线性规划高考题及答案

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

例1、设变量x 、y 满足约束条件??

?

??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

例2、已知1,10,220x x y x y ≥??

-+≤??--≤?

则22x y +的最小值是 .

三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

例3、在约束条件0

24

x y y x s y x ≥??≥??

+≤??+≤?下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）

A.[6,15]

B. [7,15]

C. [6,8]

D. [7,8]

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）

(A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??

+≤??≤≤? (C)

003x y x y x -≤??

+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤??

+≥??≤≤?

五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

例5已知变量x ，y 满足约束条件14

22x y x y ≤+≤??-≤-≤?

。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大

值，则a 的取值范围为 。

六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题

例６在平面直角坐标系中，不等式组20

200x y x y y +-≤??-+≥??≥?

表示的平面区域的面积是（）

(A)

(B)4 (C) (D)2

七、研究线性规划中的整点最优解问题

例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件??

?

??≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80

(B) 85 (C) 90 (D)95

C

1 解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18

2 解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。22x y +的最小值是为5。

3 解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即

max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数32z x y =+在点(0,4)

E 处取得最大值,即max 30248z =?+?=,故[7,8]z ∈,从而选D;

4 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围成一个三角形区域（如图4所示）时有

003x y x y x -≥??

+≥??≤≤?

5 解析：如图5作出可行域，由z ax y y ax z =+?=-+其表示为斜率为a -，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目

标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线y ax z =-+过Ａ点且在直线

4,3x y x +==（不含界线）之间。即1 1.a a -<-?>则a 的取值范围为(1,)+∞。

6 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20

200x y x y y +-≤??-+≥??≥?

表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶

点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：11

||||42 4.22

S BC AO =?=??=从而选Ｂ。

7 解析：如图７，作出可行域，由101010z z x y y x =+?=-+，它表示为斜率为1-，纵截距为10

z

的平行直线系,要使

1010z x y =+最得最大值。当直线1010z x y =+通过119

(,)22

A z 取得最大值。因为,x y N ∈，故Ａ点不是最优

整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，max 90.Z =

图

1图

2