北京市延庆高中数学第一章计数原理12排列与组合126简单的计数问题新人教B版2-3.

1.2.6 简单的计数问题

一、教学目标

（1）掌握排列组合一些常见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题；

（2）提高合理选用知识解决问题的能力．

二、教学重点，难点

排列、组合综合问题．

三、教学过程

典例分析

例1．2名女生， 4名男生排成一排．

（1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？

（2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？

（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？ 解：（1）“捆绑法”：将2名女生看成一个元素，与4名男生共5个元素排成一排，共有55A 种

排法，又因为2名相邻女生有22A 种排法，因此不同的排法种数是52

52240A A =． （2）方法一：（插空法）

分两步完成：

第一步，将4名男生排成一排，有44A 种排法；

第二步，排2名女生．由于2名女生不相邻，故可在4名男生之间及两端的5个位置中选出2个排2名女生，有2

5A 种排法．

根据分步计数原理，不同的排法种数是4245480A A =种．

（3）方法一：（特殊元素优先考虑）

分2步完成：

第一步，排2名女生．由于女生顺序已定，故可从6个位置中选出2个位置，即2

6C ；第二

步，排4名男生．将4名男生排在剩下的4个位置上，有44A 种方法． 根据分步计数原理，不同的排法种数是2464360C A =．

方法二：（除法）

如果将6名学生全排列，共有6

6A 种排法．其中，在男生位置确定之后，女生的排法数有22

A 种，因为女生的顺序已定，所以在这22A 中排法中，只有一种符合要求，故符合要求的排法

数为

6

6

2

2

360

A

A

种．

例2．高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中 3名男生，2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？

说明：排列、组合综合问题通常遵循“先组合后排列”的原则．

例3．某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B、C两校必选，且B在C前．问：此考生共有多少种不同的填表方法？

例4．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？

四、课堂小结

1、解决有关计数的应用题时，要仔细分析事件的发生、发展过程，弄清问题究竟是排列问题还是组合问题，还是应直接利用分类计数原理或分步计数原理解决．一个较复杂的问题往往是分类与分步交织在一起，要准确分清，容易产生的错误是遗漏和重复计数；

2、解决计数问题的常用策略有：（1）特殊元素优先安排；（2）排列组合混合题要先选（组合）后排；（3）相邻问题捆绑处理（先整体后局部）；（4）不相邻问题插空处理；（5）顺序一定问题除法处理；（6）正难则反，合理转化．

五、课堂练习

1．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？

2．有3张都标着字母A,6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中5张卡片组成牌号，求可以组成的不同牌号的总数．