广东省湛江一中等四校2016届高三(上)第二次联考数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年广东省湛江一中等四校高三（上）第二次联考数
学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5，7}，P=M∩N，则集合P的子集个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个
2．已知复数z=（i为虚数单位），则z的虚部是（）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣i
3．已知向量=（1，﹣1），=（2，x）．若?=1，则x=（）
A．﹣1 B．﹣C．D．1
4．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（）
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
5．在直角坐标系xOy中，“方程表示椭圆”是“m＞n＞0”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分条件又不必要条件
6．抛物线y2=2px上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）
A．4 B．9 C．10 D．18
7．若等比数列{a n}满足a1+a3=20，a2+a4=40，则公比q=（）
A．1 B．2 C．﹣2 D．4
8．已知直线x=和x=是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）
A．B．C．D．
9．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知点F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点，若双曲线左支上
存在点P与点F2关于直线y=x对称，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．2 D．
11．已知函数f（x）=|x﹣a|在（﹣∞，﹣1）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）
12．某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体外接球的表面积为（）
A．32πB．64πC．128π D．136π
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．函数的定义域是．
14．若实数x、y满足，则的取值范围是．
15．曲线y=﹣5e x+4在点（0，﹣1）处的切线方程为．
16．设数列{a n}满足a2+a4=10，点P n（n，a n）对任意的n∈N+，都有向量=（1，2），则数列{a n}的前n项和S n=．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）（2014?原阳县校级模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边是a，b，c，且c=3，a=，sinB=2sinA
（1）求b；
（2）求cos（2B+2C）的值．
18．（12分）（2013?广州二模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．（1）求证：平面PBC丄平面PAC
（2）已知PA=1，AB=2，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，求BC的长．
19．（12分）（2014?漳州四模）某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，
（Ⅱ）用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．
（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）
20．（12分）（2015秋?湛江校级月考）已知点F1（﹣）和F2（）是椭圆M：
的两个焦点，且椭圆M经过点（）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点P（0，2）的直线l和椭圆M交于A、B两点，且=，求直线l的方程．
21．（12分）（2013?黄冈模拟）已知函数f（x）=ax3+x2﹣ax （a∈R且a≠0）．
（I）若函数f（x）在（﹣∞，﹣1）和（，+∞）上是增函数在（﹣1，）上是减函数，求a的值；
（II）讨论函数g（x）=﹣lnx的单调递减区间；
（III）如果存在a∈（﹣∞，﹣1），使函数h（x）=f（x）+f′（x），x∈[﹣1，b]（b＞﹣1），在x=﹣1处取得最小值，试求b的最大值．
请考生在（22）、（23）、(24)三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，本题10分。
22．（10分）（2012?宣威市一模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的点，OC垂直于直径AB，
过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D、连接CF交AB于E点，
（1）求证：DE2=DB?DA；
（2）若⊙O的半径为，OB=OE，求EF的长．
23．（2014?兴安盟一模）已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标
为．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．
24．（2015?葫芦岛二模）已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）
①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．
②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．
2015-2016学年广东省湛江一中等四校高三（上）第二次
