2002年“宇振杯”上海市初中数学竞赛及答案

2002年“宇振杯”上海市初中数学竞赛及答案
2002年“宇振杯”上海市初中数学竞赛及答案

2002年“宇振杯”上海市初中数学竞赛

一、填空题(1~5题每小题6分,6~10题每小题8分,共70分)

1. 在2002当中嵌入一个数码组成五位数2002 ,若这五位数能被7整除,则嵌入的数码

“ ”是________________。

【解析】 2或9 设“ ”中数字为a ,那么五位数2002 的数值为210000100220002100a a ?+?+=+?,因为2002除以7的余数为3,所以,要使得五位数2002 能被7整除,那么100a ?除以7

的余数必须为4,而0,100,200,300, ,900中,

被7除余数为4的只有200和900,即2a =或者9,所以,嵌入的数码“ ”是2或9

2. 若实数a 满足3

2

a a a <<,则不等式1x a ax +>-解为_____________。

【解析】 11a

x a

-<

+ 已知3

2

a a a <<,即232

(1)0(1)0

a a a a a a a a ?-=-

?-=-,上不等式组等价于201010

a a a ?>?

-

即,0

111a a a >??>??-<

组,所以这种情况应舍去。

(2) 如果0a <,上不等式组等价于201010

a a a ?

->??->?

,即0111a a a a ?或者,解得1a <-,

此时,不等式1x a ax +>-等价于(1)1a x a +>-,因为1a <-,即10a +<,那

么(1)1a x a +>-等价于11a x a -<

+,所以,原不等式的解为11a

x a

-<+。 3. 如图,一张矩形纸片沿BC 折叠,顶点A 落在点'A 处,第二次过'A 再折叠,使折痕

DE BC 若2AB =.3AC =,则梯形BDEC 的面积为______________。

【解析】 9

由纸片的折叠方式知,'A BC ABC ???,所以,过A 点到BC 的高等于过'A 点到BC 的高,即ABC ?中BC 上的高与ADE ?中DE 上的高的比例为1:2=,又因为DE BC

E

C A'

D

B A

所以ABC ADE ?? ,由相似三角形的性质得ABC ?的面积:ADE ?的面积2

11

24

??== ???,

从而,梯形BDEC 的面积为ABC ?的面积的3倍,已知2AB =,3AC =,所以,ABC ?的面积为1

2332

??=从而梯形BDEC 的面积为339?=。

4. 已知关于正整数n 的二次式2(y n an n =+为实常数),若当且仅当5n =,y 最小值,

则实数a 的取值范围是_________________.

【解析】 119a -<<-

5. 如图,在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD ,它的4个顶点10,0A ()、(0,10)B 、

(10,0)C -、(010)D -,,则该正方形内及边界上共有_____________个整点(即纵、

横坐标都是整数的点)

【解析】 221

已知(10,0)A 、(0,10)B ,所以,直线AB 的方程为10y x =-+

在ABO ?内,当一个点的横坐标为1时,如果这个点在直线AB 上,那么这个点的纵坐标为1109-+=,所以,只要横坐标为1,纵坐标大于等于0小于等于9的点都在ABO ?的内部或者AB 边或者AO 边上,共10个点,显然这些点均符合题意。

同理,当一个点的横坐标为2 时,如果这个点在直线AB 上,那么这个点的纵坐标为2108-+=,所以,只要横坐标为2,纵坐标大于等于0小于等于8的点都在ABO ?的内部或者AB 边或者AO 边上,共9个点,显然这些点均符合题意。

当一个点的横坐标为9时,如果这个点在直线AB 上,那么这个点的纵坐标为9101-+=,所以,只要横坐标为9,纵坐标大于等于0小于等于1的点都在ABO ?的内部或者AB 边或者AO 边上,共2个点,显然这些点均符合题意。

当一个点的横坐标为10时,只有

(10,0)点符合题意,所以,在ABO ?内共有1098111555++++=?= 个点符合题意,由正方形的对称性知,BOC ?、DOC ?、AOD ?中各有55个点符合题意,显然,(0,0)点也符合题意。 综上,符合题意的点共有5541221?+=个。

6. 如图,P 为ABC ?形内一点,点D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上,过A 、B 、

C 分别作P

D 、P

E 、P

F 的平行线,交对边或对边的延长线于点X 、

Y 、Z 若1

4

PD PA =,1

3

PE BY =,则

PF

CZ

=________________

Z

Y E

C

F P

D

B X

A

【解析】

512

7. 若ABC ?的三边两两不等,

,且中线AD 、BE 的长分别为1和2,则中线CF 的长为____________________。

【解析】

8. 计算:

2222

2

2221299110050002200500010050009999005000

k k k +++++=-+-+-+-+ ___________

【解析】 99

9. 若正数x 、y 、z 满足()4x y z

x y z ++=,则()()x y y z ++的最小可能值为

______________。

【解析】 4

因为x 、y 、0z >,则()()()x y y z xy yy xz yz x y z y yz ++=+++=+++, 令()x y z y a ++=,

yz b =,则()()()x y y z x y y y x z y z x y z y y z a b

++=+++=+++=+,又因

为42

2

a b

+≥===,所以a b +的最小值为4,即()()x y y z ++的最小值为4。

10. 若关于x

的方程13

c =恰有两个不同的实数解,则实数a 的取值范围______。

【解析】 0a ≥或316

a =-

y =

2y =,那么原方程等价于2

11

0(1)23

y y a +--=

y =,所以,2

11023

y y a +--=必有一个实

数解,未完 二、(16分)

