2014年北京市顺义区高三二模数学(理)试卷Word版带解析

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北京市顺义区2014届高三4月第二次统练（二模）

数学（理科）试卷 2014.4

本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后将答题卡交回.

第一部分（选择题 共40分）

一、 选择题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符

合题目要求的一项. 1.复数(1)i i -等于

A.1i +

B. 1i -+

C.1i --

D.1i - 解析：(1)1i i i -=-

难度系数：2

知识点：推理与证明、数系的扩充与复数------复数------复数乘除和乘方 答案：D

2.已知2log 3a =，12

log 3b =，12

3

c -=，则

A.c b a >>

B. c a b >>

C.a b c >>

D.a c b >> 解析：1;0;01a b c ><<<

难度系数：3

知识点：函数与导数-----基本初等函数与应用-------对数与对数函数 答案：D

3.已知向量(1,1)a = ，(1,1)b =-

，若ka b - 与a 垂直，则实数k =

A.1-

B. 0

C.1

D.2

解析：(1,1),()1100ka b k k ka b b k k k -=+--?=++-=∴=

难度系数：3

知识点：平面向量------数量积及其应用------数量积的定义 答案：B

4.如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，那么这个几何体的侧面积为

A.8π

B. 4π

C.2π

D.π

解析：该几何体是圆柱，侧面积是矩形224S ππ=?= 难度系数：2

知识点：立体几何-----空间几何体------空间几何体的表面积与体积

答案：B

5.“0?=”是“函数sin()y x ?=+为奇函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：“0?=” 可得“函数sin()y x ?=+为奇函数”；“函数sin()y x ?=+为奇函数”

,k k Z ?π=∈,所以是充分不必要条件。

难度系数：3

知识点：集合与常用逻辑用语------常用逻辑用语-----充分与必要条件 答案：A

6. 执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的

值是 A ．2 B ． 5 C ． 11 D ． 23

解析：第一次循环y=5，3x y -=；第二次循环y=11，6x y -=；第三次循环y=23，12x y -=；输出y 的值。 难度系数：3

知识点：算法与框图-----算法和程序框图 答案：D

7.已知双曲线22

21x y a

-=（0a >），与抛物线24y x =的准线交于,A B

两点，O 为坐标原点，若AOB 的面积等于1，则a =

A ．2

B ． 1

C ．

2

2

D ． 12

解析：AOB 是等腰三角形，根据面积得A 点坐标(1,1)-，带入双曲线方程a=

2

2

难度系数：3

知识点：解析几何-----圆锥曲线----双曲线；解析几何-----圆锥曲线----抛物线 答案：C

8.已知函数[]0,

()(1)0,x x x f x f x x -≥?=?+

其中[]x 表示不超过x 的最大整数，

（如[ 1.1]2-=-,[]3π=,???）.若直线(1)(0)y k x k =+>与函数()y f x =的图象恰有

三个不同的交点，则实数k 的取值范围是

A ．11[,)54

B ．11[,)43

C ． 11[,)32

D ．(0,1]

解析：做出函数图像，函数是以1为周期的函数，直线恒过（-1,0），当直线过点（2,1）有三个交点，13k =

，当直线过点（3,1）有四个交点14k =，所以k 的取值范围是11[,)43

难度系数：4

知识点：函数与导数-------函数------函数的方程 答案：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.在极坐标系中，点(2,

)6

π

到极轴的距离是______.

解析：点到极轴的距离2sin

16

π

=3

难度系数：2

知识点：解析几何----------极坐标---------极坐标系 答案：1

10.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若11a =，34a =，则2________;a = 此数列的其前n 项和__________.

n S =

解析：2

31211(1)42,2,211n n n a a q q q a a q S a q

-==∴=====--

难度系数：2

知识点：数列-------等比数列 答案：2, 21n

-

11.如图，AB 是圆O 的直径，2AB =，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C .若DA DC =，

则________;BDC ∠=__________.BC =

解析：0

30,1A C BDC BDC BC ∠=∠=∠∴∠== 难度系数：3

知识点：解析几何--------几何证明选讲------圆 答案：0

30， 1

C

A

B

O D

12.对甲、乙、丙、丁4人分配4项不同的工作 A 、B 、C 、D ，每人一项，其中甲不能承担A 项工作，那么不同的工作分配方案有_________种.（用数字作答）

解析：从乙、丙、丁三人中选一人承担A 工作，其余三人做B,C,D 三项工作。共有13

3318C A ?=

难度系数：3

知识点：概率与统计-------排列组合与二项式定理--------排列组合综合应用 答案：18

13.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若6a c ==，3

sin 23

B =

， 则cos _______;B =________.b =

解析：222

2

1cos 12sin

,cos 22232B a c b B B b ac

+-=-==∴= 难度系数：3

知识点：三角函数-------解三角形----------余弦定理 答案：1,223

14.已知点(,)M a b 在由不等式0,0,2,x y x y ≥??

