概率论基础题
概率论基础习题
1. 考虑一个掷钱币事件，出现正面的概率为p ，反面为p q -=1。
● 求解在N 次独立实验中正面正好出现i 次的概率。 ● 求解i 的均值和方差。
解： (1)i
N i i N
i P P C P --=)1( (2)E(i)
Σi *i P =Σi * i
N i i N P P C --)
1( (N i ≤≤0)
D(i)E()- [E( i)]^2
2. 均值和方差分别为μ和2σ的高斯（也叫正态）概率密度函数是
∞<<∞-=
--x x p x ,exp
21)(2
2
2)(σμσ
π
求解高斯变量的m 次中心矩。 解：由中心距公式知：
?+∞
∞
--=dx x p u x u m m )()(
()
dx u x u x m
)2)(exp(21
2
2
?∞
+∞
----=
σ
σ
π 3. 假设Y 为正态随机变量，其均值和方差分别为μ和2σ。如果X Y ln =，而且Y
是高斯变量，则称随机变量X 按对数正态分布。 ● 求解对数正态分布的均值和方差。 ● 求解对数正态分布的一阶矩和二阶矩。 解：（1）对数正态分布的概率密度函数为： ?（x ）=
'
)(ln *)][(ln x x
f exp(-)
E(x)
D(x)
(2) 对数正态分布的一阶距、二阶距为： 一阶中心距：exp(-)dx
exp(-)dx 一阶原点距：exp(-)dx
二阶中心距：exp(-)dx
exp(-)dx 二阶原点距：exp(-)dx
4. 导出两连续变量之积如)0,(>≥=εy x XY Z 的密度函数表达式。 (1)、当X 、Y 相互独立时 ： f(Z) = f(X)*f(Y)
(2)、当X 、Y 不独立时，由于y>0 ： F(Z)=P{Z z ≤}=
??≤Z
XY dxdy y x f ),(=??
∞
+∞
-0
]),([y z dy dx y x f
令y u x =
，则 du y
dx 1
=，带入上式，得 F(Z)=dy du y y y u f z
]1),([0
??
+∞
∞
-=du dy y
y y u f z ]1
),([0??+∞∞-
所以 f(z)=)]'([z F =
dy y
y y z f 1),(0
?
+∞
同理 f(z)= dx x z
x f x ),(||1?+∞
∞-
5. 对于连续随机变量W 、X 和Y ，证明
()()()
()()?=
dw
w p w x p w p w x p x w p |||，这是以概率密度函数表示的贝叶斯定理
()()()y x w p y x p y x w p |,|,|= （1）、 由于W 、X 、Y 是随机变量，则
)
()
()|()|(x p w p w x p x w p =
，?=dw w p w x p x p )()|()(
所以，?=dw
w p w x p w p w x p x w p )()|()
()|()|(
（2）、
6、蒲丰试验（Buffon Experiment ）：法国科学家蒲丰曾做过如下的试验，在平面上画一相隔距离为α的平行线，向此平面随意地投一根长度为l ()α 以X 表示针投到平面上时针的中点M 到最近一条平行直线的距离，γ表示针与该平行线的夹角，那么针落在平面的位置可由（X,?）确定 ，如图 投针实验的所有结果为矩形区域 }π0,20),{(≤≤≤≤=??a x x S 中的所有点 对应，由投掷的任意性可知这是一个几何概型问题，所关心的问题A={针与某 一平行直线相交发生的充分必要为S 中的点满足. π0,sin 20≤≤≤≤??b x 的面积的面积 S G S G A P = =)(μ)(μ)( π2d sin 2π ?=? α??l .π2π2 ααl l =?= 7、贝特朗奇论（Bertrand paradox ）在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长超过圆内接等边三角形边长的概率为多少？这个问题有许多不同的解，至少求出其中的两个解。 解：（1） 由于弦交圆于两点。我们先固定弦的一个端点。以此端点做一个等边三角形(如图)。显然，只有穿过此三角形内的弦才符合 要求。而符合条件的弦的另一端正好占整个圆弧的1/3。并且，不论固定的那个端点在圆上的哪个位置，情况都是一样的。所 以结果为1/3。 (2)、 由于弦长只和圆心到它的距离有关。所以固定圆内一条半径。当且仅当圆心到它的距离小于1/2才满足条件。并且，不论固定 的是哪条半径，情况都是一样的。所以结果为1/2 （3）、 弦被其中点唯一确定。当且仅当其中点在半径为1/2的圆内时才满足条件。此小圆面积为大圆的1/4。所以结果为1/4。 华中师范大学职业与继续教育学院 《概率论基础》练习题库及答案 填空题 1． 设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞ ∞ -dx x p )(= ； Eξ= 。 考查第三章 2． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为： ；A,C 发生而B 不发生可表示 ；A,B,C 恰有一个发生可表示为： 。 考查第一章 3． 设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ?，分布函数为)(0x Φ，则 )0(0?等于 π 21，)0(0Φ等于 。 考查第三章 4． 设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=5 1 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= ，Dξ= 。 考查第五章 5． 已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 。 考查第五章 6． 设),(~2 σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 考查第五章 7． 设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ ； ∑∞ =1 i i p = ； Eξ= 。 考查第一章 8． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为： ；A 发生而B,C 不发生可表示为： ；A,B,C 恰有一个发生可表示为： 。 9． )4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 。 考查第三章 10． 设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则方程012 =++x x ξ有实根的概率为 。 