2016北航《信号处理及其应用》在线作业二

2016北航《信号处理及其应用》在线作业二
2016北航《信号处理及其应用》在线作业二

北航《信号处理及其应用》在线作业二

一、单选题(共 10 道试题,共 30 分。)

V

1. 以12kHz的信号对一4.25kHz的信号抽样,其256点DFT幅谱图的基带最大峰值点所对应

的下标为?________

A. 91

B. 71

C. 51

D. 31

满分:3 分

2. 模拟滤波器的转移函数为H(s) = 5000/(s + 15000),若采样频率为20kHz,采用双线性变换

后的数字滤波器是?________

A. 0.091(1 + z^-1)/(1 - 0.455z^-1)

B. 0.08(1 + z^-1)/(1 - 0.455z^-1)

C. 0.06(1 + z^-1)/(1 - 0.455z^-1)

D. 以上全不对

满分:3 分

3. 抗混叠滤波器的目的是?______

A. 去掉模拟信号混叠

B. 等效一个高通滤波器

C. 将高于采样率一半的频率分量去掉

D. 保证不发生采样

满分:3 分

4. 滤波器y[n] + 0.8y[n-1] = x[n] - 0.5x[n-1] 的单位脉冲响应的头4个样点值为?________

A. 1, -1.3, 1.04, -0.832

B. 1, -0.8, 0.64, -0.512

C. 1, 0.8, 0.64, 0.512

D. 1, 0.3, 0.24, 0.192

满分:3 分

5. 与512点的DFT相比,512点的FFT只需约________分之一的加法计算量?

A. 228

B. 114

C. 57

D. 28

满分:3 分

6. 采样频率为16kHz,1024点DFT的窗口长度为?________

A. 64ms

B. 48ms

C. 32ms

D. 16ms

满分:3 分

7. z平面上单位园内的点映射到s平面上的?________

A. 右半平面

B. 左半平面

C. 上半平面

D. 下半平面

满分:3 分

8. 某系统单位脉冲响应h[n] = 0.5δ[n] - 0.4δ[n-1] + 0.25δ[n-2],对应转移函数为?________

A. H(z) = 1-0.4z^-1+0.25z^-2

B. H(z)= z^2-0.4z+0.25

C. H(z)=z^-2-0.4z^-1+0.25

D. 非以上答案

满分:3 分

9. 正弦信号的频谱的一个周期中包括?________

A. 无峰点

B. 1个峰点

C. 2个峰点

D. 多于2个峰点

满分:3 分

10. 将窗口Hamming, Blackman,rectangular按照阻带衰减顺序排序?________

A. rectangular,Hamming,Blackman

B. Blackman,rectangular,Hamming

C. rectangular,Blackman,Hamming

D. Blackman, Hamming, rectangular

满分:3 分

二、多选题(共 10 道试题,共 40 分。)

V

1. DSP特点描述正确的是?________

A.

采用哈佛总线结构

B.

具有高速的I/O接口

C.

具有高速的存储器

D.

具有高速阵列乘法器

满分:4 分

2. 如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需要4μs,每次复数加需要1μs,则在此计算机上

计算210点的基2FFT需要__________级蝶形运算,总的运算时间是__________μs。

A. 8

B. 16

C. 6144us

D. 3122us

满分:4 分

3. 按照功能划分,滤波器有几种类型?________

A. 低通

B. 高通

C.

带通

D.

带阻

满分:4 分

4. 定点数的表示方法描述正确的是?________

A.

原码

B.

反码

C.

补码

D.

以上全对

满分:4 分

5. 两个有限长序列x1(n),0≤n≤33和x2(n),0≤n≤36,做线性卷积后结果的长度是________ ,若对这两个序列做64点圆周卷积,则圆周卷积结果中n= 6 至________ 为线性卷积结果。

A. 70

B. 71

C. 63

D. 64

满分:4 分

6. 若一模拟信号为带限,且对其抽样满足奈奎斯特条件,理想条件下将抽样信号通过________不能完全不失真恢复原信号。

A. 理想低通滤波器

B. 理想高通滤波器

C. 理想带通滤波器

D.

理想带阻滤波器

满分:4 分

7. 设计一个数字滤波器的步骤一般包括?________

A.

确定滤波器的性能指标

B.

用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近设计要求

C.

数字滤波器的实现

D.

以上全对

满分:4 分

8. 浮点制的优点描述正确的是?________

A.

动态范围大

B.

有溢出的麻烦

C. 动态范围大

D. 精度高

满分:4 分

9. IIR数字滤波器设计方法有哪些?________

A. 冲击响应不变法

B. 阶跃响应不变法

C. 双线性变换法

D. 以上全对

满分:4 分

10. 用DFT对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些?________

A.

混叠失真

B.

截断效应(频谱泄漏)

C.

栅栏效应

D.