已知p 为质数,使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数,求出p 的所以可能值。

【解析】 因为已知整系数二次方程有整数根,所以

2244(51)4(51)p p p p ?=---=+为完全平方,从而,51p +为完全平方,,令251p n +=,注意到2p ≥,故4n ≥,且n 为整数,于是5(1)(1)p n n =+-则

1n +、1n -中至少有一个是5的倍数,即51n k =± (k 为正整数),因此,25125101p k k +=±+,(52)p k k =±,

由p 为质数,521k ±>,知1k =,3p =或7;

当3p =时,已知方程变成2

670x x --=,解得11x =-,27x =;

当7p =时,已知方程变成214130x x -+=,解得11x =,213x =,所以3p =或7。 三、(16分)

已知XYZ ?是直角边长为l 的等腰直角三角形90Z ∠=

(),它的3个顶点分别在等腰

(90)Rt ABC C ?∠= 的三边上,求ABC ?直角边长的最大可能值。

【解析】 (1)如图

顶点Z 在斜边AB 上,取XY 的中点M ,选CM 、ZM 、CZ 并作边AB 上的高CN

,则

11

22

CZ CM MZ XY XY XY ≤+=

+==,又C N C Z ≤,所

以CN ≤

2CA =≤

B

Y

X

(2)如图

顶点Z 在直角边(CA 或)CB 上,由对称性,不妨设Z 在CA 上,设CX x =,CZ y =,并过Y 作YH CA ⊥于H ,易证ZYH XZC ???,得HZ CX x ==,HY CZ y ==,又显然

AHY ?为等腰三角形,则AH y =,设AC b =,则2y x b +=,则2x b y =-,在CXZ

?中,由勾股定理有222(2)1y b y +-=,即225410y by b -+-=,因为y 为实数,则

2221620(1)2040b b b ?=--=-≥

,b ≤

b =

5y =

5

x = 综合(1)、(2)知,b

四、(18分)

平面上有7个点,他们之间可以连一些线段,使7点中的任意3点必存在2点有线段

相连,问至少要连多少条线段?证明你的结论。

【解析】

(1) 若7个点中,有一点孤立(即它不与其他点连线),则剩下6点每2点必须连线,

此时至少要连15条。

(2) 若7个点中,有一点只与另一点连线,则剩下5点每2点必须连线,此时至少

要连11条。 (3) 若每点至少引出3条线段,则至少要连

73

2

?条线段,由于线段数为整数,故此时至少要连11条。

(4) 若每点至少引出2条线段,且确有一点(记为A )只引出2条线段AB 、

AC ,则不与A 相连的4点每2点必须相连,要连

43

62

?=条,由B 引出的线段至少有2条,即除BA 外还至少有一条,因此,此时至少要连6219++=条,图中所给出的是连6219++=条线的情况。

综合(1)~(4),至少要连9条线段,才能满足要求。

y x

y

x y Z B

X

Y

C

H A

2018年上海市高三数学竞赛试题含答案解析

2018年上海市高三数学竞赛试题 一、填空题(本大题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分) 1.集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是. 2.设函数()f x 是R R →的函数,满足对一切R x ∈,都有()(2)2f x xf x +-=,则()f x 的解析式为()f x =. 3.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>,F 为椭圆的右焦点,AB 为过中心O 的弦,则ABF ?面积的最大值为. 4.设集合111111{,,,,,}2711131532 A =的非空子集为1263,,,A A A ,记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i = (单元数集的元素积是这个元素本身),则1263p p p +++ =. 5.已知一个等腰三角形的底边长为3,则它的一条底角的角平分线长的取值范围是. 6.设实数,,a b c 满足2221a b c ++=,记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m , 则M m -=. 7.在三棱锥P ABC -中,已知1,AB AC PB PC ===则22ABC PBC S S ??+的取值范围是. 8.在平面直角坐标系xoy 中,有2018个圆:⊙1A ,⊙2A ,…,⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为21(,)4k k k A a a ,半径为21(1,2,,2018)4k a k = ,这里12201812018a a a >>>= ,且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k = ,则1a =. 二、解答题(本大题满分60分,每小题15分) 9.已知三个有限集合,,A B C 满足A B C =? . (1)求证:1()2 A B C A B C ≥++ (这里,X 表示有限集合X 的元素个数); (2)举例说明(1)中的等号可能成立. 10.求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数. 11.设,,, abcd 是实数,求2222a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d +++++++++++++的 最小值.