考查第三章 较难 11． 若随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,U=2X+1,V=5Y+10 则U ，V 的相关系数= 。 考查第三章 12． 若 θ服从[,]22 ππ - 的均匀分布， 2?θ=，则 ?的密度函数 ()g y ＝ 。 考查第五章 13． 设4.0)(=A P ，7.0)(=+B A P ，若A 与B 互不相容，则=)(B P ；若A 与B 相互独立，则=)(B P 。 考查第一章 14． 将数字1，2，3，4，5写在5张卡片上，任意取出三张排列成三位数，这个数是奇数的概率P （A ）= 。 考查第一章 15． 若)8.0,10(~B ξ，=ξE ，=ξD ，最可能值=0k 。 考查第二、五章 16． 设随机变量X 的概率密度为0()0 x xe x f x x -?>=? ≤?，则(3)E X = , 3()X E e = 考查第四、五章 17． 任取三线段分别长为x,y,z 且均小于等于a ，则x,y,z 可构成一三角形的概率 考查第一章（较难） 18． 设随机变量X ，Y 的相关系数为1，若Z=X-0.4,则Y 与Z 的相关系数为 第一章 随机事件及其概率 一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则 （ ） A ．()P A B I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P A B P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一 定独立 A ．()()()P A B P A P B =I B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（ ） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ） A ．()A B B A -=U B ．()A B B A -?U C ．()A B B A -?U D ．()A B B A -=U 8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件 《概率论基础》本科 填空题（含答案） 1． 设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞ ∞ -dx x p )(= 1 ；Eξ=?∞ ∞ -dx x xp )(。 考查第三章 2． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：C B A ；A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 3． 设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ?，分布函数为)(0x Φ，则)0(0?等于π 21，)0(0Φ等 于 0.5 。 考查第三章 4． 设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=5 1 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 2 。 考查第五章 5． 已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 XY r 。 考查第五章 6． 设),(~2 σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 211k - 考查第五章 7． 设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ；∑∞ =1 i i p = 1 ；Eξ= ∑∞ =1 i i i p x 。 考查第一章 8． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：ABC ；A 发生而B,C 不发生可表示为：C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 9． )4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。 考查第三章 概率论基础知识 第一章随机事件及其概率 一随机事件 §1几个概念 1、随机实验:1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。 例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。 2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件常记为A，B，C……例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。 3、必然事件与不可能事件：记为Ω。每次试验都不 记为Φ。 例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是 不可能事件,以后 4、基本事件： 例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。 例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。 5、样本空间：从集合观点看，常记为e. 例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。 例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。 例如， 在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6} 在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）} 在E3中，Ω={0，1，2，……} 第六章 概率基础习题 一、填空题 1．一般我们称随机试验的样本空间的子集为 ，仅由一个样本点组成的单点集称为 。 2．随机事件A 发生的概率就是事件A 发生 大小的度量，记作 ，概率具体数值介于 和 之间，当事件为必然事件时，其值为 ，当事件为不可能事件时，其值为 。 3．概率为0的事件 为不可能事件，概率为1的事件 是必然事件。 4．已知P （A B ）=0.7，P （B A ）=0.3，P （A B ）=0.6，那么P （A ）为 。 5．若事件A 、B 满足 和 ，则称A 、B 为对立事件。 6．