勾股定理 最短距离问题
蚂蚁爬行的最短路径
正方体
4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）
A ．A ?P ?
B B ．A ?Q ?B
C ．A ?R ?B
D ．A ?S ?
B
解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．
2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .
解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB=
51222=+．
8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .
解：将正方体展开，连接M 、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，
第6题
第7题
MD 1=
1323222
12=+=+DD MD ．
5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）
解：如图，AB=
()101212
2=++．故选C ．
9
．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为
1cm ，
假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用
2.5秒钟．
解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ；
（2）展开底面右面由勾股定理得AB=
=5cm ；
所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．
A B A 11C
D 1C 11
4
长方体
10．（2009?恩施州）如图，长方体的长为15
，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5
，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B
，需要爬行的最短距离是 。
解：将长方体展开，连接A 、B ， 根据两点之间线段最短，AB=
=25．
11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .
解：正面和上面沿A 1B 1展开如图，连接AC 1，△ABC 1是直角三角形， ∴AC 1=
(
)534214222
22
12=+=++=+BC AB
18．（2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．
解：
∵PA=2×（4+2）=12，QA=5 ∴PQ=13．
故答案为：13．
19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ，CD 上的点B 距地面的高BD=8cm ，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？
解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB ， 则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．
解：在Rt △ABD 中，
因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8， 所以AB 2=AD 2+BD 2=152+82=289=172． 所以AB=17cm ．
故蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．
49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.
(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？
(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?
A B
C
D
.
30
12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。
解：由题意得，
路径一：AB= = ；
路径二：AB= =5；
路径三：AB= = ；
∵＞5，
∴5米为最短路径．
13．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．
解：（1）AB的长就为最短路线．
然后根据若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为（cm）；
若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为（cm），
或（cm）
所以蚂蚁经过的最短路程是cm．
（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，
最长路程是30cm．
15．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是。
解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm，
则所走的最短线段是=6 cm；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm，
所以走的最短线段是= cm；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm，
所以走的最短线段是=2 cm；
三种情况比较而言，第二种情况最短．
51．圆柱形坡璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。
16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为cm
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm，宽为（2+3）×3cm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得x=25．
故答案为25．
17．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B
是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是 cm 。
解：将台阶展开，如下图， 因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，
所以AB 2=AC 2+BC 2=169， 所以AB=13（cm ），
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm ． 答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm ．
圆柱
21．有一圆柱体如图，高4cm ，底面半径5cm ，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C 处，求蚂蚁爬行的最短距离 .
解：AC 的长就是蚂蚁爬行的最短距离．C ，D 分别是BE ，AF 的中点． AF=2π?5=10π．AD=5π． AC=
22CD AD +≈16cm ．
故答案为：16cm ．
22．有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为 . 解：AB=1312522=+
m
第2题
第3题
5
．
解：因为圆柱底面圆的周长为2π×
π
6
=12，高为5，
所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形， 根据勾股定理，对角线长为 =13．
