第二十六章综合能力检测题

时间：120分钟满分：120分

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列函数中，不是反比例函数的是( C ) A ．y ＝5x B ．y ＝3x －

1 C ．y ＝x －17 D ．xy ＝32

2．(2015·绥化)如图，反比例函数y ＝k

x (x ＜0)的图象经过点P ，则k 的值为( A )

A ．－6

B ．－5

C ．6

D ．5

第2题图

第5题图

第7题图

3．(2015·台州)若反比例函数y ＝k

x 的图象经过点(2，－1)，则该反比例函数的图象在

( D )

A ．第一、二象限

B ．第一、三象限

C ．第二、三象限

D ．第二、四象限 4．(2015·娄底)已知反比例函数y ＝－2

x 的图象上有两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若x 1＜0

＜x 2，则下列结论正确的是( D )

A ．y 1＜y 2＜0

B ．y 1＜0＜y 2

C ．y 1＞y 2＞0

D ．y 1＞0＞y 2

5．如图，P(x ，y)是反比例函数y ＝3

x 的图象在第一象限分支上的一个动点，PA ⊥x 轴于

点A ，PB ⊥y 轴于点B ，随着自变量x 的增大，矩形OAPB 的面积( A )

A ．不变

B ．增大

C ．减小

D ．无法确定

6．(2015·河北)一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x ＝2时，y ＝20，则y 与x 的函数图象大致是( C )

7．(2015·黔东南州)如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x 的图象相交于A ，B 两

点，BC ⊥x 轴于点C ，则△ABC 的面积为( A )

A ．1

B ．2 C.32 D.5

8．已知直线y ＝kx(k ＞0)与双曲线y ＝3

x 交于点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2)，则x 1y 2＋x 2y 1

的值为( A )

A ．－6

B ．－9

C ．0

D ．9

9．(2015·北海)函数y ＝ax 2＋1与y ＝a

x (a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是

( B )

10．两个反比例函数y＝k

x和y＝

x在第一象限内的图象如图所示，点P在y＝

x的图象上，

PC⊥x轴于点C，交y＝1

x的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝

x的图象于点B，当点P

在y＝k

x的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面

积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是(C)

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④

二、填空题(每小题3分，共24分)

11．若点P(2m－3，1)在反比例函数y＝1

x的图象上，则m的值为__2__．

12．如图，已知一次函数y＝mx＋n与反比例函数y＝k

x的图象交于A(3，1)，B(－1，

－3)两点，观察图象，可知不等式mx ＋n ＜k

的解集是__0＜x ＜3或x ＜－1__．

第12题图

第15题图

第16题图

13．已知函数y ＝(n ＋1)xn 2－5是反比例函数，且图象位于第一、三象限，则n ＝__2__． 14．若直线y ＝－5x ＋b 与双曲线y ＝4

x 的图象相交于点P(－2，m)，则b ＝__－12__．

15．如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－4

x 的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作

y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，则四边形ACBD 的面积为__8__．

16．随着私家车的增加，城市的交通也越来越拥挤．通常情况下，某段高架桥上的行驶速度y(千米/时)与高架桥上每百米拥有车的数量x(辆)的关系如图所示．当x≥10时，y 与x 成反比例函数关系，当车速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米拥有车的数量x 应该满足的范围是__0＜x ＜40__．

17．(2015·荆门)如图，点A 1，A 2依次在y ＝

(x ＞0)的图象上，点B 1，B 2依次在x

轴的正半轴上．若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2均为等边三角形，则点B 2的坐标为．

第17题图

第18题图

18．(2015·绍兴)在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为(a ，a)，如图．若双曲线y ＝3

x (x ＞0)与此正方形的边有交点，则

a 的取值范围是．

三、解答题(共66分)

19．(6分)已知y 是x 的反比例函数，且当x ＝2时，y ＝－1

3，请你确定该反比例函数的

解析式，并求当y ＝6时，自变量x 的值．

解：设反比例函数的解析式为y ＝k x ，∵当x ＝2时，y ＝－13，∴k ＝－2

3，∴该反比例函

数的解析式为y ＝－23x .当y ＝6时，则有－23x ＝6，解得x ＝－1

20．(8分)已知直线y ＝－3x 与双曲线y ＝m －5

交于点P (－1，n)． (1)求m 的值；

(2)若点A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在双曲线y ＝m －5

上，且x 1＜x 2＜0，试比较y 1，y 2的大小．

解：(1)∵点P (－1，n )在直线y ＝－3x 上，∴n ＝3，∴点P 的坐标为(－1，3)．∵点P (－1，3)在双曲线y ＝m －5

上，∴m ＝2；

(2)由(1)得，双曲线的解析式为y ＝－3

x .在第二象限内，y 随x 的增大而增大，∴当x 1＜

x 2＜0时，y 1＜y 2.

21．(9分)(2015·广安)如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝k

x (k≠0)的图象在第一象限交于点C ，如果点B 的坐标为(0，2)，OA ＝OB ，B

是线段AC 的中点．

(1)求点A 的坐标及一次函数的解析式； (2)求点C 的坐标及反比例函数的解析式．

解：(1)∵OA ＝OB ，点B 的坐标为(0，2)，∴点A 的坐标为(－2，0)．∵点A ，B 在一

次函数y ＝kx ＋b (k≠0)的图象上，∴?????－2k ＋b ＝0，b ＝2，解得?

