABC ?中,已知向量)72cos ,18(cos ??=,)27cos 2,63cos 2(??=,则ABC ?的面积为 A. 22; B. 42; C. 2 3 ; D. 2 A C B D A C D B N M 1 B 1 C

2020届高三数学摸底考试试题 文

2019届高三摸底考试 数 学(文科) 得分:______________ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共8页。时量120分钟。满分150分。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集U =R ,集合M ={x |-4≤x -1≤4}和N ={x |x =2k -1,k =1,2,…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 A .2个 B .3个 C .1个 D .无穷多个 2.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α在 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.设i 为虚数单位,m ∈R ,“复数z =(m 2 -1)+(m -1)i 是纯虚数”是“m =±1”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件 4.已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的离心率为3,则其渐近线的方程为 A .22y ±x =0 B .22x ±y =0 C .8x ±y =0 D .x ±8y =0 5.下列函数的最小正周期为π的是 A .y =cos 2 x B .y =|sin x 2| C .y =sin x D .y =tan x 2 6.如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形,则该几何体的体积为

A.33 B.32 C. 23 3 D. 3 7.已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )+g (x )=a x -a -x +2 (a >0,a ≠1),若g (2)=a ,则f (2)= A .2 B.154 C.174 D .a 2 8.已知向量m =(λ+1,1),n =(λ+2,2),若(m +n )⊥(m -n ),则λ= A .-4 B .-3 C .-2 D .-1 9.已知某程序框图如图所示,当输入的x 的值为5时,输出的y 的值恰好是1 3,则在空 白的赋值框处应填入的关系式可以是 A .y =x 3 B .y =13x C .y =3x D .y =3-x 10.设x ,y 满足约束条件???? ?3x -y -6≤0x -y +2≥0x ≥0,y ≥0,若目标函数z =ax +by (a >0,b >0)的最大值 为12,则2a +3 b 的最小值为 A .4 B.83 C.113 D.25 6 11.过点P ()-1,1作圆C :()x -t 2 +()y -t +22 =1()t ∈R 的切线,切点分别为A 、 B ,则PA →·PB → 的最小值为 A. 103 B.403 C.21 4 D .22-3 12.已知函数f ()x = ln x +() x -b 2 x (b ∈R ).若存在x ∈???? ??12,2,使得f (x )>- x ·f ′(x ),则实数b 的取值范围是

启恩中学2013届高三数学(理)综合训练题(四)

启恩中学2013届高三数学(理)综合训练题(四) 一.选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 1.若集合}1 |{2x y y M = =,{|1}P y y x ==-, 那么=P M A .[0, )+∞ B . (0, )+∞ C .(1, )+∞ D .[1, )+∞ 2.在等比数列{}n a 中,已知 13118a a a =,那么28a a = A .4 B .6 C .12 D .16 3.在△ABC 中,90, (, 1), (2, 3)C AB k AC ∠=?== ,则k 的值是 A . 2 3 B .-5 C .5 D .2 3 - 4.某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与19秒之间,将测试结果按如下方式分成六组:第 一组,成绩大于等于13秒且小于14秒;第二组,成绩大于等于14秒且小于15秒;…;第六组,成绩大于等于18秒且小于等于19秒.右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为 x ,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为 y ,则从频率分布直方图中可分析出 x 和y 分别为 A .0.935, B .0.945, C .0.135, D .0.145, 5.设βα,为互不重合的平面,n m ,为互不重合的直线,给出下列四个命题: ① 若αα?⊥n m ,, 则n m ⊥;② 若, , //, //m n m n ααββ??,则 βα//; ③ 若, , , m n n m αβαβα⊥=?⊥ ,则β⊥n ;④ 若, , //m m n ααβ⊥⊥,则β//n . 其中所有正确命题的序号是 : A .①③ B .②④ C .①④ D .③④ 6.已知α∈( 2π,π),sin α=53 , 则)4 2tan(πα+等于:

高三摸底测试(数学文)

