离散数学第二版答案(6-7章)

第六章 代数系统

6.1第129页

1． 证明：

任取,x y I ∈，(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=，因此，二元运

算*是可交换的； 任取,,x y z I ∈，

(,(,))*(*)*()

()g x g y z x y z x y z yz x y z yz x y z yz x y z xy xz yz xyz

==+-=++--+-=++---+

((,),)(*)*()*()(,(,))

g g x y z x y z x y xy z

x y xy z x y xy z x y z xy xz yz xyz g x g y z ==+-=+-+-+-=++---+=

因此，运算*是可结合的。

该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。 2．

证明：任取,,x y N x y ∈≠，由*,*x y x y x y x ==≠知，**y x x y ≠，*运算不

是可交换的。 任取

,,x y z N

∈，由

(*)**x y z

x z

x ==，*(*)*x y z x y x

=

=知，

(*)**(*x y z x y z =，*运算是可结合的。

任取x N ∈，*x x x =，可知N 中的所有元素都是等幂的。

*运算有右么元，任取,x y N ∈，*x y x =，知N 中的所有元素都是右么元。

*运算没有左么元。

证明：采用反证法。假定e 为*运算的左么元，取,b N b e ∈≠，由*的运算公式知*e b e =，由么元的性质知，*e b b =，得e b =，这与b e ≠相矛盾，因此，*运算没有左么元。

3．解：

① 任取y x I y x ≠∈,,

的最小公倍数和y x y x =*

的最小公倍数和的最小公倍数和y x x y x y ==*

因此对于任意的y x I y x ≠∈,,都有x y y x **=，即二元运算*是可交换的。 ② 任取,,,I z y x ∈

的最小公倍数的最小公倍数和）（z y x z y x z y x ,,*)(**== 的最小公倍数的最小公倍数和（z y x z y x z y x ,,)(*)**==

因此对于任意的z ，，y x ，都有

)****z y x z y x （）（=，即二元运算*是可结合的。 ③ 设幺元为e

x e x x e e x ===的最小公倍数和**，则1=e ，即幺元为1.