以上全对

满分:4 分

三、判断题(共 10 道试题,共 30 分。)

V

1. 谱泄漏随窗口长度增加而增加。

A. 错误

B. 正确

满分:3 分

2. 设有2个序列的长度分别为N1和N2,用DFT和IDFT实现其线性卷积,其DFT和IDFT的

长度至少应为N1+N2-1。

A. 错误

B. 正确

满分:3 分

3. FFT减少DFT运算量的基本处理思想是将长点数的DFT分解为短点数的DFT。

A. 错误

B. 正确

满分:3 分

4. 在FFT中的乘数因子是旋转因子。

B. 正确

满分:3 分

5. FIR离散系统的系统函数是z的多项式形式。

A. 错误

B. 正确

满分:3 分

6. 一个长度为N的有限长序列不能用N个频域的采样值唯一地确定。

A. 错误

B. 正确

满分:3 分

7. 通带和阻带内均有波纹的IIR滤波器是椭圆滤波器。

A. 错误

B. 正确

满分:3 分

8. 给FIR滤波器加窗的目的在于调整滤波器特性。

A. 错误

B. 正确

满分:3 分

9. 频谱图可以展现信号幅度和相位特性。

A. 错误

满分:3 分

10. 截短理想低通滤波器的单位脉冲响应将导致滤波器通带特性不再理想。

A. 错误

B. 正确

满分:3 分

北航数值分析大作业一

《数值分析B》大作业一 SY1103120 朱舜杰 一.算法设计方案: 1.矩阵A的存储与检索 将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501] . 由于C语言中数组角标都是从0开始的,所以在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素a ij的方法是: A的带内元素a ij=C中的元素c i-j+2,j 2.求解λ1,λ501,λs ①首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。λmin即为λs; 如果λmax>0,则λ501=λmax;如果λmax<0,则λ1=λmax。 ②使用带原点平移的幂法(mifa()函数),令平移量p=λmax,求 出对应的按摸最大的特征值λ,max, 如果λmax>0,则λ1=λ,max+p;如果λmax<0,则λ501=λ,max+p。 3.求解A的与数μk=λ1+k(λ501-λ1)/40的最接近的特征值λik (k=1,2,…,39)。 使用带原点平移的反幂法,令平移量p=μk,即可求出与μk最接近的特征值λik。 4.求解A的(谱范数)条件数cond(A)2和行列式d etA。 ①cond(A)2=|λ1/λn|,其中λ1和λn分别是矩阵A的模最大和 最小特征值。

②矩阵A的行列式可先对矩阵A进行LU分解后,detA等于U所有对角线上元素的乘积。 二.源程序 #include #include #include #include #include #include #include #define E 1.0e-12 /*定义全局变量相对误差限*/ int max2(int a,int b) /*求两个整型数最大值的子程序*/ { if(a>b) return a; else return b; } int min2(int a,int b) /*求两个整型数最小值的子程序*/ { if(a>b) return b; else return a; } int max3(int a,int b,int c) /*求三整型数最大值的子程序*/ { int t; if(a>b) t=a; else t=b; if(t

北航数值分析大作业第一题幂法与反幂法

《数值分析》计算实习题目 第一题: 1. 算法设计方案 (1)1λ,501λ和s λ的值。 1)首先通过幂法求出按模最大的特征值λt1,然后根据λt1进行原点平移求出另一特征值λt2,比较两值大小,数值小的为所求最小特征值λ1,数值大的为是所求最大特征值λ501。 2)使用反幂法求λs ,其中需要解线性方程组。因为A 为带状线性方程组,此处采用LU 分解法解带状方程组。 (2)与140k λλμλ-5011=+k 最接近的特征值λik 。 通过带有原点平移的反幂法求出与数k μ最接近的特征值 λik 。 (3)2cond(A)和det A 。 1)1=n λλ2cond(A),其中1λ和n λ分别是按模最大和最小特征值。 2)利用步骤(1)中分解矩阵A 得出的LU 矩阵,L 为单位下三角阵,U 为上三角阵,其中U 矩阵的主对角线元素之积即为det A 。 由于A 的元素零元素较多,为节省储存量,将A 的元素存为6×501的数组中,程序中采用get_an_element()函数来从小数组中取出A 中的元素。 2.全部源程序 #include #include void init_a();//初始化A double get_an_element(int,int);//取A 中的元素函数 double powermethod(double);//原点平移的幂法 double inversepowermethod(double);//原点平移的反幂法 int presolve(double);//三角LU 分解 int solve(double [],double []);//解方程组 int max(int,int); int min(int,int); double (*u)[502]=new double[502][502];//上三角U 数组 double (*l)[502]=new double[502][502];//单位下三角L 数组 double a[6][502];//矩阵A int main() { int i,k; double lambdat1,lambdat2,lambda1,lambda501,lambdas,mu[40],det;