创新杯数学竞赛试题

创新杯数学竞赛试题 一、选择题(5’×10=50’) 以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的字母填在下面的表格中。明阳教育 1.与30以内的奇质数的平均数 最接近的数是 A.12 B.13 C.14 D.15 2.把10个相同的小正方体按如图所示的位置堆放,它的外表含有 若干个小正方形,如图将图中标有字母A的一个小正方体搬去, 这时外表含有的小正方形个数与搬动前相比 A.不增不减 B.减少1个 C.减少2个 n.减少3个 3.一部电视剧共8集,要在3天里播完,每天至少播一集,则安排 播出的方法共有________种。 A.21 B.22 C.23 D.24 4.甲、乙、丙三人出同样多的钱买同样的笔记本,最后甲、乙都比丙多得3本,甲、乙都给了丙2.4元,那么每本笔记本的价格是________元. A.0.8 B.1.2 C.2.4 D.4.8 5.用0,1,2,…,9这十个数字组成一个四位数,一个三位数,一个两位数与一个一位数,每个数字只许用一次,使这四个数的和等于2007,则其中三位数的最小值是:C,1736+204+58+9=2007 A.201 B.203 C.204 D.205

6.有2007盏亮着的灯,各有一个拉线开关控制着,拉一下拉线开关灯会由亮变灭,再拉一下又由灭变亮,现按其顺序将灯编号为1,2,…,2007,然后将编号为2的倍数的灯线都拉一下,再将编号为3的倍数的灯线都拉一下,最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下,三次拉完后亮着的灯有_________盏. A.1004 B.1002 C.1000 D.998 7.已知一个三位数的百位、十位和个位分别是a,b,c,而且 a×b×c=a+b+c,那么满足上述条件的三位数的和为 A.1032 B,1132 C.1232 D.1332 8.某次数学考试共5道题,全班52人参加,共做对181题.已知每人至少做对1题;做对1道题的有7人,做对2道题的人和做对3道题的人一样多,做对5道题的有6人,那么做对4道题的人数是 A.29 B.31 C.33 D.35 9.一个三角形将平面分成2个部分,2个三角形最多将平面分成8个部分,…,那么5个三角形最多能将平面分成的部分数是 A.62 B.92 C.512 D.1024 10.一条单线铁路上有5个车站A,B,C,D,E,它们之间的路程如图所示.两辆火车同时从A,E两站相对开出,从A站开出的每小时行60千米,从E站开出的每小时行50千米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.那么应安排在某个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这一站的那一列火车至少需要停车的时间是 二、填空题(5’×12二60’)

历年初中希望杯数学竞赛试题大全

历年初中希望杯数学竞赛试题大全 一、选择题(本大题共8个小题,每小题只有一个正确选项,每小题3分,满分24分)1.下列运算正确的是【】 A.B.C.D. 2.2013年3月,在政府工作报告中对今年城镇保障性住房提出的具体目标是:基本建成470万套、新开工630万套,继续推进农村危房改造.630万用科学记数法表示这个数,结果正确的是【】 A.6.3×106B.6.3×105 C.6.3×102D.63×10 3.已知圆锥底面圆的半径为6厘米,高为8厘米,则圆锥的侧面积为【】厘米2. A.48 B.48πC.120πD.60π 4.下列所给的几何体中,主视图是三角形的是【】 5.如图,已知AB∥CD,CE交AB于F,若∠2=45°,则∠1=【】 A.135°B.45°C.35°D.40° 6.不等式组的解集是【】 A.x≥0 B.x>-2 C.-2<x≤3 D.x≤3 7.如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点E,∠A=40°, ∠B=30°,则∠AED的度数为【】 A.70 B.50 C.40 D.30 8.我县今年4月某地6天的最高气温如下(单位 C):32,29,30,32,30,32. 则这个地区最高气温的众数和中位数分别是【】 A.30,32 B.32,30 C.32,31 D.32,32 二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分) 9.-2的绝对值是. 10.函数中自变量x 的取值范围是. 11.已知等腰三角形的两边长分别是2和5,则该三角形的周长是. 12.分解因式4x2 -1= . 13.如图,□ABCD中,对角形AC,BD相交于点O, 添加一个条件,能使□ABCD成为菱形.你添加的条件 是(不再添加辅助线和字母). 14.如图,物体从点A出发,按照(第1步)(第2步) 的顺序循环运动, 则第2013步到达点处. 三、解答题(本大题共9个小题,满分58分) 15.(4分)计算: 16.(5分)解方程: 17.(6分)生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当50°≤α≤70°时(α为梯子与地面所成的角),能够使人安全攀爬.现在有一长为6米的梯子AB,试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度AC.(结果保留两个有效数字,sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64) 18.(6分)如图,点E、F在BC上,∠B=∠C,AB=DC,且BE=CF. (1)求证:AF=DE. (2)判断△OEF的形状,并说明理由. 19.(6分)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000元,其中甲种蔬菜每亩获利2000元,乙种蔬菜每亩获利1500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少

上海市高三数学竞赛解答 供参考

2017年上海市高三数学竞赛()解答(供参 考) 一、填空题:(本大题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分) 1、函数y = lg[arcsin(2x 2-x )] 的定义域是__________,值域是__________ . 【答案】]121(∪)021-[,,,]2 πlg ∞(,- 【提示】求定义域:]10(∈2(2 ,-x)x ,求值域: ]2 π 0(∈2arcsin(2 ,-x)x . 2、数列{}n a 是递增数列,满足:a n +12+a n 2+81 = 18(a n +a n +1) + 2a n a n +1 , n = 1,2,……,而且a 1 = 1,则数列{}n a 的通项公式a n = __________ . 【答案】a n = (3n -4)2 或者 (3n -2)2 【提示】(方法一)找规律+数学归纳法 / 代入检验。 计算可得:

归纳得:a n = (3n -4)2 或者 (3n -2)2(数学归纳法证明 / 代入检验略)。 (方法二)严格推导(注意舍去增根) 原方程变形可得:a n +12-(2a n +18)a n +1+a n 2-18a n +81 = 0 ; 由求根公式可得:2 1+)3±(=6±9=n n n n a a a a + ; 开方可得:|3±|=1+n n a a ; 计算可得:a 2 = 4或者16,当a 2 = 4,a 3 = 25;当a 2 = 16,a 3 = 49,

由已知数列{}n a 是递增数列,所以当n ≥ 3,n ∈N *时,3±= 1+n n a a , 进而3=1++n n a a , (小根不满足“数列{}n a 是递增数列”因此舍去); 可证数列n a 从第三项开始等差数列,验证可得前两项也符合,本题有两解。 3、用一张正方形纸片(不能裁剪)完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥,则这个正方形的边长至少是__________ . 【答案】2 2 6+ 【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开,把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来,使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面,那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。 4、一个口袋中有10张卡片,分别写着数字0,1,2,……,9 ,从中任意

创新杯数学建模竞赛题

2011年天津工业大学“创新杯”数学建模竞赛赛题 要求:1.在A、B、C题中选择一题; 2.按以下格式加封面,在答卷中不得出现班级、姓名等; 3.如不愿意参加假期培训(7.9—7.23)和全国大学生数学建模竞赛的必须在封面声明,不愿自费参加竞赛的同学也请在封面声明; 4.参赛选手务必于2011年6月13日11时之前将纸质版论文上交,老校区同学交到主楼A座606,新校区同学交到第一公共教学楼B区314。

编号:(同学不得填写) ------------------------------------------------------------------- 编号: 队员姓名:队员一:__________________ 班级:___________学号:___________ 队员二:___________________班级:___________学号:___________ 队员三:___________________班级:___________学号:___________ (附:不愿意参加假期培训(7.9—7.23)和全国大学生数学建模竞赛)

A题:一种汽车比赛的最优策略 汽车运动是当前世界上一项重要的体育项目。这项运动比传统的体育项目更具综合性,尤其涉及科学技术的各个方面。数学物理科学在这个项目中自然十分重要。当然,汽车运动的比赛项目也十分丰富。其中的速度赛和节油赛就是两项基本比赛。有人设计了如下的两个比赛项目: 项目1:给汽车加一定量的燃油,在一定的路面及其风速环境下汽车行驶路程最远。 项目2:给汽车加一定量的燃油,在一定的路面及其风速环境下,在确定的比赛路段内,汽车行驶时间最短。 上述两个比赛项目的要点是比赛者应设计自己的最优比赛策略,既是给出定量燃油的消耗速率v(t), 尽量使上述两个项目达到最优效果。既是得到尽量好的比赛成绩。 请在合理的路面阻力和其他阻力假设下建立数学模型,并求出上述两个问题(项目)的最优策略,既是定量燃油的最优消耗律v(t)函数。 当汽车还有能量输入(例如:太阳能)时,如何修正数学模型。

希望杯八年级数学竞赛试题及答案

全国数学邀请赛初二第一试 一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。 1.下列运动属于平移的是() (A)乒乓球比赛中乒乓球的运动.(B)推拉窗的活动窗扇在滑道上的滑行. (C)空中放飞的风筝的运动.(D)篮球运动员投出的篮球的运动. 2.若x=1满足2m x2-m2x-m=0,则m的值是() (A)0.(B)1.(C)0或1.(D)任意实数. 3.如图1,将△APB绕点B按逆时针方向旋转90 后得到△A P B ''',若BP=2,那么PP'的长为( ) (A )(B (C)2 .(D)3. 4.已知a是正整数,方程组 48 326 ax y x y += ? ? += ? 的解满足x>0,y<0,则a的值是() (A)4 .(B)5 .(C)6.(D)4,5,6以外的其它正整数. 5.让k依次取1,2,3,…等自然数,当取到某一个数之后,以下四个代数式:①k+2;②k2;③2 k;④2 k 就排成一个不变的大小顺序,这个顺序是() (A)①<②<③<④.(B)②<①<③<④. (C) ①<③<②<④.(D) ③<②<①<④. 6.已知1个四边形的对角线互相垂直,且两条对角线的长度分别是8和10 , 那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是() (A)40 .(B )(C)20.(D ). 7.Let a be the length of a diagonal of a square, b and c be the length of two diagonals of a rhombus respectively. If b:a=a:c,then the ratio of area of the square and rhombus is ( ) (A)1:1.(B)2 (C)1 (D)1:2. (英汉词典:length长度;diagonal对角线;square正方形;rhombus菱形;respectively分别地;ratio比;area面积) 8.直角三角形有一条边长为11,另外两边的长是自然数,那么它的周长等于().(A)132.(B)121.(C)120.(D)111. 9.若三角形三边的长均能使代数式是x2-9x+18的值为零,则此三角形的周长是().(A)9或18.(B)12或15 .(C)9或15或18.(D)9或12或15或18. 10.如图2,A、B、C、D是四面互相垂直摆放的镜子,镜面向内,在镜面D上放了写有字母“G”的纸片,某人站在M处可以看到镜面D上的字母G在镜面A、B、C中的影像,则下列判断中正确的是()(A)镜面A与B中的影像一致.(B)镜面B与C中的影像一致. (C)镜面A与C中的影像一致.(D)在镜面B中的影像是“G”. 二、A组填空题(每小题4分,共40分) 11.如图3,在△BMN中,BM=6,点A、C、D分别在MB、BN、MN上,且四边形ABCD是平行四边形,∠NDC=∠MDA,则 ABCD的周长是. 12.如果实数a ≠b,且101 101 a b a b a b ++ = ++ ,那么a b +的值等于.