设A 、B 为任意二事件，则P （A-B ）= 。 7．已知事件A 、B 相互独立，且P （A ）=0.7，P （B ）=0.6，则P ) (AUB 为 。 8．P （A ）=ρ，P （B ）=q ，且P （A U B ）=γ，则P （A B ）为 ；若A 、B 相互独立，则P （A B ）又为 。 9．某同学投篮，每次投中的概率为0.7，现独立投篮5次，则恰投中四次的概率为 。 10．某函数为P （ξ=κ）=C κ，（κ=1，2，3，4，5），当C 等于 时，才能使其成为概率函数。 11．连续型随机变量ξ的分布函数F （X ）与密度函数ρ（X ）之间有关系式F （X ）= 对于ρ（X ）的连续点X 而言，有F （X ）= 。 12．随机变量ξ的 通常被称为数学期望，反映了变量可能取值的 水平；方差则是随机变量的 期望，反映了变量的 程度。 二、单项选择题 1．设A 、B 二随机事件，且B ?A ，则下列各式子中正确的是（ ） （1）P （AB ）=P （A ） （2）P （A B ）=P （B ） （3）P （A ∪B ）=P （A ） （4）P （B-A ）=P （B ）-P （A ） 2．设随机事件A 、B 互斥，则（ ） （1）A 、B 相互独立 （2）P （A ∪B ）=1 （3）P （A ∪B ）=P （A ）+ P （B ） （4）P （AB ）=P （A ）P （B ） 3．设事件A 、B 相互独立，则（ ） （1）A 、B 互不相容 （2）A 、B 互不相容 （3）P （A ∪B ）=P （A ）+ P （B ） （4）P （AB ）=P （A ）P （B ） 4．若P （A ）=P （B ）>0，则（ ） 1 第5章 极限定理 1、ξ为非负随机变量，若(0)a Ee a ξ <∞>，则对任意x o >，{}ax a P x e Ee ξξ-≥≤。 2、若()0h x ≥，ξ为随机变量，且()Eh ξ<∞，则关于任何0c >， 1{()}()P h c c Eh ξξ-≥≤。 4、{}k ξ各以 12 概率取值s k 和s k -，当s 为何值时，大数定律可用于随机变量序列1,,,n ξξL L 的算术平均值？ 6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件： （1）1{2}2 k k P X =±= ； （2）(21) 2{2}2 ,{0}12k k k k k P X P X -+-=±===-； （3）1 1 2 21{2},{0}12 k k k P X k P X k --=±===-。 7、若k ξ具有有限方差，服从同一分布，但各k 间，k ξ和1k ξ+有相关，而1,(||2)k k l ξξ-≥是独立的， 证明这时对{}k ξ大数定律成立。 8、已知随机变量序列12,,ξξL 的方差有界，n D c ξ≤，并且当||i j -→∞时，相关系数0ij r →，证明 对{}k ξ成立大数定律。 9、对随机变量序列{}i ξ，若记11()n n n ηξξ= ++L ，11 ()n n a E E n ξξ=++L ，则{}i ξ服从大数定律的充要条件是22()lim 01()n n n n n a E a ηη→∞?? -=??+-?? 。 10、用斯特灵公式证明：当,,n m n m →∞→∞-→∞，而 0m n →时， 2 221~2n m n n n m -???? ???-?? ??。 12、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试 求有10个或更多终端在使用的概率。 《概率论与数理统计》课程 复习资料 1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 古典概型例子 摸球模型 例1：袋中有a个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m(m≤a+ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率; 例2：袋中有a个白球，ｂ个黑球，c个红球，从中任意取出ｍ(m≤a+ｂ)个球，求取出的m 个球中有k1(≤a) 个白球、k2(≤b) 个黑球、k3(≤c) 个红球(k1＋k2＋k3=m)的概率. 占位模型 例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率1/N落入N个格子(N≥n)的任一个之中，求下列事件的概率： (1) A={指定n个格子中各有一个质点}；(2) B={任意n个格子中各有一个质点}； (3) C={指定的一个格子中恰有m(m≤n)个质点}. 抽数模型 例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？ 2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。如对于事件A，B，A或B，已知P(A)，P(B)，P(AB)，P(A B)，P(A|B)，P(B|A)以及换为A或B之中的几个，求另外几个。 例1：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A－B)，P(A B) 例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求：P(A－B)，P(A B)，) | A P，) (B (B P A | | P，) (B A 3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。 若已知导致事件A发生(或者是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件B i，i=1,2,…,n,…的概率P(B i) ，以及B i发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|B i)，求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件B i发生的条件概率P(B i| A)。 例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。 4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。(1)已知一维离散型随机变量X的分布律P(X=x i)=p i，i=1,2,…,n,… 确定参数 求概率P(a 1．设事件,A B 都不发生的概率为0.3，且()()0.8P A P B +=，则,A B 中至少有一个不发生的概率为__________. 2．