北航数值分析报告第三次大作业

数值分析第三次大作业 一、算法的设计方案: (一)、总体方案设计: x y当作已知量代入题目给定的非线性方程组,求(1)解非线性方程组。将给定的(,) i i

得与(,)i i x y 相对应的数组t[i][j],u[i][j]。 (2)分片二次代数插值。通过分片二次代数插值运算,得到与数组t[11][21],u[11][21]]对应的数组z[11][21],得到二元函数z=(,)i i f x y 。 (3)曲面拟合。利用x[i],y[j],z[11][21]建立二维函数表,再根据精度的要求选择适当k 值,并得到曲面拟合的系数矩阵C[r][s]。 (4)观察和(,)i i p x y 的逼近效果。观察逼近效果只需要重复上面(1)和(2)的过程,得到与新的插值节点(,)i i x y 对应的(,)i i f x y ,再与对应的(,)i i p x y 比较即可,这里求解 (,)i i p x y 可以直接使用(3)中的C[r][s]和k 。 (二)具体算法设计: (1)解非线性方程组 牛顿法解方程组()0F x =的解* x ,可采用如下算法: 1)在* x 附近选取(0) x D ∈,给定精度水平0ε>和最大迭代次数M 。 2)对于0,1, k M =执行 ① 计算() ()k F x 和()()k F x '。 ② 求解关于() k x ?的线性方程组 () ()()()()k k k F x x F x '?=- ③ 若() () k k x x ε∞∞ ?≤,则取*()k x x ≈,并停止计算;否则转④。 ④ 计算(1) ()()k k k x x x +=+?。 ⑤ 若k M <,则继续,否则,输出M 次迭代不成功的信息,并停止计算。 (2)分片双二次插值 给定已知数表以及需要插值的节点,进行分片二次插值的算法: 设已知数表中的点为: 00(0,1,,) (0,1,,)i j x x ih i n y y j j m τ=+=???=+=?? ,需要插值的节点为(,)x y 。 1) 根据(,)x y 选择插值节点(,)i j x y : 若12h x x ≤+ 或12 n h x x ->-,插值节点对应取1i =或1i n =-,

北航数值分析大作业第二题精解

目标:使用带双步位移的QR 分解法求矩阵10*10[]ij A a =的全部特征值,并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知:sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)(){i j i j ij i j i j a +≠+== (i,j=1,2, (10) 算法: 以上是程序运作的逻辑,其中具体的函数的算法,大部分都是数值分析课本上的逻辑,在这里特别写出矩阵A 的实特征值对应的一个特征向量的求法: ()[]()() []()[]()111111I 00000 i n n n B A I gause i n Q A I u Bu u λλ-?-?-=-?-?? ?-=????→=??????→= ?? ? 选主元的消元 检查知无重特征值 由于=0i A I λ- ,因此在经过选主元的高斯消元以后,i A I λ- 即B 的最后一行必然为零,左上方变 为n-1阶单位矩阵[]()()11I n n -?-,右上方变为n-1阶向量[]()11n Q ?-,然后令n u 1=-,则 ()1,2,,1j j u Q j n ==???-。

这样即求出所有A所有实特征值对应的一个特征向量。 #include #include #include #define N 10 #define E 1.0e-12 #define MAX 10000 //以下是符号函数 double sgn(double a) { double z; if(a>E) z=1; else z=-1; return z; } //以下是矩阵的拟三角分解 void nishangsanjiaodiv(double A[N][N]) { int i,j,k; int m=0; double d,c,h,t; double u[N],p[N],q[N],w[N]; for(i=0;i

北航数值分析大作业第二题

数值分析第二次大作业 史立峰 SY1505327

一、 方案 (1)利用循环结构将sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)() {i j i j ij i j i j a +≠+==(i,j=1,2,……,10)进行赋值,得到需要变换的 矩阵A ; (2)然后,对矩阵A 利用Householder 矩阵进行相似变换,把A 化为上三角矩阵A (n-1)。 对A 拟上三角化,得到拟上三角矩阵A (n-1),具体算法如下: 记A(1)=A ,并记A(r)的第r 列至第n 列的元素为()n r r j n i a r ij ,,1,;,,2,1) ( +==。 对于2,,2,1-=n r 执行 1. 若 ()n r r i a r ir ,,3,2) ( ++=全为零,则令A(r+1) =A(r),转5;否则转2。 2. 计算 () ∑+== n r i r ir r a d 1 2 )( ()( )r r r r r r r r r r d c a d a c ==-=++则取,0sgn ) (,1)(,1若 )(,12r r r r r r a c c h +-= 3. 令 () n T r nr r r r r r r r r R a a c a u ∈-=++) ()(,2)(,1,,,,0,,0 。 4. 计算 r r T r r h u A p /)(= r r r r h u A q /)(= r r T r r h u p t /= r r r r u t q -=ω T r r T r r r r p u u A A --=+ω)()1( 5. 继续。 (3)使用带双步位移的QR 方法计算矩阵A (n-1)的全部特征值,也是A 的全部特征值,具体算法如下: 1. 给定精度水平0>ε和迭代最大次数L 。 2. 记n n ij n a A A ?-==][) 1()1()1(,令n m k ==,1。

北航数值分析第二次大作业--QR分解

《数值分析A》

一、算法设计方案 整个程序主要分为四个函数,主函数,拟上三角化函数,QR分解函数以及使用双步位移求解矩阵特征值、特征向量的函数。因为在最后一个函数中也存在QR分解,所以我没有采用参考书上把矩阵M进行的QR分解与矩阵Ak的迭代合并的方法,而是在该函数中调用了QR分解函数,这样增强了代码的复用性,减少了程序长度;但由于时间关系,对阵中方法的运算速度没有进行深入研究。 1.为了减少QR分解法应用时的迭代次数,首先对给定矩阵进行拟上三角化处理。 2.对经过拟上三角化处理的矩阵进行QR分解。 3.注意到计算特征值与特征向量的过程首先要应用前面两个函数,于是在拟上三角化矩阵的基础上对QR分解函数进行了调用。计算过程中,没有采用goto语句,而是根据流程图采用其他循环方式完成了设计,通过对迭代过程的合并,简化了程序的循环次数,最后在计算特征向量的时候采用了列主元高斯消去法。

