因式分解问题的归类

从中考中的因式分解题型看因式分解问题的归类

所谓因式分解是将一个整式分解成几个因式乘积的形式，由于这种变形蕴含着变换的数学思想和方法，并且对于代数式的求值、化简具有重要的意义，所以中考中除考察学生对因式分解的方法的选用外，还考察了学生恒等变形的能力。这里搜集了历年来各地中考中出现的有关因式分解的题目，通过适当的归类来体现其本质属性。有关因式分解的题目总体上可分为两种类型。一. 直接分解因式，即从整式的构成形式直接观察出第一步分解因式所用的方法，经过第一步分解后再运用其他方法分解。

例1．分解因式 ()

3652

2--x x 解： ()

3652

2--x x

= ()()

656522--+-x x x x = ()()()()6132-+--x x x x 例2.

分解因式 2433

-x

解： 2433

-x

= ()

833-x

= ()()

42232

++-x x x

二. 间接分解型： 1. 代数式的一部分运用完全平方公式再运用平方差公式分解，分解时应注意“各项”中正、负号的变化。

例3：分解因式 122

---b b a 解： 122

---b b a = (

)

122

++-b b a = ()2

21+-b a

= ()()11--++b a b a

例4：分解因式 2

12924b a a --+ 解： 24

12924b a a --+ =(

)

924b a a -+-

)()222

132b a --

= (

)(

)

b a b a 32322

121--+- 2.将整式分成具有（或变形后具有）公因式的组，经提取公因式整理并运用适当方法分解。

在运用此种方法时要注意分组要准确，符号变化要避免失误。例5：分解因式： -22222

++-a a a 解： -22222

++-a a a

=-2()

123--+a a a

=-2()()[]

123+-+a a a =-2()()[

]

112+-+a a a =-2()()

112-+a a =-2()()112

-+a a

例6：分解因式： 1643

4--+x x x 解： 1643

--+x x x

= (

)(

)

x x x x x 416443

4-+-+-

= (

)()()

44442

2-+-+-x x x x x = ()()()

4222

++-+x x x x

3．将整式通过恒等变形（或采用拆项、补项）后再进行分组分解。例7：分解因式： ()x y y x 242

-+-

解： ()x y y x 242

-+-

)

422

2-+-y xy x =()42

--y x

=()()22--+-y x y x

例8：分解因式： 19189662

--+--y xy x y x 解： 191896622

--+--y xy x y x

=()

()166918922--+-+-y x y xy x =-()

()162922--++-y x y xy x =-()[]2

13--y x

=-()2

133--y x

对于某些整式的分解因式它的分解方法又不是唯一的，可以通过不同的思路来分解。例9：分解因式： 2222y y x x -+-

解： 2222y y x x -+- =()()

121222--++-y y x x =()()2

11---y x

=()()y x y x --+2

另解：

解： 2222y y x x -+- =()

()y x y x 2222+-+- =()()()y x y x y x ---+2 =()()2-+-y x y x

4．从局部到整体的分解类型。例10：分解因式： ()()()1321++++x x x x 解： ()()()1321++++x x x x =()[]()()[]1213++++x x x x =(

)(

)

12332

++++x x x x =()

()

132322

2++++x x x x =(

)

213++x x

这里仅从较浅的层面谈问题，总的看来，因式分解的思路和方法始终贯穿在代数变换中，它除了在代数的恒等变形中作用巨大，其他如分式的通分和约分，以及解方程中都起着重要作用，在根式的化简计算，三角函数式子的恒等变形等方面也经常用。因此在历届中考中因

式分解总是已直接和间接的方式出题，且在分值上占有一定的比例，总之因式分解的归类分解学好对进一步研究其他数学问题起到至关紧要的作用。第八章因式分解综合练习

【例题精选】：

（1）

223220155y x y x y x ++ 评析：先查各项系数（其它字母暂时不看），确定5，15，20的最大公因数是5，确定系数

是5 ，再查各项是否都有字母X ，各项都有时，再确定X 的最低次幂是几，至此确认提取X 2，同法确定提Y ，最后确定提公因式5X 2

Y 。提取公因式后，再算出括号内各项。

解：

3223220155y x y x y x ++ =

)431(522y xy y x -+ （2）

23229123y x yz x y x -+- 评析：多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数的最大公因数为3，且相同

字母最低次的项是X 2

解:

3229123y x yz x y x -+- =

)3129(2223y x yz x y x +-- =

)43(32223y x yz x y x +-- =

)1423(32+--xy y x （3）(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)

评析：在本题中，y-x 和x-y 都可以做为公因式，但应避免负号过多的情况出现，所以应提取y-x

解：原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a) =(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a) =(y-x)(b-a)

