第28章锐角三角函数全章教案

C B C

C B

A 锐角三角函数单元教案

第1课时正弦

教学目标 1、知识目标

经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2、能力目标

能根据正弦概念正确进行计算，逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。 3、情感目标

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．教学重点

理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．教学难点

当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。教学过程一、知识回顾

1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，?求AB

2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC

二、探究活动

问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？

思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？；如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？；结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值

思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？?

如果是，是多少？

结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值

教师点拨：

从上面这两个问题的结论中可知，?在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于1

，是一个固定值；?当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的

也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数

斜边c

对边a

C B

(2)13

3B A

(1)

B A

的锐角时，?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？

探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么

BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？

结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A

的度数一定时，不管三角形的大小如何，?∠A 的对边与斜边的比

正弦函数概念：

规定：在Rt △BC 中，∠C=90，

∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．

在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA= =

c ． sinA ＝

A a A c

∠=∠的对边的斜边例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=

；

当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．三、巩固练习

例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．

随堂练习（1）：做课本第79页练习．

随堂练习（2）：

1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚

A ．4

3 B ．3

4 C ．53 D ．54

2．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o

，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（） A ．35 B ．45 C ．34 D ．43

3．在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=2

3，则边AC 的长是( )

A ．13

B ．3

C ．4

D ． 5

B A

4．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（）

A ．a b

B ．b

a C

四、课堂小结：

在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A ?的对边与斜边的比都是．

在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A ?的，?记作，

五、作业设置：

课本第85页习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）

第2课时余弦、正切

教学目标 1、知识目标

感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。 2、能力目标

逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。 3、情感目标

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．教学重点

理解余弦、正切的概念。教学难点

熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。教学过程一、知识回顾

1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？

2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。

已知AC= 5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（）

B ．23

3、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3．则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ．

4、?在Rt △ABC 中，∠C=90°，当锐角A 确定时， ∠A 的对边与斜边的比是，

A B ∠A的邻边b

∠A的对边a 斜边c

斜边c 对边a

C B

6B ?现在我们要问：

∠A 的邻边与斜边的比呢？

∠A 的对边与邻边的比呢？为什么？二、探究活动

探究：

一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o ，∠B=∠B`=α，

那么

与有什么关系？

教师点拨：

类似于正弦的情况，

如图在Rt △BC 中，∠C=90°，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻边的比也分别是确定的．我们

把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=

A ∠的邻边斜边

c ；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=A A ∠∠的对边的邻边=a b

．

例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°=

；

当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．

（教师讲解并板书）：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是A 的函数．同样地，cosA ，tanA 也是A 的函数．

例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=?6，sinA=3

，求cosA 、tanB 的值．

三、巩固练习

练习一：完成课本P81 练习1、2、3 练习二： 1. 在中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（）

A ．

B ．

C ．

D ．

2. 在中，∠C ＝90°，如果cos A=45

那么

的值为（）

A ．3

5 B ．54 C ．34 D ．43

3、如图：P 是∠的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则cos α＝_____________.

四、课堂小结：

在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把

锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA= =

c ． sinA ＝

A a A c

∠=∠的对边的斜边把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，

记作，即把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，

记作，即五、作业设置：

课本第85页习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与余弦、正切有关的部分）

第3课时特殊角三角函数值

教学目标

1、知识目标

能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。

2、能力训练点

能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式

3、情感目标

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

教学重点

熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式

教学难点

30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程

教学过程

一、知识回顾

一个直角三角形中，

一个锐角正弦是怎么定义的？

一个锐角余弦是怎么定义的？

一个锐角正切是怎么定义的？

二、探究活动

思考：

两块三角尺中有几个不同的锐角？

是多少度？

你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．

教师点拨：

归纳结果

例3：求下列各式的值．

（1）cos260°+sin260°．（2）cos45

sin45

-tan45°．

例4：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，，A的度数．

（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB

a ．三、巩固练习

1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=3

，AB=15，则AC 的长是（）．

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12 2．下列各式中不正确的是（）．

A ．sin 260°+cos 2

60°=1 B ．sin30°+cos30°=1 C ．sin35°=cos55° D ．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）．

A ．2 B

．1

4．已知∠A 为锐角，且cosA ≤1

，那么（）

A ．0°<∠A ≤60°

B ．60°≤∠A<90°

C ．0°<∠A ≤30°

D ．30°≤∠A<90°

5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=1

，

cosB= 3

，则△ABC 的形状是（）

A ．直角三角形

B ．钝角三角形

C ．锐角三角形

D ．不能确定

6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tana?的值为（）．

A ．34

B ．43

C ．35

D ．45

7．当锐角a>60°时，cosa 的值（）．

A ．小于12

B ．大于12

C ．大于 3

D ．大于1

8．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=1

2，则sinA+tanA 等于（）．

B C D

9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC

?则∠CAB 等于（）

A ．30°

B ．60°

C ．45°

D ．以上都不对

10．sin 272°+sin 2

18°的值是（）．

A ．1

B ．0

C ．12

D ． 3

五、作业设置：

课本第85页习题28．1复习巩固第3题

第4课时解直角三角形应用（一）

教学目标 1、知识目标

使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2、能力训练点

通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 3、情感目标

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．教学重点：直角三角形的解法．

教学难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学过程一、知识回顾

1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？

(1)边角之间关系 sinA=

c a cosA=c b tanA b

(2)三边之间关系

a 2 +

b 2 =

c 2 (勾股定理)