二、源程序代码 #include #include #include int i,j,k,l,m; //定义外部变量double d,h,b,c,t,s; double A[10][10],AA[10][10],R[10][10],Q[10][10],RQ[10][10]; double X[10][10],Y[10][10],Qt[10][10],M[10][10]; double U[10],P[10],T[10],W[10],Re[10]={0},Im[10]={0}; double epsilon=1e-12; void main() { void Quasiuppertriangular(double A[][10]); void QRdecomposition(double A[][10]); void DoublestepsQR(double A[][10]); int i,j; for(i=0;i<10;i++) { for(j=0;j<10;j++) { A[i][j]=sin(0.5*(i+1)+0.2*(j+1)); Q[i][j]=0; AA[i][j]=A[i][j]; } A[i][i]=1.5*cos(2.2*(i+1)); AA[i][i]=A[i][i];

北航数值分析报告大作业第八题

北京航空航天大学 数值分析大作业八 学院名称自动化 专业方向控制工程 学号 学生姓名许阳 教师孙玉泉 日期2014 年11月26 日

一.题目 关于x , y , t , u , v , w 的方程组(A.3) ???? ?? ?=-+++=-+++=-+++=-+++79 .0sin 5.074.3cos 5.007.1cos sin 5.067.2cos 5.0y w v u t x w v u t y w v u t x w v u t (A.3) 以及关于z , t , u 的二维数表(见表A-1)确定了一个二元函数z =f (x , y )。 表A-1 二维数表 t z u 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 0 -0.5 -0.34 0.14 0.94 2.06 3.5 0.2 -0.42 -0.5 -0.26 0.3 1.18 2.38 0.4 -0.18 -0.5 -0.5 -0.18 0.46 1.42 0.6 0.22 -0.34 -0.58 -0.5 -0.1 0.62 0.8 0.78 -0.02 -0.5 -0.66 -0.5 -0.02 1.0 1.5 0.46 -0.26 -0.66 -0.74 -0.5 1. 试用数值方法求出f (x , y ) 在区域}5.15.0,8.00|), {≤≤≤≤=y x y x D (上的近似表达式 ∑∑===k i k j s r rs y x c y x p 00 ),( 要求p (x , y )以最小的k 值达到以下的精度 ∑∑==-≤-=10020 7210)],(),([i j i i i i y x p y x f σ 其中j y i x i i 05.05.0,08.0+==。 2. 计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,8 ; j =1,2,…,5) 的值,以观察p (x , y ) 逼 近f (x , y )的效果,其中j y i x j i 2.05.0,1.0**+==。

北航数值分析计算实习报告一

航空航天大学 《数值分析》计算实习报告 第一大题 学院:自动化科学与电气工程学院 专业:控制科学与工程 学生姓名: 学号: 教师: 电话: 完成日期: 2015年11月6日 航空航天大学 Beijing University of Aeronautics and Astronautics

实习题目: 第一题 设有501501?的实对称矩阵A , ??? ???? ?????????=5011A a b c b c c b c b a 其中,064.0,16.0),501,,2,1(64.0)2.0sin()024.064.1(1 .0-==???=--=c b i e i i a i i 。矩阵A 的特征值为)501,,2,1(???=i i λ,并且有 ||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤ 1.求1λ,501λ和s λ的值。 2.求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,,2,1(???=k k i λ。 3.求A 的(谱数)条件数2)A (cond 和行列式detA 。 说明: 1.在所用的算法中,凡是要给出精度水平ε的,都取12-10=ε。 2.选择算法时,应使矩阵A 的所有零元素都不储存。 3.打印以下容: (1)全部源程序; (2)特征值),,39,...,2,1(,s 5011=k k i λλλλ以及A det ,)A (cond 2的值。 4.采用e 型输出实型数,并且至少显示12位有效数字。

一、算法设计方案 1、求1λ,501λ和s λ的值。 由于||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤,可知绝对值最大特征值必为1λ和501 λ其中之一,故可用幂法求出绝对值最大的特征值λ,如果λ=0,则1λ=λ,否则 501λ=λ。将矩阵A 进行一下平移: I -A A'λ= (1) 对'A 用幂法求出其绝对值最大的特征值'λ,则A 的另一端点特征值1λ或501λ为'λ+λ。 s λ为按模最小特征值,||min ||501 1i i s λλ≤≤=,可对A 使用反幂法求得。 2、求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,...,2,1(=k k i λ。 计算1)1,2,...,50=(i i λ-k μ,其模值最小的值对应的特征值k λ与k μ最接近。因此对A 进行平移变换: )39,,2,1k -A A k k ==(I μ (2) 对k A 用反幂法求得其模最小的特征值'k λ,则k λ='k λ+k μ。 3、求A 的(谱数)条件数2)(A cond 和行列式detA 。 由矩阵A 为非奇异对称矩阵可得: | | )(min max 2λλ=A cond (3) 其中max λ为按模最大特征值,min λ为按模最小特征值,通过第一问我们求得的λ和s λ可以很容易求得A 的条件数。 在进行反幂法求解时,要对A 进行LU 分解得到。因L 为单位下三角阵,行 列式为1,U 为上三角阵,行列式为主对角线乘积,所以A 的行列式等于U 的行列式,为U 的主对角线的乘积。

