统计学相关概念

第1章绪论

1、统计学是以现象的数量特征为研究对象，利用自身特有方法，发现现象应有规律的一门方法论科学。

2、总体和总体单位

（1）总体：指具有相同性质的一组个体组成的集合。即根据一定目的确定的所要研究事物的全体。

（2）总体单位：简称单位，是组成总体的各个个体。它是构成总体的基础。

3、样本和样本单位

样本：从总体中获得的一个群或组。从总体中抽取出来，作为代表这一总体的部分单位组成的集合体。

4、标志和标志表现

（1）标志：用来描述总体单位的属性、特征的概念和数值。

（2）标志表现：各单位的属性或特征的具体表现

（3）标志的分类：

按表现形式分：①品质标志

②数量标志

按有无差异分：①不变标志

②可变标志

（可变的数量标志称为变量）

5、指标：是用于说明统计总体或样本数量特征的名称和数值的总和。

6、统计调查方法

单项数列

数量标志分组：变量分布数列等距数列

组距数列

异距数列

）

（指本组的次数与本组组距之比，异距数列中用到）

第2章 描述统计

1、集中趋势

（1）集中趋势是指一组数据向分布的中心集中的现象。描述集中趋势的实质是找出数据的集中点或中心值。

（2）数据分布集中趋势的测度指标称为平均指标。

算术平均数

调和平均数常见的平均指标 几何平均数中位数众数o M （3）计算公式

（x 、H 、G ①算术平均数x ：x =②调和平均数H ：H 0） ∑∏f

f x

故如果有一变量值为0，则计算结果为0）

存贷款的复利算法、产值等

处于中点位置的变量值就是中位数。

i f S f

m

m ?--∑12

（下限公式）

⑤众数o M ：总体中出现次数最多的数。

单项式数列：直接确定众数

组距数列：先确定众数位置，然后计算众数i L M o ??+??+

=2

11

（下限公式）

（4）中位数、众数和算术平均数的关系：x M M e o 23-=

（1）z 分数：通常被称为标准化值，表示观察值偏离平均数的标准差个数。σ

x

x z -=

（2）切贝谢夫定理：在任意一组数据中，至少有)/11(2

z -个数据落在与平均数z 倍标准差范围内，z 是大于1的任意数。

1、时间序列

2

时间序列3

（

（

1

2

11

...2

2

2

--

+

+

+

n n

f

f

f

f

4、长期趋势分析

（1

（2（3）长期趋势测定

时距扩大法：时距扩大法是把时间序列中各期指标数值按较长的时距加以归并，形成一个新的简化了的时间序列，从而呈现出现象

修匀法 序时平均法：先将原时间序列的时距扩大，然后计算扩大时间序列的平均发展水平，借以消除现象在短期内的波动，以便显示现象

移动平均法：对原时间序列按一定时间跨度逐项移动，并计算一系列的序时平均数，形成一个新的时间序列，以消除短期的、偶然

n

t b

n

y ∑∑-= 最小二乘法进行直线趋势外推

5、季节变动分析

（1）同期平均法：通过计算时间序列各年同季（月）的平均数与总平均数，然后用两者对比求出季节指数的一种方法，适用于没有明显趋势变动，而

只受季节变动和不规则变动影响的时间序列。

（2）移动平均剔除法：通过计算移动平均数，然后由原序列与移动平均序列对比来计算季节指数的方法。

第4

1、指数的概念

（1

（2

2、指数的分类

数量指标指数：是反映现象的总规模、水平或工作总量的相对数。

质量指标指数：是指反映现象相对水平或平均水平的变动的相对数。

定基指数：在一个指数数列中，如果各期指数以某一固定时期作为基期，则称为定基指数。

环比指数：在一个指数数列中，如果各期指数以它前一期作为基期，则称为环比指数。

个体指数：说明单个事物或现象在不同时期的变动程度的指数。

）

qp 总指数：说明多种事物或现象在不同时期的综合变动程度的指数。）

3

（1

（2

（③理想指数是对拉氏指数和帕氏指数直接进行平均型交叉的结果。

④马埃指数为了避免拉氏指数和帕氏指数的偏误，选择了基期和报告期同度量因素的平均值来计算指数。） （3）计算公式

数量指标指数∑∑=0

001p q p q K q （同度量因素为p ，固定在基期） 质量指标指数∑∑=

1

11q

p q p K

p

（同度量因素为q ，固定在报告期）

4、平均数指数的编制

（1）平均数指数是对个体指数的加权平均，有两种表现形式：一种是加权算术平均数指数，另一种是加权调和平均数指数。 （2）计算公式

加权算术平均数指数∑∑?=

0p

q p q K K q