设()0.4,()0.7P A P A B ==，那么 （1）若,A B 互不相容，则()P B =__________; （2）若,A B 相互独立，则()P B =__________. 3．设,A B 是任意两个事件，则{()()()}P A B A B A B A B =_______. 4．从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________. 5．有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________. 6．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________. 7．设事件,,A B C 两两独立，且1 ,()()()2 ABC P A P B P C =?==< ，()9/16P A B C =，则()P A =__________. 8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为__________. 9．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________. 10．设事件,A B 满足：11 (|)(|),()33 P B A P B A P A == =，则()P B =__________. 11．某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________. 12．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________； 13．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________. 14．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________. 15．设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2A P X k k k == =+，则A =__________, (3)P X <=__________. 16．设~(2,),~(3,)X B p Y B p ，若(1)5/9P X ≥=，则(1)P Y ≥=________. 17．设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2 (03)P X <<=__________. 18．设连续型随机变量X 的分布函数为 0,0,()sin , 0,2 1,, 2x F x A x x x π π ?? ?? 则A =__________，||6P X π? ?<= ?? ?__________. 第一章概率论基础 1、（2002，数四，8分）设是任意二事件，其中的概率不等于0和1，证明是事件与独立的充分必要条件。 2、（2003，数三，4分）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件“掷第一次出现正面”，“掷第二次出现正面”，“正、反面各出现一次”，“正面出现两次”，则事件（） （A）相互独立。（B）相互独立。 （C）两两独立。（D）两两独立。 3、（2003，数四，4分）对于任意二事件和，则 （A）若,则一定独立； （B）若,则有可能独立； （C）若,则一定独立； （D）若,则一定不独立； 4、（2006，数一，4分）设为两个随机事件,且则必有 （A）（B） （C）（D） 第二章随机变量及其分布 1、（2005，数一，4分）从数1，2，3，4中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为，则。 2、（2003，数三，13分）设随机变量的概率密度为 ，是的分布函数。求随机变量的分布函数。 3、（2006，数一，4分）随机变量与相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则 。 20、（2007，数一，4分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为。 4、（2007，数一，4分）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为。则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（ ） （A）（B） （C）（D） 第三章多维随机变量及其分布 1、（2002，数一，3分）设和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分布函数分别为和，则（） （A）必为某一随机变量的概率密度。 （B）必为某一随机变量的概率密度。 （C）必为某一随机变量的分布函数。 （D）必为某一随机变量的分布函数。 2、（2003，数一，4分）设二维随机变量的概率密度为 ，则。 3、（2003，数三，13分）设随机变量与独立，其中的概率分布为 ，而的概率密度为，求随机变量的密度。 4、（2003，数四，4分）设随机变量和都服从正态分布，且它们不相关，则 （A）与一定独立； （B）服从二维正态分布； （C）与未必独立； （D）服从一维正态分布。 5、（2004，数一，9分）设为两个随机事件,且令 求：（1）二维随机变量的概率分布；（2）的概率分布。 6、（2004，数四，13分）设随机变量在区间（0，1）上服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求： （1）随机变量和的联合概率密度； （2）的概率密度； （3）概率。 7、（2005，数一，4分）设二维随机变量的概率分布为 0 1 0 1 0.4 0.1 已知随机事件与相互独立，则 （A），（B）， （C），（D）。 8、（2005，数一，9分）设二维随机变量的概率密度为求（1）的边缘概率密度； 222 习题七 ( A ) 1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自 X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量. 解：由题意，X 的分布律为： ()(1),0k N k N P X k p p k N k -??==-≤≤ ??? . 总体X 的数学期望为 (1)(1) 011(1)(1) 1N N k N k k N k k k N N EX k p p Np p p k k ----==-????=-=- ? ?-???? ∑∑ 1((1))N Np p p Np -=+-= 则EX p N = .