（4）（4）把3

232x y x -分解因式

评析：这个多项式有公因式2x 3，应先提取公因式，剩余的多项式16y 4-1具备平方差公式的形式

解：

343232x y x -=2)116(43-y x =2)14)(14(223+-y y x =)14)(12)(12(223++-y y y x

（5）（5）把8

27xy y x -分解因式

评析：首先提取公因式xy 2

，剩下的多项式x 6

-y 6

可以看作

2323)()(y x -用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。

对于x 6

-y 6

也可以变成

232)()(y x -先运用立方差公式分解，但比较麻烦。解：827xy y x -

=xy 2(x 6-y 6)= xy 2[2323)()(y x -]=))((3

3332y x y x xy +- =))()()((2

y xy x y x y xy x y x xy +-+++-

（6）把2236)(12)(z z y x y x ++-+分解因式

评析：把(x+y)看作一个整体，那么这个多项式相当于(x+y)的二次三项式，并且为降幂排

列，适合完全平方公式。对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察分析，善于把(x+y)代换完全平方公式中的a ，（6Z ）换公式中的

解：2

36)(12)(z z y x y x ++-+

2)6()6)((2)(z z y x y x ++-+=(x+y-6z)2

（7）（7）把4

222222

2)2(2)2(21y y y x y x +---分解因式

评析：把x 2-2y 2和y 2看作两个整体，那么这个多项式就是关于x 2-2y 2和y 2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方式。

解：4

222222

2)2(2)2(21y y y x y x +---

)2(2)2(2)2[(2122222222

y y y x y x +?---

222222)4(21

)22(21y x y y x -=--

2)2()2(21

y x y x -+

（8）（8）分解因式a 2-b 2-2b-1

评析：初看，前两项可用平方差公式分解。采用“二、二”分组，原式=(a+b)(a-b)-(2b+1)，此时无法继续分解。再仔细看，后三项是一个完全平方式，应采用“一、三”分组。

解：a 2-b 2-2b-1= a 2-(b 2-2b+1)=a 2-(b+1)2=[a+(b+1)][a-(b+1)]=(a-b-1)(a+b+1) 一般来说，四项式“一、三”分解，最后要用“平方差”。四项式“二、二”分组，只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。（9）（9）把a 2-ab+ac-bc 分解因式

解法一：a 2-ab+ac-bc=(a 2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)

解法二：a 2-ab+ac-bc=(a 2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c) =(a-b)(a+c) （10）（10）把y x xy x 33222

--+分解因式解法一：y x xy x 33222

--+

=)32)(()(3)(2)33()22(2-+=+-+=+-+x y x y x y x x y x xy x

解法二：

y x xy x 33222--+ =))(32()32()32()32()32(2

y x x x y x x y xy x x +-=-+-=-+-

说明：例（2）和例（3）的解法一和解法二虽然分组不同，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应系数成比例。（2）题解法一 1：1，解法二也是1：1；（3）题解法一是 1：1，解法二是2：（-3） (11) 分解因式12

+--x x x

评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。如是，就考虑“一、三”分组；不是，就考虑“二、二”分组

解法一：12

3+--x x x

)1()1()1()(223---=+-+-x x x x x x =)1()1()1)(1)(1()1)(1(2

2+-=+--=--x x x x x x x

解法二：12

3+--x x x =)1()1()1(2

223---=+-+-x x x x x x

)1()1()1)(1)(1()1)(1(22+-=-+-=--x x x x x x x 解法三：12

3+--x x x =)1()1)(1()()1(2

23+-+-+=+-+x x x x x x x x

22)1)(1()12)(1()1)(1(-+=+-+=-+-+x x x x x x x x x

（12）（12）分解因式(a-b)2-1-2c(a-b)+c 2

评析：本题将（a-b ）看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方式，可以“一、三”分组

解：(a-b)2-1-2c(a-b)+c 2

=[(a-b)2-2c(a-b)+c 2]-1=[(a-b)-c]2-1=(a-b-c)2-1-(a-b-c+1)(a-b-c-1)

（13）分解因式8a 2-5ab-42b 2 8a -21b

解：8a 2-5ab-42b 2 a +2b

=(8a-21b)(a+2b) -21ab+16ab=-5ab

（14）（14）分解因式a 6-10a 3+16

解：a 6-10a 3+16 a 3 -2 =( a 3-2)( a 3-8) a 3 -8 =( a 3-2)(a-2)(a 2+2a+4) -8a 3-2a 3 =-10a 3 （15）（15）分解因式-x 2+x+30

解：-x 2+x+30 （先提出负号） x +5 =-( x 2-x-30) x -6 =-(x+5)(x-6) +5x-6x=-x （16）（16）分解因式12(x+y)2-8(x+y)-7

解：12(x+y)2-8(x+y)-7 2(x+y) +1 =[2(x+y)+1][6(x+y)-7] 6(x+y) -7 =(2x+2y+1)(6x+6y-7) -14+6=8 （17）把2

