《第三章几何光学》教案

长小。

光（可见光380～760nm ）不易发生衍射，常表现为沿直线传播。

第3章 几何光学的基本原理 §3.1几何光学基本实验定律

（2）光的反射定律和折射定律； （3）光的独立传播定律和光路可逆原理。 以下我们来分别给大家介绍这三条实验定律： （1）光的直线传播定律：光在均匀介质中沿直线传播

应当注意，光只有在均匀介质中沿直线传播，如果是非均匀介质中光线将因折射而发生弯曲。例如海市蜃楼的形成。

从哪些实验现象上可以看出光沿直线传播？影子的形成、小孔成像。

（2）光的反射定律和折射定律

设介质1、2都是透明、均匀和各向同性的，且它们的分界面是平面。当一束光线由介质1射到分界面上时，在一般情形下它将分解为两束光线：反射线和折射线。入射线与分界面的法线构成的平面称为入射面。分界面法线与入射线、反射线和折射线所成的夹角分别为入射角、反射角和折射角。由实验，得到反射定律：①反射线在入射线和法线决定的平面内；

②反射线、入射线分居法线两侧；

③

和折射定律：①折射线在入射线和法线决定的平面内；

②折射线、入射线分居法线两侧；

③

注意：（1）12n n 、：任何介质相对于真空的折射率，称为该种介质的绝对折射率，简称折射率。

（2）折射率较大的介质称为光密介质，折射率较小的介质称为光疏介质。例如，光由空气射入水，那水就是光密介质，而空气是光疏介质；光由玻璃射入水，那水就是光疏介质，而玻璃是光密介质。由折射定律可以看到入射角和折射角的正弦比是反比于介质折射率的，那么我们就知道，当光从空气射入水（光由光疏介质射入光密介质）那么折射角小于入射角；光由光疏介质射入光密光密介质，折射角大于入射角。

（1）光的直线传播定律；

（2）光的反射定律和折射定律；

'

11

i i =2211sin sin n i n i =

（3）光的独立传播定律和光路可逆原理。

（1）光的直线传播定律：光在均匀介质中沿直线传播 举例：影子的形成、小孔成像 （2）光的反射定律和折射定律

反射定律：①反射线在入射线和法线决定的平面内； ②反射线、入射线分居法线两侧； ③

折射定律：①折射线在入射线和法线决定的平面内；

②折射线、入射线分居法线两侧； ③

（3）作为实验规律，几何光学三定律是近似的，它只有在空间障碍物以及反射和折射界面的尺寸远大于光的波长时成立。尽管如此，在很多情况下用它们来设计光学仪器，还是足够精细的。（3）光的独立传播定律和光路可逆原理

光的独立传播定律：自不同方向或不同物体发出的光线相交时，对每一光线的传播不发生影响。即各自保持自己原有的特性，沿原方向继续传播，互不影响。屋子里有很多盏灯，每一盏灯的光并不会因为另外灯的存在而受到影响。

光的可逆性原理：当光线的方向反转时，它将逆着同一路径传播，称为光的可逆性原理。从几何光学的基本定律不难看出，如果光线逆着反射线方向入射，则这时的反射线逆着原来的入射线方向传播；如果光线逆着折射线方向由介质2入射，则射入介质1的折射线也将逆着原来的入射线方向传播。

§3.2费马原理

一、教学目的

1、掌握光程的概念、费马原理的表达。

2、会利用费马原理证明光的直线传播、反射、折射定律。

二、学时分配：1

学时

三、教学重点：费

马原理

四、教学难点：费

马原理的应用

五、教学方法与手段：讲授，多媒体演

示相结合。

六、教学思路

1、课程引入

光在均匀介质

中总是沿直线传播的，光在非均匀介质中又是怎样传播的？费马借助光程的概念，回答了该问

'11

i i =2211

sin sin n i n i =

题。

2、光程的定义

（3）光的独立传播定律：自不同方向或不同物体发出的光线相交时，对每一光线的传播不发生影响。即各自保持自己原有的特性，沿原方向继续传播，互不影响。

光的可逆性原理:当光线的方向反转时，它将逆着同一路径传播，称为光的可逆性原理。

§3.2费马原理

1、光程

折射率和路程

的乘积叫做光程。

nr

?=

光在均匀介质中光

程：

在m种不同的媒质

中有

在折射率连续变化

的媒质中：

3、费马原理

费马原理的表

述是：AB两点间光

线的实际路径是光

程为平稳的路径。也

就是说实际光线沿

光程为最小值、最大

值或恒定值的路程

传播。

在一般情况

下，实际光程大多是

取极小值。

意义：费马原

理是几何光学的基

本原理，用以描绘光

在空间两定点间的

传播规律。

用途：①由费马原理

可以推导出几何光

()

QP n l

=?

