2014年海淀区高三年级第二学期查漏补缺题

海淀区高三年级第二学期查漏补缺题

数 学 2014.5

【容易题】{要重视基础性题目的知识覆盖度，决不能有疏漏，不能满足四套试题的题目，而是要全面温习每一个知识条目下的各个知识点} 1.已知集合{|}M x x a =≤，{2,0,1}N =-，若{2,0}M

N =-，则a 的取值范围（ ）

A.0a >

B.0a ≥

C.01a ≤<

D. 01a ≤≤ 2.已知R b a ∈、，i a b +是虚数的充分必要条件是（ ）

A.0ab ≠

B.0a ≠

C.0b ≠

D. 0a =且0b ≠ 3.极坐标方程(1)0(0)ρθρ-=≥表示的曲线是（ ）

A.圆

B.直线

C.圆和直线

D. 圆和射线 4.参数方程??

?+==θ

θ

cos 1cos y x （θ为参数）表示的曲线是（ ）

A.圆

B.直线

C.线段

D.射线

【中等题】{本组试题主要是针对四套试题考点题目，补充一些可能呈现的方式，或者是缺少的知识条目考查，请学生注意关注}

5.已知(,0),(0,),(1,2)OA a OB a OC ===，其中0a ≠，若C B A 、、三点共线，则a = .

6.已知点(1,0)A ，点P 在圆:C ?

??-==θθ

sin 21cos 2y x （θ为参数）上，则圆C 的半径为 ，

||PA 最小值为 .

7.如图，圆O 与圆'O 相交于B A 、两点，AD 与AC 分别是圆O 与 圆'O 的A 点处的切线.若22==BC BD ，则AB = , 若30CAB ∠=，则COB ∠= .

8. 如图，BE CD 、是ABC ?的高，且相交于点F .若BF FE =， 且44FC FD ==，则FE = ，A ∠= .

9.已知盒子里有大小质地相同的红、黄、白球各一个，从中有放回

的抽取9次，每次抽一个球，则抽到黄球的次数的期望n = ，估计抽到黄球次数恰好为n 次的概率 50%（填大于或小于）

10.三个同学玩出拳游戏（锤子、剪刀、布），那么“其中两人同时赢了第三个人”的结果有

D

C

B

A O O'

F

D

E

B C

A

种.

11. 函数()12sin cos f x x x =-的值域为 ________ . 12.在ABC ?中，1

cos 3

A =

，则sin(45)A += . 13.在ABC ?中，若120A B +=且cos cos A B >，则B 的范围是 . 14.已知R b a ∈、 ，“a b <”是“23a b <”的（ ）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件 15.已知1232a b ==，则

11

a b

-= . 16.若函数(1),0

()(),0

ax x x f x x a x x +≥?=?-

是 .

17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S a =+，则n a =_______.

18.已知数列{}n a 的前n 项和121n n S a +=-，且12a =，则2=S _________,n a =__________.

【难题】{7，8,13，14位置的题目，供大家在本校最后的模拟练习中选用，基础一般的学校可忽略本组试题}

19.已知(1,0)A ，曲线:C e ax y =恒过点B ，则点B 的坐标为(0,1)，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP ?的最小值为2，则a = .

20.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P.

（1）下列函数中具有性质P 的有

①()222f x x =-+ ②()sin f x x =([0,2])x π∈ ③1

()f x x x

=+

，((0,))x ∈+∞ （2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是 .

【理】21.已知函数2

()sin f x x x =，各项均不相等的有限项数列{}n x 的各项i x 满足||1i x ≤.

令1

1

()()n n

i i i i F n x f x ===?∑∑，3n ≥且n ∈N ，

例如：123123(3)()(()()())F x x x f x f x f x =++?++. 下列给出的结论中：

① 存在数列{}n x 使得()0F n =；

② 如果数列{}n x 是等差数列，则()0F n >； ③ 如果数列{}n x 是等比数列，则()0F n >； 正确结论的序号是____.

22.已知三棱锥P ABC -的侧面PAC ⊥底面ABC ， 侧棱PA AB ⊥，且4PA PC AC AB ====. 如图AB ?平面α，以直线AB 为轴旋转三棱锥， 记该三棱锥在平面α上的俯视图面积为S ， 则S 的最小值是 ，S 的最大值是 .