上海市奉贤区 高三摸底测试 数学试题(文) 一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4分,否则一律得零分. 1.设全集U ={a 、b 、c 、d 、e}, 集合A={a 、b},B={b 、c 、d},则A∩C U B=________. 2.已知f (x ),则=____________. 3.等差数列{a n }中,a 5+a 8+ a 11+ a 14+ a 17=50,则S 21= . 4.向量 、满足||=2,||=3,且|+|=,则.= . 5.现有形状特征一样的若干个小球,每个小球上写着一个两位数,一个口袋里放有标着所 有不同的两位数的小球,现任意取一个小球,取出小球上两位数的十位数字比个位数字大的概率是 . 6.方程2cos2x = 1的解是 . 78.设方程x 2–2x+m=0的两个根为α、β,且|α–β|=2,则实数m 的值是 . 9.圆(x+2)2+(y –1)2 = 5关于原点对称的圆的方程为 . 10.给出下列命题:(1)常数列既是等差数列,又是等比数列;(2)实数等差数列中,若 公差d<0,则数列必是递减数列;(3)实数等比数列中,若公比q>1,则数列必是递 增数列;(4);(5)首项为a 1,公比为q 的等比数列的前n 项和为S n =.其中正确命题的序号是 . 11.若点满足不等式组:则目标函数K=6x+8y 的最大值是 . 12.若在由正整数构成的无穷数列{a n }中,对任意的正整数n ,都有a n ≤ a n+1,且对任意的 正整数k ,该数列中恰有k 个k ,则a= . 二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结 论,其中有且只有一个结论是正确的,必本大题满分16分)须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分. 1 1 2+-= x x )3(1 -f 71)4142( lim =-+∞ →n n n n q q a n --1) 1(1),(y x P ,0,0625?? ? ??≥≥≤+≤+y x y x y x

2013届江苏高三数学试题分类汇编: 复数

广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编 复数 1、(潮州市2013届高三上学期期末)12i i += A .i --2 B .i +-2 C .i -2 D .i +2 答案:C 2、(东莞市2013届高三上学期期末)若复数z 满足(12)2i z i +=+,则z = . 答案:i 5 354- 3、(佛山市2013届高三上学期期末)设i 为虚数单位,则复数i 2i +等于 A .12i 55+ B . 12i 55-+ C .12i 55- D .12i 55 -- 答案:A 4、(广州市2013届高三上学期期末)复数1+i (i 为虚数单位)的模等于 A .2 B .1 C . 22 D .12 答案:A 5、(惠州市2013届高三上学期期末)i 是虚数单位,若(i 1)i z +=,则z 等于( ) A .1 B .32 C. 22 D. 12 答案:C 6、(江门市2013届高三上学期期末)若) )( 2(i b i ++是实数(i 是虚数单位,b 是实数), 则=b A .1 B .1- C .2 D .2- 答案:D 7、(茂名市2013届高三上学期期末)计算:2 (1)i i +=( ) A .-2 B .2 C .2i D .-2i 答案:A 8、(汕头市2013届高三上学期期末)如图在复平面内,复数21,z z 对应的向量分别是OB OA ,,则复数21z z -的值是( ). A .i 21+- B .i 22-- C .i 21+ D .i 21- 答案:B

9、(增城市2013届高三上学期期末)复数5-2+i = A . 2+i B . 2i -+ C . 2i -- D . 2i - 答案:C 10、(湛江市2013届高三上学期期末)复数z 满足z +1=2+i (i 为虚数单位),则z (1-i )= A 、2 B 、0 C 、1+i D 、i 答案:A 11、(肇庆市2013届高三上学期期末)设i 为虚数单位,则复数11i i +=-( ) A . i B .i - C .1i + D .1i - 答案:A 12、(珠海市2013届高三上学期期末)已知是虚数单位,复数i i +3= A .i 103101+ B .i 103101+- C .i 8 381+- D .i 8381-- 答案:A

江西省南昌市2021届高三摸底测试数学(理)试题

2021届高三摸底测试卷 理科数学 一、选择题: 1. 已知i 为虚数单位,则3 1i +=( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. D 由复数的运算可得311i i +=-,再由复数模的概念即可得解. 因为311i i +=-,所以311i i +=-==故选:D. 2. 命题:“0x ?≥,都有sin x x ≤”的否定为( ) A. 0x ?<,使得sin x x > B. 0x ?≥,使得sin x x > C. 0x ?≥,都有sin x x > D. 0x ?<,都有sin x x ≤ B 根据全称命题的否定形式判断即可. 由全称命题的否定为特称命题可知:“0x ?≥,都有sin x x ≤”的否定为:“0x ?≥,使得 sin x x >”.故选:B. 3. 爱美之心,人皆有之.健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目.为了了解运动健身减肥的效果,某健身房调查了40名肥胖者,健身之前他们的体重(单位:kg )情况如柱状图1所示,经过四个月的健身后,他们的体重情况如柱状图2所示.对比健身前后,关于这40名肥胖者,下面结论不正确的是( )