1

()

m

i

i

QP n

=

=?

∑

()P

Q

QP=?

B

A

nds=

?极小值、极大值、

学的全部基本 实验定律，可以确定光线的传播方向、路径

② 推求理想成象公式。

4、费马原理的证明

（1）光的直线传播定律：（在均匀介质中）

光在均匀介质中的任意两点A 、B 之间传播，会走怎样的路径呢？根据费马原理，A 、B 两点间光线的实际路径，是光程

()AB nl =为极小值的路径，n 是常

数，所以只要保证l 为最小便可。由

公理，两点之间直线距离最短，得到光在AB 之间沿直线传播，故，光在均匀介质中沿直线传播。 （2）折射定律：（在非均匀介质中）

如图示：Q 点发出的光线入射到两种介质的平面分界面上，折射后到达P 点。

证明：（1）作图：作'PP ⊥∑，'QQ ⊥∑，因为''PP QQ ，故两线共面，给这个平面起个名字∏。（2）从P 经折射面∑上

折射率和路程的乘积叫做光程。 光在均匀介质中光程：

在m 种不同的媒质中有 在折射率连续变化的媒质中：

2、费马原理

AB 两点间光线的实际路径是光程为平稳的路径。光沿光程为最小值、最大值或恒定值的路程传播。

4、费马原理的证明

（1）光的直线传播定律：（在均匀介质中）

（2）折射定律：（在非均匀介质中）

任一点'M 到Q 的光线'PM Q 。由'M 作垂足''P Q 联线的垂线'MM ，不难看

出，'PM PM <，

'QM QM <，即光

线'PM B 在∏平面上的投影PMB 比

'PM B 本身光程更

短。可见光程最短的路径应在∏平面内，也就是说入射光和折射光在同一平面

()QP n l

=?1

()m

i i

i QP n l ==?∑()P

Q

QP ndl

=?B

A

nds =?

极小值、极大值、恒定值

内。（3）在∏平面内找折射点。令1'PP h =，2'QQ h =，

''P Q p =，'P M x =，'Q M p x =-，1'P PM i ∠=，2'MQQ i ∠=。根据光程的概念

12()PMQ n PM n MQ

n n =+=

求极小值

由光程取极小值条件 得到

作业：用费马原理证明反射定律（也就是考察由A 点出发经反射面到达B 点的光线将走怎样的路径？）

证明：相对于反射平面取B 的对称点'B ，假设一条路径'AC B ，根据对称，从

A 到

B 任一可能路径'A

C B

的长度和''AC B 相等。我们

就把求'AC B 的问题转化为求''AC B 。显然，所有连接''A B 的直线中，'ACB 最短，从而路径ACB 的长度最短。根据费马原理，ACB 是光线的实际路径。过C 作界面法线，根据平行得到反射角等于入射角。

（3）光程取极大值和恒定值的情况

作业

（3）光程取极大值和恒定值的情况

2

2112

2222

211i sin n i sin n )x p (h )

x p (n x h x n )QMP (dx

d -=-+--

+=

()/0d QMP dx =1122

sin sin n i n i =1n 2n

A

B

'C

C

'B

1i 1'i

2i

2i

有一块镜面M ，它是旋转椭球面的一部分，1P 、2P 是两个

§3.3 单心光束实像和虚像

1、单心光束、实像与虚像、实物与虚物

是具有单个顶点的光束）叫单心光束。例如从一点光源发出的光束就是单心光束。

（2）光具组：由若干反射面或折射面组成的光学系统，叫做光具组。例如平面镜（一个反射平面）、透镜（两个折射球面）、照相机镜头、望远镜等复杂的光学仪器都是光具组。以下为了简便起见，我们用大括号来代表各种光具组。