④ 对于所有的元素I x ∈，都有x x x =*，所以所有元素都是等幂的。

4．解：设n X =

① 设f 是X 上的二元运算，则f 是一个从X X →2

的映射。 求X 上有多少个二元运算即相当于求这样的映射的个数。 由于22n X =，映射f 的个数为2

n n ，即X 上有2

n n 个二元运算。 ② 可交换即><>=

X

上可交换的二元运算的个数，即相当于求映射f 的个数，

X A f →:，其中：

}

4,43,32,21,1,4,34,23,24,13,1,2,1{>><><><<>><><><><<><=A

具体如下图所示：

A

><>

<><><><><><><><><><><><><><><4,43,32,21,13,4,4,32,4,4,22,3,3,21,4,4,12,3,3,11,2,2,1 X 4

321 此时映射f 的个数4

4

64

244

4

++==C N

推广到X 有n 个元素时，映射f 的个数n

C n n n

N +=2

③ 单位元素即幺元，若存在必唯一。 设集合}4,3,2,1{=X ，若幺元为1，则有

4

1,4,4,131,3,3,12

1,2,2,11

1,1>→<><>→<><>→<><>→< 此时的二元运算的个数相当于求映射X A f →:的个数，其中：

>

<><><><><><>

<><><3,44,32,44,22,33,24,43,32,2A

4321X

映射X A f →:的个数为2

)14(9

4

4-==N

幺元为2，3，4时同理，2

)14(14

9

4

4

44-?=?=C N

因此集合}4,3,2,1{=X 上有2

)14(14

9

4

4

44-?=?=C N 个有单位元素的二元运算。

推广到X 有n 个元素时，具有单位元素的二元运算的个数为2

)1(1-?=n n

n n

C N 。

5．解：任取R a a a ∈321,, ①

2

121*a a a a -=

21211212**a a a a a a a a =-=-=

对于任意的R a a ∈21,都有2112**a a a a =，故二元运算*是可交换的。

()()3

21321321***a a a a a a a a a --=

-= 3

21321321)(*)*(*a a a a a a a a a --=-=

若2,3,1321

-=-==a a a

()6**321=a a a ，0)*(*321=a a a ，此时())*(***321321a a a a a a ≠

故二元运算*是不可结合的。

不存在这样e 使得任意的R x ∈都有x e x e x =-=*， 因此，二元运算*不含幺元。 ②()2/*212

1a a a a +=

()()21211212*2/2/*a a a a a a a a =+=+=

对于任意的R a a ∈21,都有2112**a a a a =，故二元运算*是可交换的。

()()()4222*2/**3

2

13

2

1321321a a a a a a a a a a a a ++=++=+=

()()4

242222/*)*(*3213213

21321321a a a a a a a a a a a a a a a ++≠++=++

=

+=故二元运算*是不可结合的。

不存在这样e 使得任意的R x ∈都有x e x e x =+=2/)(*，

因此，二元运算*不含幺元。 ③

2121/*a a a a =

211212*/*a a a a a a ≠=

因此，二元运算*是不可交换的。

()()3

21

3

2

1321321/*/**a a a a a a a a a a a a =

== 3

21

231321321321/)/(*)*(*a a a a a a a a a a a a a a a ≠===

故二元运算*是不可结合的。

由于二元运算*不是可交换的，所以不存在这样e 使得任意的R x ∈都有x e x x e e x ===/**， 因此，二元运算*不含幺元。

6．设x 是X 中的任意元素。 由于二元运算*是可结合的， 故)*(**)*(x x x x x x =

又对于任意的X y x ∈,，若x y y x **=，则x y = 故x x x =*

即对于X 中的任意元素，都有x x x =*， 所以X 中的 每一个元素都是等幂的。

6.2第137页

4． 证明：

首先，U 和V 都只含有一个二元运算，因此是同类型的； 第二，

f 的定义域是自然数集合N ，值域是{0,1}，是V 定义域的子集。

第三，验证是否运算的像等于像的运算。 任取,x y N ∈，分情况讨论： （1） x 和y 都可以表示成2k

，设1

22

,2k k x y ==，

那么

1212()(22)(2)1k k k k f x y f f +===，()()1f x f y ==

()()111()f x f y f x y ===

（2） x 和y 都不能表示成2k

，那么x

y 也不能表示成2k

()0f x y =,()()0f x f y == ()()000()f x f y f x y ===

（3） x 可以表示成2k

，y 不能表示成2k

，那么x

y 也不能表示成2k

()0f x y =,()1,()0f x f y == ()()100()f x f y f x y ===

（4） x 不可以表示成2k

，y 能表示成2k

，那么x

y 也不能表示成2k

()0f x y =,()0,()1f x f y == ()()010()f x f y f x y ===

可知，无论x 和y 如何取值，都能够保证()()()f x f y f x y =。

综上所述，f

是U 到V 的同态映射。

5．

证明：设{,,},U a b c =?*?，{1,2,3},V =?⊕?

首先，U 和V 都仅有一个二元运算，因此U 和V 是同类型的； 第二，U 和V 的定义域大小相同，具备构成双射函数的条件；

第三，寻找特异元素，U 中么元是a ，右零元是c ，三个元素都是等幂元；V 中么元是3，右零元是1，三个元素都是等幂元。 第四，在U 和V 的定义域之间构造双射函数f

，使得

()3,()2,()1f a f b f c ===。

把*运算表中的元素都用f 下的像点代替，得

调整表头的顺序为1，2，3，转变为下表

跟V 中⊕运算表完全相同，因此代数系统{,,},a b c ?*?和{1,2,3},?⊕?是同构的。 6.证明：

(1) 两个代数系统都只存在一个二元运算，故满足同型。 (2) 构造函数f ，使得，显然f 是双射函数。

(3) 对于任意的)(,X Y X ρ∈

故

，所以满足运算的像=像的运算。 由(1),(2),(3)可知，两代数系统是同构的。

7.解：

5,4,3,2,1,0,6mod )()(==p px X f p

当0=p 时，0f 零同态；

当1=p 时，1f 恒等映射，自同态；

当2=p 时，}4,5,2,4,0,3,4,2,2,1,0,0{2><><><><><><=f ； 当3=p 时，}3,5,0,4,3,3,0,2,3,1,0,0{3><><><><><><=f ； 当4=p 时，}2,5,4,4,0,3,2,2,4,1,0,0{4><><><><><><=f ； 当5=p 时，}1,5,2,4,3,3,4,2,5,1,0,0{5><><><><><><=f 自同构。

8.证明：01=-n

x 的n 个复数根可表示成：

1

,....2,1,0,2,sin cos -==+=n k n

i k k x i i i k i π

ααα

(1) >?<,n E 与>+?<,n E 与>

+

(3) 构造双射函数

()n k x f i k i mod )(=

对于任意的n k k E x x ∈21,，

)