≥??+≤?

确定的平面区域内，则点(,)N a b a b -+所在的

平面区域面积是________.

解析：022

02

2

222x y

x y a x a b y x y a b y x b x y y x +?≥?+?

?=

?=-?-??∴∴≥???=+-???=?+-??+≤??

做出平面区域，围城三角形的面积4

难度系数：4

知识点：不等式--------线性规划--------线性规划 答案：4

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）

已知函数()sin cos cos 2f x a x x x =-的图象过点(,0)8

π

.

（Ⅰ）求实数a 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及最大值.

知识点：三角函数------三角函数---------三角函数的图像和性质 难度系数：3

16. （本小题共13分）

甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”， 在相同的条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：

甲 86 77 92 72 78 乙 78 82 88 82 95 （Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；

（Ⅱ）现要从甲乙二人中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不

用计算）；

（Ⅲ）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于80

分的次数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .

知识点：概率与统计--------统计------用样本估计总体；概率与统计------------概率-----------随机

变量的期望和方差 难度系数：3

17. （本小题共14分）

如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2PA AB ==，

22PB PD ==，点E 在PD 上，

且1

3

PE PD =

. （Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段BC 上存在点F ，

使PF ∥平面EAC ，并求BF 的长.

知识点：立体几何----------点线面位置关系的判定------垂直；立体几何=====空间向量---------空间的角 难度系数：3

18. （本小题共13分）

已知函数2()x

x ax a

f x e ++=，其a 中为常数，2a ≤.

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；

（Ⅱ）是否存在实数a ,使()f x 的极大值为2?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 知识点：函数与导数-------导数---------导数的概念和几何意义；函数与导数-------导数-------利用导数球最值和极值

E

P

A

D

B

C

难度系数：3

19. （本小题共14分）

已知椭圆E 的两个焦点分别为(1,0)-和(1,0),离心率22

e =. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）设直线:l y x m =+（0m ≠）与椭圆E 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时,求TAB 面积的最大值. 知识点：解析几何--------圆锥曲线----------椭圆 难度系数：3

20. （本小题共13分）

已知集合{}123,,,n A a a a a =???，123(0,,3)n a a a a n N n +≤<<

②1232

n n n

a a a a a +++???+=

； （Ⅲ）当3,4n =或5时集合A 中的数列{}n a 是否一定成等差数列?说明理由. 知识点：数列--------数列综合 难度系数：5

北京市顺义区2014届高三4月第二次统练（二模） 高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

A

D

B

B

A

D

C

B

二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)其它答案参考给分

9.1；10．2, 21n -；11. 0

30， 1；12．18；13．1,223

；14. 4

三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由已知函数()sin cos cos2f x a x x x =-

sin 2cos 22

a

x x =

- ————3分 ()f x 的图象过点(,0)8π，∴sin cos 0244

a ππ

-=，————5分

解得2a =————7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得函数()sin 2cos 22sin(2)4

f x x x x π

=-=

-———9分

∴最小正周期22

T π

π=

=，———11分 最大值为2.————13分 16.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）茎叶图

————3分

（Ⅱ）由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，且乙的最高分高于甲的

最高分，因此应选派乙参赛更好.

————6分 （Ⅲ）记甲“高于80分”为事件A ，∴2()5

P A =

∴X B 2(3,)5，3322

()()(1)55k k k P x k C -==-————8分

X 的可能取值为0,1,2,3.

分布列为： X 0

1

2

3

P

27

125 54125 36125 8125

————11分

6

5

EX =

————13分 17．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）证明： 2PA AB ==，22PB =，

∴222PA AB PB +=

∴PA AB ⊥，同理PA AD ⊥————2分

又AB AD A = ，∴PA ⊥平面ABCD .———4分

（Ⅱ）以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，

则24(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,,)33

A B C D P E ———6分

平面ACD 的法向量为(0,0,2)AP =

，

设平面EAC 的法向量为(,,)n x y z =

———7分

62

5

78822872

9

8乙

甲

E

P

A

D

B

C

24(2,2,0),(0,,)33AC AE == ，由00n A C n A E

??=?

??=??

，∴020x y y z +=??+=?，取2

21x y z =??=-??=?