y xy x y x ----分解因式

评析：此题是一个五项式，它能否分组分解，要看分组后组与组之间是否出现公因式

或是否符合公式。本题注意到后三项当把-1提出后，实际上是3

y x -按立方差公式分解后的一个因式：解：2

y xy x y x ---- =)()(2

y xy x y x ++--

)())((2

222y xy x y xy x y x ++-++- =)1)((2

2--++y x y xy x

（18）（18）把1222

22+----x yz z y x 分解因式

评析：把122

+-x x 看成一组符合完全平方公式，而剩下的三项把-1提出之后恰好也是完全平方式，这样分组后又可用平方差公式继续分解。解：1222

+----x yz z y x

)2()12(222z yz y x x ++-+- =2

2)()1(z y x +-- =)1)(1(z y x z y x ---++-

（19）分解因式6)2)(1(2

2-++++x x x x

评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开，要注意到这两个二次三项式的前两

项都是x x +2这一显著特点，我们不妨设x x +2

=a 可得（a+1）（a+2）-6即a 2+3a+2-6，即a 2+3a-4，此时可分解为（a+4）（a-1）

解：6)2)(1(2

2-++++x x x x

62)(3)(2

22-++++x x x x =4)(3)(2

22-+++x x x x

=]1)][(4)[(2

2-+++x x x x

)1)(4(22-+++x x x x （20）把8)32)(42(2

2--+++x x x x 分解因式

解：8)32)(42(2

--+++x x x x =812)2()2(2

--+++x x x x

20)2()2(222-+++x x x x =]4)2][(5)2[(2

2-+++x x x x =)42)(52(2

-+++x x x x

（21）把

72)209)(23(2

2-+-++x x x x 分解因式评析：它不同于例3（1）的形式，但通过观察，我们可以对这两个二次三项式先进行

分解，有

)5)(4)(2)(1()209)(23(2

2--++=+-++x x x x x x x x 。它又回到例3（1）的形式，我们把第一项和第三项结合在一起，第二、四项结合在一起，都产生了（x 2-3x ）

解：

72)209)(23(22-+-++x x x x =72)5)(4)(2)(1(---++x x x x =72)]5)(2)][(4)(1[(--+-+x x x x =72)103)(43(2

-----x x x x

32)3(14)3(222----x x x x =]2)3][(16)3[(2

2+---x x x x

)1)(2)(163()23)(163(222----=+---x x x x x x x x （22）把2

)6)(3)(2)(1(a a a a a +++++分解因式

评析：不要轻易展开前四个一次因式的积，要注意到常数有1×6=2×3=6 利用结合律会出现a 2+6

解：2

)6)(3)(2)(1(a a a a a +++++

)]3)(2)][(6)(1[(a a a a a =++++ =2

)56)(76(a a a a a +++++

=222222)66(36)6(12)6(a a a a a a ++=++++

（23）把（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9分解因式

评析：不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开，要注意到1+7=3+5，如果利用乘法结合律，把（x+1）（x+7）和（x+3）（x+5）分别乘开就会出现9)158)(78(2

2-++++x x x x 的形式，这就不难发现（x 2+8x ）作为一个整体a 同时出现在两个因式中，即（a+7）（a+15）-9的形式，展开后有a

+22a+96，利用十字相乘616

a ，得到（a+6）（a+16）而分解。

解：（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9 =[（x+1）（x+7）][（x+3）（x+5）]-9

9)158)(78(2

2-++++x x x x 以下同于例3

=9]105

)8(22)8[(2

22-++++x x x x =)8(22)8(2

x x x x ++++96

=]6)8)][(16)8[(2

2++++x x x x

)68)(168(22++++x x x x （24）把x （x+1）（x+2）（x+3）-24分解因式

评析：通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现（x 2+3x ），第二和第三个一次式

相乘出现（x 2+3x ）。可以设x 2

+3x=a ，会有a （a+2）-24，此时已易于分解

解：x （x+1）（x+2）（x+3）-24 =[x （x+3）][（x+1）（x+2）]-24 =24)23)(3(2

-+++x x x x =24]2)3)[(3(2

-+++x x x x =24)3(2)3(2

-+++x x x x =)43)(63(2

-+++x x x x

（25）把10)3(2)13(2

-+-++x x x x 分解因式

评析：不要急于展开2

2)13(++x x ，通过观察前两项，发现它们有公共的x 2+3x ，此时

把它看成一个整体将使运算简化。

解：

10)3(2)13(2

22-+-++x x x x =10)3(21)3(2)3(2

-+-++++x x x x x x =)33)(33(9)3(2

-+++=-+x x x x x x

（26）把分解因式

))((4)(2

d c b a d c b a +++--+ 评析：我们可以观察到+前后的两项都有（a+b ）和（c+d ）。据此可把它们看作为一个

整体。

解：))((4)(2

d c b a d c b a +++--+

))((4)]()[(2

d c b a d c b a ++++-+ =))((4)())((2)(2

2d c b a d c d c b a b a +++++++-+ =2

)())((2)(d c d c b a b a ++++++ =2

)()]()[(d c b a d c b a +++=+++

（27）把3

)1()1()1(1+++++++a a a a a a a 分解因式

评析：把（1+a ）看成一个整体，第一项1与第二项a 也合成一个整体（1+a ）解：3

)1()1()1(1+++++++a a a a a a a =])1()1(1)[1(2

a a a a a a ++++++ =)]1(1)[1)(1(a a a a a +++++ =4)1()1)(1)(1)(1(a a a a a +=++++