23.已知点G F E 、、分别是正方体1111

ABCD A B C D -

的棱111DD CC AA 、、的中点，点P Q N M 、、、分别在 线段11B C BE AG DF 、、、上. 以P Q N M 、、、为顶点 的三棱锥P MNQ -的俯视图不可能是（ ）

A B C D

B C

A

P

α

E

G

F B 1

C 1

B A 1

D 1

D

C A N

P

M Q

【解答题】{本组题主要是针对常规题目求解过程，突出操作背后的道理的理解，在模拟题讲评后再次演练落实模拟试题体现的解决过程中的“灵活与变通”} 1.【理】如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直， AB BC ⊥，//,2AF AC AF CE ⊥，G 是线段BF 上一点，

2AB AF BC ===.

（Ⅰ）当GB GF =时，求证：//EG 平面ABC ；

（Ⅱ）求二面角E BF A --的余弦值；

（Ⅲ）是否存在点G 满足BF ⊥平面AEG ？并说明理由.

2.已知曲线:C 2()2e 1ax f x x ax =--. （Ⅰ）求函数()f x 在(0,(0))f 处的切线；

（Ⅱ）当1a =-时，求曲线C 与直线21y x =-的交点个数； （Ⅲ）若0a >，求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.

3.【理】已知椭圆C 的方程为2

2

1416

x y +

=. （Ⅰ）求椭圆C 的长轴长及离心率；

（Ⅱ）已知直线l 过(1,0)，与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为椭圆C 的左顶点.

是否存在直线l 使得60AMB ∠=?？如果有，求出直线l 的方程；如果没有，请说明理由.

【文】（Ⅱ）已知M 为椭圆C 的左顶点，直线l 过(1,0)且与椭圆C 交于A ，B 两点（不与M 重合）.求证：90AMB ∠>（或者证明AM B ?是钝角三角形）

4.【文】已知椭圆C 的右焦点(2,0)F ，直线l :1y kx =-恒过椭圆短轴一个顶点B . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若(0,1

)A 关于直线:l 1y kx =-的对称点P （不同于点A ）在椭圆上，求出l 的方程.

G

E

A

F

B

C

5.【理】已知椭圆:C 22

221(0)x y a b a b +=>>的焦距为22，且过点31(,)22

A .

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知:1l y kx =-，

是否存在k 使得点A 关于l 的对称点B （不同于点A ）在椭圆C 上？ 若存在求出此时直线l 的方程，若不存在说明理由.

海淀区高三年级第二学期查漏补缺题参考答案

数 学

2014.5

【容易题】 1.C 2.C 3.D 4.C 【中等题】

5. 3

6. 2 ，22-

7.60

8. 2 ，60

9. 3 ， 小于 10. 9 11. [0,2] 12.

42

6

+ 13.60120B << 14. D 15.答案： 2 .

分析：由 1232a

b

== 得 11122,32a b

==，所以

2211

log 12,log 3a b

==， 所以

22211

log 12log 3log 42a b

-=-==. 16.答案：1t >- .

分析：由函数()f x 是奇函数，可得 (1)(1)0f f +-=，得1a =（经检验符合奇函数），

画图可知()f x 单调递增，所以 (1)(2)121f t f t t t t --.

17.答案：12n --

分析：由 21n n S a =+ 可得 1121a a =+，解得 11a =-，

又1n >时，1122n n n n S S a a ---=-，即12n n a a -=， 所以12n n a -=-.

18.答案：72，12,1,

3(),12

n n n a n -=??

=?>??

分析：由121n n S a +=-可得1221a a =-，解得232a =

，237

222S =+=. 又1n >时，1122n n n n S S a a -+-=-，即13

2

n n a a +=，

所以12,1,3(),12

n n n a n -=??

=?>??.

【偏难题】

19.答案： 1 .

分析：因为 0e 1= 所以(0,1)B ；

考察AB AP ?的几何意义，因为||2AB =，所以AB AP ? 取得最小时， 点P 在AB 上的投影长应是2，所以,P B 重合， 这说明曲线:C e ax y =在点(0,1)B 处的切线与AB 垂直， 所以0

'

e 1ax

x x y a a =====.

20.答案（1） ① ② ，（2）0a a e >≤-或 . 分析：（1）在 0x ≠时1

()f x x

=

有解即函数具有性质P ， ① 解方程1

222x x

-+=，有一个非0 实根；

② 作图可知；

③ 作图或解方程均可.

（2）()ln f x a x =具有性质P ，显然0a ≠，方程 1

ln x x a

=

有根， 因为()ln g x x x = 的值域为1[,)e -+∞,所以 11a e

≥-, 解之可得 0a > 或 a e ≤-.