北航数值分析课程第一次大作业讲解

《数值分析A》计算实习题目第一题 一.算法设计方案: 1.矩阵A的存储与检索 将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501] . 由于C语言中数组角标都是从0开始的,所以在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素a ij的方法是: A的带内元素a ij=C中的元素c i-j+2,j 2.求解λ1,λ501,λs ①首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。λmin即为λs; 如果λmax>0,则λ501=λmax;如果λmax<0,则λ1=λmax。 ②使用带原点平移的幂法(mifa()函数),令平移量p=λmax,求出对应的按摸最大的特征值λ,max, 如果λmax>0,则λ1=λ,max+p;如果λmax<0,则λ501=λ,max+p。 3.求解A的与数μk=λ1+k(λ501-λ1)/40的最接近的特征值λik (k=1,2,…,39)。 使用带原点平移的反幂法,令平移量p=μk,即可求出与μk最接近的特征值λik。 4.求解A的(谱范数)条件数cond(A)2和行列式d etA。 ①cond(A)2=|λ1/λn|,其中λ1和λn分别是矩阵A的模最大和最小特征值。 ②矩阵A的行列式可先对矩阵A进行LU分解后,detA等于U所有

对角线上元素的乘积。 二.源程序(VS2010环境下,C++语言) #include #include #include #include #include #include #include #define E 1.0e-12 /*定义全局变量相对误差限*/ int max2(int a,int b) /*求两个整型数最大值的子程序*/ { if(a>b) return a; else return b; } int min2(int a,int b) /*求两个整型数最小值的子程序*/ { if(a>b) return b; else return a; } int max3(int a,int b,int c) /*求三整型数最大值的子程序*/ { int t; if(a>b) t=a; else t=b; if(t

北航数值分析大作业第二次

《数值分析》计算实习作业 (第二题)

算法设计方案: 1、对矩阵A 赋值,取计算精度ε=1×10-12; 2、对矩阵A 进行拟上三角化,得到A (n-1),并输出A (n-1); 对矩阵A 的拟上三角化,通过直接调用子函数inftrianglize(A)来实现;拟上三角化得到的矩阵A (n-1)输出至文件solution.txt 中。 3、对A (n-1)进行QR 分解并输出Q 、R 及RQ 矩阵; QR 分解通过直接调用子函数QRdescom(A,Q,R, n)实现。 4、运用QR 方法求所有的特征值,并输出; (1)初始时令m=n ,在m>2的条件下执行; (2)判断如果|A mm-1|<ε,则得到一个特征值,m=m-1,转(4);否则转(3); (3)判断如果|A m-1m-2|<ε,则得到两个特征值,m=m-2,转(4); (4)判断如果m ≤2,转(6);否则转(5); (5)执行相似迭代,转(2); k k T k k k k k k k k k k Q A Q A R Q M I D A D tr A M ==+-=+1)2)det(( (6)求出最后的一个或两个特征值; (7)输出全部的特征值至文件solution.txt 中。 5、输出QR 分解法迭代结束之后的A (n-1)至文件solution.txt 中; 6、通过反幂法求出所有实特征值的特征向量并输出。 首先令B=(A-λi I),其中λi 是实特征值;反幂法通过调用子函数Bpowmethod(B,x1)实现,最终λi 对应的特征向量就是x1;最后将所有的实特征值的特征向量输出。

北航数值分析大作业3

一、算法设计方案 1.使用牛顿迭代法,对原题中给出的i x i 08.0=,j y j 05.05.0+=, (010 ,020i j ≤≤≤≤)的11*21组j i y x ,分别求出原题中方程组的一组解,于是得到一组和i i y x ,对应的j i t u ,。 2.对于已求出的j i t u ,,使用分片二次代数插值法对原题中关于u t z ,,的数表进行插值得到 ij z 。于是产生了z=f(x,y)的11*21个数值解。 3.从k=1开始逐渐增大k 的值,并使用最小二乘法曲面拟合法对z=f(x,y)进行拟合,得到每次的σ,k 。当7 10-<σ时结束计算,输出拟合结果。 4.计算)5,,2,1,8,,2,1)(,(),,(* ***???=???=j i y x p y x f j i j i 的值并输出结果,以观察),(y x p 逼近),(y x f 的效果。其中j y i x j i 2.05.0,1.0* *+==。 二、算法实现方案 1、求(,)f x y : (1)Newton 法解非线性方程组 0.5cos 2.670.5sin 1.07(1)0.5cos 3.740.5sin 0.79 t u v w x t u v w y t u v w x t u v w y +++-=??+++-=? ? +++-=??+++-=?, 其中,t, u, v ,w 为待求的未知量,x, y 为代入的已知量。 设(,,,)T t u v w ξ=,给定精度水平12110ε-=和最大迭代次数M ,则解该线性方程组的迭代格式为: *(0)(0)(0)(0)(0)(k+1) ()()1()(,,,)()()0,1,T k k k t u v w F F k ξξξ ξξξ-?=?'=-??= ? 在附近选取初值, 迭代终止条件为()(1) () 1/k k k ξξ ξε-∞ ∞ -≤,若k M >时仍未达到迭代精度,则迭代计算失 败。 其中,雅可比矩阵 0.5*cos(t) + u + v + w - x - 2.67t + 0.5*sin(u) + v + w - y - 1.07()0.5*t + u + cos(v) + w - x - 3.74t + 0.5*u + v + sin(w) - y - 0.79F ξ???? ? ?=?????? ,