（3）物点、像点：入射到光具组的单心光束的顶点（P）为物点；经光学系统出射后又汇聚的单心光束的顶点（P'）为像点。（4）实物、虚物、实像、虚像：发散的入射单心光束的顶点（P）为实物；会聚的入射单心光束的顶点（P）为虚物；会聚的出射单心光束的顶点（P'）为实像；发散的出射单心光束的顶点（P'）为虚像。参见光学成像系统的举例，判断实虚物、实虚像。（5）实物、实像、虚像的联系与区别：不管是物还是像最终我们都是需要用来观察的，所以，我们从观察的角度来看它们的联系和区别。一方面，我们用眼睛直接观察；另一方面，我们用白屏来观察，看一看它们有怎样的区别。

联系：1、人的眼睛，也包括照相胶片、光电探测器，都只能感知光的强度，而光强度包含于光束之中，所以只有进入人眼的光束才能引起视觉。成像于视网膜上的只是光束的顶点而非光束本身。光通过浑浊的空间时，尘埃微粒作为散射光束的顶点被看到，而不是看到了光束本身；宇航员看到的洁净的宇宙空间是漆黑的，由于没有尘埃作为散射源。2、人眼以刚进入瞳孔前的光线方向判断光束顶点位置。所以，眼睛在观察一个发光点时，是根据进入眼睛的那部分光线的最后方向和发散程度来判断它们发光中心位置的。所以当一束成虚像的发散光束射入眼睛后，我们的感觉是在它们延长线的交点处有一个真的发光点。单独用人眼无法直接判断顶点是否有实际光线通过。对人眼而言，无论是物点还是像点，是实像还是虚像，都不过是发散光束的顶点，二者之间没有区别。（1）单心光束：

（2）光具组：

（3）物点、像点：

（4）实物、虚物、实像、虚像：

（5）实物、实像、虚像的联系与区别：

区别：（1）物点与像点的区别：物点是发散光束的顶点，从任何角度观察都会有光进入人的眼睛，所以各处可见；而像点由于透镜大小的限制，仅在光束范围内可见。

（2）实像与虚像的区别：实像既可用眼睛观察，也可用屏幕接收，这是因为实像是实际光束的会聚点。虚像能够被人看到或被屏幕接收吗？由于虚像所在处根本没有光线通过，所以不能用白屏接收。

§3.4 光在平面介面上的反射和折射光学纤维

一、教学目的

1、掌握光在平面界面上的反射和折射规律；

2、掌握利用像似深度进行折射的计算；

3、掌握全反射角的计算、理解光学纤维的工作原理；

4、掌握棱镜的相关计算。

二、学时分配：1学时

三、教学重点：光在平面界面上的反射和折射规律

四、教学难点：利用像似深度进行折射的计算

五、教学方法与手段：讲授，多媒体演示相结合。

六、教学思路

1、课程引入

保持物、像在几何形状上的相似性，是理想成像的基本要求。保持光束的单心性是保持形状相似从而实现理想成像的保证。所

以，研究成像问题就归结为研究如何保持光束单心性问题。一般情况下，光在介面上反射和折射后，其单心性不再保持。但只要满足适当的条件，可以近似地得到保持。接下来的两节，主要研究在不同介面反射、折射时，光束单心性的保持情况。

2、光在平面上的反射§3.4 光在平面介面上的反射和折射光学纤维

1、光在平面上的反射

点光源P发出单心光束，经平面镜反射后，形成一束发散光束，其反向延长线交于一点'P，且与P 点对称。显然，反射光束仍为单心光束，说明在此过程中光束保持了其单心性，是一个理想成像过程——'P是P的虚像。所以，平面镜是一个不破坏光束单

心性、理想成像的完善的光学系统。

3、光在平面上的折射

光线在折射率不同的两个透明物质的平面分界面上反射时，单心光束仍保持为单心光束；但折射时，除平行光束折射后仍为平行光束外，单心光束将被破坏。这里，我们不做复杂的证明，仅以一个简单的例子给大家做分析。