q （总结：已知基期总量指标00p q 和个体指数q K ，可以运用加权算术平均数指数计算q K ）

加权调和平均数指数p q 11p q 和个体指数p K ，可以运用加权调和平均数指数计算p K ）

5（1 （2

②结构影响指数∑∑∑∑=

011

0f

f x f f x K

f

③固定结构指数∑∑∑∑=

1

1

011

1f

f x f f x K x

6、总量指标变动的因素分析

p q p q （1)()10110001∑∑∑-+-q p q p p q p q

+价格变动引起的销售额的变动额

（27

即x

f xf K K K ?=

)

()1

1

01

110

00∑∑∑∑∑∑-

+f

f x f

f

x f f x

第5章 抽样和抽样分布

1、几个基本概念

（1）总体和样本

（2）总体参数和样本统计量

①总体参数：根据全及总体各单位变量值计算的反映全及总体某数量特征的综合指标，由于全及总体唯一确定，所以称为总体参数。

总体参数包括：总体容量N ，总体平均数μ，总体成数P ，总体标准差σ，总体方差2

σ。

②样本统计量：根据样本总体各单位变量值计算的反映样本总体某数量特征的综合指标，由于样本不具唯一性，故称为样本统计量，它是一个随机变量。

样本统计量有：样本容量n ，样本平均数x ，样本成数p ，样本标准差S ，样本方差2

S 。

（3）大样本和小样本

样本容量小于30称为小样本，样本容量大于等于30称为大样本。 （4）重复抽样和不重复抽样

①重复抽样的抽样安排是对每次被抽到的单位经登记后再放回总体，重新参与下一次抽选的抽样方法。 ②不重复抽样的抽样安排是对每次被抽到的单位经登记后不再放回总体的抽样方法。 （5）抽样的各种组织形式

①简单随机抽样（或单纯随机抽样）是指从总体的说所有单位中按照随机原则抽取样本单位的方式，对于总体中的每个单位，被抽取的机会都是相等的。

②先对总体进行分层，抽样在每一层中独立进行，如果每层中的抽样都是按简单随机抽样进行，那么这种抽样就称为分层随机抽样。

③将总体划分为若干群，然后以群为单位从中按简单随机抽样方式或等距抽样方式抽取部分群，对中选群中的所有单位一一进行调查的抽样组织形式称为整群抽样。

④等距抽样是先将总体各单位按某一标志顺序排列，然后按照固定的顺序和相同的间隔来抽取样本单位的抽样组织方式。

⑤多阶段抽样是一种将抽取样本单位的过程划分为几个阶段，然后逐阶段抽取样本单位的抽样组织形式。 （6）随机变量

取值事先不能确定的变量称为随机变量。

①离散型随机变量：只能取有限个或可数个值的随机变量，称为离散型随机变量。

②连续型随机变量：可以取一个或多个区间中任何值的随机变量，称为连续型随机变量。

2、离散型随机变量

（1）离散型随机变量的表示方法

i i p x X P ==)(，其中0≥i p 且1=∑i p

（2）离散型随机变量的数学期望和方差

①离散型随机变量X 有i i p x X P ==)(，用∑=

xp X E )(表示X 的数学期望。一个随机变量的数学期望是对

该随机变量概率分布中心位置的度量，它反映了随机变量的平均取值。

②随机变量的方差定义为一个随机变量取值与期望值的离差平方之期望值。设随机变量为X ，其方差记为)(X D 。方差计算公式为∑?-=

p X E x X D 2

)]

([)(或22)]([)()(X E X E X D -=。

（3）常见的离散型随机变量 ①0-1分布（也称两点分布）

如果随机变量X 只可能取0和1两个值，它的概率分布为p X P ==)1(，q p X P =-==1)0(，则称X 服从参数为p 的两点分布，也称0-1分布，)10()(1<<==-p q p x X P x x 。

0-1分布的数学期望为p ，方差为)1(p p -。 ②二项分布

在n 次独立的试验中，（n 重贝努里试验）出现“成功”的次数的概率为k

n k k n q p C k X P -==)(， 则称随机变量X

服从参数),(p n 的二项分布，记作),(~p n B X 。

二项分布的数学期望为np X E =)(，方差为)1()(p np X D -=。

3、连续型随机变量

（1）连续型随机变量的概率密度函数和分布函数 ①概率密度函数

设X 是一连续随机变量，它代表某一区间或多个区间中的任意数值，它的概率分布通过概率密度函数来表述，记作)(x f 。连续型随机变量在给定区间内取值的概率对应的是概率密度函数)(x f 曲线（或直线）在该区间上围成的面积。

概率密度函数满足以下两个条件：0)(≥x f ；

?