????k ＝1，

b ＝2.∴一次函数的解析式为y ＝x

＋2；

(2)∵点B 是线段AC 的中点，A (－2，0)，B (0，2)，∴点C 的坐标为(2，4)．∵点C 在反比例函数y ＝k x (k≠0)的图象上，∴k ＝8，∴反比例函数的解析式为y ＝8

22．(9分)已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝3；当x ＝－1时，y ＝1.求当x ＝－1

时，y 的值．

解：依题意，设y 1＝k 1x 2，y 2＝k 2x ，则y ＝y 1＋y 2＝k 1x 2＋k 2

.∵当x ＝1时，y ＝3；当x

＝－1时，y ＝1，∴?????k 1＋k 2＝3，k 1－k 2＝1，解得?

????k 1＝2k 2＝1，∴y ＝2x 2＋1x .当x ＝－12时，y ＝12－2＝－3

23．(10分)如图，已知正方形OABC 的面积为4，点O 是坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数y ＝k x (x>0，k>0)的图象上，点P(m ，n)是函数y ＝k

x (x>0，k>0)

的图象上任意一点．过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点E ，F.若设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S.求当S>1时，求m 的取值范围．

解：∵正方形OABC 的面积为4，∴OA ＝AB ＝2，∴B 点坐标为(2，2)．∵点B 在函数y ＝k x (x>0，k>0)的图象上，∴把B (2，2)代入y ＝k

x 中，得k ＝4.∴反比例函数的解析式为

y ＝4x .∵P (m ，n )在y ＝4x 上，∴mn ＝4，∴n ＝4

m .∵S ＝AE·PE ＋CB·CF ，∴S ＝(m －2)·n ＋2(2－n )＝mn －2n ＋4－2n ＝mn －4n ＋4＝8－16m .∵S>1，∴16m <7.∵x>0，∴m 的取值范围m>167

24．(11分)(2015·黄冈)如图，反比例函数y ＝k

的图象经过点A(－1，4)，直线y ＝－x

＋b(b ≠0)与双曲线y ＝k

x 在第二、四象限分别相交于P ，Q 两点，与x 轴、y 轴分别相交于C ，

D 两点．

(1)求k 的值；

(2)当b ＝－2时，求△OCD 的面积；

(3)连接OQ ，是否存在实数b ，使得S △ODQ ＝S △OCD ？若存在，请求出b 的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)∵反比例函数y ＝k

x 的图象经过点A (－1，4)，∴k ＝－1×4＝－4；(2)当b ＝－2

时，直线的解析式为y ＝－x －2.令y ＝0，则－x －2＝0，解得x ＝－2，∴C (－2，0)．令当x ＝0，则y ＝－x －2＝－2，∴D (0，－2)．∴S △OCD ＝1

×2×2＝2；

(3)存在．令y ＝0，则－x ＋b ＝0，解得x ＝b ，则C (b ，0)．∵S △ODQ ＝S △OCD ，∴点Q 和点C 到OD 的距离相等．而点Q 在第四象限，∴点Q 的横坐标为－b.当x ＝－b 时，y ＝－x ＋b ＝2b ，则Q (－b ，2b )，∵点Q 在反比例函数y ＝－4

x 的图象上，∴－b?2b ＝－4，解

得b ＝－2或b ＝2(舍去)，∴b 的值为－ 2.

25．(13分)“六一”儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道MN(不计宽度)如图，它与两面互相垂直的围墙OP ，OQ 之间有一块空地MPOQN(MP ⊥OP ，NQ ⊥OQ)，他发现弯道MN 上任意一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等．比如：A ，B ，C 是弯道MN 上的三点，矩形ADOG 、矩形BEOH 、矩形CFOI 的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系(如图)，图中三块阴影部分的面积分别记为S 1，S 2，S 3，并测得S 2＝6(单位：平方米)，OG ＝GH ＝HI.

(1)求S 1和S 3的值；

(2)设T(x ，y)是弯道MN 上的任一点，写出y 关于x 的函数解析式；

(3)公园准备对区域MPOQN 内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，已知MP ＝2米，NQ ＝3米．问一共能种植多少棵花木？

解：(1)∵矩形ADOG 、矩形BEOH 、矩形CFOI 的面积相等，∴弯道为反比例函数图象的一部分．设反比例函数的解析式为y ＝k x (k≠0)，OG ＝GH ＝HI ＝a ，则AG ＝k a ，BH ＝k

2a ，

CI ＝k 3a .所以S 2＝k 2a ?a －k 3a ?a ＝6，解得k ＝36.所以S 1＝k a ?a －k 2a ?a ＝12k ＝12×36＝18，S 3＝k

3a ?a

＝13k ＝13×36＝12；(2)由(1)得，弯道的函数解析式为y ＝36x .∵T (x ，y )是弯道MN 上的任一点，∴y ＝

36x ；(3)∵MP ＝2，NQ ＝3，∴GM ＝362＝18，OQ ＝36

＝12.∵在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，∴当x ＝2时，y ＝18，可以种8棵；当x ＝4时，y ＝9，可以种4棵；当x ＝6时，y ＝6，可以种2棵；当x ＝8时，y ＝4.5，可以种2棵；当x ＝10时，y ＝3.6，可以种1棵．故一共可以种8＋4＋2＋2＋1＝17(棵)花木．