北航数值分析计算实习报告一

北航数值分析计算实习 报告一 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

北京航空航天大学 《数值分析》计算实习报告 第一大题 学 院:自动化科学与电气工程学院 专 业: 控制科学与工程 学 生 姓 名: 学 号: 教 师: 电 话: 完 成 日 期: 2015年11月6日 北京航空航天大学 Beijing University of Aeronautics and Astronautics 实习题目: 第一题 设有501501?的实对称矩阵A , 其中,064.0,16.0),501,,2,1(64.0)2.0sin()024.064.1(1.0-==???=--=c b i e i i a i i 。矩阵A 的特征值为)501,,2,1(???=i i λ,并且有 1.求1λ,501λ和s λ的值。 2.求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,,2,1(???=k k i λ。 3.求A 的(谱范数)条件数2)A (cond 和行列式detA 。

说明: 1.在所用的算法中,凡是要给出精度水平ε的,都取12-10=ε。 2.选择算法时,应使矩阵A 的所有零元素都不储存。 3.打印以下内容: (1)全部源程序; (2)特征值),,39,...,2,1(,s 5011=k k i λλλλ以及A det ,)A (cond 2的值。 4.采用e 型输出实型数,并且至少显示12位有效数字。 一、算法设计方案 1、求1λ,501λ和s λ的值。 由于||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤,可知绝对值最大特征值必为1λ和501λ其中之 一,故可用幂法求出绝对值最大的特征值λ,如果λ=0,则1λ=λ,否则501λ=λ。将矩阵A 进行一下平移: I -A A'λ= (1) 对'A 用幂法求出其绝对值最大的特征值'λ,则A 的另一端点特征值1λ或501λ为 'λ+λ。 s λ为按模最小特征值,||min ||501 1i i s λλ≤≤=,可对A 使用反幂法求得。 2、求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,...,2,1(=k k i λ。 计算1)1,2,...,50=(i i λ-k μ,其模值最小的值对应的特征值k λ与k μ最接近。因此对A 进行平移变换: )39,,2,1k -A A k k ==(I μ (2) 对k A 用反幂法求得其模最小的特征值'k λ,则k λ='k λ+k μ。

BUAA数值分析大作业三

北京航空航天大学2020届研究生 《数值分析》实验作业 第九题 院系:xx学院 学号: 姓名: 2020年11月

Q9:方程组A.4 一、 算法设计方案 (一)总体思路 1.题目要求∑∑=== k i k j s r rs y x c y x p 00 ),(对f(x, y) 进行拟合,可选用乘积型最小二乘拟合。 ),(i i y x 与),(i i y x f 的数表由方程组与表A-1得到。 2.),(* * j i y x f 与1使用相同方法求得,),(* * j i y x p 由计算得出的p(x,y)直接带入),(* * j i y x 求得。

1. ),(i i y x 与),(i i y x f 的数表的获得 对区域D ={ (x,y)|1≤x ≤1.24,1.0≤y ≤1.16}上的f (x , y )值可通过xi=1+0.008i ,yj=1+0.008j ,得到),(i i y x 共31×21组。将每组带入A4方程组,即可获得五个二元函数组,通过简单牛顿迭代法求解这五个二元数组可获得z1~z5有关x,y 的表达式。再将 ),(i i y x 分别带入z1~z5表达式即可获得f(x,y)值。 2.乘积型最小二乘曲面拟合 2.1使用乘积型最小二乘拟合,根据k 值不用,有基函数矩阵如下: ????? ??=k i i k x x x x B 0000 , ????? ??=k j j k y y y y G 0000 数表矩阵如下: ???? ? ? ?=),(),(),(),(0000j i i j y x f y x f y x f y x f U 记C=[rs c ],则系数rs c 的表达式矩阵为: 11-)(-=G G UG B B B C T T T )( 通过求解如下线性方程,即可得到系数矩阵C 。 UG B G G C B B T T T =)()( 2.2计算),(),,(* ***j i j i y x p y x f (i =1,2,…,31 ; j =1,2,…,21) 的值 ),(**j i y x f 的计算与),(j i y x f 相同。将),(**j i y x 代入原方程组,求解响应) ,(* *ij ij u t 进行分片双二次插值求得),(**j i y x f 。),(* *j i y x p 的计算则可以直接将),(**j i y x 代入所求p(x,y)。 二、 源程序 ********* 第三次数值分析大作业Q9************ integer::i, j, K1, L1, n, m dimension X(31), Y(21), T(6), U(6), Z(6, 6), UX(11, 21), TY(11, 21), FXY(11, 21), C(6, 6) dimension z1(31, 21), z2(31, 21), z3(31, 21), z4(31, 21), z5(31, 21) dimension X1(8), Y1(5), FXY1(8, 5), PXY1(8, 5), UX1(8, 5), TY1(8, 5)