A. 他们健身后,体重在区间[)90,100内的人数增加了4个 B. 他们健身后,体重在区间[)100,110内的人数没有改变 C. 因为体重在[)100,110内所占比例没有发生变化,所以说明健身对体重没有任何影响 D. 他们健身后,原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少 C 根据给定的柱状图分别求得健身前后各个区间上的人数,进行比较,即可求解. 根据给定的健身前后的体重柱状图,可得健身前体重在区间有4030%12?=人,健身后有 4040%16?=,所以体重在区间[)90,100内的人数增加了4个,所以A 正确; 由健身前体重在[)100,110的人数为4050%20?=人,健身后有4050%20?=,所以健身前后体重在[)100,110的人数不变,所以B 正确; 由健身前后体重再[)90,100和[)110,120的人数有明显变化,所以健身对体重有明显效果,所以C 不正确; 由健身前体重在[)110,120的人数为4020%8?=人,健身后为0人,所以原来体重在区间 [)110,120内的肥胖者体重都有减少,所以D 正确.故选:C. 4. n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,满足3235a a =,10100S =,则1a =( )

高三数学第二轮专题讲座复习:求解函数解析式的几种常用方法

1 / 4 张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习:求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一,需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上,掌握求函数解析式的几种方法,并形成能力,并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1 待定系数法,如果已知函数解析式的构造时,用待定系数法; 2 换元法或配凑法,已知复合函数f [g (x )]的表达式可用换元法,当表达式较简单时也可用配凑法; 3 消参法,若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 典型题例示范讲解 例1 (1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(1 2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式 (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (-1)|=|f (0)|=1,求f (x ) 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则,以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识,特别是对“f ”的理解,用好等价转化,注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高,对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法;(2)用待定系数法 解 (1)令t=log a x (a >1,t >0;01,x >0;0

2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编1:集合

江苏省2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编1:集合 一、填空题 1 .(江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷)已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7}, 集合2{|650}M x x x =∈-+Z ≤,则集合U M eu =______. 【答案】{6,7} 2 .(江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷)已知集合 {} 0322<-+=x x x A ,{}21<-=x x B ,则=?B A __________. 【答案】)1,1(- 3 .(江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷)设A ,B 是两个非空的有限集合,全集U =A ∪B , 且U 中含有m 个元素.若()()A B U U C C 中含有n 个元素,则A ∩B 中所含有元素的个数为 ▲ . 【答案】m -n 4 .(江苏省启东中学2013届高三综合训练(1))已知全集{12345}U =,,,,,集合 2 {|320}A x x x =-+=,{|2}B x x a a A ==∈,,则集合()U A B e=__. 【答案】{3,5}; 5 .(江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科)冲刺模拟试卷)已知全集U =R ,集合 2{|log 1}A x x =>,则U A e=____. 【答案】(-∞,2] 6 .(武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷)集合{}1,0,1A =-,A 的子集中,含有元素0的 子集共有__________个 【答案】解析:子集中的元素为来自集合{}1,1-,所以子集的个数为2 24=. 7 .(江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷)集合 {}1,0,1A =-,{}2 |1,B x x m m R ==+∈,则A B = ________. 【答案】{ }1; 8 .(江苏省2013届高三高考压轴数学试题)在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数 组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2011∈[1]; ②-3 ∈ [3]; ③z=[0]∪[1] ∪[2] ∪[3] ∪[4]; ④“整数a,b 属于同一‘类”的充要条件是“a -b∈[0]” 其中,正确结论的个数是________个 【答案】3 9 .(江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学(理)试题)已知集合

广西南宁市普通高中2021届高三10月摸底测试 数学(理)试卷 含答案

2021届南宁市普通高中毕业班摸底测试 理科数学 (考试时间:120分钟满分:150分) 第I卷 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|-10)交于D,E两点,若OD⊥OE(O为坐标原点)。则C的焦点坐标为 A.(1 4 ,0) B.( 1 2 ,0) C.(1,0) D.(2,0) 5.一组数据的平均数为m,方差为n,将这组数据的每个数都乘以a(a>0)得到一组新数据,则下列说法正确的是 A.这组新数据的平均数为m B.这组新数据的平均数为a+m C.这组新数据的方差为an D.这组新数据的标准格为a n 6.在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c着a=4,b=5,c=6,则sin2 sin A C = A.1 2 B. 2 3 C. 3 4 D.1 7.如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为