2000年弘晟杯上海初中数学竞赛试题1

2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 ................................................................... 1 2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题....................................................................... 4 2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 ................................................................................ 8 2003年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 .................................................................. 11 2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 ...................................................................... 13 2004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题 (16) 2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 一、填空题(每小题7分,共70分.) 1.如图,已知□ABCD 中,过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G .若BE =5,EF =2,则FG 的长是 . 2.有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ,已知A 、B 的底面 边长均为3,C 、D 的底面边长均为a ,A 、C 的高均为3,B 、D 的高均为a ,在只知道a ≠3,且不考虑容器壁厚度的条件下,可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和 3,若n 的十进位制表示为99……9(20个9),则n 3 的十进位制表示中含有数码9的个数是 . 4.在△ ABC 中,若AB =5,BC =6,CA =7,H 为垂心,则AH 的长为 . 5.若直角三角形两直角边上中线的长度之比为m ,则m 的取值范围是 . 6.若关于x 的方程|1-x|=mx 有解,则实数阴的取值范围是 7.从1 000到9 999中,四个数码各不相同,且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个. 8.方程 4 3 xy 1-y 1x 12=+的整数解(x ,y)= 9.如图,正△ABC 中,点M 、N 分别在AB 、AC 上,且AN =BM ,BN 与CM 相交于点O .若S △ABC =7,S △OBC =2则 BA BM = 10.设x 、y 都是正整数,且使100x 116-x ++=y 。则y 的最大值 为 二、(16分)求所有满足下列条件的四位数:能被111整除,且除得的商等于该四位数的各位数之和.

2019年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题(附解答)

2019年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷 (2019年3月22日 星期日 上午8:30~10:30) 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分) 1. 设1210,, ,(1,)a a a ∈+∞,则 1210 1210 20092009 2009 2009log log log log a a a a a a +++的最小值是 。 2. 已知,*x y N ∈,且1 2121999x y -+++=++++,则将y 表示成x 的函数,其解 析式是y = 。 3. 已知函数2 ()|2|f x x =-,若()()f a f b =,且0a b <<,则ab 的取值范围是 。 4. 满足方程2 2 22 13log [2cos ()]2cos ()4 xy y y xy + =-++的所有实数对(,)x y = 。 5. 若 []a 表示不超过实数 a 的最大整数,则方程 2 [tan ]2sin x x =的解是 。 6. 不等式22 3242x x ≤?+?的解集是 。 7. 设A 是由不超过2009的所有正整数构成的集合,即{1,2, ,2009}A =,集合L A ?, 且L 中任意两个不同元素之差都不等于4,则集合L 元素个数的最大可能值是 。 8. 给出一个凸10边形及其所有对角线,在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中,至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个。 二、解答题 9.(本题满分14分)设函数()f x 定义于闭区间[0,1],满足(0)0,(1)1f f ==,且对任意 ,[0,1],x y x y ∈≤,都有22( )(1)()()2 x y f a f x a f y +=-+,其中常数a 满足01a <<,求a 的值。 10. (本题满分14分)如图,A 是双曲线2 214 x y -=的右顶点,过点A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,M N ,问直线MN 这样的定点,请说明理由;如果存在这样的定点P 11. (本题满分16分)设,A B 是集合12345{,,,,}a a a a a 的两个不同子集,使得A 不是B 的 子集,B 也不是A 的子集,求不同的有序集合对(,)A B 的组数。 12. (本题满分16分)设正整数构成的数列{}n a 使得1091081019k k k a a a --++ +≤对一切

2014年广西创新杯高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准

2014年广西“创新杯”数学竞赛高二初赛试卷参考答案及评分标准 一、选择题(每小题6分,共36分) 1、函数x x x y +-=)1(的定义域为( ) A.{|0}x x ≥ B.{|1}x x ≥ C.{|1}{0}x x ≥ D.{|01}x x ≤≤ 答案:C 解析:由(1)0,0x x x -≥≥解得:1x ≥或0x =. 2、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( ) A. B. C.6 D.4 答案:C 解析:几何体为三棱锥P ABC -,底面ABC 为等腰三角形,,4AB BC AC ==,顶点B 到AC 的距离为4,面PAC ⊥面ABC ,且三角形PAC 为以A 为直角的等腰直角三角形,所以棱PB 最长,长度为6。 3、在区域22:(1)4D x y -+≤内随机取一个点,则此点到点(1,2)A 的距离大于2的概率是( ) A.13+ B.32π C.13 D.13-答案:A 解析:如图,因为A 点在圆22(1)4x y -+=上,所以到点(1,2)A 的距离大于2的点构成的区域是区域D 内去除它与区域22(1)(2)4x y -+-≤公共部分剩 下的部分,剩下部分的面积为144242433πππ??-??-?=+ ??? ,故 所求事件的概率为41343ππ+=+。 4、已知A 为ABC ?的最小内角,若向量