（28）把4112622

-++-+y x y xy x 分解因式

评析：此题容易想到分组分解法，但比较困难，考虑到 )2)(32(622

y x y x y xy x +-=-+

此时可设

411262)2)(32(2

2-++-+=+++-y x y xy x n y x m y x 再用待定系数法求出m 和n

解：设

41126222-++-+y x y xy x

y m n x n m y xy x n y x m y x ++-+++-+=+++-)23()2(62)2)(32(22

比较两边对应系数得到 m+2n=2 ① -3n+2m=11 ②

mn=-4 ③

由①和② 得到m =4，n=-1 代入③也成立

∴4112622

-++-+y x y xy x =（2x-3y+4）（x+2y-1）（29）把3104822

+---+y x y xy x 分解因式解：3104822

+---+y x y xy x =3104)2)(4(+---+y x y x y x =（x+4y+m ）（x-2y+n ）

=mn y m n x n m y xy x +-+++-+)24()(822

有 m+n=-4 ① 4n-2m=-10 ②

mn=3 ③

由①和② 得到m=-3，n=-1 代入③也成立 ∴3104822

+---+y x y xy x =（x+4y-3）（x-2y-1）（30）当x+y=2时，求3

6y xy x ++的值

评析：∵x+y=2这是唯一的条件。∴要从3

36y xy x ++中找到x+y 或有关（x+y ）的表达

式

解：336y xy x ++=（x+y ）（2

2y xy x +-）+6xy

∵x+y=2

∴原式=xy y xy x 622222++-=)2(22422

222y xy x y xy x ++=++ =222)2(2)(?=+y x =8

（31）己知x x 1+

=2 求3

x x +的值解：331x x +=]

3)1

)[(1()11)(1(222-++=+-+x x x x x x x x

∵

x x 1+

=2 ∴原式=2[（2）2-3]=2

（32）己知x-y=2，求)62(12

222

a xy ay ax y x a --+-+的值

解：)62(12

222

a xy ay ax y x a --+-+

=]6)()2[(1

2222

a ay ax y xy x a ---+-

=]6)()[(12

a y x a y x a ---- （x-y ） -3a

=)]2)(3[(1

a y x a y x a +--- （x-y ） +2a

∵x-y=a

∴原式=6)6(1

)3)(2(122

2-=-=-a a a a a

【综合练习题】∶

一、一、填空（每空1分，共15分）

1、把一个多项式化为的形式，叫做因式分解。

2、（）+2ab+1=（）2

3、因式分解9642

2+--a x a =（）-4x 2=（）2-（）2=（）（）

4、二次三项式2

2576y xy x -+=（）（）

5、立方和8（a-b ）3

+27=（）（）

6、2

1536-++-n n

n x x x （n 是大于2的整数）中，各项的公因式是（） 7、己知x 2-2xy+1是完全平方式，则y= 8、（3x-y ）（）=27x 3-y 3

二、选择题（四选一；每题3分，共15分） 1、多项式

244a

a -

作因式分解，结果为（）

A 、

)

4(3-a a B 、)124)(12(22++-a a a a

C 、)124)(12(22+--a a a a

D 、)144)(12(22++-a a a a

2、2-x 和3+x 同是下面某多项式的因式，它是（） A 、6+x-x 2 B 、6-x+x 2 C 、x 2+x +6 D 、6-x-x 2

3、因式分解bc c b a 22

+--时，正确分组方法有（） A 、1种 B 、2种 C 、3种 D 、4种 4、因式分解bc ac ab a -+-2时，正确分组方法有（） A 、1种 B 、2种 C 、3种 D 、4种

1、1、若将（2x ）n -81分解后得)32)(32)(94(2

-++x x x ，那么n 的值为 A 、2 B 、6 C 、4 D 、8

三、把下列各式分解因式（每小题3分，共15分） 1、142

-n y

2、2452

2-+xy y x 3、4)(12)(92

+---b a b a 4、2

36129y xy x -+-

5、)()(2

x y y y x x -+-

四、利用因式分解计算（每小题3分，共15分） 1、17.52-12.52

2、83×77

3、1.222×9-1.332×4

4、1012

5、16.8×3215+7.6×1615

五、求值（每小题3分，共15分）

1、1、己知a+b=-3, ab=-2，求3

2232ab b a b a +-

2、2、己知x+y=-2，a+b=

，122-=+-y xy x ，求3

333ax by ay bx +++的值

六、把下列各式分解因式（每小题3分，共15分） 1、241414)(2

++--x x x x

2、6)2(11

)2(22

-+-+a a a a 3、830625102

2+-++-n m n mn m

4、x xy y x 21372

-+-

5、（a a -22）（a a -2

2-9）+18

七、己知a 、b 、c 均大于0，任意两个数之和大于第三个数，试确定2

22222)(4a c b c b -+-的值的符号（5分）

答案

一、

1、n 个整式的积

2、2

)1()1(2)(+=++ab ab ab

3、)23)(23()2()3(,)3(2

x a x a x a a --+-=--- 4、（2x-y ）（3x+5y ）

5、]9)(6)(4)[322(]9)(6)(4][3)(2[2

++-+++=++-+++b a b a b a b a b a b a

)9666484)(322(2

2+--++++a b ab a b a 6、2

3-n x 7、y=1

8、2239y xy x ++

二、

1、B

2、D

3、A

4、B

5、C 三、

1、)1)(1(22-+n

xy xy 2、（xy+8）（xy-3）

3、2

2)233(]2)(3[--=--b a b a 4、

)63)(63()6(92y x y x y x +--+=-- 5、

)()())((222y x y x y x y x +-=-- 四、

1、150

2、6391

3、原式=(3×1.22)2-(2×1.33)2 再往下做结果6.32

4、10201

5、原式化为32152.1532158.16?+?