A.4+ B.2+ C.3+ D.8 8.已知a ∈(0,π),cos(α+ 6 π )=35,则sin α的值为 A. 310 B.310 C.310 D.3 5 9.射线测厚技术原理公式为I =I 0e -ρμt ,其中I 0,I 分别为射线穿过被测物前后的强度,e 是自然对数的底数, t 为被测物厚度,ρ为被测物的密度,μ是被测物对射线的吸收系数。工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度。若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8(单位:cm),钢的密度为7.6(单位:g/cm 3),则这种射线的吸收系数为 (注:半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度,ln2=0.6931,结果精确到0.001) A.0.110 B.0.112 C.0.114 D.0.116 10.已知过定点A(O ,b)(b>0)的直线l 与圆O :x 2+y 2=1相切时,与y 轴夹角为45°。则直线l 的方程为 A.x -y +=0 B.x +y -1=0 C.x +y =0或x -y =0 D.x +y -1=0或x -y +1=0 11.已知双曲线C 的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,设双曲线C 的左焦点为F ,右顶点为B ,点P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴,若|PF|=2|BF|,则双曲线C 的离心率为 A.3 B.2 C. 32 D.4 3 12.已知函数f(x)=x e x +12 x 2 -x ,若a =f(20.3),b =f(2),c =f(log 25),则a ,b ,c 的大小关系为 A.ca>b D.b>c>a 第II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22,23题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。 13.设x ,y 满足约束条件2x 3y 30 2x 3y 30y 30+-≤?? -+≥??+≥? ,则z =2x +y 的最小值是 。 14.若(x +2)5=x 5+ax 4+bx 3+cx 2+dx +e ,则a +b +c +d +e 的值为 。 15.已知球在底面半径为1、高为 的圆锥内,则该圆锥内半径最大的球的体积为 。 16.已知a> 13,函数f(x)=sinx +2x -1 x ,若f(1-3a)+f(a 2-2a +3)≤0,则实数a 的取值范围是 。

广东省广州市2013届高三毕业班综合测试数学理试题(一)2013广州一模 Word版含答案

试卷类型:A 2013年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科) 2013.3 本试卷共4页,21小题, 满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏 涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 如果事件A B ,相互独立,那么()()()P A B P A P B ?=?. 线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式 1 2 1 n i i i n i i x x y y b a y b x x x ()() ,() ==--∑= =--∑ , 其中y x ,表示样本均值. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集{}123456U ,,,,,=,集合{}135A ,,=,{}24B ,= ,则 A .U A B = B .U =()U A eB C .U A = ()U B e D .U =()U A e()U B e 2. 已知11a bi i =+-,其中a b ,是实数,i 是虚数单位,则a b +i = A .12+i B .2+i C .2-i D .12-i

高中数学复习专题讲座(第42讲)应用性问题

题目高中数学复习专题讲座应用性问题 高考要求 数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题 高考对应用题的考查已逐步成熟,大体是三道左右的小题和一道大题,注重问题及方法的新颖性,提高了适应陌生情境的能力要求 重难点归纳 1 解应用题的一般思路可表示如下: 数学解答 数学问题结论 问题解决数学问题实际问题 2 解应用题的一般程序 (1)读 阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础 (2)建 将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型 熟悉基本数学模型,正确进行建“模”是关键的一关 (3)解 求解数学模型,得到数学结论 一要充分注意数学模型中元素的实际意义,更要注意巧思妙作,优化过程 (4)答 将数学结论还原给实际问题的结果 3 中学数学中常见应用问题与数学模型 (1)优化问题 实际问题中的“优选”“控制”等问题,常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决 (2)预测问题 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决 (3)最(极)值问题 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”,转化为求函数的最值 (4)等量关系问题 建立“方程模型”解决 (5)测量问题 可设计成“图形模型”利用几何知识解决 典型题例示范讲解 例1为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱(如图),污水从A 孔流入,经 沉淀后从B 孔流出,设箱体的长度为a 米,高度为b 米, 已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反 比,现有制箱材料60平方米,问当a 、b 各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的 面积忽略不计)? B A