)(mod ())sin()(cos()sin sin cos sin sin cos cos (cos )sin sin cos sin sin cos cos (cos ))

sin (cos )sin ((cos )(21212121212121221212121221121n k k i k k k k f k k i k k i k k k k f i k k i k k i k k k k f i k k i k k f x x f k k +=+++=-++?=+++?=+?+=?αααααααααααααααα )

)(mod ()))(mod (mod )(mod ()(mod )(mod )()(21212121n k k n n k n k n k n k x f x f n k n k +=+=+=+

因此，)()()(2121k n k k k x f x f x x f +=?。 由(1),(2),(3)可知，>?<,n E 同构于

>

+

9．证明：

(1) g 是代数系统><,*X 到当>?<,Y 的同态映射 Y X g ?∴][

又><,*1X 是><,*X 的子代数

X X ?∴1 Y X g ?∴][1

(2) 对于][,1X g b a ∈?，必存在1,X X X b a ∈， 使得a X g a =][，,][b X g b =

][][b a X g X g b a ?=?

由于g 为代数系统><,*X 到当>?<,Y 的同态映射

]*[][][b a b a X X g X g X g =?∴

1,X X X b a ∈ ，又><,*1X 是><,*X 的子代数

故1X 对*运算封闭

1*X X X b a ∈∴

][]*[1X g X X g b a ∈∴，即][1X g b a ∈? ]1[X g ∴对?运算满足封闭性。

由(1),(2),(3)可知, >?<],[1X g 为>?<,Y 的子代数。

6.3第141页

1．解：

解：首先，判断m ≡是否是等价关系。任取x I ∈，由于0x x m -=?，因此m x x ≡，m

≡是自反的；任取,x y I ∈，若m x

y ≡，即x y a m

-=?（a I ∈），则y x a m -=-?，

m y x ≡，因此m ≡是对称的；任取,,x y z I

∈，若,m m x

y y z ≡≡，则x y a m

-=?（a I ∈），y z

b m -=?（b I ∈），于是()()()x z x y y z a b m -=-+-=+?，

a b I +∈，因此m x z ≡，可知m ≡是可传递的。因此，m ≡是等价关系。

其次，判断m ≡关于*是否满足代换性质。 任取,x y I ∈，若m x

y ≡，即存在某个p I

∈，满足x y p m -=?

*()(mod )k x x m = *()(mod )k y y m =

则

011

122201122101*()()(mod )

()()()(()())

k k k k k k k k k k k k k k k k k k x y p m m C y C y p m C y p m C y p m y p m C y C y p m C y p m -----=+?=+?+?++?=+??+?+

+?

于是

11

221011

1

22

1

1

*()*()(()())(()())k k k k k k k k k k k k

k

k

x y p m C y C y p m C y p m p C y

C y

p m C y p m m

-------=??+?++?=?+?+

+??

由于

11

2210

(()())k k k

k

k k

k

p C y C y p m

C

y p m I

---?+

?++?∈，因此，*()*()m x y ≡，m ≡关于*是满足代换性质。

综上所述，m ≡是U 上的同余关系。

2. 解：

（1）对于+运算，在二元运算下，任取

1212,,,x x y y I ∈，验证下式是否成立

1122

1212

2x Ry x Ry x x Ry y ???

?

++行

取

12121,2,1,2x x y y ====-，可知满足1

1x Ry

，2

2x Ry ，但1212||||

x x y y +≠+，

即12x x R +12y y +。可知对于运算+，R 不满足代换性质。

（2）对于?运算，在二元运算下，任取

1212,,,x x y y I ∈， 若11x Ry ，22x Ry ，则必然满足1122||||,||||x y x y ==

于是12

121212||||||||||||x x x x y y y y ?=?=?=?

可得1212x x Ry y ??