联考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5，7}，P=M∩N，则集合P的子集个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】子集与真子集．
【专题】集合．
【分析】根据集合的基本运算求出集合P，然后根据子集的定义即可得到结论．
【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5，7}，
∴P=M∩N={1，3}，集合含有2个元素，
∴集合P的子集个数为22=4个，
故选：C
【点评】本题主要考查集合的基本运算，以及子集个数的判断，比较基础．
2．已知复数z=（i为虚数单位），则z的虚部是（）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数．
【分析】化简复数z，写出它的虚部即可．
【解答】解：∵复数z====﹣i，
∴z的虚部是﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．
3．已知向量=（1，﹣1），=（2，x）．若?=1，则x=（）
A．﹣1 B．﹣C．D．1
【考点】数量积的坐标表达式．
【专题】计算题．
【分析】由题意，=（1，﹣1），=（2，x）．?=1，由数量积公式可得到方程2﹣x=1，解此方程即可得出正确选项
【解答】解：因为向量=（1，﹣1），=（2，x）．?=1
所以2﹣x=1，解得x=1
故选D
【点评】本题考查数量积的坐标表达式，熟练记忆公式是解本题的关键，本题是基础题，记忆型
4．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（）
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图．
【专题】概率与统计．
【分析】由茎叶图10个原始数据数据，数出落在区间[22，30）内的个数，由古典概型的概率公式可得答案．
【解答】解：由茎叶图10个原始数据，数据落在区间[22，30）内的共有4个，包括2个
22，1个27，1个29，则数据落在区间[22，30）内的概率为=0.4．
故选B．
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及茎叶图的应用，属基础题．
5．在直角坐标系xOy中，“方程表示椭圆”是“m＞n＞0”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分条件又不必要条件
【考点】椭圆的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用充分、必要条件的定义，结合椭圆方程，即可得出结论．
【解答】解：若方程表示椭圆，则m≠n；
若m＞n＞0，则方程表示椭圆，
∴“方程表示椭圆”是“m＞n＞0”的必要而不充分条件．
故选B．
【点评】本题考查用充分、必要条件的定义，考查椭圆方程，正确理解充分、必要条件的定义是关键．
6．抛物线y2=2px上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）
A．4 B．9 C．10 D．18
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，可得抛物线的焦半径公式，由题意解得p=10，即可得到所求值．
【解答】解：抛物线y2=2px的焦点为（，0），准线为x=﹣，
即有抛物线的焦半径为|PF|=x+，
由题意可得4+=9，解得p=10，
则该抛物线的焦点到准线的距离为p=10．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查抛物线的焦半径公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
7．若等比数列{a n}满足a1+a3=20，a2+a4=40，则公比q=（）
A．1 B．2 C．﹣2 D．4
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】直接利用等比数列的通项公式化简求解即可．
【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=20，a2+a4=40，
可得==q==2．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，基本知识的考查．
8．已知直线x=和x=是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）
A．B．C．D．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．
【解答】解：由于直线x=和x=是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）图象的两条相邻的对称轴，
则==﹣，求得ω=1．
再根据2sin（+φ）=±1，可得φ=，
故选：A．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
9．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】循环结构．
【专题】图表型．
【分析】题目先给循环变量和点的坐标赋值，打印一次后执行运算x=x+1，y=y﹣1，i=i﹣1，然后判断i与0的关系满足条件继续执行，不满足条件算法结束．
【解答】解：首先给循环变量i赋值3，给点的横纵坐标x、y赋值﹣2和6，
打印点（﹣2，6），执行x=﹣2+1=﹣1，y=6﹣1=5，i=3﹣1=2，判断2＞0；
打印点（﹣1，5），执行x=﹣1+1=0，y=5﹣1=4，i=2﹣1=1，判断1＞0；
打印点（0，4），执行x=0+1=1，y=4﹣1=3，i=1﹣1=0，判断0=0；
不满足条件，算法结束，所以点落在坐标轴上的个数是1个．
故选B．
【点评】本题主要考查了循环结构，当满足条件，执行循环，不满足条件算法结束，属于基础题．
10．已知点F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两焦点，若双曲线左支上