(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．

以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．二、探究活动

1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的

2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．

3．例题评析

例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 2 a=6，解这个三角形．

∠=350，例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 B

解这个三角形（精确到0.1）．

解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．

完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”

答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．

例3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．

三、巩固练习

∠的平分线AD=43，解此直角三角形。

在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC

解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．

四、总结与扩展

请学生小结：1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．

2解决问题要结合图形。

五、布置作业

p96 第1，2题

第5课时解直三角形应用（二）

教学目标

1、知识目标

使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．

2、能力目标

逐步培养分析问题、解决问题的能力．

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．教学重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学过程一、回忆知识

1．解直角三角形指什么？

2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理：a 2+b 2=c 2

(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系：

tanA=的邻边的对边

A A ∠∠

二、新授概念 1．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

2．例

如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米)

解：在Rt △ABC 中sinB=

∴AB=B AC sin =2843

.01200=4221(米)

答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．

斜边的邻边

A A ∠=

cos 斜边的对边A A ∠=

sin

例2：2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ）

分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角三角形FOQ 中解决。

例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=

斜边

的对边A ∠

来解决的两个实际问题即已知α∠和斜边，求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．

三、巩固练习

1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为600

，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m ）

2．如图6-17，某海岛上的观察所A 发现海上某船只B 并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A 的标高(当水位为0m 时的高度)为43.74m ，当时水位为+2.63m ，求观察所A 到船只B 的水平距离BC(精确到1m)

教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：

四、布置作业

1．课本p96 第 3，.4，.6题

第6课时解直三角形应用（三）

教学目标 1、知识目标

使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决． 2、能力目标

逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 3、情感目标

渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．教学重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．教学难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．教学过程

一、导入新课

上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．二、例题分析

例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A-26°，

求中柱BC(C 为底边中点)和上弦AB 的长(精确到0.01米)．

分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？

由题意知，△ABC 为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5米，可利用解Rt △ABC 的方法求出BC 和AB ．

例2．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东650

方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达

位于灯塔P 的南东340

方向上的B 处。这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远(精确到0.01海里)？

引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪

个三角形来求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解

较为简便？

三、巩固练习

为测量松树AB 的高度，一个人站在距松树15米的E 处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．

首先请学生结合题意画几何图形，并把实际问题转化为数学问题．

Rt △ACD 中，∠D=Rt ∠，∠ACD=52°，CD=BE=15米，CE=DB=1.72米，求AB ？

四、总结与扩展

请学生总结：通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决．

本课涉及到一种重要教学思想：转化思想．五、布置作业 1．某一时刻，太阳光线与地平面的夹角为78°，此时测得烟囱的影长为5米，求烟囱的高(精确到0.1米)．

2．如图6-24，在高出地平面50米的小山上有一塔AB ，在地面D 测得塔顶A 和塔基B 的仰面分别为50°和45°，求塔高．

3．在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．

第7课时解直三角形应用（四）

教学目标

1、知识目标致

使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．

2、能力目标

逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

3、情感目标

培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点

教学重点：把等腰梯形转化为解直角三角形问题；

教学难点：如何添作适当的辅助线．

教学过程

一、导入新课

出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情．

二、讲解例题

例：燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC(精确到1mm)．

分析：(1)引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD中，上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC．

(2)让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这一转化有所了解．因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题．

例题小结：遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．

三、巩固练习

如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米)．

分析：(1)请学生审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD 是直角三角形．其中CD=5m ，∠CAD=60°，求AD 、AC 的长．

(2)学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评．

四、小结

请学生作小结，教师补充．

本节课教学内容仍是解直角三角形，但问题已是处理一些实际应用题，在这些问题中，有较多的专业术语，关键是要分清每一术语是指哪个元素，再看是否放在同一直角三角形中，这时要灵活，必要时还要作辅助线，再把问题放在直角三角形中解决．在用三角函数时，要正确判断边角关系．五、布置作业

1．如图6-28，在等腰梯形ABCD 中，DC ∥AB ， DE ⊥AB 于E ，

AB=8, DE=4, cosA=53

, 求CD 的长.2．教材课本习题P96第6，7，8题

第8课时解直三角形应用（五）

教学目标 1、知识目标

巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题． 2、能力目标

逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 3、情感目标

培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．教学重点：解决有关坡度的实际问题．教学难点：理解坡度的有关术语．