222211(cos ,sin ),( ,),cos 1sin 2 a A A b A A ==+-则a b ?的取值范围是 ( ) A .1(,)2-∞ B .1(1,)2- C .21[,)52- D . 2[,)5-+∞ 解:选C. 22222222222cos sin cos sin 1tan 31cos 1sin 22cos sin 2tan tan 2 A A A A A a b A A A A A A --?=+===-+-+++, (0,]3A π∈,tan A ∴∈.21[,)52a b ∴?∈- 5、设x x x f +=3)(,R x ∈,当20πθ≤ ≤时,0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立, 则实数m 的取值范围是( ) A.)1,0( B. )0,(-∞ C. )2 1,(-∞ D. )1,(-∞ 解:选D 因为函数)(x f 是奇函数,所以不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立转化为)1()sin (->m f m f θ,又)(x f 是增函数,所以1sin ->m m θ在]2 ,0[π 上恒成立。当0≥m 时,只要10->m ,解得10<≤m ,当0

新知杯历年上海市初中数学竞赛试卷及答案试题全与答案分开

2013上海市初中数学竞赛(新知杯) 1.已知7 21 ,721-=+= b a ,则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ,._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、,,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ,FD 的延长线交AC 的延长线于G ,则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式;当1a x =或者 5432a a a a x +++=时,5)(=x f , 当21a a x +=时,,)(p x f =当543a a a x ++=时,q x f =)(,则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15,则这个三位数为 ___________. 6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根,则m 的取值范围是_________________. 7.已知四边形ABCD 的面积为2013,E 为AD 上一点,CDE ABE BCE ???,,的重心分别为321,,G G G ,那么321G G G ?的面积为________________. 8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ,延长DC 到P 使得2=CP ,过B 作AP BF ⊥交CD 于E ,交AP 于F ,则._________=DE 二、解答题(第9题、第10题15分,第11题、第12题20分) 9.已知?=∠90BAC ,四边形ADEF 是正方形且边长为1,求CA BC AB 111++的最大值.

2016年上海市高中数学竞赛试题及答案

2016年上海市高中数学竞赛试题及答案 一、填空题(本题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分) 1.已知函数()2f x ax bx c =++(0a ≠,,,a b c 均为常数),函数()1f x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴对称,函数()2f x 的图象与函数()1f x 的图象关于直线1y =对称,则函数 ()2f x 的解析式为 . 答案:()22 2.f x ax bx c =-+-+ 解 在函数()y f x =的表达式中用x -代替x ,得()2 1f x ax bx c =-+,在函数()1y f x =的 表达式中用2y -代替y ,得()2 2 2.f x ax bx c =-+-+ 2.复数z 满足1z =,2 22 3w z z =-在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程是 . 答案:2 2 1.25 y x += 解 设,z a bi w x yi =+=+,则22 1a b +=, ()()()() ()()()()()2 2 2 2 2 2 22 2222 333210. a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a b abi -+=+- =+- ++-=+--=-+ 从而2 2 ,10x a b y ab =-=,于是()22 2 22224 1.25 y x a b a b +=-+= 3.关于x 的方程arctan 2arctan 26 x x π --= 的解是 . 答案:2log x = 解 因为( )()tan arctan 2tan arctan 2221x x x x --?=?=,所以arctan 2arctan 22 x x π -+= , 解得arctan 2,arctan 23 6 x x π π -= = ,则22log x x == 4.红、蓝、绿、白四颗骰子,每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6,则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36,共有 种可能. 答案:48.

第十五届“创新杯”数学建模竞赛赛题

第十五届“创新杯”大学生数学建模竞赛赛题 一、A—D题2018 年“深圳杯”数学建模挑战赛赛题 A题-人才吸引力评价模型研究 B题-无线回传拓扑规划 C题-人体减重机制调控模型及健康效用研究 D题-基于多源监测数据的道路交通流状态重构研究 二、E题 空气污染物的数据特性和相关性分析 雾霾常见于城市, 雾霾的源头多种多样,比如汽车尾气、工业排放、建筑扬尘、垃圾焚烧,甚至火山喷发等等,雾霾天气通常是多种污染源混合作用形成的。但各地区的雾霾天气中,不同污染源的作用程度各有差异。中国不少地区将雾并入霾一起作为灾害性天气现象进行预警预报,统称为“雾霾天气”。 雾霾现在几乎避无可避,其成分中PM2.5和PM10都属于可吸入颗粒物,两者都含有毒、有害物质,而且都能在大气中长期漂浮,输送距离远,对人体健康和空气污染影响大。PM2.5和PM10这两种物质的含量常被用来作为重要的检测指标。 E题附件是某省辖市在其各10个区县布设的检测设备(一个设备号代表一个检测站)采集的一段时间的PM2.5和PM10数据。请根据数据完成以下任务: 1.挑选某2-3个检测设备的采集数据,分析其PM 2.5和PM10含量的数据规律; 2.分析不同地区之间PM2.5和PM10数据的相关性; 3.建立合理的综合评价模型,根据10个区县各检测站的PM2.5和PM10数据,合理给出能够反映该省辖市每天各个时间段的PM2.5和PM10数据。 三、F题 大气污染问题 复旦大学经济学院、中国经济研究中心陈诗一教授和陈登科博士合作的论文“雾霾污染、政府治理与经济高质量发展”在国内权威经济学期刊《经济研究》2018年第2期作为封面文章发表,该论文也是陈诗一教授主持的国家社会科学基金重大项目“雾霾治理与经济发展方式转变机制研究”(项目批准号14ZDB144)的阶段性研究成果。这篇论文首次系统考察了雾霾污染对中国经济发展质量的影响及其传导机制,并估算了中国政府环境治理政策的减霾效果和政府环境治理对中国经济发展质量的影响。此项研究成果在推动中国经济发展方式转变和加快生态文明体制建设方面具有重要的理论价值和政策意义。 F题附件(1、2)为某城市2016年的大气监测数据(数据已做脱敏处理),请结合各监测点的数据,完成以下问题: 1.根据所给数据进行分析,大气污染主要和哪些因素有关, 2.对整个城市的大气污染状况的整体规律进行分析。 3.对各监测点之间的污染状况的相关关联性进行分析。