故蚂蚁爬行的最短距离为
13．
24．如图，一圆柱体的底面周长为24cm ，高AB 为9cm ，BC 是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，则蚂蚁爬行的最短路程是
解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为24cm
， 则AD=24×2
1=12cm ． 又因为CD=AB=9cm ， 所以AC=
=15cm ．
故蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点C 的最短路程是15cm ． 故答案为：15．
25．（2006?荆州）有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1，BB1为相对的两条母线．在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是cm．（结果用带π和根号的式子表示）
解：QA=3，PB1=2，
即可把PQ放到一个直角边是4π和5的直角三角形中，
根据勾股定理得：
QP=
最短路线问题通常是以“平面内连结两点的线中,线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.下面简单谈一下初中数学中遇到的最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。
Ⅰ.求三点距离相等时，一点到两点的距离最短设计方案
例1．为改善白银市民吃水质量，市政府决定从新建的A水厂向B、C供水站供水。已知A、B、C之间的距离相等，为了节约成本降低造价，请你设计一种最优方案，使铺设的输水管道最短，在图中用实线画出你所设计方案的线路图。
解析：可根据三点所构成的三角形形状及三线合一的性质，可求最短路线及设计图。
（1）可设计AB+AC路径；
（2）可设计AD+BD+CD路径；
（3）可设计AE+EB+EC路径。
通过计算比较验证等确定最优化的设计方案为（3）
Ⅱ。求一点，使它与其余两点之和最小的方案设计
例2．为了改善农民生活水平，提高生产，如图，A、B是两个农场，直线m是一条小河，现准备在河
岸某处修建一提灌点，准备给两农场浇水，如何修建，使得提灌点与两农场的距离之和最小，请你在图中画出设计方案图。
解析：两点之间线段最短，可利用轴对称性质，从而可将求两条线段之和的最小值问题转化为求一条线段长的问题。
应用：已知三角形ABC中，∠A＝20度，AB＝AC＝20cm，M、N分别为AB、AC上两点，
求BN＋MN＋MC的最小值。
Ⅲ。求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计
例3．已知圆形花坛以及花坛外一居民区，要在花坛与居民区之间修建一条小道在圆形花坛上选择一点，使其与居民区之间的距离最小。
解析：在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
应用:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？
关于立体图形表面的最短路径问题,又称“绕线问题”是几何中很富趣味性的一类向题.它牵涉的知识面广,沟通了平面几何、立体几何以及平面三角的联系,能训练学生的空间想象能力。而且,也很富有技巧性.在此讨论几个问题,仅供参考。
Ⅰ。在圆柱中，可将其侧面展开求出最短路程
Ⅱ。在长方体（正方体）中，求最短路程
例5．在长方体盒子的A点有一昆虫，在B点有它最喜欢吃的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得所爬路程最短，如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c.则最短路程为多少.
解析：将其中含有一点的面展开，与含另一点的面在同一平面内即可，主要可以分为三种情形：
（1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，可得其路程为：s1=
（2）将前表面展开与上表面在同一平面内，可得其路程为：s2=
（3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，可得其路程为：s3=
然后比较s1、s2、s3的大小，即可得到最短路程.
应用：一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体和蜘蛛相对的顶点C1处。蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从A点爬到C1点，它应沿着怎样的路线爬行，才能在最短的时间内捉住苍蝇？
Ⅲ。在圆锥中，求最短路径问题
例6．在某杂技表演中，有一形似圆锥的道具，杂技演员从A点出发，在其表面绕一周又回到A点，如果绕行所走的路程最短，画出设计方案图。
解析：将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案
应用：如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，
绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是______（结果保留根式）
路程最短问题在中学教学中是个难点，本文结合中学数学中常见的几类最短路程问题，用实例从知识的趣味性、实际生活中的应用等方面探讨了最短路线的简单应用。从中望能给学生培养空间想象能力及动手动脑探究数学问题的思想。学会“转化的思想”的解决问题的方法，今后我们在数学教学与解决数学问题时，也应从这些方面去考虑，找出问题的实质，达到解决问题的目的。充分去体会数学中的有趣知识，从兴趣出发学到有用的数学。
勾股定理解决最短路径问题及折叠问题 1、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 2、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm． 3、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
4、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，求这个最小值 5、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷 （A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB ＝50km ，A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝PA +PB ，图2是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A ′，连接BA ′交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝PA +PB . （1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2＝PA +PB 的值为最小； （3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、 B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值. 图2 A D E P B C