一、创设情境，导入新课．

例同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33

水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)．

通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，

会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义．二、介绍概念坡度与坡角

结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h 和水

平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i 表示。即ｉ＝l h

，

把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．

引导学生结合图形思考，坡度i 与坡角α之间具有什么关系？

答：i ＝l h

＝tan α

这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．

练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；

______，坡角α______度．

为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：

(1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明．

(2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明．

如图，铅直高度AB 一定，水平宽度BC 增加，α将变小，坡度减小，

因为 tan α＝BC AB

，AB 不变，tan α随BC 增大而减小

(2)与(1)相反，水平宽度BC 不变，α将随铅直

高度增大而增大，tan α

也随之增大，因为tan α=BC AB

不变时，tan α

随AB 的增大而增大

三、讲授新课

引导学生分析例题，图中ABCD 是梯形，若BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，梯形就被分割成Rt △ABE ，矩形BEFC 和Rt △CFD ，AD=AE+EF+FD ，AE 、DF 可在△ABE 和△CDF 中通过坡度求出，EF=BC=6m ，从而求出AD ．

以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．

坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．

解：作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，

∴AE=3BE=3×23=69(m)．

FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．

∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．

因为斜坡AB 的坡度i ＝tan α＝31

≈0.3333，查表得

α≈18°26′

答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．

四、巩固练习

(1)教材P124. 2

由于坡度问题计算较为复杂，因此要求全体学生要熟练掌握，可能基础较好的学生会很快做完，教师可再给布置一题．

(2)利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：

①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；

②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．

分析：1．引导学生将实际问题转化为数学问题．

2．要求S等腰梯形ABCD，首先要求出AD，如何利用条件求AD？

3．土方数=S·l

∴AE=1.5×0.6=0.9(米)．

∵等腰梯形ABCD，

∴FD=AE=0.9(米)．

∴AD=2×0.9+0.5=2.3(米)．

总土方数=截面积×渠长

=0.8×100=80(米3)．

答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为80立方米．

五、总结与扩展

引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力．

1．弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题

2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．

3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．

4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．六、布置作业

1．看教材，培养看书习惯，作本章小结．

2．课本习题P96第5，8题

课题锐角三角函数——正弦一、教学目标 1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2、能根据正弦概念正确进行计算 3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。二、教学重点、难点重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。三、教学过程（一）复习引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度。这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）实践探索为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB 根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即 34 1米 10米 ?

锐角三角函数中考主要考查点： 1．锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值； 2．解直角三角形；解直角三角形的应用； 3．直角三角形的边角关系的应用 ? 知识点1. 直角三角形中边与角的关系中，∠C=90° （1）边的关系：（2）角的关系：（3）边与角的关系： sinA = cosA= tanA= cotA= sinA ＝cosB ＝ a c ， cosA ＝sinB ＝ b c ，tanA ＝＝a b ， tanB ＝b a , cotA=b a ? 知识点2. 特殊角的三角函数值特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下： α sinα cosα tanα 30° 1 2 33 45° 22 22 1 60° 1 2 斜边的对边 A ∠斜边的邻边A ∠邻边的对边A ∠ 对边的邻边A ∠2 3 233

? 知识点3. 三角函数的增减性已知∠A 为锐角，sinA 随着角度的增大而增大，tanA 随着角度的增大而增大， cosA 随着角度的增大而减小。例1. 已知∠A 为锐角，且cosA≤ 2 1 ，那么（）（A ） 0°＜A≤60°（B ）60°≤A ＜90°（C ）0°＜A≤30°（D ）30°≤A ＜90° ? 知识点4. 同角三角函数与互为余角的三角函数之间的关系。 1. 同角三角函数的关系 1cos sin 22=+A A A A A cos sin tan = 1cot tan =?A A 2. 互为余角的三角函数之间的关系90=+B A B A B A sin cos cos sin == ?=47cos 43sin ο 1tan tan =?B A ? 知识点5. 直角三角形的解法直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据，因此，解直角三角形的关键是正确选择直角三角形的边角关系式，使两个已知元素（其中至少有一个元素是边）. 重要类型: 1.已知一边一角求其它。 2.已知两边求其它。例2. 在中，∠C=90°，，∠A －∠B=30°，试求的值。 A C B

【锐角三角函数全章教案】锐角三角函数（第一课时）教学三维目标：一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。教材分析： 1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念 2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切教学程序：一．探究活动 1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2．归纳三角函数定义。 siaA= 斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边的对边 A A ∠∠ 3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。 4.学生练习P21练习1，2，3 二．探究活动二 1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60°