例1：在水中深度为y 处有一发光点Q ，作QO 垂直于水面，求射出水面折射线的延长线与QO 交点'Q （像点）的深度'y 与入射角i 的关系。

解：设水相对于空气的折射率为n ，则根据折射定律，有

如图，有

由上式可见，由Q 发出的不同方向的单心光束，折射后的延长线不再交于同一点，即不再是单心光束。所以，折射后，光束的单心性已被破坏。但对于哪些接近法线方向的光线（即入射角

近似为零），若忽略高阶小量，得到 ，称为像

似深度。

下面，我们来利用像似深度作一个习题，熟悉像似深度的应用。

例2：使一束向P 点会聚的光在到达P 点之前通过一平行玻璃板，如果将玻璃板垂直于光束的轴放置，问会聚点将朝哪个方向移 平面镜是一个不破坏光束单心性、理想成像的完善的光学系统。

3、光在平面上的折射

例题 像似深度 例2：

动？移动多少？

解：第一次折射，根据像似深度公式

2

sin sin n i i =tan x

y i

=2'tan x y i =

2tan 'tan i y y i =22sin cos cos sin i i y i i

==21

'n y y y n

n ==2

1

'n y y y n n ==y DP

=

第二次折射

会聚点移动： 4、全反射 光学纤维

1.全反射当光线从光密介质射向光疏介质时，由折射定律可以看出，折射角大于入射角。当入射角增大至某一数值

2

1arcsin

C n i n =时，折射角2

90

i

=。当

1C

i i >时，折射线消失，光

线全部反射，这种现象称为全反射，

C

i 称为全反射临界角。

全反射的应用很广，以下给大家介绍几种全反射的应用。

2.光学纤维

在目前的通信网络中，用于传输光信号的光学纤维就是利用全反射规律而使光线沿着弯曲路程传播的光学元件。一般使用的光学纤维是由直径约几微米的多根或单根玻璃纤维组成的。每根纤维分内外两层，内层材料的折射率较大，外层材料的折射率较小。这样当光由内层射到两层介质的分界面时，入射角小于临界角的那些光线，根据折射定律将逸出光纤，光信号逐渐损耗至消失；而入射角大于临界角的光线，由于全反射在两层界面上经历多次反射后到达另一端，完成光信号的传输。光纤中的光信号是由激光器产生，通过一个耦合器耦合进光纤的。由于激光由空气进入玻璃光纤端面的时候会发生折射，按照我们刚刚的介绍，折射后要满足全反射的条件，所以，并不是所有的入射光线都可以在光纤中传输。我们从理论上推导一下这条临界光线所对应的入射角。

我们以这条粉色的光线当作临界光线，它在两层界面上的入

3、全反射 光学纤维 全反射

全反射临界角

2.光学纤维

'y nDP

=y nDP d =-1

''()y EP nDP d n

==

-11''()()(1)PP EP EP nDP d DP d d n n

=-=

---=-

射角等于临界角C i 。显然，由折射率为0n 维而且入射角大于1i 的那些光线，在1n 、2n 于C i ，这些光线都不能通过纤维。只有在介质0n 中顶角等于空间锥体内的全部光线才能在纤维中传播，根据临界角公式2

1

sin C n i n =

，和折射定律：011sin sin 'n i n i =，可得 0111sin sin()

2

cos C C n i n i n i n π

=-===对于空气中的纤维，01n =于是

1i =5、棱镜

棱柱叫做三棱镜。与棱边垂直的平面叫做棱镜的主截面。光通过棱镜时，产生两个或两个以上界面的连续折射，传播方

面入射的光线DE在界面AB上的E点发生第

一次折射，

21

i i<，光线偏向底边BC。进入

棱镜的光线EF在界面AC上的F点发生第二

次折射，''

12

i i>，出射光线进一步偏向底边

1

i=

5、棱镜

由透明介质（玻璃）做成的棱柱体。截面呈三角形的棱柱叫做三棱镜。与棱边垂直的平面叫做棱镜的主截面。三棱镜两折射面的夹角称三棱镜顶角A。BC。光线经两次折射，传播方向总的变化可用入射线DE和出射

线FG的夹角θ来表示，叫做偏向角。我们下边重点讨论偏向角θ和1i、2i、'1i、'