用X 替换EX 即得未知参数p 的矩估计量为?X p N =. 设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的样本值，则似然函数为 11 1211(,,;)()(1) n n i i i i n n x nN x n i i i i N L x x x p P X x p p x ==- ==∑ ∑??===?- ??? ∏∏ 取对数 11 1ln ln ln ()ln(1)n n n i i i i i i N L x p nN x p x ===??=+?+-?- ???∑∑∑， 11 ln (1) n n i i i i x nN x d L dp p p ==-=--∑∑. 223 令 ln 0d L dp =，解得p 的极大似然估计值为 11?n i i x n p N ==∑. 从而得p 的极大似然估计量为 11?n i i X X n p N N ===∑. 2,、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为 2 2,0(;)0, x x f x θ θθ?<，求θ的矩估计. 解：取n X X X ,,,21 为母体X 的一个样本容量为n 的样本，则 20 22 ()3 x EX xf x dx x dx θ θθ+∞ -∞ ==? =? ? 3 2 EX θ?= 用X 替换EX 即得未知参数θ的矩估计量为3 ?2 X θ =. 3、设12,,,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为 ?? ?? ?≤>=--0 ,0, 0, );(1x x e x x f x α λαλαλ 其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计. 解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为 第一章 随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？ 它们的联系与区别是： （1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。 （2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。 （3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？ 两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？ 所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质 随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如： （1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，， 在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？ 事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()； （2）规范性：P ()?=1； （3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。 概率论习题 一、填空题 1、掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 . 2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率 . 3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 . 4、已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB = 5、已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P AB === 则(|).P B A B ?= 6、掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为 .. 7、设()0.4,()0.7,P A P A B =?= 若,A B 独立，则().P B = 8、设,A B 为两事件，11 ()(),(|),36P A P B P A B === 则(|).P A B = 9、设123,,A A A 相互独立，且2 (),1,2,3,3 i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概 率是. 10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 . 11、一枚硬币独立的投3次，记事件A =“第一次掷出正面”，事件B =“第二次掷出反面”，事件C =“正面最多掷出一次”。那么(|)P C AB = 。 12、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相 表示为互不相容事件的和是 。15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为 。 二、选择题 1、下面四个结论成立的是（ ） .()().,.().()A A B C A B C B AB C A BC C A B B A D A B B A --=-?=??=? ?-=-?=若且则 概率论与数理统计 概率论的基础知识习题 一、选择题 1、下列关系正确的是( )。 A 、0∈? B 、{0}?∈ C 、{0}?? D 、{0}?= 答案：C 2、设{ }{ } 22 22 (,)1,(,)4P x y x y Q x y x y =+==+=，则( )。 A 、P Q ? B 、P Q < C 、P Q ?与P Q ?都不对 D 、4P Q = 答案：C 二、填空 1、6个学生和一个老师并排照相，让老师在正中间共有________种排法。 答案：6!720= 2、5个教师分配教5门课，每人教一门，但教师甲只能教其中三门课，则不同的分配方法有____________种。 答案：72 3、编号为1，2，3，4，5的5个小球任意地放到编号为A 、B 、C 、D 、E 、F 的六个小盒子中，每一个盒至多可放一球，则不同的放法有_________种。 答案：()65432720????