。

由1212,,,x x y y 取值的任意性可知，对于运算?，R 满足代换性质。

3．证明：

(1) 对于2121,,,y y x x ?，有2211,Ry x Ry x

由于R 对3+具有代换性质，所以有)()(1111y y R x x ++ 由此可知：

231231133131133131)...()...(1

21

2x Ry x x y y y R x x x y x x x ???++++++

个个同理可知：

231231233232233232)...()...(1

22

1y Ry x y y y y R x x x y y x y ???++++++

个个因R 是等价关系，故是可传递的，所以有231231y Ry x x ?? 所以R 对3?具有代换性质。

(2) }1,2,2,1,2,2,1,1,0,0{><><><><><=S 对3?具有代换性质，

但对3+不具有代换性质，因S >?>=<<+><1,02,12,23

4．设代数系统>Ω=<,G V ，21,R R 为同余关系。 (1)即证：21R R 为同余关系 证明：21R R 为等价关系

若Ω∈w 对任意

G b a b a b a w w n n ∈,,...,,,2211

有1211)(b R R a ,2212)(b R R a ,…w

n

w b R R a n )(21

则111b R a ， 212b R a ，…

w

n

w b R a n 1 121b R a ， 222b R a ，…

w

n

w b R a n 2

21R R 为同余关系

),...,(),...,(21121><><∴w w n n b b b w R a a a w ),...,(),...,(21221><><∴w w n n b b b w R a a a w ),...,(),...,(212121><><∴w w n n b b b w R R a a a w

所以21R R 为同余关系。 (2) 21R R 为等价关系

若Ω∈w 对任意

G b a b a b a w w n n ∈,,...,,,2211

有1211)(b R R a , 2212)(b R R a ,…w

n w b R R a n )(21 未必有111b R a ， 212b R a ，…

w

n

w b R a n 1

121b R a ， 222b R a ，…

w

n

w b R a n 2

因此，可能不满足代换性质

所以21R R 未必是同余关系。

5．

（1）,(00)(00)xRy x y x y <∧<∨≥∧≥当且仅当 解：R 不是,I ?+?上的同余关系，取11220,3,1,2,x y x y ===-=-则1122,x Ry x Ry ，

但是1

210x x +=-<，1210y y +=>，因此12x x R +12y y +，不满足代换性质。

（2）xRy , 当且仅当10x y -< 解：R 不是,I ?+?上的同余关系，取

0,9,15x y z ===，则x R y ，yRz

，但

||1510x z -=>，x R z ，R 不满足可传递性，不是等价关系。

（3）,(0)(00)xRy x y x y ==∨≠∧≠当且仅当 解：R 不是,I ?+?上的同余关系，取取11223,2,3,2,x y x y =-===则1122,x Ry x Ry ，

但是1

20x x +=，1240y y +=≠，因此12x x R +12y y +，不满足代换性质。

（4）,xRy x y ≥当且仅当

解：R 不是,I ?+?上的同余关系，取9,8x y ==，则xRy ，但y ≥x ，即y R x ，R 不满

足对称性，不是等价关系。

6.4第143页

1.

解：

（1）设2323,,

F F N N ?=

其中，23{0,0,0,1,0,2,1,0,1,1,1,2}N N ?=<><><><><><>

任取11

2223,,,a b a b N N <><>∈?

1122122132,,,a b a b a a b b <>⊕<>=<++> 1122122132,,,a b a b a a b b <>

<>=

下面通过运算表构造*运算（这里仅给出了一个运算表，另一个照推）

⊕

<0,0> <0,1> <0,2> <1,0> <1,1> <1,2> <0,0> <0,0> <0,0> <0,0> <1,0> <1,0> <1,0> <0,1> <0,0> <0,1> <0,2> <1,0> <1,1> <1,2> <0,2> <0,0> <0,2> <0,1> <1,0> <1,2> <1,1> <1,0> <1,0> <1,0> <1,0> <0,0> <0,0> <0,0> <1,1> <1,0> <1,1> <1,2> <0,0> <0,1> <0,2> <1,2>

<1,0>

<1,2>

<1,1>

<0,0>

<0,2>

<0,1>

（2）设3232,','F F N N ?=

其中，32{0,0,0,1,1,0,1,1,2,0,2,1}N N ?=<><><><><><>

任取11

2232,,,a b a b N N <><>∈?

1122122132,,,a b a b a a b b <>⊕<>=<++> 1122122132,,,a b a b a a b b <>

<>=

运算表的构造方法与上同。 2.

(1) 证明：任取Y X y x y x ?>∈<><2211,,,，

>?>=<<21212211*,,,y y x x y x y x

? 和*可交换

>

=<>?>==<∴<1122121221212211,,*,*,,,y x y x y y x x y y x x y x y x

?∴是可交换的。

(2) 任取Y X y x y x y x ?>∈<><><3,32211,,,,

>??>=<<321321332211**,,,,y y y x x x y x y x y x

? 和*可结合

)

,,(,*,,)*(*,,,,332211323211321321332211>=<>?=<>??>=<∴

?∴是可结合的。

3.