结果15

五、

1、1、解：]4)[()2(22

ab b a ab b ab a ab ab b a b a -+=+-=+-

∵a+b=-3，ab=-2 代入上式 ∴原式=（-2）[（-3）2

-4×（-2）]=-2×[9+8]=-34

2、2、解：

))()(())(()

()(2

233333333y xy x y x b a y x b a b a y b a x ax by ay bx +-++=++=+++=+++ ∵1

,21

,222-=+--=+-=+y xy x b a y x

代入上式 ∴原式=1

)1)(2)(21

(-=---

六、

1、)12)(2(24)(14)(2

----=+---x x x x x x x x 2、)62)(124(]6)2][(1)2(2[2

-+++=-+++a a a a a a a a

3、

)25)(45(8)5(6)5(2

+-+-=+-+-n m n m n m n m 4、)3)(7()3()3(7)3()3(732172-+=-+-=---=+--x y x x y x x x y x x xy y x x

5、)

62)(32(]

6)2][(3)2[(18)2(9)2(2

222222----=----=+---a a a a a a a a a a a a

七、解：

222222)(4a c b c b -+- =

)](2)][(2[222222a c b bc a c b bc -++-+- =)2)(2(2

22222a c b bc a c b bc -+++--

])2)][(2([222222a c bc b c bc b a ++++-- =])][()([2

222a c b c b a -+--

=))()()((a c b a c b c b a c b a -+++-++-

∵a>0，b>0，c>0，a+c>b ，a+b>c ，b+c>a ∴原式>0

因式分解提公因式法含答案

【知能点分类训练】知能点1 因式分解的意义 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）． A．（x+3）（x－3）=x2－9 B．x2－9+x=（x+3）（x－3）－x C．xy2－x2y=xy（y－x） D．x2+5x+4=x（x+5+） 2．下列变形不属于分解因式的是（）． A．x2－1=（x+1）（x－1） B．x2+x+1 4 =（x+ 1 2 ）2 C．2a5－6a2=2a2（a3－3） D．3x2－6x+4=3x（x－2）+4 3．下列各式从左到右的变形中，哪些是整式乘法哪些是因式分解哪些两者都不是（1）ad+bd+cd+n=d（a+b+c）+n （2）ay2－2ay+a=a（y－1）2 （3）（x－4）（x+4）=x2－16 （4）x2－y2+1=（x+y）（x－y）+1知能点2 提公因式法分解因式

4．多项式－7ab+14abx－49aby的公因式是________． 5．3x2y3，2x2y，－5x3y2z的公因式是________． 6．下列各式用提公因式法分解因式，其中正确的是（）． A．5a3+4a2－a=a（5a2+4a） B．p（a－b）2+pq（b－a）2=p（a－b）2（1+q） C．－6x2（y－z）3+x（z－y）3=－3x（z－y）2（2x－z+y） D．－x n－x n+1－x n+2=－x n（1－x+x2） 7．把多项式a2（x－2）+a（2－x）分解因式等于（）． A．（x－2）（a2+a） B．（x－2）（a2－a） C．a（x－2）（a－1） D．a（x－2）（a+1） 8．下列变形错误的是（）． A．（y－x）2=（x－y）2 B．－a－b=－（a+b） C．（a－b）3=－（b－a）3 D．－m+n=－（m+n）

因式分解16种方法

因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。注意三原则 1分解要彻底2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如：—3x2? x=-x3x —1) 分解因式技巧 1?分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2. 分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。基本方法 ⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ ”号时，多项式的各项都要变号。提公因式法基本步骤： (1)找出公因式； (2)提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 1 1 注意：把2a2+ —变成2(a2+-)不叫提公因式 2 4 ⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式：a2「b2 =(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2± 2ab+ b2= a-b2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的

因式分解分类练习经典全面

因式分解练习题(提取公因式) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---

因式分解常用的六种方法详解

因式分解常用的六种方法详解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)

整式的加减乘除及因式分解中考总复习(知识点复习+中考真题题型分类练习)

整式的加减、乘除及因式分解整式加减一、知识点回顾 1、单项式：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。补充：单独一个数或一个字母也是单项式，如a ，5……单项式系数和次数：系数：次数： 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项。多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。例如，多项式3x-2最高的项就是一次项3x ，这个多项式的次数是1，它是一次二项式 4、整式的概念：单项式与多项式统称整式二、整式的加减 1、同类项：所含字母相同，相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。合并同类项：把多项式中同类项合并在一起，叫做合并同类项。合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 2、去括号的法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号． 3、整式加减的运算法则（1）如果有括号，那么先去括号。（2）如果有同类项，再合并同类项。整式乘除及因式分解一、幂的运算： 1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m m n a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 3、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。 4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 5、零指数；10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。二、单项式、多项式的乘法运算：