2. 求下列各式的值（1）sia 30°+cos30°（2）2sia 45°-21cos30°(3)0 4530cos sia +ta60°-tan30° 三．拓展提高P82例4.（略） 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=2 3 ,AC=23,求AB 四．小结五．作业课本p85－86 2,3,6,7,8,10

解直角三角形应用（一）一．教学三维目标 (一)知识目标使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感目标渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．三、教学过程 (一)知识回顾 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=b a (2)三边之间关系 a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．（二）探究活动 1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题评析

锐角三角函数全章教案单元要点分析内容简介本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容．第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用．相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础．本章属于三角学中的最基础的部分内容，而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础．教学目标 1．知识与技能（1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值．（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角．（3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题．（4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 2．过程与方法贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，在探究问题的过程中找出规律，再运用这些规律于实际生活中． 3．情感、态度与价值观通过解直角三角形培养学生数形结合的思想．重点与难点 1．重点（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，?应该牢牢记住．（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题． 2．难点（1）锐角三角函数的概念．

（2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析，?解决问题的能力．教学方法在本章，学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，初学者不易理解．?讲课时应注意，只有让学生正确理解锐角三角函数的概念，才能掌握直角三角形边与角之间的关系，才能运用这些关系解直角三角形．故教学中应注意以下几点： 1．突出学数学、用数学的意识与过程．三角函数的应用尽量和实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的问题． 2．在呈现方式上，突出实践性与研究性，三角函数的意义要通过问题经出，?再加以探索认识． 3．对实际问题，注意联系生活实际． 4．适度增加训练学生逻辑思维的习题，减少机械操作性习题，?增加探索性问题的比重．课时安排本章共分9课时． 28．1 锐角三角函数4课时 28．2 解直角三角形4课时小结1课时 28．1 锐角三角函数内容简介本节先研究正弦函数，在此基础上给出余弦函数和正切函数的概念．通过两个特殊的直角三角形，让学生感受到不管直角三角形大小，只要角度不变，那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数，这为引出正弦函数的概念作好铺垫．这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比着正弦函数自己完

第28章锐角三角函数单元测试一、选择题（每题3分，共30分） 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是（） A ．sinA=sin B B ．cosA=sinB C ．sinA=cosB D ．∠A+∠B=90° 2．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值（） A 扩大3倍 B 缩小3倍 C 都不变 D 有的扩大，有的缩小 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（） A ．c = sin a A B ．c =cos a A C ．c =a ·tanA D ．c =a ·cotA 4、若tan(α +10°)=3，则锐角α的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50° 5．已知△ABC 中，∠C=90°，设sinA=m ，当∠A 是最小的内角时，m 的取值范围是（） A ．0＜m ＜12 B ．0＜m ＜22 C ．0＜m ＜33 D ．0＜m ＜32 6．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（） A ．1米 B ． 3 米 C ．2 3 米 D ．23 3 米 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4 3 ，BC=8，则AC 等于（） A ．6 B ． 32 3 C ．10 D ．12 8．sin 2θ＋sin 2 (90°－θ) (0°＜θ＜90°）等于（） A 0 B 1 C 2 D 2sin 2 θ 9．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC= 35 ，则BC 的长是（） A 、4 cm B 、6 cm C 、8 cm D 、10 cm 10．以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆。若点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为（） A (cos α ,1) B (1 , sin α) C (sin α , cos α) D (cos α , sin α) （附加）小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30o角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( ) A ．9米 B ．28米 C ．（7+3）米 D ．（14+23）米二、填空题：（每题3分，共30分） 1．已知∠A 是锐角，且sinA= 3 2 ，那么∠A ＝ . 2．已知α为锐角，且sin α =cos500 ，则α ＝ . 3．已知3tan A -3=0，则∠A ＝ . （第9题）（附加题）

《锐角三角函数》教案教学目标 1．知识与技能：（1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切正弦、余弦的意义和与现实生活的联系．（2）能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度（坡比）等．（3）能够根据直角三角形的边角关系，用正切、正弦、余弦进行简单的计算． 2．过程与方法：体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题． 3．情感态度与价值观：进一步锻炼学生用数学的观点来解释身边的事物，形成良好的数学思维习惯和思维品质．教学重点理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．教学难点理解正切、正弦、余弦的意义，并用它来表示两边的比．教学过程第一环节创设问题情境活动内容：观察梯子的倾斜程度梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？为了描述梯子的这种倾斜程度，先给大家介绍三个简单的概念：倾斜角，铅垂高，水平宽．1．图1—1和图1—2中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你是如何判断的？