= 4、设由十个数字0，1，2，3， ，9的任意七个数字都可以组成电话号码，则所有可能组成的电话号码的总数是_______________。 答案：7 10个 5、九名战士排成一队，正班长必须排在前头，副班长必须排在后头，共有_______________种不同的排法。 答案：77!5040P == 6、平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定_____个三角形。 答案：120 7、5个篮球队员，分工打右前锋，左前锋，中锋，左后卫右后卫5个位置共有_____________种分工方法？ 答案：5!120= 8、6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个不同单位，每单位1人。则分配方法有______种。 教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、2A 、3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标”，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 2 1,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值： （１）A 与B 互斥； （２）；B A ? （３）81)(=AB P ． Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -. （1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)= 概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案 概率论与数理统计 概率论的基础知识习题 ?、选择题 1、下列关系正确的是（） A、o B、{0} C、{0} D、{0} 答案：C 2、设P 2 2 (x,y)x y 1 ,Q (x,y) x1 2 3 y2 4，则（ ） A、P Q B、P Q C、P Q与P Q都不对 D、4P Q 答案：C 16个学生和一个老师并排照相，让老师在正 中间共有________ 排法。 答案：6! 720 25个教师分配教5门课，每人教一门，但教师甲只能教其中三门课，则不同的分配方法有种。答案：72 3编号为1, 2, 3, 4，5的5个小球任意地放到编号为A、B、C、D、E、F的六个小盒子中， 每一个盒至多可放一球，则不同的放法有种。答案：(6x5x4x3x2) = 720 4、设由十个数字0, 1, 2, 3, 9的任意七个数字都可以组成电话号码，则所有可能组成的电话号码的总数是 答案：⑹个 5、九名战士排成一队，正班长必须排在前头，副班长必须排在后头，共有______________ 种不同的排法。 答案： /> =7! = 5040 6、平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定____ 个三角形。 答案：120 7、5个篮球队员，分工打右前锋，左前锋，中锋，左后卫右后卫5个位置共有____________ 种分工方法？ 答案: 5! = 120 8、6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个 不同单位，每单位 1 人。则分配方法有_______ 种。 答案：(6 5 4 3) 360 9、平面上有12 个点，其中任意三点都不在一 条直线上，这些点可以确定_____________ 条不同的直线。 答案：66 10、编号为1，2，3，4，5 的 5 个小球，任意地放到编号为A， B ，C ， D ，E， F ，的六个小箱子中，每个箱子中可放0 至 5 个球，则不同的 放法有___________ 种。 答案：65 三、问答 1、集合A有三个元素即A {a,b,c},集合A的非空子 集共有多少个，并将它们逐个写出来。 答案：7个 {a},{ b},{ c},{ a,b},{ a,c},{ b,c},{ a,b,c} 2、设 A ， B ， C ， D 为任意集合，化简下式 1．设事件A, B都不发生的概率为0.3，且P( A)P( B) 0.8 ，则 A, B 中至少有一个不发生的概率为__________. 2．设P( A)0.4, P( A B)0.7 ，那么 （1）若A, B （2）若A, B 互不相容，则P( B) 相互独立，则P( B) __________; __________. 3．设A, B是任意两个事件，则P{ A B(A B)( A B)(A B)} _______. 4．从 0,1,2, ,9 中任取 4 个数，则所取的 4 个数能排成一个四位偶数的概率为__________. 5．有 5 条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这 5 条线段中任取 3 条，所取的 3 条线段能拼成三角形的概率为__________. 6．袋中有 50 个乒乓球，其中20 个黄球， 30 个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为 __________. 7．设事件A, B,C两两独立，且ABC , P( A) P( B) P(C) 1 B C ) 9/16 ，则， P(A 2 P( A) __________. 8．在区间（ 0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为 __________. 9．假设一批产品中一、二、三等品各占60% 、 30%、 10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是 二等品的概率为 __________. 10．设事件A,B满足：P ( B | A) P(B | A) 1 , P(A) 1 ，则 P(B) __________. 3 3 11．某盒中有 10 件产品，其中 4 件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概 率为 __________ ，第三次才取得正品的概率为__________. 12．三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球， 1 个白球；第二个箱子中有 3 个黑球， 3 个白球；第三个箱子中有 3 个黑球， 5 个白球 . 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________；13．