因式分解知识点分类练习.doc

因式分解练习题 ( 提取公因式 ) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、 ay ax 2、3mx 6my 3、4a210ab 4、15a2 5a 5、x2y xy 2 6、12xyz 9x2 y 2 7、 m x y n x y 8、 x m n y m n 2 9、abc(m n)3 ab(m n) 10、12x(a b)2 9m(b a)3 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、2 R 2 r ____( R r ) 2、2 R 2 r 2 (______) 3、1 gt1 2 1 gt2 2 ___(t12 t2 2 ) 4、15a2 25ab 2 5a(_______) 2 2 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、x y __( x y) 2、b a __(a b) 3、z y __( y z) 4、 y 2 ___(x y)2 x 5、( y x) 3 __( x y)3 6、(x y)4 __( y x) 4 7、( a b) 2n ___(b a) 2n (n为自然数 ) 8、( a b) 2n 1 ___(b a)2 n 1 (n为自然数 ) 9、 1 x (2 y) ___(1 x)( y 2) 10、 1 x (2 y) ___(x 1)( y 2) 11、(a b)2 (b a) ___( a b)3 12、(a b)2 (b a)4 ___( a b)6 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、 nx ny 2、a2ab 3、4x36x2 4、8m2n2mn 5、25x2y315x2 y2 6、12 xyz9x2 y2 7、3a2y3ay 6 y

因式分解的方法与技巧

因式分解应具有四种意识一、优先意识按因式分解的一般步骤和思考程序，要树立优先提多项式公因式的意识例1．分解因式：21222 x y xy y -+ 解：二、换元意识通过换元，可以达到化繁为简、化难为易的目的例2．分解因式：2 5()7()6x y x y ---- 解：三、完整意识依分解因式的步骤，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止例3．分解因式：22222()4+-a b a b 解：四、应用意识例4．生产一批高为200 mm 的圆柱形容器，底面半径的合格尺寸为（501±）mm ，任取两个这样的产品，它们的容积最多相差多少（π取3.14）？解：因式分解中的数学思想众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，因式分解也不例外，在因式分解过程中也蕴含着许多的数学思想，如果能灵活的加以运用，往往能更好地解决因式分解问题，下面就因式分解中的常见的思想方法举例说明：一、整体思想所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解. 例1 把多项式(x 2－1)2+6(1－x 2)+9分解因式. 分析把(x 2－1)看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的解二、类比思想类比思想地因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比. 例2 分解因式：（1）x 3y －xy 3；（2）abx 2－2abxy +aby 2. 分析（1）对比平方差公式可先提取xy 后，（2）对比完全平方公式可先提取ab ，.

因式分解的9种方法

因式分解的多种方法——--知识延伸，向竞赛过度 1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握.常用的公式:完全平方公式、平方差公式例一：0322 =-x x 解：x(2x-3）=0， x1=0，x2=3/2这是一类利用因式分解的方程. 总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x —a ）因式,这对我们后面的学习有帮助。 2. 公式法常用的公式:完全平方公式、平方差公式。注意:使用公式法前,部分题目先提取公因式。例二：42-x 分解因式分析:此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =（a+b)(a —b) 2解:原式=（x+2）(x —2） 3. 十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1，a2的积a1?a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例三：把3722+-x x 分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。分解二次项系数（只取正因数）： 2＝1×2＝2×1; 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1）=（-1）×（—3）. 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7. 解原式=（x —3)(2x —1). 总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0）,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积,即c=c1c2，把a1，a2,c1,c2,排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘,再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

(完整版)因式分解培优题(超全面、详细分类)

因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序： 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法． 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数； (8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1 分解因式： (1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7．

因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)

因式分解的常方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．用方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a -b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2 )．下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！

几种常见的因式分解方法

几种常见的因式分解方法 1．提取公因式法 2．分组分解法 3．应用公式法，常用的公式有：（1）222)(2b a b ab a ±=+± （2）))((22b a b a b a -+=- （3）))((2233b ab a b a b a +±=± （4）33223)(33b a b ab b a a ±=±+± （5）2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++ （6）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 公式（5）证明如下： ac bc ab c b a 222222+++++ 222)22()2(c bc ac b ab a +++++= 22)(2)(c c b a b a ++++= 2)(c b a ++= 公式（6）证明如下： abc c b a 3333-++ abc ab b a c b ab b a a 333332233223---++++= )333(])[(2233abc ab b a c b a ++-++= )(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]3)())[((22ab c c b a b a c b a -++-+++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++= 在特殊情况下，当c b a ++＝0时，就有abc c b a 3333-++＝0，