+∞

∞

-=1)(dx x f 。

)()212x X x P x ≤<=。

?

∞

-=

≤x

dt t f x )()。

；）X F (是一个单调非减的函数。

2

2

)(21μσ

--

x ，+∞<<∞-x ，则称X 为正态随机变量，或称X 服

；曲线与横轴所围面积为1。（其他性质略）

如果正态分布的随机变量具有均值为0，标准差为1的特征，则称该随机变量服从标准正态分布，记为)1,0(~N X 。 任何一个服从一般正态分布的随机变量),(~2

σμN X 都可通过Z 转换成标准正态分布)1,0(N ，转换公式为

σ

μ

-=

x Z ，变换后)1,0(~N x Z σ

μ

-=

。

4、三种分布

①总体分布：总体中各元素（单位）的观察值所形成的频数分布，称为总体分布。

②样本分布：从总体中抽取一个容量为n 的样本，由这n 个观察值形成的相对频数分布称为样本分布。

56

重复抽样：))

1(,

(~n P P P N p -

②样本比例抽样分布（大样本）

不重复抽样：)1

)1(,

(~--?-N n

N n P P P N p

第6章 总体参数估计

1、点估计

用样本估计量的值直接作为总体参数的估计值，称作参数的点估计。 点估计具有无偏性、一致性和有效性三个性质。 （1）无偏性

（注意：总体标准差的无偏估计量为=

s （2）有效性

小的估计量是更有效的估计量。

（3）一致性

2、区间估计的要素

（1）三种误差

①抽样（实际）误差

②抽样平均误差

例如总体均值的抽样极限误差表示n

z E x σ

α?

=2

，式中2

αz 称为临界值，临界值

称为置信90%、95%、95.45%，对应的临界值分别为1.645、

（4）综上，根据样本均值x 构造的总体均值μ的置信水平为)1(α-的置信区间上下限为：

n

z x σ

α2

±，

即置信区间为],[2

2

n

z x n

z x σ

σ

α

α

+-。可以表述为我们有)1(α-的把握保证我们构造的区间

],[2

2

n

z x n

z x σ

σ

α

α

+-包含总体均值。

3、单个总体参数的区间估计

方差未知：x 大样本

方差已知：（1）总体均值估计

正态总体方差已知：小样 （2）总体成数估计（大样本）p （3

4

（

第7章 假设检验

1、假设检验的基本思想

（1）假设检验

先对总体参数提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程，称为假设检验。 （2）原假设和备择假设 ①原假设H0

通常将研究者想收集证据予以反对的假设称为原假设，或零假设，用H0表示。原假设总是有符号=、≤或≥。

②备择假设H1

通常将研究者想收集证据予以支持的假设称为备择假设，或研究假设，用H1表示。上面含有三种符号的原假设对应的备择假设分别含有符号≠、>或<。

（3）双侧检验和单侧检验 ①双侧检验

备择假设没有特定的方向性，并含有“≠”的假设检验称为双侧检验（或双尾检验）。 ②单侧检验

备择假设具有特定的方向性，并含有符号“＞”或“＜”的假设检验，称为单侧检验（或单尾检验）。备择假设中含有“＞”的为右侧检验，备择假设中含有“＜”为左侧检验。

（4）两类错误与显著性水平 ①弃真错误

当原假设为真时拒绝原假设，所犯的错误称为第Ⅰ类错误，又称弃真错误，犯此类错误的概率常用α表示。

②取伪错误

当原假设为假时没有拒绝原假设，所犯的错误为第Ⅱ类错误，又称为取伪错误（或纳伪错误），犯此类错

α。 x ，标),

(~2

n

N x σμ，即)1,0(~0

N n

x z σμ-=

。

第三步：根据显著性水平查表，得出临界值和拒绝域。 第四步：得出结论。

总体方差未知：检验统计量

大样本

（1）总体均值的假设检验总体方差已知：

正态总体方差已知：

小样本

正态总体方差未知：（2）总体成数的假设检验（大样本）：检验统计量z=

（3

（1