2．图1—3中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你又是如何判断的？对于图1—3，学生可能难于下手，这时老师可以借助几何画板的动态演示，引导学生比较对边与邻边的比值，即比较表一中的1t 与2t 大小，当12t t >、12t t <、12t t 时，借助几何画板直观的验证梯子的倾斜程度，以突破学生认识上的障碍．（为了方便研究，表格中的数据精确到十分位）．活动目的：先让学生从图1-1和图1-2中直观感受梯子的倾斜程度，再让学生理性思考该如何寻找方法判断图1-3中梯子的倾斜程度．这样学生会感到知识上的匮乏，从而对数学产生好奇心和求知欲．让他们从实例中体会不同情况下比较梯子的倾斜程度只靠直观感受是不够的，还需要其他方法——用边的比进行比较．第二环节探求新知活动内容1：在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？图1— 1 图1—2 图1— 3 表 1

第二十八章锐角三角函数全章测试一、选择题 1．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,3 2sin =A 则AC 的长为( ) A ．6 B ．52 C ．53 D ．132 2．⊙O 的半径为R ，若∠AOB ＝α ，则弦AB 的长为( ) A ．2 sin 2α R B ．2R sin α C ．2 cos 2α R D ．R sin α 3．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．312 B ．12 C ．324 D ．348 4．若某人沿倾斜角为α 的斜坡前进100m ，则他上升的最大高度是( ) A ． m sin 100 α B ．100sin α m C ． m cos 100 β D ．100cos β m 5．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( ) A ．15m B ．12m C ．9m D ．7m 6．P 为⊙O 外一点，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2α ，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( ) A ． α α tan sin R B ． α α sin tan R C ． α α tan sin 2R D ． α α sin tan 2R 7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，若CB ＝a ，∠B ＝β ，则AD 等于( ) A ．a sin 2β B ．a cos 2β C ．a sin β cos β D ．a sin β tan β 8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么 AB DC 的值为( ) A ．sin ∠APC B ．cos ∠APC C ．tan ∠APC D ． APC ∠tan 1 9．如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆的仰角∠ECA 为30°，旗杆底部的俯角∠ECB 为45°，那么，旗杆AB 的高度是( )

第一章直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数（2）一、知识点 1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦 2. 用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算. 二、教学目标知识与技能 1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2. 能够用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感态度与价值观 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 三、重点与难点重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 四、复习引入设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 五、探究新知探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考：（1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是；（2）的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ；（3）如果改变B 2在斜边上的位置，则的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ；思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. B 1 B 2 A C 1 C 2

人教版九年级下册数学第二学期单元质量检测九年级数学·28章·锐角三角函数九（）班号姓名成绩本试卷共100分。考试时间100分钟。一、选择题(每小题3分，共24分) 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝ 34，则sin A 等于( )． A.43 B.34 C.53 D.35 2310)1α+?=，则锐角a 的度数是( )． A ．20° B ．30° C ．40° D ．50° 3．如图所示，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取∠ABD ＝145°，BD ＝500 m ，∠D ＝55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是( )． A ．500sin 55°m B ．500cos 55°m C ．500tan 55°m D.500cos55? m 4．小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1 000 m ，则他升高了( )． A ．2005 B ．500 m C ．3 D ．1 000 m 5．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，设sin B ＝n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是( )． A ．0＜n ＜22 B ．0＜n ＜ 12 C ．0＜n ＜3 D ．0＜n 36．某个水库大坝的横断面为梯形，迎水坡的坡度是13背水坡为1∶1，那么两个坡的坡角和为( )． A ．90° B ．75° C ．60° D ．105° 7．计算6tan45°－2cos60°的结果是( ) A ．4 3 B ．4 C ．5 D ．5 3 8．野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东60°方向前进了3 km ，第二小组向南偏东30°方向前进了3 km ，第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向和距离分别为( )． A ．南偏西15°，32 B ．北偏东15°，32 C ．南偏西15°，3 km D ．南偏西45°，329．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若AC ＝2 3，AB ＝4 2，则tan ∠BCD 的值为( ) A. 2 B.153 C.155 D.33 10．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB )为1.6 m ，则这棵树的高度为( )(结果精确到0.1m ，3≈1.73)． A ．3.5 m B ．3.6 m C ．4.3 m D ．5.1 m

2. 求下列各式的值（1）sia 30°+cos30°（2）2sia 45°-21cos30°(3)0 45 30cos sia +ta60°-tan30° 三．拓展提高P82例4.（略） 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=2 3 ,AC=23,求AB 四．小结五．作业课本p85－86 2,3,6,7,8,10 解直角三角形应用（一）一．教学三维目标 (一)知识目标使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感目标渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．三、教学过程 (一)知识回顾 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA= c a cosA=c b tanA=b a (2)三边之间关系 a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)

23.1锐角的三角函数 1. 锐角的三角函数第一课时正切教学目标 ◆知识与技能 1.初步了解角度与数值的一一对应的函数关系。 2.会求直角三角形中某个锐角的正切值。 3.了解坡度的有关概念。 ◆过程与方法让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。 ◆情感态度通过探究活动激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索，合作交流，培养学生的创新意识。教学重点： 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。教学难点：锐角三角函数的概念的理解。教学准备多媒体课件制作教学设计一、导入新课导语：因为这座桥的设计让它成为了旅游新热点，火起来的原因不是因为怪异的设计或者美不胜收的景色，而是大家都很好奇这个桥的坡度到底有多陡？陡峭堪比过山车！