蚂蚁爬行的最短路径 正方体 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的 B 点处，它爬行的最短 路线是（） A． A?P?B B． A?Q?B C． A?R?B D． A?S?B 解：根据两点之间线段最短可知选A． 故选 A． 2. 如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短距离是. 第6 题 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB=2212 5 ． 8. 正方体盒子的棱长为 2 ， BC 的中点为M，一只蚂蚁从 A 点爬行到M点的最短距离为. 第7 题 解：将正方体展开，连接M、 D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，
MD = MD 2222 DD13213 ． 1 5．如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一 蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是（） 12B 1 A 解：如图， AB= 1 2 21210 ．故选C． 9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点，最少要用 2.5 秒钟． 解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短 的路线． （1）展开前面右面由勾股定理得AB==cm； （2）展开底面右面由勾股定理得AB==5cm； 所以最短路径长为 5cm ，用时最少： 5÷2=2.5秒． 长方体 10．（ 2009?恩施州）如图，长方体的长为15，宽为 10，高为20，点 B 离点 C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是。 解：将长方体展开，连接A、 B，根据两点之间线段最短，AB==25．
勾股定理中最短路径问题专题 一、同步知识梳理 1、勾股数：满足a2＋b2＝c2的3个正整数a、b、c称为勾股数． （1）由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件： ①满足a2＋b2＝c2 ②都是正整数．两者缺一不可． （2）将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2＋b2＝c2 (但不一定是勾股数)，例如：3、4、5是一组勾股数，但是以0.3 cm、0.4 cm、0.5 cm为边长的三个数就不是勾股数。 二、同步题型分析 1、等腰三角形的周长是20 cm，底边上的高是6 cm，求它的面积. 2、（1）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，DE垂直平分AB，求BE的长. （2）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，AE平分∠CAE，ED⊥AB,求BE的长. （3）如图，折叠长方形纸片ABCD，是点D落在边BC上的点F处，折痕为AE，AB=CD=6，AD=BC=10，试求EC的长度. 一、专题精讲 知识总结：长方体： （1）长方体的长、宽、高分别为a、b、c；（2）求如图所示的两个对顶点的最短距离d。 E D A C B D E A C B
A B A 1B 1D C D 1C 1214 （2）长方体盒子表面小虫爬行的最短路线d 是22c b a ++）（、22b c a ++）（、2 2a c b ++）（ 中最小者的值。 圆柱体： （1）圆柱体的高是h 、半径是r ；（2）要求圆柱体的对顶点的最短距离。 圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线d ； 两条路线比较：其一、AC+BC 即高+直径 ； 其二、圆柱表面展开后线段AB=2 2r h +的长. 题型二、长方体 例题1、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 . 例题2、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。 B A A B
勾股定理经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少？ 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32
=16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于 ， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，
. ∴. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . ∴ 又∵（已知）， ∴. 在中，根据勾股定理有 ， ∴. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
归纳1:最短路径问题与勾股定理 原题1：如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，CD=4km，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 原题2：如图所示,圆柱体的底面直径为6cm,高AC为12cm,一只蚂蚁从A点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B,试求出爬行的最短路程.(π取3） 原题3：如图，有一个长方体的长、宽、高分别是3、2、1，在底面A处有一只蚂蚁，它想吃正方体B处的食物，需要爬行的最短路程是多少? 变式1：正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为多少。 变2：如图(1),A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁(直线l1、l2是街道两边沿),现准备合作修建一座过街人行天桥. (1)天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短?在图(2)中作出此时桥PQ的位置,简要叙述作法并保留作图痕迹.(注:桥的宽度忽略不计,桥必须与街道垂直). (2)根据图(1)中提供的数据计算由A经过天桥走到B的最短路线的长.(单位:米) 变3：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ 变4：有一圆柱形油罐,要以A点环绕油罐建旋梯,正好到A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米?（己知油罐周长是12米,高AB是5米） 变5：如图，圆柱底面半径为2cm,高为9π，A、B分别是圆柱底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短距离。 变6：如图, 透明的圆柱形容器( 容器厚度忽略不计) 的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点 A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少? 变7：如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