2020届四川省年上学期成都市高三数学文摸底测试试题

四川省2020年上学期成都市高三数学文摸底测试试题 本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷(非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,只将答题卡交回。 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合,,则}20|{<<=x x A }1|{≥=x x B = B A (A) (B) (C) (D)}10|{≤≤-=. 0,ln 0|,1|)(x x x x x f =))1((e f f (A) (B) (C) (D)011-e 2 4.为了加强全民爱眼意识,提高民族健康素质,1996年,卫生部,教育部,团中央等12个部委联合发出通知,将爱眼日活动列为国家节日之一,并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”.某校高-(1)班有40名学生,学号为01到40,现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日’’宣

高三数学第二轮专题讲座复习:数列的通项公式与求和的常用方法

高三数学第二轮专题讲座复习:数列的通项公式与求和的常用方 法 高考要求 数列是函数概念的继续和延伸,数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数,是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项的研究,而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一,与数列极限及数学归纳法有着密切的联系,是高考对数列问题考查中的热点,本点的动态函数观点解决有关问题,为其提供行之有效的方法 重难点归纳 1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂,要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性,又要注意数列方法的特殊性 2 数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式 a n =???≥-=-2,1,11n S S n S n n 3 求通项常用方法 ①作新数列法 作等差数列与等比数列 ②累差叠加法 最基本形式是 a n =(a n -a n -1+(a n -1+a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1 ③归纳、猜想法 4 数列前n 项和常用求法 ①重要公式 1+2+…+n =21n (n +1) 12+22+…+n 2=6 1n (n +1)(2n +1) 13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=4 1n 2(n +1)2 ②等差数列中S m +n =S m +S n +mnd ,等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n ③裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和,即a n =f (n +1)-f (n ),然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项 等)! 1(1!1)!1(1,C C C ,ctg2ctg 2sin 1,!)!1(!,111)1(111+-=+-=-=-+=?+-=++-n n n ααn n n n n n n n r n r n n n α ④错项相消法 ⑤并项求和法 数列通项与和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法 典型题例示范讲解 例1已知数列{a n }是公差为d 的等差数列,数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列,若函数f (x )=(x -1)2,且a 1=f (d -1),a 3=f (d +1),b 1=f (q +1),b 3=f (q -1),求数列{a n }和{b n }的通项公式; 解 ∵a 1=f (d -1)=(d -2)2,a 3=f (d +1)=d 2,∴a 3-a 1=d 2-(d -2)2=2d , ∵d =2,∴a n =a 1+(n -1)d =2(n -1);又b 1=f (q +1)=q 2,b 3=f (q -1)=(q -2)2, ∴22 13)2(q q b b -==q 2,由q ∈R ,且q ≠1,得q =-2,∴b n =b ·q n -1=4·(-2)n -1

2013届高三理科数学解答题训练⑴

2012届高考备考理科数学解答题训练⑴ 1.(本小题满分12分) 已知在ABC ?中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若a b B A =c o s c o s 且A C cos sin =。 (Ⅰ)求角A 、B 、C 的大小; (Ⅱ)设函数)2 2cos()2sin()(C x A x x f -++=,求函数)(x f 的单调递增..区间,并指出 它相邻两对称轴间的距离。 2.(本小题满分12分) 在2008年北京奥运会某项目的选拔比赛中,A 、B 两个代表队进行对抗赛,每队三名队员,A 队队员是1 23,A A A 、、B 队队员是123,B B B 、、按以往多次比赛的统计,对阵队 员之间胜负概率如右表,现按表中对阵方式出场进行三场比赛, 每场胜队得1分, 负队得0分,设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η,且 3ξη+=. (Ⅰ)求A 队得分为1分的概率; (Ⅱ)求ξ的分布列,并用统计学的知识说明哪个队实力较强.

3.(本小题满分14分) 在正三角形A BC ?中,E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点,满足 2:1:::===PB CP FA CF EB AE (如图1)。将AEF ?沿EF 折起到EF A 1?的位置,使二 面角B EF A --1成直二面角,连结B A 1、P A (如图2) (Ⅰ)求证:⊥E A 1平面BEP ; (Ⅱ)求直线E A 1与平面BP A 1所成角的大小; (Ⅲ)求二面角F P A B --1的余弦值。