设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为1/ 9 ， A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 P( A) __________. 14．设在一次试验中，事件 A 发生的概率为p .现进行n次独立试验，则 A 至少发生一次的概率为__________， 而事件 A 至多发生一次的概率为_________. 15．设离散型随机变量X的分布律为P(X k ) A ( k 0,1,2,3) ，则 A __________, 2 k P( X 3) __________. 16．设X ~ B(2, p), Y ~ B(3, p)，若P( X 1) 5/ 9，则 P(Y 1) ________. 17．设X ~ P( )，且P(X 1) P( X 2) ，则 P(X 1) __________，P(0 X2 3) __________. 18．设连续型随机变量X 的分布函数为 0, x 0, F (x) Asin x, 0 x , 2 1, x , 2 则 A __________ ，P | X | 6 __________. 19．设随机变量X 的概率密度为 1．若某种考试有10道是非题，即对题目的叙述判断对或错，若有一个对题目毫无所知的人，对10道题任意猜测时，猜对的题目数为X，则X服从（）分布，猜对6道题的概率为（），及格的概率为（）。 2. 若考试题为10道单选题，在四个可能的答案中选择一个正确答案，对题目毫无所知而任意猜题，猜对6题的概率是（），及格的概率是（） 3. 若变量X服从正态分布，其数学期望为100，标准差为10，则X小于90的概率为（），X在90至100之间的概率为（） 4. 若随机变量X服从正态分布，其数学期望为μ，标准差为σ，则P(μ-σ 第三章 随机变量与分布函数 2． 解：qp pq P P P +=+==}{}{}1{成失失成ξ， ,}{}{}2{22p q q p qqp ppq P P P +=+=+==成成失失失成ξ 所以ξ的概率分布为 {},1,2,k k p k p q q p k x ==+=L 。 3． 解： （1）∑=?= = N k N N c k f 1 )(1， 1=∴c 。 （2）∑∞ =-==1 )1(!1k k e c k c λλ， 1 ) 1(--=∴λe c 。 4．证： （1）设0}{)()(,211212≥≤<=->x x P x F x F x x ξ，所以)()(12x F x F ≥，)(x F 非降。 （2）设011x x x x x n n <<<<<<- ，n x x ˉ由概率的可加性得 }{)(001x x P x x P i i i ≤<=? ?? ???≤<∏∞=+ξξ [])()()()(0 1 x F x F x F x F i i i -=-∑∞ =+。 由此得 [])()(lim )()(00x F x F x F x F n -=-∞ →， )(),0()(lim )(x F x F x F x F n n +==∴ ∞ →右连续。 （3）}1{}{1∑∞ ∞→+≤<= ∞<<-∞=n n n P P ξξ [])(lim )(lim )()1(m F n F n F n F m n n -∞ →∞ →∞ ∞ →= =-+= ∑。 由单调性得)(lim x F x -∞ →与)(lim x F x ∞ →均存在且有穷，由1)(0≤≤x F 及上式得1)(,0)(=∞=-∞F F 。 5．证：0)(≥x f ，且 || 1()12 x y y y x f x dx e dy e dy e m -= ゥ ￥----? ==-== 蝌 )(x f ∴是一个密度函数。 6． 解：（1）111 (260280)(260270)(270)(280270)101010 P P x x 禳镲 镲<<=-< -<-睚镲镲铪 ()()11(270)11(1)2110.6826910P x 禳镲 =-<-<=F -F -=F -=睚镲镲铪 （2）11(250)(270)(250270)1010P P x x 禳镲 <=-<-睚镲镲铪 ()1(270)221(2)0.01786410P x 禳镲 =-<-=F -=-F =睚镲镲铪 概率论基础复习题答案 填空题(含答案) , ,1( 设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) 0; = 1 ;p(x)dx,,, , 。Eξ=xp(x)dx,,, 考查第三章 2( 设A,B,C为三个事件，则A,B,C至少有一个发生可表示为:;A,CA:B:C发生而B不发生可表示 ;A,B,C恰有一个发生可表示为:ABC 。 ABC，ABC，ABC 考查第一章 ,(x),(x)3( 设随机变量，其概率密度函数为，分布函数为，则,~N(0,1)00 1,(0),(0)等于，等于 0.5 。 002, 考查第三章 14( 设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}= ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 5 2 。 考查第五章 r5( 已知随机变量X，Y的相关系数为,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U，VXY r的相关系数等于。 XY 考查第五章 12X~N(,,,)6( 设，用车贝晓夫不等式估计: P(|X,,|,k,),1,2k考查第五章, ,pxpp7( 设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=}= i,1,2,..., 则 0 ;= ,iiiii,1 , xp1 ;Eξ=。 ,iii,1 考查第一章 8( 设A,B,C为三个事件，则A,B,C都发生可表示为:;A发生而B,C不发生ABC 可表示为:;A,B,C恰有一个发生可表示为:。 ABCABC，ABC，ABC 考查第一章 9( ，，则 5 。 X~N(5,4)P(X,c),P(X,c)c, 考查第三章 2x，,x，1,010( 设随机变量在[1，6]上服从均匀分布，则方程有实根的概率为, 4。 5 考查第三章较难 11( 若随机变量X，Y的相关系数为r,U=2X+1,V=5Y+10 则U，V的相关系数 =r。 XYXY 考查第三章 ,,[,],,,12( 若服从的均匀分布， ,,,2，则的密度函数 , gy()22 1。 ,,,,,,gyy()2, 考查第五章 AB13( 设P(A),0.4，P(A，B),0.7，若与互不相容，则P(B), AB0.3 ;若与相互独立，则P(B), 0.5 。 考查第一章 14( 将数字1，2，3，4，5写在5张卡片上，任意取出三张排列成三位数，这个数