最短距离： 1.(本小题10分)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘AB=CD=16，点E在CD上，CE=4，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为( )(π按3计算) A. 15 B. C. D. 21 2.如图，圆柱底面半径为，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一母线上，用一根棉线从点A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为( ) A. 12cm B. C. 15cm D. 3. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别为50寸，30寸和10寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长是( ) A. 13寸 B. 40寸 C. 130寸 D. 169寸 4. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行 的最短路线的长为( ) A. 20 B. 22 C. 28 D. 18 5. 如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm．当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），若筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度和杯子的高度分别为( )cm．
A. 8，7 B. 8.5，7.5 C. 9，8 D. 10，9 6. 如图，将一根木棒垂直或倾斜的放进长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm的水箱中，能放入水箱内木棒的最大长度为( )cm． A. 13 B. 12 C. 15 D. 16 7. 一辆卡车装满货物后宽3.2米，这辆卡车要通过如图所示的隧道（上方是一个半圆，下方是边长为4米的正方形），则装满货物后卡车的最大高度为( )米． A. 5.2 B. 5.8 C. 7.6 D. 5.4 8.某工厂大门形状如图所示，其上部分为半圆，工厂门口的道路为双行道（双行道中间隔离带忽略不计）．要想使宽为1.5米，高为3.1米的卡车安全通过，那么此大门的宽度至少应增加 多少米？ 9. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为____cm． 10. 如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个
课题《利用勾股定理求立体图形最短路径》学案 【学习目标】 1. 理解并掌握勾股定理的内容，学会用勾股定理求最短路径 2. 通过动手探究，了解求立体图形上任意两点之间的最短距离的常用方法 3. 通过把立体图形转化为平面图形，体会转化思想 【学习活动】 一、知识回顾，加强理解 1.勾股定理的基本内容： 2.在同一平面上两点之间的最短路径常用的方法：两点之间，最短 一、典例分析，规律升华 探究一：正方体中的最短路径 例1：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是多少？ 探究二：长方体中的最短路径 例2：如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物那么它需要爬行的最短路径为多少？ 探究三：圆柱中的最短路径 例3：如图，有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧表面爬行的最短路程是多少? (π的值取3) B A 总结：1. 通过长方体的最短路径你发现了什么规律？
2. 立体图形最短路径常用的方法是 二、巩固提高，归纳提升 如图，有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80 cm，高AB=60 cm，水深为AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．求小动物爬行的最短路线长？ 三、达标测评，查漏补缺 1.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁 如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是。 2.如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm ，BC是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的侧表面爬行到点C的最短路径是 3.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？ 四、回顾反思、总结升华 五、布置作业、深化认知
最短距离： 令狐采学 1.(本小题10分) 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半 圆，其边缘AB=CD=16，点E在CD上， CE=4，一滑板爱好者从A点滑到E点， 则他滑行的最短距离为( )(π按3计算)A. 15B. C. D. 21 2.如图，圆柱底面半径为，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一母线上，用一根棉 线从点A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的 长度最短为( )A. 12cmB. C. 15cmD. 3. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别为 50寸，30寸和10寸，A和B是这个台阶的两个相对端点， A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长是( ) A. 13寸 B. 40寸 C. 130寸 D. 169寸 4.如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长为( ) A. 20 B. 22 C. 28 D. 18
5.如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm．当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），若筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度和杯子的高度分别为( )cm． A. 8，7 B. 8.5，7.5 C. 9，8 D. 10，9 6. 如图，将一根木棒垂直或倾斜的放进长、 宽、高分别为12cm，4cm，3cm的水箱中， 能放入水箱内木棒的最大长度为( )cm． A. 13 B. 12 C. 15 D. 16 7. 一辆卡车装满货物后宽3.2米，这辆卡车要通过如图所示的隧道（上方是一个半圆，下方是边长为4米的正方 形），则装满货物后卡车的最大高度为( )米． A. 5.2 B. 5.8 C. 7.6 D. 5.4 8.某工厂大门形状如图所示，其上部分为半圆，工 厂门口的道路为双行道（双行道中间隔离带忽略 不计）．要想使宽为1.5米，高为3.1米的卡车安全通过， 那么此大门的宽度至少应增加多少米？ 9. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm， BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱 的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为____cm． 10. 如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若 一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，