于是，（7）abc c b a 3333=++ 这就是说，如果三个整式的和为零，那么这三个整式的立方和等于这三个整式乘积的三倍． 4．十字相乘法（1）有二次三项式q px x ++2，如果常数q 能分解成两个因数a 、b 的积，并使a ＋b ＝p ，则有 ))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++ （2）有二次三项式c bx ax ++2，如果二次项系数a 分解成两个因数a 1和a 2，常数项c 分解成两个因数b 1和b 2，并且使b b a b a =+2211，则有 c bx ax ++2211221221)(b b x b a b a x a a +++= ))((2211b x a b x a ++= （3）二元二次多项式f ey dx cy bxy ax +++++22的因式分解．设f ey dx cy bxy ax F +++++=22 ))((222111c y b x a c y b x a ++++= 则])][()[(222111c y b x a c y b x a F ++++= 211122212211)()())([(c c y b x a c y b x a c y b x a y b x a +++++++= 可以看出，a 1、a 2、b 1、b 2是由22cy bxy ax ++确定的，这样可对22cy bxy ax ++先进行因式分解，再把f 分解成因数c 1和c 2．如果 ey dx y b x a c y b x a c +=+++)()(112221 则F 就可分解成两个一次因式111c y b x a ++和222c y b x a ++的积．这种分解方法可视为双十字相乘法．对一个较复杂的多项式进行因式分解时，经常要综合运用以上方法，有时需要拆项和增减项，但在拆项和增减项时，要注意和原来的多项式保持相等．

因式分解题型分类解析

因式分解一、因式分解的概念：因式分解（分解因式）：把一个多项式化为几个整式（）的形式。二、因式分解的方法： 1、提公因式法：（1）公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式。（3）注意：①提取完公因式后，看另一个因式的项数与原多项式的项数是否一致，可用来检验是否漏项； ②提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ③如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。 2、公式法：运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ ②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝ a2－2ab＋b2＝ 3、十字相乘法：x2+(a+b)x+ab= 特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

一、按知识点：题型一: 概念的理解：例1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说出理由。（1）、()ay ax y x a +=+ （2）、()()()1121222-+++=-++y y y x x y xy x (3)、)3)(3(92-+=-x x a a ax （4）、2 22 )1(12x x x x +=++ （5）、a a a a ??=223 例3、下列各式中能用平方差公式分解因式的是（） ①2 2 b a -- ②2 242b a - ③42 2--y x ④192 2+-b a ⑤ 22)()(x y y x -+- ⑥14-x

因式分解(超全方法)

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2 )．下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++

因式分解分类练习提公因式法公式法十字相乘法

因式分解：提公因式法专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、2 3 ()()___()a b b a a b --=- 12、2 4 6 ()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、2 82m n mn + 5、2 3 2 2 2515x y x y - 6、2 2 129xyz x y - 7、2 336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、3 2 3612ma ma ma -+- 12、3 2 2 22 561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+--- 13、333(1)(1)x y x z --- 14、22()()ab a b a b a --+- 15、()()mx a b nx b a --- 16、(2)(23)5(2)(32)a b a b a b a b a ----- 17、(3)(3)()(3)a b a b a b b a +-+-- 18、2()()a x y b y x -+- 19、232()2()()x x y y x y x ----- 20、32()()()()x a x b a x b x --+-- 21、234()()()y x x x y y x -+--- 22、2123(23)(32)()()n n a b b a a b n +----为自然数

因式分解的方法与技巧

因式分解的方法与技巧Prepared on 21 November 2021

因式分解应具有四种意识一、优先意识按因式分解的一般步骤和思考程序，要树立优先提多项式公因式的意识例1．分解因式：21222 x y xy y -+ 解：二、换元意识通过换元，可以达到化繁为简、化难为易的目的例2．分解因式：25()7()6x y x y ---- 解：三、完整意识依分解因式的步骤，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止例3．分解因式：22222()4+-a b a b 解：四、应用意识例4．生产一批高为200mm 的圆柱形容器，底面半径的合格尺寸为（501±）mm ，任取两个这样的产品，它们的容积最多相差多少（π取3.14）解：因式分解中的数学思想众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，因式分解也不例外，在因式分解过程中也蕴含着许多的数学思想，如果能灵活的加以运用，往往能更好地解决因式分解问题，下面就因式分解中的常见的思想方法举例说明：一、整体思想所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解. 例1 把多项式(x 2－1)2+6(1－x 2)+9分解因式. 分析把(x 2－1)看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的解二、类比思想类比思想地因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比. 例2 分解因式：（1）x 3y －xy 3；（2）abx 2－2abxy +aby 2.

因式分解概念及基本方法

【例1】下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是( ) A ．223()33ab a b a b ab +=+ B ．222 2421x x x x ?? +=+ ??? C ．224(2)(2)a b a b a b -=+- D ．23633(2)x xy x x x y -+=- 因式分解概念及基本方法

【例2】把下列各式分解因式 ⑴8x3y2＋12xy3z ＝4xy2·( )＋4xy2·( ) ＝4xy2·( ＋) ⑵2a(b＋c)－3(b＋c) ＝( )·(b＋c)－( )·(b＋c) ＝( －)·(b＋c) ⑶12abc－9a2b2＝__________； ⑷(x＋3)2－(x＋3)＝__________。【例3】因式分解： ⑴(x＋y)2－3(x＋y)＝________。 ⑵x(a－b)2n＋y(b－a)2n＋1＝_________。 ⑶x(m－x)(m－y)－m(m－x)(m－y)＝_________。 ⑷m(x＋y)＋n(x＋y)－x－y＝_________。【例4】把下列各式因式分解 ⑴4a2－9 ＝( )2－( )2 ＝( ＋)( －)

