高考数学一轮复习第13讲

高考数学一轮复习第13讲：平面向量的简单应用

一、复习目标

熟练掌握平面向量的基础知识，灵活运用平面向量知识解决与平面几何、解析几何及三角、数列有关的数学问题。

二、课前热身

1、已知向量OZ 和'OZ 关于x 轴对称.)1,0(=j 则满足不等式0'2

的点

）

2、设b a ,是非零向量.则b a =?( )

b a A =、 b a B ⊥、 b a C //、 、D 存在0>λ.使b a λ= 3、设21F F ，为曲线1262

2

1=+y x c ：的焦点，P 是曲线13

2

2

2=-y x c ：与1c 的一个交点，

PF PF ?

4、在ABC ?中.o 为中线AM 上的一个动点.若2=AM .则)(OC OB OA +?的最小值是

5、（05、广州）已知)sin ,(cos αα=a )sin ,(cos ββ=b 且b a 与之间的满足关系

a k -=

+，其中,0>k 则b a ?取得最小值时b a 与夹角θ的大小为

三、例题探究

1、点),0,3(),0,3(21F F -点P 使362

22

1=+P F P F ，O Q

是单位向量。

（1） 求点),(y x P 的轨迹。 （2）若点Q 的坐标是),,(v u ,求O P O Q ?

的取值范围。

o y

2、如图，在Rt △ABC 中，已知a BC =，若长为a 2的线段PQ 以点A 为中点，问PQ 与BC 的夹角θ取何值时BP CQ ?的值最大？并求出这个最大值。

3、(05上海)在直角坐标平面中，已知点()()()()n

n n P P P P 2

,,,2,3,2,2,2,13

32

21 ，其中n 是

正整数，对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，．．．，n A 为1-n A 关于点n P 的对称点。（1）求向量20A A 的坐标；

（2）当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数)(x f y =的图象，其中)(x f 是以3为周期的周期函数，且当(]3,0∈x 时，x x f lg )(=。求以曲线C 为图象的函数在(]4,1上的解析式；（3）对任意偶数n ，用n 表示向量n A A 0的坐标。

四、方法点拨：

C B

A

Q

P C

B A

y

x

Q

P

C

B

A

1、OQ OP ?的范围还可以直接从图形中观察而得。

2、主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力。

3、向量与数列函数有机结合是高考考查的重点，找相邻两项的联系是关键。

冲刺强化训练（13）

班级 姓名 学号 日期 月 日 1、若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为( ) A ．8或－2 B ．6或－4 C ．4或－6 D ．2或－8

2、已知O 为原点，点A 、B 的坐标分别为)0,(a A ，),0(a B ，其中常数0>a ，点P 在线段AB 上，且有AB t AP =)10(≤≤t ，则OP OA ?的最大值为 （ ） （A ）a （B ）a 2 （C ）a 3 （D ）2a

2、 不共线的向量a 和b 的夹角平分线上的单位向量是： （ ）

（A ）b a +

)(B ||||)(b b

a a C + D )(

4、已知向量b a 与同向.则下列等式中一定成立的是 （ ）

A +=+

B -=+

C -=-

D -=+

5、 已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，且

,

2=-52=-

=，I 为PC 上一点，

且),0>+

+=λλ

BA BI （ ）

1、A

2、B 15-、C 5、D

6、已知向量)2,2(-=a ),5(k b =.+不超过5，则k 的取值范围是

7 、已知向量)1,(2

+=x x a ，),1(t x b -=.若函数b a x f ?=)(在区间)1,1(-上是增函数，求t 的范围。（2005 湖北）

8、已知向量）

〈〈）（，（），，（），，（πx c x x b x x a 0102cos 12sin sin cos =-==. (1) 、向量b a ，是否共线?请说明理由;

（2）、求函数c b a x f ?+-

=）（）（的最大值.

9、设M G ,分别为ABC ?的重心和外心，)0,1(),0,1(B A -且.AB GM λ= （1） 求点C 的轨迹c 的方程；

（2） 直线l 过点)1,0(并与曲线c 交于Q P ,两点，且满足0=?OQ OP ，O 为坐标原点，

求直线l 的方程。

高考数学一轮复习第13讲：平面向量的简单应用

【课前热身】1、C 2、C 3、3

1 4、-

2 5、3

π

【例题探究】

例1、解：（1）36)3()3(2

2222

22

1=+-+++=+y x y x P F P F 92

2=+∴y x

（2）yv xu v u y x OQ OP +=?=?),(),( ，由于 922=+y x ，122=+v u ，

令ββααsin ,cos ,sin 3,cos 3====v u y x ，

则]3,3[)cos(3)sin sin cos (cos 3-∈-=?+?=?βαβαβαOQ OP

例2、解法一：∵A B A C ⊥

，∴0=?AC AB 。

∵,,,AP AQ BP AP AB C Q AQ AC =-=-=-

∴)()(AC AQ AB AP CQ BP -?-=?=AP AQ AP AC AB AQ AB AC ?-?-?+?