课题利用勾股定理求最短问题 学习目标：利用勾股定理知识与其他知识的综合应用解决图形中最短距离问题。 学习重点：勾股定理及其逆定理的综合应用。 学习难点：数形结合法分析问题。 学习过程： 一、复习回顾 （1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么。（2）逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2＋b2＝c2,那么这个三角形是三角形。（3）如图一个圆柱，延其一条与轴平行的曲面上一条直线展开侧面图是。 二、学以致用 例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ 例2、有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ 例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）（A）3 （B）√5 （C）2 （D）1 例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
三、巩固练习 1. 如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是多少？( 取3) B 8 2．已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点, 那么沿哪条路最近,最短的路程是多少? 3.如图所示，圆柱形玻璃容器，高18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm,点S处有一蜘蛛， 与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛， 所走的最短路线的长度。 4. 如右图，有一个长方体盒子，它的长是70cm，宽和高都是50cm。在A点处有一只蚂蚁，它想吃到 B点处的食物，那么它爬行的最短路程是多少? 5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相 对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 多少？ 20 3 2 A B 6．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得（1）若C，D两村到E站的距离相等，则E站应建 在离A站多少km处？ （2）若E站到C，D站的距离之和最短，则 E站应建在离 A站多少km处？ A D E B C
巧用勾股定理求最短路径的长 技巧1用平移法求平面中的最短问题 1.如图，已知∠ B =∠ C =∠ D =∠ E =90°，且 AB = CD =3， BC =4， DE = EF =2，则 A 、 F 两点间的距离是 ______ 2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别 为20dm、3dm、和B是这个台阶两个相 对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口 的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程 是 A. B. C. 20 D. 25 技巧2用对称法求平面中的最短问题 3..如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们 到高速公路所在直线MN的距离分别为AA 1＝2 km， BB 1＝4 km，A 1B 1＝8 km.现要在高速公路上A 1B 1 之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之 和最短，则这个最短距离是多少千米？ 4.如图，正方形ABCD的边长为在CD上，且 是AC上的一个动点，则的最 小值为 A. B. C. 8 D. 10 5.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是 AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值是． 6.如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D 在BC上，BD＝1，DC＝2.点P是上的动点，则PC＋PD的最 小值为
7.如图 , 在矩形 ABCD 中 ,AB=5,AD=3, 动点 P 满足S△PAB=1/3S矩形 ABCD, 则点 P 到A. B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为 () 技巧3用展开法求立体图形中的最短问题 8如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C 1处． (1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能 路径； (2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长． 9.如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从P处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？ （第9题图）（第10题图） （第11题图） 10如图，一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行______ cm． 11.为筹备学校联欢晚会，同学们制作了一个圆柱形的灯罩，底色漆成白色，然后缠绕灰色油纸，如图所示，已知圆筒的高度为108 cm，其底面周长为36 cm，
数学八年级下北师大新课标第一章第二节《勾股定理的应用-最短距离问题》教学设计 西安市第70中学范聪聪 内容和内容解析： 本节是义务教育课程标准北师大版教科书八年级（上）第一章《勾 股定理》第三节．具体内容是运用勾股定理解决简单的立体图形上的最 短距离问题，进一步发展应用意识。本节课是七年级图形的展开与折叠 知识的延续，需要把立体图形展开成平面图形后，利用两点之间线段最 短在平面上找到最短距离，并运用勾股定理求出最短距离。同时本节课 从圆柱（侧面）中来又回到圆柱（内部）中去，最后也为九年级要学习 的视图与投影埋下伏笔。 目标和目标解析： 本节课的重点是利用勾股定理解决立体图形上的最短距离问题，难 点是如何寻找和计算最短距离。设计“蚂蚁怎样走最近？”这个有趣的 实际情景，让学生了解实际问题可以转化成数学问题，让学生体验数学 源于生活，又应用于生活；在经历寻找和计算“最短距离”的过程中， 让学生理解，为什么要把立体图形展开成平面图形，使学生逐渐形成思 维上的转化思想，进一步体会数学的应用价值；学生要探究并掌握立体 图形转化成平面图形后，最短距离的寻找方法和利用勾股定理的计算方 法，这也使学生积累利用数学知识解决日常生活中实际问题的经验和方 法，逐步形成积极参与数学活动的意识。 教学问题诊断分析： 学情分析：学生在七年级已学习过图形的展开与折叠，并了解两点
之间线段最短，有一定基础。本节课要求学生在实际问题中自己寻找并计算最短距离，而八年级学生审题能力，审题方法，数学思维习惯已逐渐养成，但解决实际问题的能力仍需培养； 内容预设：一，本节课学生可能遇到的第一个问题，在寻找“最短距离”的过程中，在展开后的平面图形上不能准确找到蚂蚁或食物所在的“点”，而找不准“关键点”的原因：缺乏空间想象能力；懒于动手操作实践；没能完全感受到立体图形展成平面图形带来的好处；习惯养成问题（审题意识，审题方法）。二，极个别学生在计算最短距离时出问题，究其原因：缺乏利用数学知识解决实际问题的能力；对勾股定理的掌握不够扎实；缺乏由点（蚂蚁和食物）到线（最短距离）再到面（直角三角形）的意识。三，在探究长方体表面的最短距离问题时，展开方式“找不全”，容易遗漏。究其原因：没有真正理解展开的原因，展开后的好处；考虑问题不够全面，急于求成； 教学支持条件分析： 根据教学问题的诊断，将蚂蚁的移动路线；食物所在的“点”；由点到线生成的最短距离；以及最短距离所在的面的生成都利用多媒体演示，直观，生动，并将练习题用多媒体呈现，提高课堂效率
《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计