2

i和顶角A之间的关系：

1212

()('')

i i i i θ=-+-

11222 (')(')

i i i i i

=+-+

因为'

22

i i A

+=

所以'

11

i i A

θ=+-

上式表明，对于给定的棱角A，偏向角随入射光线方向的变化而变化。由实验得知，在θ随1i的

改变中，对于某一

1

i

的值，偏向角达到最小，称为最小偏向角0

θ。

1

d

di

θ

=得到产

生最小偏向角的充要条件是'11i i =或'

22i i =，此时，最小偏向角

可表示为012i A θ=-，返推入射角可表示为012

A

i θ+=，又因

为折射角'

222

A

i i ==，利用折射定律，可计算处棱镜材料的折射率102

sin sin sin 22sin i A A

n i θ+=

=

在棱镜顶角A 已知的条件下，通过测量最小偏向角，便可算出棱镜的折射率。棱镜主要应用于分光，即利用棱镜对不同波长光的折射率不同的性质。当一束白光入射时，不同波长的光具有不同的偏向角，从而出射线的方向不同。通常棱镜的折射率是随波长的减小而增加的，所以可见光中紫光偏折最大，红光偏折最小。另外，利用全反射棱镜可以改变光线方向。三角形ABC 为等腰直角三角形棱镜的主截面。当光线垂直入射到AB 面上，按原方向进入棱镜，射到AC 面上，此时入射角等于45度，比玻璃到空气的临界角大，因而产生全反射。由于反射角也是45度，光线就偏折了90度，沿垂直于BC 面的方向射出棱镜。因为是垂直入射，反射损失很小。因此在光学仪器中经常用它作为把光线转 出射光与入射光之间的夹角称棱镜的偏向角θ。

'11i i A θ=+-

最小偏向角0

θ

102

sin sin sin

22sin i A A n i θ+=

= 应用

棱镜光谱：当用白光入射时，由于折射率的不同，出射光将展开成彩带即光谱。所以，三棱镜也是一种分光装置。 改变光路

向90度的光学元件。

§3.5 光在球面上的反射和折射

一、教学目的

1、掌握球面反射和折射的符号法则；

2、掌握球面反射和

折射的物像公式；

二、学时分配：2学时

三、教学重点：球面反射和折射的物像公式的应用

四、教学难点：根据光路图列出物像公式

五、教学方法与手段：讲授，多媒体演示相结合。

六、教学思路

1、课程引入

上一次课我们学习了光在平面界面上的反射和折射，今天继续来学习光在球面界面上的反射和折射，也就是球面镜反射和球面镜折射。

2、符号规则

为了研究光线经由球面镜反射和折射后的光路，先来介绍一套已规定的符号法则——新笛卡尔法则。我们以一个反射球面为例，AOB表示球面的一部分，这部分球面的中心点O称为顶点，

球面的球心C称为曲率中心，

球面的半径称为曲率半径，连

接顶点和曲率中心的直线CO称

为主轴，通过主轴的任一平面

称为主截面。所有主截面相对

于主轴对称，那么我们只要讨论其中任一个主截面内光线的反射情况就可以知道其他情况了，在这个主截面内我们要对其中光线的线段长度和角度的符号作一些规定：

§3.5 光在球面上的反射和折射1、球面的几个概念符号法则

1、基本概念：

球面顶点：O 球面曲率中心：C 球面曲率半径：r

球面主轴：连接O、C而得的直线。

主截面：通过主轴的平面。

2、符号法则：为使计算结果普遍适用，

ACP中利用余弦定理得到：PAC和'

22cos(

-??

PC AC PC

转动，角度为负。（注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）

③ 图中出现的长度和角度只用正值。

无论光线从左至右还是从右至左，无论是球面反射还是折射，以上符号法则均适用。

3、球面镜反射

令PO s =-，''P O s =-，PA l =，''AP l =，ACO ?∠=

(')'PAP nl nl =+在

PAC 和'ACP 中利用余弦定理得到：

根据费马原理，物像之间的光程应该取稳定值，即

'

PAP d d ?

?=

由

()()'

'

'2sin 2sin 0PAP d n n r r s r s r d l l ???

???=

--+-=??????