∴(2,2,1)n =-

，———8分

设二面角E AC D --的平面角为θ

1

cos 3

||||n AP n AP θ?==?

，∴二面角E AC D --的余弦值为13.———10分 （Ⅲ）假设存在点F BC ∈，使PF ∥平面EAC ， 令(2,,0)F a ，(02)a ≤≤ ———12分

∴(2,,2)PF a =-

由PF ∥平面EAC ，∴0PF n ?= ，解得1a =

∴存在点(2,1,0)F 为BC 的中点，即1BF =. ———14分

18．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）1a =，21()x

x x f x e

++=，∴(0)1f =，———1分 22'

2(21)(1)(1)

()x x x x x

x e e x x x x x x f x e e e

+-++-+--===，∴'(0)0f =———3分 则曲线在(0,(0))f 处的切线方程为1y =.———5分

（Ⅱ）2'

2(2)()[(2)]

()x x x x

x a e e x ax a x x a f x e e

+-++---== '()0f x =的根为0,2a -，———6分

2a ≤，∴20a -≥

当2a =时，2

'

()0x x f x e

-=≤，∴()f x 在(,)-∞+∞递减，无极值；——8分

当2a <时，20a ->，()f x 在(,0),(2,)a -∞-+∞递减，在(0,2)a -递增；

∴2(2)(4)a f a a e --=-为()f x 的极大值，———10分

令2

()(4)a u a a e

-=-，(2)a <，'2

()(3)0a u a a e

-=->

∴()u a 在(,2)a ∈-∞上递增，∴()(2)2u a u <=， ∴不存在实数a ，使()f x 的极大值为2.———13分

19．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）由已知椭圆的焦点在x 轴上，1c =，

2

2

c a =

， ∴2a =，1b =，———2分

∴椭圆E 的方程为2

212

x y +=———4分

（Ⅱ）22

12

y x m x y =+???+=??，消去y 得22

34220x mx m ++-= 直线l 与椭圆有两个交点，∴0> ，可得23m <（*）———6分

设11(,)A x y ，22(,)B x y

∴1243m x x +=-，212223m x x -=，弦长222||623

AB m =-，———8分 AB 中点2(,)33

m m

M -

， 设(,0)T x ，∴1AB MT k k ?=-，∴

31123

m m x ?=---， ∴3m x =-

∴(,0)3m T -， 2||

||3

m TM =———11分

∴222212239||||(62)2()29922

S AB MT m m m =

=-=--+ 23m <，∴232m =

时，max 2

3

S =，——14分 （或：2222

122(62)2||||(62)2992m m S AB MT m m -?==-=

222622()223229293

2m m -+≤=?=. ""=当且仅当232m =

时成立，max 2

3

S =.（用其它解法相应给分）

20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）

202,422,404,

000,220,440,

-=-=-=-=-=-=∴集合M 具有性质P ，

336A +=?，330A -=?，∴集合N 不具有性质P .———3分

（Ⅱ）由已知120n a a a ≤<

∴1210n n n n n n n a a a a a a a a --=-<-<-(1,2,32)i n =???-，∴n n i a a A --∈， ∴1211,,n n n n n n a a a a a a a a a -=-=-???=-———6分

将上述各式两边相加得12312()n n n a a a a na a a a +++???=-++???+

∴1232()n n a a a a na +++???=，即1232

n n n

a a a a a +++???=

；———8分 （Ⅲ）当3n =时，集合A 中的数列123,,a a a 一定是等差数列. 由（Ⅱ）知10a =，且1230a a a =<<，∴323a a a A +>? 故32a a A -∈，而这里323a a a -≠，反之若不然210a a ==

这与集合A 中元素互异矛盾，∴只能322a a a -=，即2333120a a a a a ==+=+

∴123,,a a a 成等差数列. ———9分

当4n =时，集合A 中的元素1234,,,a a a a 不一定是等差数列. 如{}0,1,2,3A =，A 中元素成等差数列，

又如{}0,2,3,5A =，A 中元素不成等差数列；———11分 当5时，集合A 中的元素12345,,,,a a a a a 一定成等差数列 证明：155545352510a a a a a a a a a a a ==-<-<-<-<- 令12540,a a a a ==-①353a a a =-② ②-①有4332a a a a -=-，且由①245a a a +=

43425a a a a a +>+=，∴43a a A +? ∴43a a A -∈

∴1433230a a a a a a =<-=-<，∴4332221a a a a a a a -=-==-

又254a a a =-，∴5443322210a a a a a a a a a -=-=-=-=-

∴12345,,,,a a a a a 成等差数列. ———13分