=2a AP AC AB AP --?+? =2()a AP AB AC --?- =BC PQ a ?+-2

12

=

θcos 2

2a a +-

故当1cos =θ，既0=θ（P Q 与B C 方向相同）时，B P C Q ?

最大，其最大值为0。

解法二：以直角项点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c, |AC|=b ，则A （0，0），B （c ，0），C （0，b ），且a PQ 2||=，a BC =||。 设点P 的坐标为),(y x ，则),(y x Q --. ∴ ),(),,(b y x CQ y c x BP ---=-=，

(,),(2,2)BC c b PQ x y =-=--

. ∴ )())((b y y x c x CQ BP --+--=?

=by cx y x -++-)(2

2

. ∵ 2

cos a

by cx BC PQ -=

?=

θ；

∴ θc o s 2

a by cx =-. ∴ θcos 2

2

a a CQ BP +-=?。

故当1cos =θ，既0=θ（PQ 与BC 方向相同）时，CQ BP ?最大，其最大值为0。 例3、[解]（1）设点),(0y x A ，A 0关于点P 1的对称点A 1的坐标为),4,2(1y x A --

A 1关于点P 2的对称点A 2的坐标为)4,2(2y x A ++，所以，=20A A （2，4） （2）[解法一])(),4,2(20x f A A ∴= 的图象由曲线C 向右平移2个单位，再向上平移

4个单位得到.

因此，基线C 是函数)(x g y =的图象，其中)(x g 是以3为周期的周期函数，且当 .4)1lg()(,]4,1(,,4)2lg()(,]1,2(--=∈-+=-∈x x g x x x g x 时当于是时

[解法二]设???=-=-4

2),,(),,(222220y y x x y x A y x A 于是

若).3lg()3()(,330,6322222-=-=≤-<≤

),1lg(4.63,412-=+≤<≤

（3）n n n A A A A A A A A 242200-+++=

由于)(2,2143210212222n n n k k k k P P P P P P A A P P A A ---+++== 得， ).3

)

12(4,()3)12(2,2(2))2

,1()2,1()2,1((21

3

-=-=+++=-n

n n n n

冲刺强化训练（13）

1、 A

2、D

3、D

4、A

5、C

6、[-6,2]

7、解法1：依定义,)1()1()(2

3

2

t tx x x x t x x x f +++-=++-=

.23)(2

t x x x f ++-='则

.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若

,

23)(,)1,1(,230)(2

2x x x g x x t x f -=--≥?≥'∴考虑函数上恒成立在区间,3

1)(=

x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使x x t 232

-≥在区间

（－1，1）上恒成立?.5),1(≥-≥t g t 即

.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数

在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t

5≥t t 的取值范围是故.

解法2：依定义,)1()1()(2

32t tx x x x t x x x f +++-=++-=

.

0)()1,1(,)1,1()(.

23)(2

≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若

)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，

时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f

.

5.

)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是

故上是增函数在即上满足在

8、因为,0cos sin sin 2sin

cos 22sin sin )2cos 1(cos 2

=-=--x x x x x x x x x

所以b a

与 共线。

(2)()(),sin 2sin

42cos 122cos 12sin

2

22

x x x x x ==

-=

-+=

因为(),,0π∈x 所以0sin >x ,x sin 2=.

又()

()(),sin 2sin 1,02cos 1sin ,2sin cos 2

x x x x x x c b a +=?-++=?+

所以(),8141sin 2sin sin

22

2

+??? ?

?

--=+-=x x x x f

又(),,0π∈x 所以当4

1

sin =

x 时,函数()x f 取得最大值

8

1.

9、设),(y x C ，则G 为),3

,3(y

x 其中0≠xy 。

设外心),,0(m M 因为AB GM λ=则,//AB GM 所以.3

y m =由MC MA =得方程

).0(332

2

≠=+xy y

x

（1） 由条件知直线l 斜率存在。设1+=kx y 代入3322=+y x ，化简得：

.3

2,0)3(84,022)3(2

212

2

22

+-=

>++=?=-++k

k x x k

k

kx x k

由0,=OQ OP 设),,(),,(2211y x Q y x P 所以,02121=+y y x x 即0)1)(1(2121=+++kx kx x x 即

013

23

22

2

=++-++-k

k k

k

化简得132

=k

所以3

3±=k ，所以所求直线方程为.13

3+±

=x y