2 C B A 《利用勾股定理解决最短路径问题》教学设计 教材分析 本节课是最短路径问题的延续和拓广，不但要寻找最短路径，还要计算其长度。在初中阶段，求解两点之间的距离问题多借助勾股定理进行计算，在中考中占有一定地位．而勾股定理是直角三角形非常重要的性质，有极其广泛的应用。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，是几何图形和数量关系之间的一座桥梁． 学情分析 学生在初一上学期学习线段相关知识时已掌握“同一平面内，两点之间，线段最短”，初二上学期学习轴对称一章时，又接触了最短路径问题，因此对最短路径问题有一定的理解。分类讨论一直都是学生觉得比较难掌握的思想方法，分类不清、分类不全是学生经常犯的错误． 教 学 目 标 知识目标 能运用勾股定理求最短路径问题 能力目标 学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想． 情感目标 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学，增强自信心，体现成功感． 教学重点 探索、发现立体图形展开成平面图形各种途径，利用勾股定理求最短路径问题． 教学难点 利用数学中的建模思想构造直角三角形，寻找不同路径，利用勾股定理，解决实际问题． 教学过程 教学环节 教学内容 教学活动 学生活动 设计意图 复习巩固 1．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=?，AC =4，BC =2，则AB = ． 2．如图，小华的家在A 处，书店在B 处，星期日小明到书店去买书，他想尽快的赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（ ） A ．A C D B →→→ 引导学生 复习利用勾股定理计算三角形的边长． 引导学生回顾同一平面内，两点之间线 学生回顾勾股定理和两点之间线段最短的知识． 帮助学生温 故知新
《勾股定理》的应用专题之——最短距离问题姓名： 一、课前热身 1.如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中 A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km， BD=2km， CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、 B 两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B 两 村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 2.三角形 ABC中 ,AB=10,AC=17,BC边上的高线 AD=8,求 BC. 二、典型例题 例1：如图， C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B D 作 AB⊥ BD，ED⊥ BD，连结 AC、EC,已知 AB=5，DE=1，BD=8，设 CD=x.（1）用含 x 的代数式表示 AC 十 CE的长； （2）试求 AC 十 CE的最小值； 例 2：一只蚂蚁从长为 4cm、宽为 3 cm，高是 5 cm 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱表面爬到 B 点，那么它所行的最短路线的长是 多少？ B A
例 3：如图所示，无盖玻璃容器，高的容器的上口外侧距开口 1 cm的 18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底 1 cm的点 C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对 F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 三、巩固练习 1.（青岛市）如图 1，长方体的底面边长分别为1cm 和 3cm，高为 6cm.如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要cm； B 6cm A 3cm 1cm 图 1 2.如图 3，是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、 3dm 、2dm ， A 和 B 是这个台阶两个相对的端点， A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是dm A20 23 B 图 3 3..如图，长方体的长、宽、高分别为4， 2， 1，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 C1 处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 D1C1 A1 1 D B1 C 2 A4B
第1页 共2页 1A B A 1B 1D C D 1 C 124勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径 正方体 1．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是 A ．A ?P ?B B ．A ?Q ?B C ．A ?R ?B D ．A ?S ?B 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离 是 . 3. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 . 4．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 5．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟． 长方体 10．（2009?恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。 10题 11 12 13 11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 . 12．（2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ． 蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？ 14、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm. (1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？ (2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少? 15．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。 15 14 16 17 第2题 第3题 A B C D .128 30
勾股定理经典例题含答案11页 勾股定理是一个基本的初等几何定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2，若a、b、c都是正整数，(a,b,c)叫做勾股数组。 勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。 远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组。古埃及人也应用过勾股定理。在中国，西周的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有 ，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的 长. 解析：作于D，则因，