不少人给这座桥赋予了极不靠谱的数据，实际上这个坡的斜率仅为6.1%，如果按咱们口头常用单位来讲还不足4度。大家看到这个图片后一定很吃惊，那我们要想了解这副图的背景故事，我们就要来学习这里出现的数据6.1%和4度代表了什么? （导入课题锐角三角函数）二、推进新课 1．交流合作【问题1】在图23－2中有两个直角三角形，直角边AC与A 1C 1 表示水平面，斜边AB与A 1B 1 分别表示两个不同的坡面，哪个更陡？你是怎么判断的？学生可由水平长度相等，铅直高度不同进行判断．【问题2】当水平长度和铅直高度都不相等时，类似的在图23－3中，坡面AB 与A 1B 1 哪个更陡？你又是如何判断呢？

6.1锐角三角函数⑴教学设计一.教学目标： 1.知识与技能：了解三角函数的概念，理解正弦、余弦、正切的概念；掌握在直角三角形之中，锐角三角函数与两边之比的对应关系；掌握锐角三角函数的概念并会求一个锐角的三角函数值. 2.过程与方法： ⑴ 通过经历三角函数概念的形成过程,丰富学生的数学活动经验； ⑵ 渗透数形结合的数学思想方法. 3.情感态度与价值观： ⑴ 让学生感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历； ⑵ 培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神. 二.重点、难点：重点：锐角三角函数的概念. 难点：锐角三角函数概念的形成. 三.教学过程：（一）、创设情境，激趣设疑通过创设“生活中测量塔的高度、山坡上修建的扬水站需要的水管 ”的情境，让学生思考利用直角三角形的边角关系能否求物体的高度和长度. 设计意图：从生活中的实例出发，设置疑问，激发学生的求知欲. （二）、合作探究，引出新知 1．实践：已知一个45°的∠A ，在角的一边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C.量出BC ，AB 的长度（精确到1毫米）.计算AB BC 的值（结果保留2个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较. 设计意图：通过动手操作、合作、交流，直观感知比值AB BC 非常接近，大小和点B 的位置无关，并由此猜想比值是个定值。在活动的过程中，教给学生探

究的常用方法：观察、测量、比较、归纳、猜想等，有效培养学生的探究能力，丰富学生的数学活动经验。同时学生的实践活动，让他们经历了三角函数的概念的初步形成过程. 教师引导学生验证:对于给定一锐角α，比值AB BC 是一定值. ① 利用相似三角形的性质，说明“对于每一个确定的锐角α，在角的一边上任取一点B,作BC ⊥AC 于点C,比值AB BC 都是一个确定的值,与点B 在角的边上的位置无关”. ② 出示几何画板，演示对应于不同大小的角度，总有相应的比值AB BC ，让学生直观感知比值AB BC 与角度的对应. 设计意图：利用相似三角形对应边成比例的性质,验证第一环节的猜想是正确的,即:当角度确定时,比值AB BC 是个定值.同时利用几何画板的直观演示,让学生进一步感知:对应于每一个不同的角度, AB BC 都会有一个确定的值.至此，锐角三角函数的概念已是呼之欲出. 教师引导学生发现当锐角α确定时,AB AC ,AC BC 的比值也是定值,并说明理由. 设计意图：先给出比值AB BC 是定值的验证，然后类比2的验证过程得出另两个比值也是定值，这样的设计可以降低难度，并渗透“类比”的数学思想方法和探究方法. 4.新知应用、变式1、变式2于学生掌握新知，为本节课的后续学习打下基础。 5.教师引导学生说出锐角α与AB BC ,AB AC ,AC BC

人教版九年级数学第28章锐角三角函数章末复习一、选择题 1. (2019?天津) 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 2. （2020·杭州）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（） A ．c ＝b sin B B ．b ＝c sin B C ．a ＝b tan B D ．b ＝c tan B 3. 一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( ) A . 斜坡A B 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10° C . AC ＝1.2tan 10° 米 D . AB ＝ 1.2 cos 10° 米 4. (2019?山东威海)如图，一个人从山脚下的A 点出发，沿山坡小路AB 走到山顶B 点．已知坡角为20°，山高BC=2千米．用科学计算器计算小路AB 的长度，下列按键顺序正确的是 A ． B ． C ． D ． 5. (2019?江苏苏州)如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30，则教学楼的高度是