m +

0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5

5 0 1 2 3 4 ⊕

<0,0> <0,1> <0,2> <1,0> <1,1> <1,2> <0,0> <0,0> <0,0> <0,0> <1,0> <1,0> <1,0> <0,1> <0,0> <0,1> <0,2> <1,0> <1,1> <1,2> <0,2> <0,0> <0,2> <0,1> <1,0> <1,2> <1,1> <1,0> <1,0> <1,0> <1,0> <0,0> <0,0> <0,0> <1,1> <1,0> <1,1> <1,2> <0,0> <0,1> <0,2> <1,2> <1,0>

<1,2>

<1,1>

<0,0>

<0,2>

<0,1>

证明：

① >?<32A A 与6A 都只有一个二元运算，故为同型的。

② >?<32A A 与6A 定义域大小相同，具备构成双射函数的条件。 ③ 构造双射函数

5

)2,1(,4)1,1(,3)0,1(,2)2,0(,1)1,0(,0)0,0(=><=><=><=><=><=>?<32A A 与6A 是同构的。

6.5第155页

1. （1）半群 （2）半群 （3）半群

（4）独异点，么元0

（5）不是半群，取a=b=1,c=2，则

3333()1()2

a b c a b c --=--=

不满足结合律

（6）不是半群，因为||不是二元运算； （7）半群

（8）独异点，么元0 （9）半群

（10）独异点，么元为恒等关系； （11）独异点，么元为a 2.

（1）二元运算表如下图所示： GCD 1 2 3 4 6 8 12 24 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3

1

1

3

1

3

1

3

3

4 1 2 1 4 2 4 4 4 6 1 2 3 2 6 2 6 6 8 1 2 1 4 2 8 4 8 12 1 2 3 4 6 4 12 12 24 1

2

3

4

6

8

12

24

（2）,X

X ??, 其中{1,2,3}X =。（假定X X 为丛X 到X 的双射函数） 解：X 到X 有6个双射函数，分别用

126,,,p p p 表示，设

123456::

:::::

X a b c p a b c

p a c b p b a c

p b c a p c a b p c

b

a

↓↓↓

构造运算表如下：

1p 2p 3p 4p 5p 6p 1p 1p 2p 3p 4p 5p 6p 2p 2p 1p 5p 6p 3p 4p 3p 3p 4p 1p

2p 6p 5p 4p 4p 3p 6p

5p 1p 2p 5p 5p 6p 2p 1p 4p 3p 6p

6p

5p

4p

3p

2p

1p

第七章 图论

6.1第164页

1.画出图,,G V E ψ=??的图示，指出其中哪些图是简单图。 （1）

v 4

不是简单图。

（2）

24

3

不是简单图。

（3）

2

v 41

e

7

8

v 是简单图。

2.写出图7-8的抽象数学定义。 （1）解：,,G V E ψ=??，其中

{1,2,3,V =，{,,,,,}E a b c d e f =，

{,2,4,,1,2,,1,1,,1,3,,3,2,,4,2}

a b c d e f ψ=<<>><<>><<>><<>><<>><<>>

（2）解：,,G V E ψ=??，其中{1,2,3,4,5,6,7,8,9}V =，{,,,,,,,,,E a b c d e f g h i =

,,}

j k l ，

{,{1,3},,{1,3},,{1,2},,{2,3},,{3,4},a b c d e ψ=<><><><><>

,{2,4},,{2,5},,{6,7},,{7,9},,{7,8},

,{8,9},,{9,9}}

f g h i j k l <><><><><><><>

3.证明：在n 阶简单有向图中，完全有向图的边数最多，其边数为(1)n n -。

证明：简单有向图是没有自环，没有平行边的有向图，只要两个不同的结点之间才能有边。完全有向图是每个结点的出度和入度都是n-1的简单有向图，也就是每个结点都有到其他所有结点的边，因此，完全有向图的边数最多。

在完全有向图中，所有结点的出度之和为n(n-1)，所有结点的入度之和为n(n-1)，设边的个数为m ，由握手定理可知，2m= n(n-1)+ n(n-1)，即m= n(n-1)，得证。 4.证明：3度正则图必有偶数个结点。

证明：设三度正则图的结点个数为n ，那么所有结点的度数之和为3n ，由握手定理可知，边的个数为3n/2=1.5n ，由于边的个数一定是整数，因此，n 为偶数。得证。

5.在一次集会中，相互认识的人会彼此握手，试证明：与奇数个人握手的人数是偶数个。 证明：设集会上的人一共有m 个，可分为两部分，一部分为与奇数个人握手的人，设为x 个，另一部分为与偶数个人握手的人，为m-x 个。

