5.1.2垂线 教案

A B

C

D O 课题：5.1.2 垂线 课型：新授 学习目标：

1． 理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。 2． 掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。 3． 掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。 学习重点：垂线的定义及性质。 学习难点：垂线的画法

学具准备：相交线模型，三角尺，量角器 学习过程： 一、学前准备

1、预习疑难： 。

2、填空：①如果∠α与∠β互为余角，∠α＝37°，那么∠β＝ 。

②已知∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为余角，那么∠2与∠3的关系是 。

二、探索与思考 （一）垂线的定义

1、观察思考：转动相交线模型，观察两条直线所成的夹角的变化。当夹角变化

到 °时，就是我们今天要研究的两条直线垂直。

2、定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 时，这两条直

线就互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。

3、符号表示：①如果直线AB 、CD 互相垂直，记作AB ⊥CD ，垂足为O 。

②由两条直线垂直，可知四个角为直角。记为∵AB ⊥CD （已知）

∴∠AOD ＝90°（垂直定义）

由两条直线交角为直角，可知两条直线互相垂直。记为∵∠AOD ＝90°（已知）

∴AB ⊥CD （垂直定义）

4、总结：①垂直是相交。是相交的一种特殊情况。

②垂直是一种相互关系，即a ⊥b ，同时b ⊥a ③当提到线段与线段，线段与射线，射线与射线，射线与直线的垂直情况时，是指它们所在的直线互相垂直。

5、生活中的垂直关系：日常生活中，两条直线互相垂直很常见，你能举出几个例子吗？

（二）垂线的性质一

1、 垂线的画法有两种：利用 或者 。

2、 探究：完成教材4页探究问题。

3、垂线性质： 。

4、对应练习：教材5页练习1、2（在书上完成）

（一） 垂线的性质二

1、思考：在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处，如何挖渠能使渠道最短？

2、探究：上面思考问题可以转化为数学问题：“已知直线l 和直线外一点P ，连接点P 到直

线l 上各点O,A 1,A 2,A 3…，其中 PO ⊥l （我们称PO 为点P 到直线l 的垂线段）。

请你比较线段PO ，PA 1，PA 2，PA 3…的长短，哪一条最短？

结论： 。 简记为： 。

N M C

B A 3、 对应练习：①修一条公路将村庄A 、B 与公路MN 连接起来，怎样修 才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由。

② 教材6页 练习

（二） 点到直线的距离：

1、定义：直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离。

2、注意：定义中说的是“垂线段的长度．．”，而不是“垂线段”。因为，距离是一个数量，而“垂线段”是指一个具体的几何图形。

3、对应练习：如图，∠BCA ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，则下列结论中正确的个数为（ ）

①AC 与BC 互相垂直；②CD 与BC 互相垂直；③点B 到AC 的垂线段是线段AC ；④点C 到AB 的距离是线段CD ；⑤线段AC 的长度是点A 到BC 的距离；⑥线段AC 是点A 到BC 的距离。

A.2

B.3

C.4

D.5

三、学习体会：

1、本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？

2、预习时的疑难解决了吗？

四、自我检测： （一） 选择题:

1.如图1所示,下列说法不正确的是( )

A.点B 到AC 的垂线段是线段AB;

B.点C 到AB 的垂线段是线段AC

C.线段AD 是点D 到BC 的垂线段;

D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段

D

C

B

A

D C

B

A

(1) (2) 2.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 3.下列说法正确的有( ) ①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

A ●

B ●

O D

C

A

4.如图2所示,AD ⊥BD,BC ⊥CD,AB=a cm, BC=b cm,则BD 的范围是( ) A.大于a cm B.小于b cm

C.大于a cm 或小于b cm

D.大于b cm 且小于a cm 5.到直线L 的距离等于2cm 的点有( )

A.0个

B.1个;

C.无数个

D.无法确定

6.点P 为直线m 外一点,点A,B,C 为直线m 上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P 到 直

线m 的距离为( )

A.4cm

B.2cm;

C.小于2cm

D.不大于2cm

（二）填空题:

1、如图4所示,直线AB 与直线CD 的位置关系是_______,记作_______,此

时,?∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=90°. 2、如图5,AC ⊥BC,C 为垂足,CD ⊥AB,D 为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么点C 到AB 的距离是_______,点A 到BC 的距离是________,点B 到CD 的距离是_____,A 、B 两点的距离是_________.

C

B

A

F

E D C B A

(2)

O

D C

B

A E

(3)O

D

C

B A (4) (5) (6) (7) (8)

3、如图6,在线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF 中AD 最短.小明说垂线段最短, 因此线段AD 的长是点A 到BF 的距离,对小明的说法,你认为_________________.

4、如图7,AO ⊥BO,O 为垂足,直线CD 过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.

5、如图8,直线AB 、CD 相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB 的位置关系是_________.

五、拓展延伸

1、已知，如图，∠AOD 为钝角，OC ⊥OA,OB ⊥OD 求证：∠AOB ＝∠COD 证明：∵OC ⊥OA ，OB ⊥OD （ ） ∴∠AOB ＋∠1＝ ，

∠COD+∠1=90°（垂直的定义）

∴∠AOB=∠COD （ ） 变式训练：如图OC ⊥OA,OB ⊥OD,O 为垂足,若∠BOC=35°,则∠AOD=________.

2、已知:如图,直线AB,射线OC 交于点O,OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC.试判断OD 与OE 的位置关系.

E O D

C B

A

B D

O

F E

D C B A 3、课本中水渠该怎么挖?在图上画出来.如果图中比例尺为1:100000, 水渠大约要挖多长?

4、如图,分别画出点A 、B 、C 到BC 、AC 、AB 的垂线段,再量出A 到BC 、点B 到AC 、 点C 到AB 的距离.

C

B

A

5、如图，直线AB,CD 相交于O,OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数。

6、(2001.杭州中考题)如图7所示,一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶,M,N ?分别是位于公路AB 两侧的村庄,设汽车行驶到P 点位置时,离村庄M 最近,行驶到Q 点位置时,?离村庄N 最近,请你在AB 上分别画出P,Q 两点的位置.

N

B

A