北航数值分析第二次大作业--QR分解

《数值分析A》计算实习题目二 姓名 学号

数值分析第二次大作业 一、算法设计方案 首先构造矩阵A,利用Householder矩阵对矩阵A作相似变换,把A化为拟上三角矩阵A(n-1),算法如课本P61。 使用QR分解法对矩阵A(n-1)进行QR分解,算法如课本P59, 进而求出所得矩阵的Q、R、RQ矩阵。 然后对A(n-1)进行带双步位移的QR分解求矩阵的全部特征值,采用以下几步进行: 第一步:判断是否a m,m-1(k)<=ε ,若不是,则进入第四步。若是,则a m,m-1(k)为特征值,m=m-1,若m=1,则进入第二步,若m=2进入第三步,否则转第四步。 第二步:m=1,则a11(k)为特征值,转向结束步。 第三步:m=2,则可以求出A的两个特征值s1和s2,转向结束步。 第四步:判断是否a m-1,m-2(k)<=ε,若不是,进入第五步。若是,则得到A的两个特征值s1和s2,令m=m-2,若m=1,进入第二步,若m=2进入第三步,否则进入第一步。 第五步:判断是否达到循环上限,若达到,则结束,否则进入第六步。 第六步:对A进行双步位移QR分解,这里的算法如课本P64,分解后转向计数步。 计数步:对循环次数进行计数,并转向第一步。 结束步:显示所求得的特征值。 最后对实特征值利用列主元高斯消元法求解其对应的特征向量,算法如课本p17.

二、源程序代码 #include #include #include int i,j,k,l,m; //定义外部变量double d,h,b,c,t,s; double A[10][10],AA[10][10],R[10][10],Q[10][10],RQ[10][10]; double X[10][10],Y[10][10],Qt[10][10],M[10][10]; double U[10],P[10],T[10],W[10],Re[10]={0},Im[10]={0}; double epsilon=1e-12; void main() { void Quasiuppertriangular(double A[][10]); void QRdecomposition(double A[][10]); void DoublestepsQR(double A[][10]); int i,j; for(i=0;i<10;i++) { for(j=0;j<10;j++) { A[i][j]=sin(0.5*(i+1)+0.2*(j+1)); Q[i][j]=0; AA[i][j]=A[i][j]; } A[i][i]=1.5*cos(2.2*(i+1)); AA[i][i]=A[i][i]; } Quasiuppertriangular(A); //调用拟上三角化函数printf( "\n A经过拟上三角化矩阵为:\n\n"); for(i=0;i<10;i++) //输出拟上三角化矩阵 { for(j=0;j<10;j++)

北航数值分析大作业 第二题 QR分解

数值分析第二题 梁进明 SY0906529 算法设计方案。 一.矩阵的QR 分解。把矩阵A 分解为一个正交矩阵Q 与一个上三角矩阵R 的乘积,称为矩阵A 的 正三角分解,简称QR 分解。QR 分解的算法如下: 记1A A =,并记[]r ij n n Ar a ?=,令1Q I =(n 阶单位矩阵) 对于r=1,2,…,n-1执行 (1) 若(1,2,...,)r ir a i r r n =++全为零,则令1r r Q Q +=,1r r A A +=转(5);否则转(2) (2) 计算 2r d = ()sgn()r r rr r c a d =-(若() 0r rr a =,则取r r c d =) 2() r r r r rr h c c a =- (3) 令()()()1,(0,...,0,,,...,)r r r T n r rr r r r nr u a c a a R +=-∈ (4) 计算 11//r r r T r r r r r T r r r r T r r r r Q u Q Q u h p A u h A A u p ωω++==-==- (5) 继续 当此算法执行完后就得到正交矩阵n Q Q =和上三角矩阵n R A =且有A QR =。 二.矩阵的 拟上三角化。对实矩阵A 的拟上三角化具体算法如下: 记(1) A A =,并记()r A 的第r 列到第n 列的元素为(1,2,...,;,1,...,)r ij a i n j r r n ==+。 对于1,2,...,2r n =-执行 (1) 若() (2,3,...,)r ir a i r r n =++全为零,则令(1) ()r r A A +=,转(5);否则转(2)。 (2) 计算

北航数值分析第三次大作业

数值分析第三次大作业 一、算法的设计方案 1、求解非线性方程组 将题目中给出的(,)i i x y 当作已知量代入题目给定的非线性方程组,求出与 (,)i i x y 相对应的数组te[i][j],ue[i][j],此处采用的是牛顿法解非线性方程组,其 算法如书上91页所示。 2、分片二次代数插值 对所求出的数组te[i][j],ue[i][j],通过分片二次代数插值运算,得到与数组te[11][21],ue[11][21]对应的数组ze[11][21],从而得到二元函数z=(,)i i f x y ,此处采用如书上101页例2中所示的分片二次代数插值。 3、曲面插值 利用x[11],y[21],ze[11][21]建立二维函数表,进行曲面插值计算,逐步提高k 值,计算其精度,看其是否满足要求,以此来确定循环结束的时刻,并得到曲面拟合的系数矩阵C[r][s],此处的算法如书142页所示,只需将所需矩阵给出,然后按公式进行计算即可。 4、比较 观察和),(j i y x p 逼近(,)i i f x y 的效果。观察逼近效果只需要利用新给的点列 (,)i i x y 重复上面(1)和(2)的过程,得到与新的插值节点(,)i i x y 对应的(,) i i f x y , 再与对应的(,)i i p x y 比较即可,这里求解(,)i i p x y 可以直接使用(3)中的C[r][s]和k 。 5、几点说明 分片二次插值的结果x[i],y[j],ze[i][j]输出到一个文件shubiao.txt 中,方便结果的复制与粘贴。 曲面插值的结果输出到一个文件xishu.txt 中,包括循环中每一次的k 值以及误差平方和sigma 的值,还有最后满足误差要求时曲面插值的系数C[r][s]。 观察逼近效果的结果输出到一个文件shubiao1.txt 中,方便结果的复制与粘贴。