历届(第1-23届)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案

“希望杯”全国数学竞赛(第1-23届) 初一年级/七年级 第一/二试题

目录 1.希望杯第一届(1990年)初中一年级第一试试题......................003-005 2.希望杯第一届(1990年)初中一年级第二试试题......................010-012 3.希望杯第二届(1991年)初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。-020 4.希望杯第二届(1991年)初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。-026 5.希望杯第三届(1992年)初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。-032 6.希望杯第三届(1992年)初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。-040 7.希望杯第四届(1993年)初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。-050 8.希望杯第四届(1993年)初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。-058 9.希望杯第五届(1994年)初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。-066 10.希望杯第五届(1994年)初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。-073 11.希望杯第六届(1995年)初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。-080 12希望杯第六届(1995年)初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。-087 13.希望杯第七届(1996年)初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。-098 14.希望杯第七届(1996年)初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。-105 15.希望杯第八届(1997年)初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。-113 16.希望杯第八届(1997年)初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。-120 17.希望杯第九届(1998年)初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。-129 18.希望杯第九届(1998年)初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。-138 19.希望杯第十届(1999年)初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。-147 20.希望杯第十届(1999年)初中一年级第一试试题.....................148-151 21.希望杯第十一届(2000年)初中一年级第一试试题..... 错误!未定义书签。-161 22.希望杯第十一届(2000年)初中一年级第二试试题..... 错误!未定义书签。-169 23.希望杯第十二届(2001年)初中一年级第一试试题..... 错误!未定义书签。-174 24.希望杯第十二届(2001年)初中一年级第二试试题..... 错误!未定义书签。-178 25.希望杯第十三届(2002年)初中一年级第一试试题..... 错误!未定义书签。-184

20xx小学六年级创新杯数学竞赛试题.doc

第十届“创新杯”全国数学邀请赛 小学六年级试卷 一、选择题 (4 分× 10=40 分)(以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的) 。 1.2012+2011-2010-2009+2008+2007-2006-2005+ +4+3-2-1=( ) A .2012 B .2010 C .4020 D .4048 2.有 n 个自然数(数可以重复)其中包括 2012,不包括 0,这 n 个自然数的平 均数是 572。如果去掉 2012 后,剩下 n-1 个数的平均数为 412,那么这 n 个 数中最大的数可以是( ) A .2012 B . 4024 C .3700 D .3800 1 3333 1 1 7 ) 3.计算 9999 6666 2012 的结果为( 6 2 9 9 A .3333 B .1331 C .1332 D .1321 4.某次知识竞赛共 5 道题,全班 52 人,答对一题得 1 分。已知全班共得 181 分。已知每人至少得 1 分,且得 1 分的有 7 人,得 2 分和得 3 分的人一样多, 得 5 分的人有 6 人,则得 4 分的有( )人。 A .25 B .30 C . 31 D .35 5.李军有一个闹钟,但它走时不准,这天下午 6∶ 00 把它对准北京时间,可到 晚上 9∶00 时,它才走到 8∶ 45。第二天早上李军看闹钟走到 6∶17 的时候 赶去上学,这时候北京时间为( ) A .7∶15 B .7∶24 C . 7∶ 30 D .7∶35 6.A 、B 、C 为正整数,且 A 1 24 ,则 A+2B+3C= ( ) B 1 5 C 1 A .10 B .12 C .14 D .15 7.下列图形,第 10 个图中△比○多( )个 A .44 B .60 C .56 D .45 ( ) ( 2 ( 3 1 8.某校学生到郊外植树,已知老师是学生人数的 ) 1 。若每位男生种 13 棵树,女 3 生每人种 10 棵树,每个老师种 15 棵树,他们共种了 204 棵树,那么老师有 ( )人。 A .6 B .7 C .5 D .4 9.如图,每个小方格面积为 1,那么△ ABC 面积为( ) A .10 B .11 C .12 D .11.5 A

希望杯全国数学竞赛初二决赛试题与答案

第十八届“希望杯”全国数学邀请赛 初二 第二试 2007年4月15日 上午8:30至10:30 一、 选择题(本大题共10小题,每小题4分,菜40分。)以下每题的四个选项中,仅有 一个是正确的,请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。 1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人胶将红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前,如图1所示,红丝带重叠部分形成的图形是( ) (A )正方形 (B )矩形 C )菱形 (D )梯形 2、设a 、b 、C 是不为零的实数,那么|||||| a b c x a b c = +- 的值有( ) (A )3种 (B )4种 (C )5种 (D )6种 3、ABC ?的边长分别是2 1a m =-,2 1b m =+,()20c m m =>,则ABC ?是( ) (A )等边三角形 (B )钝角三角形 (C )直角三角形 (D )锐角三角形 4、古人用天干和地支记序,其中天干有10个;甲乙丙丁戊己庚辛壬癸,地支有12个;子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥,将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行; 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…… 从左向右数,第1列是甲子,第2列是乙丑,第3列是丙寅……,我国的农历纪年就是按这个顺序得来的,如公历2007年是农历丁亥年,那么从今年往后,农历纪年为甲亥年的那一年在公历中( ) (A )是2019年, (B )是2031年, (C )是2043年, (D )没有对应的年号 5、实数 a 、b 、m 、n 满足aN (B)M=N (C)M