存在点P与点F2关于直线y=x对称，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．2 D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出过焦点F且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入双曲线方程结合a2+b2=c2，由离心率公式解出e即得．
【解答】解：过焦点F且垂直渐近线的直线方程为：y﹣0=﹣（x﹣c），
联立渐近线方程y=x与y﹣0=﹣（x﹣c），
解之可得x=，y=
故对称中心的点坐标为（，），
由中点坐标公式可得对称点的坐标为（﹣c，），
将其代入双曲线的方程可得﹣=1，
结合a2+b2=c2，
化简可得c2=5a2，故可得e==．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解和对称问题，属中档题．
11．已知函数f（x）=|x﹣a|在（﹣∞，﹣1）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据绝对值函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）=|x﹣a|则（﹣∞，a]上为减函数，
∴若函数f（x）=|x﹣a|在（﹣∞，﹣1）上是单调函数，
则函数f（x）为减函数，此时满足a≥﹣1，
即实数a的取值范围是[﹣1，+∞），
故选：C．
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据绝对值函数的单调性是解决本题的关键．12．某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体外接球的表面积为（）
A．32πB．64πC．128π D．136π
【考点】球的体积和表面积．
【专题】综合题；方程思想；综合法；立体几何．
【分析】三视图复原几何体，x2+y2=128，利用基本不等式，确定xy最大时x=y=8，三棱锥扩充为长方体，对角线长为==8，求出几何体外接球的半径，可得几何
体外接球的表面积．
【解答】解：由三视图得几何体为三棱锥，∴x2﹣28+y2=100，∴x2+y2=128，
∵2xy≤x2+y2，∴xy≤64，当x=y=8时，取“=”，
三棱锥扩充为长方体，对角线长为==8，
∴几何体外接球的半径为4，
∴几何体外接球的表面积为=128π．
故选：C．
【点评】本题考查几何体外接球的表面积，考查基本不等式求最值，利用基本不等式求xy 最大时x=y=8，是解答本题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．函数的定义域是（﹣∞，1）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：依题意，得1﹣x＞0，解得x＜1，
∴函数的定义域是（﹣∞，1）
故答案为：（﹣∞，1）．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围：注意分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
14．若实数x、y满足，则的取值范围是[，+∞）．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合．
【分析】画出约束条件表示的可行域，求线性目标函数的范围，通过可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率解答问题．
【解答】解：不等式组表示的可行域如图阴影部分：
当表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率，
即经过的交点A（2，3）时，
取得最小值为，所以答案为[，+∞），
故答案为：[，+∞）．
【点评】本题考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．是解题的关键．
15．曲线y=﹣5e x+4在点（0，﹣1）处的切线方程为y=﹣5x﹣1．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；导数的概念及应用；直线与圆．
【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，运用斜截式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：y=﹣5e x+4的导数为y′=﹣5e x，
即有在点（0，﹣1）处的切线的斜率为k=﹣5，
则点（0，﹣1）处的切线方程为y=﹣5x﹣1．
故答案为：y=﹣5x﹣1．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，属于基础题．
16．设数列{a n}满足a2+a4=10，点P n（n，a n）对任意的n∈N+，都有向量=（1，2），则数列{a n}的前n项和S n=n2．
【考点】数列与向量的综合．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由已知得a n}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，代入a2+a4=10，中，得a1=1，由此能求出{a n}的前n项和S n．
【解答】解：∵P n（n，a n），∴P n+1（n+1，a n+1），
∴=（1，a n+1﹣a n）=（1，2），
∴a n+1﹣a n=2，
∴{a n}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，a4=a1+6代入a2+a4=10中，
解得a1=1，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，
∴S n==n2．
故答案为：n2．
【点评】本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）（2014?原阳县校级模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边是a，b，c，且c=3，a=，sinB=2sinA
（1）求b；