⑵(x＋m)2－(x＋n)2 ＝[( )＋( )][( )－( )] ＝( )( ) ⑶4x2＋12x＋9 ＝( )2＋2·( )·( )＋( )2 ＝( )2 ⑷-a2＋4ab－4b2 ＝-( ) ＝- [( )2－2·( )·( )＋( )2] ＝-( )2 ⑸把x3－2x2y＋xy2分解因式，结果正确的是( ) A．x(x＋y)(x－y) B．x(x2－2xy＋y2) C．x(x＋y)2 D．x(x－y)2 ⑹因式分解：x3－xy2＝___________； ⑺分解因式：27x2＋18x＋3＝___________。【例5】因式分解： ⑴16m4－72m2＋81； ⑵-(a＋1)2－2(a2－1)－(a－1)2； ⑶4b2c2－(b2＋c2－a2)2。知识框架重现因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式。方法：1．提公因式法2．公式法3．囧4．囧

因式分解分类练习题(经典全面)

因式分解练习题(提取公因式) 平昌县得胜中学任璟(编) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2 155a a + 5、2 2 x y xy - 6、2 2 129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121 () ___() ()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---

因式分解方法与技巧

因式分解方法与技巧因式分解是初二学生学习的一个难点，有些学生在学习时感到不知所措，究其原因是没有掌握因式分解的基本方法。故本人对因式分解的常用方法作了一个小结，希望能对同学们有所帮助。专题一分解因式的常用方法：一提二用三查，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。常见错误： 1、漏项，特别是漏掉 2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化 3、分解不彻底首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底” ［例题］把下列各式因式分解： 1.x(y-x)+y(y-x)-(x-y) 2 2.a a -5 3.3(x 2-4x)2-48 [解析]1中()()22x y y x -=-,可以直接提取公因式(y-x);2、3中先提取公因式，再用平方差公式分解 [答案]1 原式=x(y-x)+y(y-x)-(y-x)2 =(y-x)[x+y-(y-x)] =2y(y-x) 2 a 5-a=a(a 4-1)=a(a 2+1)(a 2-1)=a(a 2+1)(a+1)(a-1) 3原式=3[(x 2-4x)-16]=3(x 2-4x+4)(x 2-4x-4) [点拨]看出其中所含的公式是关键专题二二项式的因式分解:二项式若能分解，就一定要用到两种方法：1提公因式法 2平方差公式法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a 2-b 2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中a,b 所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。平方差公式运用时注意点：根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式： A 、多项式为二项式或可以转化成二项式； B 、两项的符号相反； C 、每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式； D 、首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式； E 、对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的药先提取公因式 [例题]分解因式：3(x+y)2-27 [答案]3（x+y ）2-27=3[(x+y)2-9]=3[(x+y)2-32 ]=3()()33-+++y x y x [点拨]先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解专题三

初中因式分解典型例题汇总(附答案)

初中因式分解典型例题汇总例 1 多项式x +ax+b因式分解为(x+1)(x-2)，求a+b的值．分析根据因式分解的概念可知因式分解是一种恒等变形，而恒等式中的对应项系数是相等的，从而可以求出 a 和 b，于是问题便得到解决．解
2 2
由题意得：x +ax+b=(x+1)(x-2)，所以
2
2
x +ax+b=x -x-2，从而得出 a=-1，b=-2，所以 a+b=(-1)+(-2)=-3．点评 “恒等式中的对应项系数相等”这一知识是求待定系数的一种重要方法．例2 分析解点评因式分解 6a b+4ab -2ab．此多项式的各项都有因式 2ab，提取 2ab 即可． 6a b+4ab -2ab=2ab(3a+2b-1)．用“提公因式法”分解因式，操作时应注意这样几个问题：首
2 2 2 2
先，所提公因式应是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘积，即提取的公因式应是多项式各项的最高公因式，否则达不到因式分解的要求；其次，用“提公因式法”分解因式，所得结果应是：最高公因式与原多项式各项分别除以最高公因式所得商式的乘积．如果原多项式中的某一项恰是最高公因式，则商式为 1，这个 1 千万不能

丢掉．本例题中，各项的公因式有 2，a，b，2a，2b，ab，2ab等．其中 2ab 是它们的最高公因式，故提取 2ab．作为因式分解后的一个因式，另一个因式则是分别用 6a b，4ab 和-2ab除以 2ab所得的商式代数和，其中-2ab÷2ab=-1，这个-1 不能丢．例3 分析因式分解 m(x+y)+n(x+y)-x-y．将-x-y 变形为-(x+y)，于是多项式中各项都有公因式 x+y，提
2 2
取 x+y 即可．解 m(x+y)+n(x+y)-x-y
=m(x+y)+n(x+y)-(x+y) =(x+y)(m+n-1)．点评例4 分析
3
注意添、去括号法则．因式分解 64x -1． 64x 可变形为(8x ) ，或变形为(4x ) ，而 1 既可看作 1 ，也可
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看作 1 ，这样，本题可先用平方差公式分解，也可先用立方差公式分解．解
6
方法一
3 2
64x -1=(8x ) -1 =(8x +1)(8x -1) =[(2x) +1][(2x) -1] =(2x+1)(4x -2x+1)(2x-1)(4x +2x+1) 方法二
2 2 3 3 3 3