A ．55.5m B ．54m C ．19.5m D ．18m 6. （2020?湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边AB ＝a ，BC ＝b ，∠DAO ＝x ，则点C 到x 轴的距离等于（） A ．a cos x +b sin x B ．a cos x +b cos x C ．a sin x +b cos x D ．a sin x +b sin x 7. (2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ， B ， C ， D ，O 在同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于 A ．asinx+bsinx B ．acosx+bcosx C ．asinx+bcosx D ．acosx+bsinx 8. (2019·浙江温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB 的长为 C

28.1．1锐角三角函数初三备课组教学目标 1．知识与技能（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，?由已知三角函数值求出相应的锐角． 2．过程与方法通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． 3．情感、态度与价值观引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．重点与难点 1．重点：正弦三角函数概念及其应用． 2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA表示正弦，正弦概念．教学过程情境引入比萨斜塔1350 年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m．至今，这座高54.5 m 的斜塔仍巍然屹立．你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？问题1为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，需要准备多长的水管？这个问题可以归结为: 在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35 m，求AB．在上面的问题中，如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？思考：由这些结果，你能得到什么结论？结论：在直角三角形中，如果一个锐角的度数是30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值是一个固定值，为0.5 ．问题2：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A 的对边与斜边的比． B

单元分析一、单元名称：第28章锐角三角函数二、教学内容及教材分析： 1、本章的主要内容有测量、直角三角形的性质、锐角三角函数和解直角三角形的概念；有关锐角三角函数的计算，以及锐角三角函数在解决与直角三角形有关的问题中的应用． 2、锐角三角函数刻画了直角三角形中边角之间的关系，它的直接应用是解直角三角形，而解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用．锐角三角函数又是高中阶段学习任意角三角函数的基础，也是整个三角学的基础．因此，本章内容也是初中阶段数学学习的重点内容之一．三、重难点与关键 1、教学重点：锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。 2、教学难点：锐角三角函数的概念。 3、教学关键：锐角三角函数的概念。四、教学目标： 1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sin A、cos A、tan A、表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切、余切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角。 2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角。 3.理解直角三角形中边与边的关系、角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题。

4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用。五、教学方法与策略： 1、注意创设学生熟悉的问题情境．如引入锐角三角函数时，使学生在熟悉的问题情境中，从已有经验出发，研究其中的数量关系． 2、注意引导学生进行合作交流．如在探索锐角三角函数时，在已知角的边上选点、作垂线、测量、计算比值后让学生及时交流，体会当角的大小固定时，比值与所选点的位置无关；当任意画一个锐角再选点、作垂线、测量、计算比值后，及时交流，体会当角的大小变化时，比值也随之变化，由此体验比值是角的函数． 3、注意引导学生灵活运用所学知识解决现实生活中的实际问题和数学本身的问题．六、课时安排 28.1锐角三角函4课时28.2解直角三角形及其应用5课时小结与复习1课时单元测试2课时

第二十八章《锐角三角函数》水平测试（一）班级姓名座号一、选择题：（每题4共30分） 1．在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（） A. 2 1 B. 3 3 C. 1 D. 3 2．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（） A ．10米 B ．15米 C ．25米 D ．30米 3．若A B ∠∠、均为锐角，且2 1cos 21 sin ==B A ，，则（）. A ．?=∠=∠60B A B ．?=∠=∠30B A C ．?=∠?=∠3060B A ， D ．?=∠?=∠6030B A ， 4. 在△ABC 中，∠C ＝90°，5 3 sin = A ，则= B tan （）． A.5 3 B.5 4 C.43 D.34 5．在ABC Rt ?中，?=∠90C ，若?=∠30A ，则三边的比c b a ：：等于（）A ．1：2：3 B ．1：3：2 C ．1：1：3 D ．1：2：2 6．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则sin AOB ∠=（）Ａ． 55 Ｂ．25 5 Ｃ．12 Ｄ．2 7．cos 2 45°＋tan60°?cos30°等于（）． A 、1 B 、2 C 、2 D 、3 30 ° A B O

8．如图，设，，βα=∠=∠BOC AOC P 为射线OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，则PE PD 等于（） A ． βα sin sin B ． βαcos cos C ．βαtan tan D ．α β tan tan 9、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ’B ’C ’，那么锐角A 、A ’的余弦值的关系为（）． A 、cosA ＝cosA ’ B 、cosA ＝3cosA ’ C 、3cosA ＝cosA ’ D 、不能确定 10、化简2 (tan 301)- ＝（）。 A 、313- B 、31- C 、313 - D 、31- 二、填空题：（每题4分，共32分） 11．?ABC 中，4590==?=∠BC AB C ，，，则._____tan =A 12．在一艘船上看海岸上高42米的灯塔顶部的仰角为30度，船离海岸线 ____________米. 13．若∠A 是锐角，且sinA=cosA,则∠A 的度数是____________度 14．等腰三角形的两边分别为6和8，则底角α的正切为._____ 15．菱形中较长的对角线与边长之比为1:3，那么菱形的两邻角分别是 ._____ 16．升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m ，则旗杆高度约为_________。（取3 1.73=，结果精确到0.1m ） 17．某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度． 18．在等腰梯形ABCD 中，腰BC 为2，梯形对角线AC 垂直BC 于点C ，梯形的高为 3，则CAB ∠为._____ 度 O