北航数值分析大作业3

《数值分析B》 第三次数值分析大作业 院系:04 能源与动力工程学院 姓名:王开逍 学号:SY1104207

一.算法设计方案: 1、使用牛顿迭代法,对原题中给出的X(I)=0.08*I,Y(J)=0.5+0.05*J的11*21组X(I),Y(J)分别求得原题非线性方程组的一组解,于是得到一对和X(I),Y(J)对应的T(I),U(J). 2、对于已经求出来的U(I),T(J),使用分片二次代数插值法对原题中关于Z,T,U的数表进行插值,得到Z(I,J).于是产生了Z=F(X,Y)的11*21个数值解. 3、从K=1开始逐渐增大K的值,并使用最小二乘曲面拟合法对Z=F(X,Y)进行拟合,得到每次的K和精度TAO,当TAOb0)then b0=a0 end if if(b0>c0)then c0=b0 end if if(c0>d0)then d0=c0 end if max12=d0 end function subroutine qiugeng(x,y,t,u) !求题中所给非线性方程组的解,并且使用牛顿迭代法 real(kind=8) x,y,t,u real(kind=8) w,v,a(4,4),det(4),b(4) integer i,j t=0.5 u=0.5 w=1 v=1

北航 数值分析第二次大作业(带双步位移的QR方法)

一、算法设计方案: 按题目要求,本程序运用带双步位移的QR方法求解给定矩阵的特征值,并对每一实特征值,求解其相应的特征向量。 总体思路: 1)初始化矩阵 首先需要将需要求解的矩阵输入程序。为了防止矩阵在后面的计算中被破坏保存A[][]。 2)对给定的矩阵进行拟上三角化 为了尽量减少计算量,提高程序的运行效率,在对矩阵进行QR分解之前,先进行拟上三角化。由于矩阵的QR 分解不改变矩阵的结构,所以具有拟上三角形状的矩阵的QR分解可以减少大量的计算量。这里用函数 void QuasiTriangularization()来实现,函数形参为double型N维方阵double a[][N]。 3)对拟上三角化后的矩阵进行QR分解 对拟上三角化的矩阵进行QR分解会大大减小计算量。用子程序void QR_decomposition()来实现,将Q、R设为形参,然后将计算出来的结果传入Q和R,然后求出RQ乘积。 4)对拟上三角化后的矩阵进行带双步位移的QR分解 为了加速收敛,对QR分解引入双步位移,适当选取位移量,可以避免进行复数运算。为了进一步减少计算量,在每次进行QR分解之前,先判断是否可以直接得到矩阵的一个特征值或者通过简单的运算得到矩阵的一对特征值。若可以,则得到特征值,同时对矩阵进行降阶处理;若不可以,则进行QR分解。这里用函数intTwoStepDisplacement_QR()来实现。这是用来存储计算得到的特征值的二维数组。考虑到特征值可能为复数,因此将所有特征值均当成复数处理。此函数中,QR分解部分用子函数void QR_decompositionMk()实现。这里形参有三个,分别用来传递引入双步位移后的Mk阵,A矩阵,以及当前目标矩阵的维数m。 5)计算特征向量 得到特征值后,计算实特征值相应的特征向量。这里判断所得特征值的虚数部分是否为零。求实特征值的特征向量采用求解相应的方程组((A-λI)x=0)的方法。因此先初始化矩阵Array,计算(A-λI),再求解方程组。 方程组的求解采用列主元的高斯消去法,由函数intGauss_column(double a[][N],double b[],double X[])实现。由于此给定矩阵的特殊性,其没有重根,所有对应于每一特征值只有一个特征向量,因此可以用高斯消去法求解此奇异的线性方程组。首先用高斯消去将矩阵(A-λI)化为上三角阵,其最后一行必定全为零。因此在反代的过程中,只要令x[]的最后一个元素为“1”,即可得到方程组的一个基础解系,从而也就是一个特征向量。 6)输出有关结果 根据题目要求,需要输出拟上三角化后的矩阵、QR分解结束后的矩阵、矩阵全部特征值及对应实特征值的特征向量。由于输出结果要求都要保留12位有效数字,所以将结果输出到文件result.txt中更有利于数据的打印。程序中构造了两个输出函数专门来解决不同输出结果的问题,void print_lambda(complex lambda[]);void print_matrix(double mat[][N])。

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