2012届高考备考理科数学解答题训练⑴参考答案 1.(Ⅰ)由题设及正弦定理知: cos sin cos sin A B B A =,得sin 2sin 2A B =,∴22A B =或22A B π+= ,即A B =或2A B π+=。当A B =时,有sin(2)cos A A π-=,即1 sin 2A =,得 6A B π==,23C π=;当2A B π+=时,有sin()cos 2A π π-=,即cos 1A =,不符题设。 ∴6 A B π ==,23C π=。 (Ⅱ)由(Ⅰ)及题设知:()sin(2)cos(2)2sin(2)636 f x x x x π ππ =+ +-=+, 当2[2,2]()6 22x k k k Z π π πππ+ ∈- +∈时, ()2sin(2)6 f x x π =+为增函数 即()2sin(2)6 f x x π =+ 的单调递增区间为[,]()36 k k k Z π π ππ- +∈. 它的相邻两对称轴间的距离为 2 π . 2.(Ⅰ)设A 队得分为1分的事件为0A ,∴023*********()3 5 7 3 5 7 3 5 7 105 P A =??+??+??=.…4分 (Ⅱ)ξ的可能取值为3,2,1,0,且022312(3)()357105 P P A ξ=== ??=, 22412323340 (2)357357357105 P ξ==??+??+??= ,23412413341(1)357357357105P ξ==??+??+??=, 13412(0)357105 P ξ== ??= , ∴ξ的分布列为: ……………… 9分 于是 12414012157 0123105105105105105 E ξ=?+?+?+?= ,……………………………10分 ∵3ξη+=, ∴158 3105 E E ηξ=-+=.……………………………………………………………… 11分 由于E E ηξ>, 故B 队比A 队实力较强. ……………………………………… 12分 3.不妨设正三角形ABC 的边长为3。 (解法一)(Ⅰ)在图1中,取BE 的中点D ,连结DF .∵AE :EB=CF :FA=1:2,∴AF=AD=2, 而∠A=600,∴△ADF 是正三角形,又AE=DE=1,∴EF ⊥AD .…………………2分 在图2中,A 1E ⊥EF ,BE ⊥EF ,∴∠A 1EB 为A 1-EF-B 的平面角.由题设知此二面角 为直二面角,∴A 1E ⊥BE .又BE∩EF=E ,∴A 1E ⊥面BEF ,即A 1E ⊥面BEP .…………4分

深圳市高三数学摸底考试试卷

深圳市2008届高三数学摸底考试试卷 说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分.考试时间120分钟. 08/12/2006 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、已知 =>==<==B A x y y B x x y y A x 则},1,)21 (|{},1,log |{2( ) A .φ B .(0,∞-) C .)2 1,0( D .(21 ,∞-) 2、(理)=+--3 ) 2)(1(i i i ( ) A .i +3 B .i --3 C .i +-3 D .i -3 (文) 5人站成一排,甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数 ( ) A . 18 B .24 C . 36 D . 48 3、已知平面上三点A 、B 、C 满足3AB =,4BC =,5CA =,则AB BC BC CA CA AB ?+?+?的值等于( ) A .25 B .24 C .-25 D .-24 4.点P 在曲线3 2 3 + -=x x y 上移动,在点P 处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是( ) A . ??????2,0π B .??? ?????????πππ,432,0 C . ??????ππ,43 D .??????2,0π ?? ? ??43,2ππ 5、 的形状则已知中在ABC B A b a B A b a ABC ?+-=-+?),sin()()sin()(,2222 ( ) A.等腰三角形 B. 直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 6、(理) 若(1 x )6 的展开式中的第五项是 2 15, 设S n = x –1 + x –2 + … + x – n , 则∞→n lim S n 等于( ) A .1 B . 21 C . 41 D .6 1 (文)与直线14-=x y 平行的曲线23-+=x x y 的切线方程是( ) A .04=- y x B .044=-- y x 或024=--y x

高三数学第二轮专题讲座复习:求解函数解析式的几种常用方法

高三数学第二轮专题讲座复习:求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一,需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上,掌握求函数解析式的几种方法,并形成能力,并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1 待定系数法,如果已知函数解析式的构造时,用待定系数法; 2 换元法或配凑法,已知复合函数f [g (x )]的表达式可用换元法,当表达式较简单时也可用配凑法; 3 消参法,若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 典型题例示范讲解 例1 (1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(1 2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式 (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (-1)|=|f (0)|=1,求 f (x ) 的表达式 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则,以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识,特别是对“f ”的理解,用好等价转化,注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高,对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法;(2)用待定系数法 解 (1)令t=log a x (a >1,t >0;01,x >0;0

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