【理】21.答案：__① ③__.

分析：可得2

()sin f x x x =是奇函数，

只需考查01x <≤时的性质，此时2

,sin y x y x ==都是增函数，

可得2

()sin f x x x =在[0,1]上递增，

所以2()sin f x x x =在[1,1]-上单调递增。

若120x x +<，则12x x <-，所以12()()f x f x <-， 即12()()f x f x <-，所以12()()0f x f x +<. 同理若120x x +>，可得12()()0f x f x +>， 所以120x x +≠时，1212()(()())0x x f x f x ++>. ① 显然是对的，只需{}n x 满足120n x x x +++=

② 显然是错的，若120n x x x ++

+=，()0F n =

③ 数列{}n x 是等比数列，各项符号一致的情况显然符合； 若各项符号不一致，公比0q <，

若n 是偶数，222121()(1),1,2,

,2

i i i n

x x x q q i --+=+=符号一致， 又212212(),[()()]i i i i x x f x f x --++符号一致， 所以符合()0F n >；

若n 是奇数，可证明“2221211

()(1),1,2,

,

2

i i i n x x x q q i ---+=+= 和11n n x x q -=符号一致”

或者“2122111

()(1),1,2,,

2

i i i n x x x q q i -+-+=+= 和1x 符号一致”， 同理可证符合()0F n >；

22.答案： 43， 8 .

分析：因为侧面PAC ⊥底面ABC ，

所以旋转过程中等边PAC ?在底面上的射影总在侧面PAC 与平面α的交线l 上，且

长度范围是[23,4]，由已知可推证AB l ⊥， 所以S 最小值为43，最大值为8.

23.答案： C

分析：在底面ABCD 上考察，

Q N M P 、、、四点在俯视图中它们分别在AB DA CD BC 、、、上，

先考察形状，再考察俯视图中的实虚线，可判断C 不可能！

B C

A

P

α

因为正三角形且当中无虚线，说明有两个顶点投到底面上重合了， 只能是N Q 、投射到点A 或者N M 、投射到点D ， 此时俯视图不可能是正三角形。

【解答题】

1.解：（Ⅰ）取AB 中点D ，连接,GD CD ，

又GB GF =，所以//2AF GD .

因为//2AF CE ，所以//GD CE ,四边形GDCE 是平行四边形， 所以//CD EG

因为EG ?平面ABC ，CD ?平面ABC 所以//EG 平面ABC .

（Ⅱ）因为平面ABC ⊥平面ACEF ，平面ABC

平面ACEF =AC ，

且AF AC ⊥，所以AF ⊥平面ABC ， 所以AF AB ⊥，AF BC ⊥

因为BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABF .

如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -. 则(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(2,2,1)F B C E ，

(0,2,0)BC =是平面ABF 的一个法向量.

设平面BEF 的法向量(,,)x y z =n ，则

0,

0.

BE BF ??=???=??n n ，即20,220.y z x z +=??

-+=? 令1y =，则2,2z x =-=-，所以(2,1,2)=--n , 所以1

cos ,3

||||BC BC BC ?<>=

=n n n ，

由题知二面角E BF A --为钝角，所以二面角E BF A --的余弦值为13

-. （Ⅲ）因为(2,0,2)(2,2,1)20BF AE ?=-=-≠，所以BF 与AE 不垂直,

x z y G E A

F

B

C

所以不存在点G 满足BF ⊥平面AEG .

2.解：（Ⅰ）(0)1f =-，

因为'()(22)e 2ax f x ax ax =+-，所以'(0)2f =， 所以函数()f x 在(0,(0))f 处的切线为21y x =-. （Ⅱ）当1a =-时，2()2e 1x f x x x -=+-

曲线C 与直线21y x =-的交点个数与方程(2e 2)0x x x -+-=的解的个数相同， 0x =显然是该方程的一个解.

令()2e 2x g x x -=+-，则'()2e 1x g x -=-+ 由'()0g x =得ln 2x =

因为ln 2x <时'()0g x <，ln 2x >时'()0g x >

所以()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增

所以()g x 最小值为(ln 2)ln 21g =-， 因为ln 2ln e 1<=，所以(ln 2)0g <，

因为(0)0g =，2(2)2e 0g -=>，

所以()g x 的零点一个是0，一个大于ln2， 所以两曲线有两个交点.

（Ⅲ）'()2[(1)e ]ax f x ax ax =+-

因为0a >，所以当0x >时，0ax >，所以11,e 1ax ax +>>

所以'()2[(1)e ]2[(1)]20ax f x ax ax ax ax =+->+-=> 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.