如何利用勾股定理求得最短距离 人教版初中八年级（下册）第十八章介绍了勾股定理的内容和它的一些运用，勾股定理主要用来解决直角三角形三条边之间的关系的一个重要定理。它在解三角函数、四边形以及实际生活中的运用也极其广泛，也是近几年全国各地中考的高频考点。其中勾股定理在解决某些出现的最短距离的问题中发挥了很好的作用。现分别举出勾股定理在长方体、圆柱体、圆锥体中是如何求得最短距离的例子，以便找出用它来解决问题的技巧和方法。 例1、 如图所示,有一个长方体木箱，长为40cm ， 宽为30cm ，高为50cm ，点Q 距离点C 为10cm ， 一只蚂蚁从A 点爬行到Q 点的最短距离是多少？ 【分析】这一道题从表面上看似乎与勾股定理没有什么联系，但通过仔细分析后，将长方体展开，就会与勾股定理产生联系，要解决本题必须分两种情况。 解： 第一种情况：将长方体右侧面CBGF 展开，使得与面ABCD 在同一个平面上，过Q 点作QH ⊥BC 于H ，连接AQ ，如图2，AQ 就是蚂蚁从A 点爬行到Q 点的距离。由题意可知，cm AB 40=，cm BH CQ 10==，cm QH 50=，则cm AH 50=，根据勾股定理可得：2 2 2 QH AH AQ +=，cm QH AH AQ 7125050502222≈=+=+=。 第二种情况：将上面的面CDEF 展开，使得与面ABCD 在同一个平面上，连接AQ ，如图3，AQ 就是蚂蚁从A 点爬行到Q 点的距离。由题意可知，cm AB 40=，cm BQ 60=，根据勾股定理可得：2 2 2 BQ AB AQ +=，22BQ AB AQ += ， cm AQ 72320604022≈=+=。显然， 第一种情况所求得的AQ 的值要比第二种情况所求得的AQ 的值要小，所以蚂蚁从A 点爬行到Q 点的最短距离是cm 250。 例2、如图4，有一个圆柱体，它的高为12cm ，底面半径为3cm ，在圆柱体下底面的A 点 有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 点相对的B 点处的食物，沿着圆柱体侧面爬行的最短距离是多少？（π的近似值取3） A B D C E F G ? ? Q 图1 A B D C E F G ? ? Q 图2 F G Q ? H A B D C E F G ? ? Q 图3 E F ? Q
1A B A 1B 1D C D 1 C 124勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径 正方体 1．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是 A ．A ?P ? B B ．A ?Q ?B C ．A ?R ?B D ．A ?S ?B 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离 是 . 3. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 . 4．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 5．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟． 长方体 10．（2009?恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。 10题 11 12 13 11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 . 12．（2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4 个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ． 蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？ 14、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm. (1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？ (2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少? 15．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。 第2题 第3题
《勾股定理》的应用专题之——最短距离问题 姓名： 一、课前热身 1.如图，一条河同一侧的两村庄A 、B ，其中A 、B 到河岸最短距离分别为AC=1km ，BD=2km ， CD=4cm ，现欲在河岸上建一个水泵站向A 、B 两村送水，当建在河岸上何处时，使到A 、B 两 村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 2.三角形ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线AD=8,求BC. 二、典型例题 例1：如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点 B D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连结AC 、EC,已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x. （1）用含x 的代数式表示AC 十CE 的长； （2）试求AC 十CE 的最小值； 例2：一只蚂蚁从长为4cm 、宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱表面爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是多少？ A B
例3：如图所示，无盖玻璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 三、巩固练习 1.（青岛市）如图1，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm.如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ； 2.如图3，是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 dm 3..如图，长方体的长、宽、高分别为4，2，1，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ A B A1 B1 D C D1 C1 2 1 4 20 32 A B 图3 B A 6cm 3cm 1cm 图1
巧用勾股定理求最短路径的长 名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)． 1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草． (第1题) 2．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题： (1)求A，C之间的距离．(参考数据：21≈4.6) (2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间) (第2题)
用平移法求平面中最短问题 3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬() A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm (第3题) 4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________． (第4题) 用对称法求平面中最短问题 5．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN＋MN的最小值． (第5题)