（2）求cos（2B+2C）的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得到b=2a，将a的值代入求出b的值即可；（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入求出cosA的值，原式中的角度变形后，利用诱导公式变形，再利用二倍角的余弦函数公式化简，把cosA的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理==2R，得sinA=，sinB=，
∵sinB=2sinA，∴b=2a，
∵a=，∴b=2a=2；
（Ⅱ）∵a=，b=2，c=3，
∴由余弦定理得：cosA===，
∴cos（2B+2C）=cos[2（π﹣A）]=cos（2π﹣2A）=cos2A=2cos2A﹣1=2×（）2﹣1=．
【点评】此题考查了余弦定理，正弦定理，诱导公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
18．（12分）（2013?广州二模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．（1）求证：平面PBC丄平面PAC
（2）已知PA=1，AB=2，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，求BC的长．
【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）由线线垂直证线面垂直，再由线面垂直证面面垂直即可；
（2）根据棱锥的体积公式，构造函数，通过求函数的最大值，求得三棱锥的体积的最大值及最大值时的条件．
【解答】解：（1）证明：∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC，
∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，∴BC⊥PA
∵∠ACB=90°，∴BC⊥CA，又PA∩CA=A，
∴BC⊥平面PAC，∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC．
（2）由（1）知：PA⊥平面ABC，BC⊥CA，
设BC=x（0＜x＜2），AC===，
V P﹣ABC=×S△ABC×PA=x=
≤×=．
当且仅当x=时，取“=”，
故三棱锥P﹣ABC的体积最大为，此时BC=．
【点评】本题考查面面垂直的判定及三棱锥的体积．
19．（12分）（2014?漳州四模）某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，
（Ⅰ）判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？
（Ⅱ）用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．
（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）
【考点】独立性检验的应用．
【专题】综合题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）计算K2的值，与临界值比较，即可得到结论；
（II）确定样本中有4个“大于40岁”的市民，2个“20岁至40岁”的市民，利用列举法确定基本事件，即可求得结论．
【解答】解：（1）由公式K2=≈11.978＞7.879，
所以有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关…（5分）
（II）设所抽样本中有m个“大于40岁”市民，则，得m=4人
所以样本中有4个“大于40岁”的市民，2个“20岁至40岁”的市民，分别记作B1，B2，B3，B4，G1，G2．
从中任选2人的基本事件有（B1，B2）、（B1，B3）、（B1，B4）、（B1，G1）、（B1，G2）、（B2，B3）、（B2，B4）、（B2，G1）、（B2，G2）、（B3，B4）、（B3，G1）、（B3，G2）、（B4，G1）、（B4，G2）、（G1，G2），共15个，…（9分）
其中恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的事件有（B1，G1）、（B1，G2）、（B2，G1）、（B2，G2）、（B3，G1）、（B3，G2）、（B4，G1）、（B4，G2），共8个，
所以恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的概率为P=．…（12分）【点评】本题考查独立性检验，考查概率知识的运用，考查学生的计算能力，利用列举法确定基本事件是关键．
20．（12分）（2015秋?湛江校级月考）已知点F1（﹣）和F2（）是椭圆M：
的两个焦点，且椭圆M经过点（）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点P（0，2）的直线l和椭圆M交于A、B两点，且=，求直线l的方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；判别式法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由焦点F1（﹣），得c=，联立，解出即可得出；（2）取A（0，1），B（0，﹣1）或B（0，1），A（0，﹣1）时，直线l的斜率不存在时，
则不满足=，舍去．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，B（x1，y1），
A（x2，y2），与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2+16kx+12=0，由△＞0，解得k2＞．利用根与系数的关系及其=，解得k，即可得出．
【解答】解：（1）由焦点F1（﹣），得c=，
联立，解得b2=1，a2=4，
∴椭圆M的方程为：=1．
（2）取A（0，1），B（0，﹣1）或B（0，1），A（0，﹣1）时，直线l的斜率不存在时，则不满足=，所以此时不合题意，舍去．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，B（x1，y1），A（x2，y2），
联立，则=（x2，y2﹣2），（x1，y1﹣2），
直线l的方程与椭圆M的方程联立得：（1+4k2）x2+16kx+12=0，
由△=16（4k2﹣3）＞0，解得k2＞．
∴x1+x2=，x1x2=，
由=，可得x1=，