上海市高中数学竞赛

上海市高中数学竞赛 说明:解答本试题不得使用计算器 一、填空题(本题满分60分,前4小题每题7分,后4小题每题8分) 1.方程组2 71211x x y x y ++?=??+=??的解集为 . 2.在平面直角坐标系中,长度为1的线段AB 在x 轴上移动(点A 在点B 的左边),点P 、Q 的坐标分别为(0,1)、(1,2),则直线AP 与直线BQ 交点R 轨迹的普通方程为 . 3.已知M 是椭圆x 216+y 29=1在第一象限弧上的一点,MN ⊥y 轴,垂足为N ,当△OMN 的面积最大时,它的内切圆的半径r = 4.已知△ABC 外接圆半径为1,角A 、B 、C 的平分线分别交△ABC 外接圆于A 1、B 1、C 1,则 AA 1cos A 2+BB 1cos B 2+CC 1cos C 2sin A +sin B +sin C 的值为 . 5.设f (x )=a sin[(x +1) π]+b 3x -1+2,其中a 、b 为实常数,若f (lg5)=5,则f (lg20)的值为 . 6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A (3,a ),B (3,b )使∠AOB =45°,其中a 、b 均为整数,且a b >,则满足条件的数对(a ,b )共有 组. 7.已知圆C 的方程为x 2+y 2-4x -2y +1=0(圆心为C ),直线y =(tan10°)x +2与圆C 交于A 、B 两点,则直线AC ,BC 倾斜角之和为 . 8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜2局才最后获胜;乙必须再胜3局才最后获 胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为12,则甲最后获胜的概率是 . 二、解答题: 9.(本题满分为14分)对于两个实数a 、b ,min{a ,b }表示a 、b 中较小的数,求所有非零实数x , 使min{x +4x ,4}≥8·min{x ,1x }. 10. (本题满分为14分)如图,在△ABC ,Q 为BC 中点,点M ,N 分别在边AB ,AC 上,且

1-19届希望杯数学竞赛初一[整理完整可以出书!]

目录 希望杯第一届(1990年)初中一年级第一试试题 一、选择题(每题1分,共10分) 1.如果a,b都代表有理数,并且a+b=0,那么( ) A.a,b都是0.B.a,b之一是0.C.a,b互为相反数.D.a,b互为倒数. 2.下面的说法中正确的是( ) A.单项式与单项式的和是单项式.B.单项式与单项式的和是多项式. C.多项式与多项式的和是多项式.D.整式与整式的和是整式.

3.下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数. B .没有最小的正有理数. C .没有最大的负整数. D .没有最大的非负数. 4.如果a ,b 代表有理数,并且a +b 的值大于a -b 的值,那么 ( ) A .a ,b 同号. B .a ,b 异号. C .a >0. D .b >0. 5.大于-π并且不是自然数的整数有 ( ) A .2个. B .3个. C .4个. D .无数个. 6.有四种说法: 甲.正数的平方不一定大于它本身;乙.正数的立方不一定大于它本身; 丙.负数的平方不一定大于它本身;丁.负数的立方不一定大于它本身. 这四种说法中,不正确的说法的个数是 ( ) A .0个. B .1个. C .2个. D .3个. 7.a 代表有理数,那么,a 和-a 的大小关系是 ( ) A .a 大于-a . B .a 小于-a . C .a 大于-a 或a 小于-a . D .a 不一定大于-a . 8.在解方程的过程中,为了使得到的方程和原方程同解,可以在原方程的两边( ) A .乘以同一个数.B .乘以同一个整式.C .加上同一个代数式.D .都加上1. 9.杯子中有大半杯水,第二天较第一天减少了10%,第三天又较第二天增加了10%,那么,第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A .一样多. B .多了. C .少了. D .多少都可能. 10.轮船往返于一条河的两码头之间,如果船本身在静水中的速度是固定的,那么,当这条河的水流速度增大时,船往返一次所用的时间将( ) A .增多. B .减少. C .不变. D .增多、减少都有可能. 二、填空题(每题1分,共10分) 1. 2111516 0.01253(87.5)(2)4571615 ?- ?-÷?+--= ______. 2.2-2=______. 3.2481632 (21)(21)(21)(21)(21) 21 +++++-=________. 4. 关于x 的方程 12 148 x x +--=的解是_________. 5.1-2+3-4+5-6+7-8+…+4999-5000=______. 6.当x=- 24 125 时,代数式(3x 3-5x 2+6x -1)-(x 3-2x 2+x -2)+(-2x 3+3x 2+1)的值是____. 7.当a=-0.2,b=0.04时,代数式 272711 ()(0.16)()73724 a b b a a b --++-+的值是______. 8.含盐30%的盐水有60千克,放在秤上蒸发,当盐水变为含盐40%时,秤得盐水的重是______克.

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