3.解：（Ⅰ）由方程2

2

1416

x y +

=可知4,2a b == 所以长轴长为8，且22212c a b =-= 所以离心率

3

2

. （Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时,(1,23),(1,23)A B - 3MA MB ?=-

（2）当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-，设1122

(,),(,)Ax y Bx y ,

由22(1)

1416y k x x y =-??

?+

=?? 消去y 得：2222(4)2160k x k x k +-+-=

2122

2

12224164k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+?

1212(2)(2)MA MB x x y y ?=+++

1212(2)(2)(-1)(1)x x k x k x =+++- 2221212(1)(2)()4k x x k x x k =++-+++

2

2

304k k -=

<+ 综上，0MA MB ?<恒成立，AMB ∠为钝角

所以，不存在直线l 使得60AMB ∠=?

（文科答案略）

4.解：（Ⅰ）因为101k -=?-，所以直线l :1y kx =-恒过(0,1)-，即(0,1)B -

设椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，

由已知可得2,1c b ==，所以2223a b c =+=，

所以椭圆C 的方程为2

213

x y +=.

（Ⅱ）法1：当0k =时，直线:1l y =-，点(0,3)B -不在椭圆上；

当0k ≠时，可设:AP x ky m =-+,代入椭圆方程2

213

x y +=化简得 222(3)230k y kmy m +-+-=，

2

23

A P km

y y k +=+，所以22226233A P k m m x x m k k +=-+=++ 若,A P 关于直线l 对称，则其中点2

23(,)33

m km

k k ++在直线1y kx =-上 所以2

23133

km km

k k =-++，即223km k =+ 又(0,1)A 在直线:AB x ky m =-+上，所以m k =， 消m 得23k =，解得3k =±，

所以存在直线31y x =-或31y x =--符合题意. 法2：设(0,1)A 关于直线:l 1y kx =-的对称点00(,)P x y

因为直线:l 1y kx =-恒过点B ，

所以||||BA BP =， 所以2200(1)4x y ++= ①

又2

20013

x y +=② 联立①②解得0001x y =??=?或0030x y ?=??=??或0030

x y ?=-?

?=??

因为P 不同于点A ，所以(3,0)P 或(3,0)P -， 所以存在直线31y x =-或31y x =--符合题意.

5.解：（Ⅰ）2

213

x y += （Ⅱ）法1：当0k =时，直线:1l y =-，点35(,)22B -不在椭圆上；

当0k ≠时，可设直线131

:()22

AB y x k =--+，即2230x ky k +--=

代入2

213

x y +=整理得222(412)4(3)(3)120k y k k y k +-+++-= 因为1224(3)

412k k y y k ++=+，

所以2121222

4(3)12(3)

(3)()3412412

k k k x x k ky ky k k k +++=+-+=+-=++ 若,A B 关于直线l 对称，

则其中点226(3)2(3)

(

,)412412k k k k k ++++在直线1y kx =-上

所以22

2(3)6(3)

1412412

k k k k k k ++=-++，解得1k = 因为此时点31(,)22

A 在直线l 上， 所以对称点

B 与点A 重合，不合题意 所以不存在k 满足条件.

法2：设:AB x ky m =-+，代入椭圆方程2

213

x y +=化简得 222(3)230k y kmy m +-+-=，

2

23

A B km

y y k +=+，所以22226233A B k m m x x m k k +=-+=++ 若,A B 关于直线l 对称，则其中点223(,)33

m km

k k ++在直线1y kx =-上， 所以2

23133km km

k k =-++，即223km k =+. 又31

(,)22

A 在直线:A

B x ky m =-+上，

所以23m k -=，

消m 得2(3)3k k k +=+，所以1k = 因为此时点31(,)22

A 在直线l 上， 所以对称点

B 与点A 重合，不合题意， 所以不存在k 满足条件.

法3：由:1l y kx =-可知直线l 恒过点(0,1)P -，

设点A 关于l 的对称点B 坐标为00(,)x y ， 因为点A ，B 关于l 对称，所以||||PA PB =

所以22009

(1)2x y ++= ① 又B 在椭圆上，所以2

20013

x y +=② 联立①②解得00

3212x y ?

=????=??或00321

2x y ?=-???

?=??

因为31

(,)22B 与A 点重合，舍，

因为31

(,)22

B -与A 关于0x =对称

所以不存在k 满足条件.