1.1锐角三角函数(1)教学设计浙教版九(下)1.1节航埠镇初中崔小勇一、教学内容分析本节课是三角函数的起始课，是在学生学习了正比例函数、一次函数、反比例函数以及二次函数后已对函数有了一定的理解的基础上来学习，但是三角函数与以前学习过的函数有着较在区别，函数值随角度变化而变化，函数值是关于角度的函数与所在三角形无关很难理解，课本把它放在直角三角形中来进行定义及进行简单计算，可以降低难度，学生能更好地理解学习，本课时主要内容是三角函数的概念及进行简单的计算应用，而其中三角函数的概念应是本节课的难点。二、学习类型与任务分析（一）学习类型 1、学习结果（1）三角函数的概念是数学概念（2）在直角三角形中函数值恰好等于边长之比是数学原理（3）利用利用三角函数的定义进行简单计算是数学技能，数形结合思想是数学思想方法。（4）利用各种方法进行因式分解，因式分解的应用是数学问题解决。（5）通过让学生体验三角函数来源于生活；通过构造直角三角形来计算锐角三角函数值的过程是数学认识策略。 2、学习形式锐角三角函数（1）是三角函数的起始课，属上位学习；三角函数的概念形成很抽象，宜通过实例、生活情境入手引入，让学生从实例中探究，体验概念的形成过程，宜采用探究与合作相结合的启发式教与学。正比例函数一次函数反比例函数二次函数三角函数锐角三角函数的概念进行简单计算（三）学生的起点能力 1．函数概念，一些特殊简单函数及其性质的学习。 2．线段比例及相似三角形（图形）的学习。三、教学目标知识技能目标：了解三角函数的概念，学会在直角三角形中进行一些简单的计算。过程方法目标：（1）通过体验三角函数概念的形成过程增进学生的数学经验（2）渗透数形结合的数学思想方法。（3）培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神。情感态度目标（1）让学生感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历。（2）通过实际问题情境的经历探究性的学习培养学生学习数学的兴趣，培养学生热爱数学、热爱生活的情感。

§19.3锐角三角函数(一) 学习目标:1.通过实例认识直角三角形的边角关系,即锐角的四个三角函数的概念. 2.已知直角三角形的两边,会求这个直角三角形的一个锐角的四个三角函数值. 学习过程：一、复习引人： 1．如图,请说出Rt △ABC 所具有的性质。 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ①已知a=2,b=3,求c; ②已知a=5,c=13,求b; ③已知b=6,c=10,求a 。二．新课学习 1．回忆书上P98测量操场旗杆的高度BC 的情形，其中出现了两个相似的直角三角形，即 △ ∽△ ∴ AC C A BC C B ' '''= ∴ AC BC C A C B ='''' 2．直角三角形ABC 可以简记为，直角∠C 所对的边AB 称为，用表示，另两条直角边分别为∠A 的与，用表示（如图）.

3．结论①：在Rt △ABC 中，只要一个锐角的大小不变（如∠A ＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值. 4．思考：在Rt △ABC 中，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？观察右图中的Rt △AB 1C 1、Rt △AB 2C 2和Rt △AB 3C 3，易 Rt △AB 1C 1∽Rt △_______∽Rt △ _________. ∴1 11AC C B ＝__________=__________. 5．对于其他边的比值关系又有什么样的关系呢？同学们可以思考一下?小组之间互相交流一下。 6．结论③：对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的. 7．归纳：①这几个比值都是锐角∠A 的函数，记作，即的，，，，统称为锐角∠A 的三角函数. ②锐角三角函数值都是正实数，并且＜sin A ＜，＜cos A ＜。 ③根据三角函数的定义，我们还可得出

28.1 锐角三角函数（ 1）一、教学目标 1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2、能根据正弦概念正确进行计算 3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。二、教学重点、难点重点：理解认识正弦（ sinA ）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。一）复习引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部 10 米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为 34 度，并已知目高为 1 米．然后他很快就算出旗杆的高度了。你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度。这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）实践探索为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30o,为使出水口的高度为 35m ，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在 Rt △ABC 中，∠ C=90o ，∠A=30o ， BC=35m 求, AB 根据“再直角三角形中， 30o 角所对的边等于斜边的一半”，即可得 AB=2BC=70m 即. 需要准备 70m 长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于何，这个角的对边与斜边的比值都等于教学过程 30o ，那么不管三角形的大小如

第28章 锐角三角函数 全章教案

第28章锐角三角函数全章教案