由于握手是相互的，即一次握手，两个人握手的次数都加1，一共加2，因此，集会上所有人的握手次数之和为偶数。

与偶数个人握手的人，这些人的握手次数之和为

12m x a a a -+++（其中，

12,,,m x a a a -都是偶数），为偶数。

与奇数个人握手的人，这些人的握手次数之和为1

2x b b b ++

+（其中，12,,

,x b b b 为

基数），由于所有人的握手次数之和偶数，因此12x b b b +++也要为偶数，即

12()mod 20x b b b ++

+=

又因为

1212()mod2

mod2mod2mod2mod2

x x b b b b b b x +++=++

+=

即mod20x =，因此x 为偶数，即与奇数个人握手的人是偶数个，得证。

6.证明：图7-7中的两个图同构。

证明：首先，给这两幅图标上对应的结点编号，如下

1

6'

5'

4'

3'

2'

1'

6

5

4

3

2 两

个

图

的

结

点

和

边

的

数

目

都

相

同

。假

设函数

{1,1',5,2',3,3',4,4',5,2',6,6'}ψ=<><><><><><>，左图中相邻的结点是

1和4，1和5，1和6，2和4，2和5，2和6，3和4，3和5，3和6，对应的像点1’和4’，1’和2’，1’和6’，5’和4’，5’和2’，5’和6’，3’和5’，3’和2’，3’和6’在右图中也相邻，因此，两图同构。

7.证明：在任意六个人中，若没有三个人彼此认识，则必有三个人彼此都不认识。 证明：分三种情况：

（1）任何一个人最多认识另外一个人 将相互认识的两个人分成一组，则至少可以分3组，每组取一个人，则这三个必不认识。 （2）任何一个人最多认识另外两个人 最糟糕的情况是当每个人都认识另外两个人时，若认识的人之间画一条线可以构成一个六边形，取不相邻的三个点即是不认识的。 （3）任何一个人最多认识另外的三个人

A

F

不妨设点A 与B,C,E 认识（用实线连接）。因为B,C,E 之间只有有两个人认识就不满足任何三个人都不认识的条件，比如B,C 认识画一条实线，那么A,B,C 就相互认识，与已知矛盾。所以B,C,E 是所求的三个互补认识的人。 （4）任何一个人最多认识两外4或5个人 该情况与（3）类似，所求的人即与A 认识的两外4或5个人中的三个人。 证毕。

8.证明：图7-9的两个图不同构。

证明：给这两幅图标上对应的结点编号，如下：

a)

b)

1

23

4

5

6

7

8

1'

2'

3'

4'

5'

6'

7'

8'

1

e '2e 3e 4

e 1

e 2

e '4e '3e '5

e '6

e '7e '8e '5

e 6

e 7e 8e 9

e 9e '

10e 10e '

两个图的点数和边数相同。假设函数：

{1,1',2,2',3,3',4,4',5,5',6,6',7,7',8,8'}ψ=<><><><><><><><>

易证：① a ）中的子图1111,,G V E ψ=<>，1{1,2,3,4}V =，11234{,,,}E e e e e =，

11234{,{1,2},,{2,3},,{3,4},,{1,4}}e e e e ψ=<><><><>与b ）中的子图

1111,,G V E ψ''''=<>

，

1{1,2

,3,4}V '''''=，

11234{,,,}

E e e e e '''''=，

11234{,{1,2},,{2,3},,{3,4},,{1,4}}e e e e ψ'''''=<><><><>同构。

② a ）中的子图2222,,G V E ψ=<>，2{5,6,7,8}V =，25678{,,,}E e e e e =，

25678{,{5,6},,{6,7},,{7,8},,{8,9}}e e e e ψ=<><><><>与

b ）中的子图

2222,,G V E ψ''''=<>，2222,,G V E ψ''''=<>，2{5,6,7,8}V '''''=，25678{,,,}E e e e e '''''=，

25678{,{5,6},,{6,7},,{7,8},,{8,9}}e e e e ψ'''''=<><><><>同构。

除这两个子图以外，对应a ）中的子图3333,,G V E ψ=<>，2{

1,5,7,3}V =，248910{,,,}E e e e e =，298104{,{1,5},,{5,7},,{7,3},,{3,1}}e e e e ψ=<><><><>在b ）无

中对应的同构图。因此a ）和b ）两个图不同构。

9．图7-10的两个图是否同构？说明理由。

'

b)