得到'

'0r s s r l l ---=变形为

''

'111s s l l r l l ??+=+ ??? 对一定的球面和发光点P （S 一定），不同的入射点对应有不同的S ‘。即：同一个物点所发出的不同光线经球面反射后不再交于一点。

4、近轴光线下球面反射的物像公式 1、近轴光线条件,,cos 1??→当很小时 得到

''l s

l s ≈==-≈

==-'''111:s s l l r l l ??

∴+=+ ?

??

由'

112:

s s r

+=得 所以，对一定的反射球面（r 一定），

's 和s 一一对应，而

与入射点无关。由P 点所发出的单心光

束，经球面反射后将交于一点'P ，光束的单心性得以保持。一个物点将有一个确定像点与之对应。光学上称：?很小的

区域为近轴（或傍轴）区域，此区域内的光线为近轴光线。在近轴光线条件下：像点称为高斯像点。

s 称为物距，'s 称为

像距。

2、物像公式

焦点：沿主轴方向的平行光束

经球面反射后将会

聚于主轴上

一点，该点称为反射球面的焦点(F ’)。

'2

r

s s =-∞=

当有 C

22222cos()l AP AC PC AC PC π?==+-??-其中

,()AC r PC s r r s =-=---=-

根据费马原理

'

PAP d d ?

?=

''0r s s r

l l ---=

'

''111s s l l r l l ??+=+ ???

由P 点所发出的单心光束经球面反射后，单心性被破坏.

3、近轴光线下球面反射的物像公式 1、近轴光线条件,

,cos 1??→当

很小时

l s

l s

-'''111:s s l l r l l ??∴+=+ ?

??

由 '112:

s s r

+=得 ∴ 由P 点所发出的单心光束，经球面反射后将交于一点P ‘，光束的单心 性得以保持。一个物点将有一个确定像点与之对应。

2、物像公式

焦距：焦点到球面顶点的距离（'

2

r f =

）。它同样遵守符号法则。

说明：1、它是球面反射成像的基本公式，只在近轴条件下成立；

2、式中各量必须严格遵从符号法则；

3、对凸球面反射同样适用；

4、当光线从右至左时同样适用。

3、球面镜成像的作图法

依据的作图法，

平行光入射，反射后

过焦点，根据光路可逆，过焦点的光线，反射后成平行光，如

图。得到结论，当光线从左至右时，

'0s <成实像； '0s >成虚像。

P173[例3-3]一个点状物放在凹面镜前

0.05m 处，凹面镜的 曲率半径为0.20m ，

试确定像的位置和l 'l (')PAP =+'

'111s s f

∴

+=球面反射

'2

r s s =-∞=

当有

性质。

[解]：设光线从左至右

最后像是处于镜后0.1米处的虚像。

当光线从右至左时，可得到相同结论，说明符号法则均适用。 作业：P222 6、7、8

5、球面折射对光束单心性的破坏

AOB 是折射率分别为n 和'n 的两种介质的球面界面，r 为球面的半径，C 为球心，O 为球面顶点，OC 的延长线为球面的主轴，设'n n >，光线从P 点出发，经球面A 点折射后与主轴相较于'P 点，令PO s =-，''OP s =，PA l =，''AP l =，ACO ?∠=

焦距：焦点到球面顶点的距离（'2r

f =

）。它同样遵守符号法则。

说明：1、它是球面反射成像的基本公式，只在近轴条件下成立； 2、式中各量必须严格遵从符号法则； 3、对凸球面反射同样适用； 4、当光线从右至左时同样适用。 3、球面镜成像的作图法 当光线从左至右时，

'0s <成实像；

'0s >成虚像。

例题

4、球面折射对光束单心性的破坏 从主轴上P 点发出单心光束，其中一条光线在球面上A 点折射，折射光与主轴交于P`点。即P`为P

的像。 令

PO s

=-''

OP s =PA l

=''AP l =ACO ?∠=

当A 点在球面上

移动时，?是位置的''

111

s s f ∴+=()()()()

()

'':0.050.201120.20.05:0.1220.050.2s m r m s s r

rs

s m s r =-=-+=-?-===----已知由球面反射成像公式

得

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.PAP PAP d d ??∴=?由费马原理可知当时取得极值此处是极小值'

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