联立解得x2=﹣，x1=，
∴=，解得k2=1，
∴k=±1．
所以直线l的方程是y=±x+2．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（12分）（2013?黄冈模拟）已知函数f（x）=ax3+x2﹣ax （a∈R且a≠0）．
（I）若函数f（x）在（﹣∞，﹣1）和（，+∞）上是增函数在（﹣1，）上是减函数，求a的值；
（II）讨论函数g（x）=﹣lnx的单调递减区间；
（III）如果存在a∈（﹣∞，﹣1），使函数h（x）=f（x）+f′（x），x∈[﹣1，b]（b＞﹣1），在x=﹣1处取得最小值，试求b的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（I）根据题中所给函数的单调区间，可以确定函数的极值点，则根据极值点是导函数对应方程的根，列出方程组，求解即可得到a的值；
（II）求出g（x）的表达式以及g（x）的定义域，求出g′（x），令g′（x）＜0，对a进行分
类讨论，求解不等式，即可得到函数g（x）=﹣lnx的单调递减区间；
（III）利用函数h（x）在x=﹣1处取得最小值，转化为h（x）≥h（﹣1）对x∈[﹣1，b]恒成立，利用二次函数的性质求解关于x的恒成立问题，得到关于a的不等式在区间（﹣∞，﹣1]上有解，从而转化为求最值问题，求解即可求得b得取值范围，从而得到b的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax3+x2﹣ax，
∴f′（x）=3ax2+2x﹣a，
∵函数f（x）在（﹣∞，﹣1）和（，+∞）上是增函数，在（﹣1，）上是减函数，
∴﹣1，为函数f（x）的两个极值点，
∴，即，解得a=1，
∴a的值为1；
（Ⅱ）∵g（x）=﹣lnx，
∴g（x）=ax2+x﹣a﹣lnx，则g（x）的定义域为（0，+∞），
∴g′（x）=2ax+1﹣==，
当a＞0时，令g′（x）＜0，解得x∈（0，），故g（x）的单调减区间为（0，），
当a＜0时，令g′（x）＜0，解得x∈（，+∞），故g（x）的单调减区间为（，+∞），
∴当a＞0时，g（x）的单调减区间为（0，），当a＜0时，g（x）的单调减区间为（，+∞）；
（Ⅲ）∵f（x）=ax3+x2﹣ax，f′（x）=3ax2+2x﹣a，
∴h（x）=ax3+（3a+1）x2+（2﹣a）x﹣a，
∵h（x）在x=﹣1处取得最小值，
∴h（x）≥h（﹣1）在区间[﹣1，b]上恒成立，即（x+1）[ax2+（2a+1）x+（1﹣3a）]≥0在区间[﹣1，b]上恒成立，①
当x=﹣1时，不等式①成立；
当﹣1＜x≤b时，不等式①可化为ax2+（2a+1）x+（1﹣3a）≥0在区间[﹣1，b]上恒成立，②
令φ（x）=ax2+（2a+1）x+（1﹣3a），
∵二次函数φ（x）的图象是开口向下的抛物线，
∴它在闭区间上的最小值必在端点处取得，又φ（﹣1）=﹣4a＞0，
∴不等式②恒成立的充要条件是φ（b）≥0，即ab2+（2a+1）b+（1﹣3a）≥0，
∴，
∵这个关于a的不等式在区间（﹣∞，﹣1]上有解，
∴≤（﹣）max，
又∵y=﹣（﹣∞，﹣1]上单调递增，故（﹣）max=1，
∴≤1，解得，，
又∵b＞﹣1，
∴，
∴b的最大值为．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，并且利用函数的单调区间判断函数的极值点，函数的极值点一定是导函数对应方程的根．导函数的正负对应着函数的增减．本题同时考查了有关不等式恒成立的问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于难题．
请考生在（22）、（23）、(24)三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，本题10分。
22．（10分）（2012?宣威市一模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的点，OC垂直于直径AB，
过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D、连接CF交AB于E点，
（1）求证：DE2=DB?DA；
（2）若⊙O的半径为，OB=OE，求EF的长．
【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理即可证明DE2=DB?DA；
（2）由圆中相交弦定理得CE?EF=AE?EB，结合直角三角形中边的关系，先求出AE和EB，从而求出EF的长．
【解答】解：（1）连接OF，
∵DF切⊙O于F，
∴∠OFD=90°，
∴∠OFC+∠CFD=90°，
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC，
∵CO⊥AB于O，
∴∠OCF+∠CEO=90°，
∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，
∴DF=DE，
∵DF是⊙O的切线，
∴DF2=DB?DA，
∴DE2=DB?DA；
（2），CO=，，
∵CE?EF=AE?EB=（+2）（﹣2）=8，
∴EF=2
【点评】本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用，属于基础题之列．
23．（2014?兴安盟一模）已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标
为．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】（Ⅰ）利用直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，即可写出直线l的参数方程；
求得圆心坐标，可得圆的直角坐标方程，利用，可得圆的极坐标方程为
ρ=8sinθ；
（Ⅱ）求出直线l的普通方程，可得圆心到直线的距离，与半径比较，可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣5），且倾斜角为，
∴直线l的参数方程为（t为参数）
∵半径为4的圆C的圆心的极坐标为，
∴圆心坐标为（0，4），圆的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2=16
∵，
∴圆的极坐标方程为ρ=8sinθ；
（Ⅱ）直线l的普通方程为，