四边形综合复习讲义及答案

6、如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB . （1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；

（2）设AP =x , △PBE 的面积为y .求出y 关于x 的函数关系式

A B

C

P D E

解：①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．

∵PC=PC，

∴△PBC≌△PDC（SAS）．

∴PB=PD，∠PBC=∠PDC．

又∵PB=PE，

∴PE=PD．

②（i）当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，

∵PB=PE，

∴∠PBE=∠PEB，

∴∠PEB=∠PDC，

而∠PEB+∠PEC=180°，

∴∠PDC+∠PEC=180°，

∴∠DPE=360°﹣（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，

∴PE⊥PD．

（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．（iii）当点E在BC的延长线上时，如图．

∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，

∴∠DPE=∠DCE=90°，

∴PE⊥PD．

综合（i）（ii）（iii），PE⊥PD；

（2）过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE．

∵AP=x，AC=，∠ACB=45°，PF⊥BC，

∴PC=﹣x，PF=FC=．

BF=FE=1﹣FC=1﹣（）=．

∴S△PBE=EB·FP=BF·PF=（）=．

即（0＜x＜）．

7、如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，

CH⊥AB于H，CH交AD于F．

(1)求证：CD∥AB；(2)求证：△BDE≌△ACE；(3)若O为AB中点，

求证：OF=BE．

解：（1）∵BD=CD，∴∠BCD=∠1 ∵∠l=∠2，∠BCD=∠2 ∴CD∥AB。（2）∵CD∥AB

∴∠CDA=∠3，∠BCD=∠2=∠3，且BE=AE，且∠CDA=∠BCD

∴DE=CE

在△BDE 和△ACE 中，DE=CE ，∠DEB=∠CEA ，BE=AE ∴△BDE ≌△ACE 。

（3）∵△BDE ≌△ACE ，∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90° ∴∠ACH=90°-∠BCH 又CH ⊥AB ， ∴ ∠2=90°-∠BCH

∴∠ACH=∠2=∠1=∠4，AF=CF

∵∠AEC=90°-∠4，∠ECF=90°-∠ACH ，∠ACH=∠4 ∠AEC=∠ECF ，CF=EF ∴ EF=AF

O 为AB 中点，OF 为△ABE 的中位线

∴OF=

BE 。

三、解答题

1、如图,已知:在四边形ABFC 中，ACB ∠=90BC ,?的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE (1) 试探究,四边形BECF 是什么特殊的四边形;

(2) 当A ∠的大小满足什么条件时,四边形BECF 是正方形?请回答并证明你的结论.

解：（1）四边形BECF 是菱形， 证明：EF 垂直平分BC ， ∴BF=FC ，BE=EC ， ∴∠1=∠2 ∵∠ACB=90°

∴∠1+∠4=90°，∠3+∠2=90° ∴∠3=∠4 ∴EC=AE ， ∴BE=AE ，

∵CF=AE

∴BE=EC=CF=BF

， ∴四边形BECF 是菱形；

（2）当∠A=45°时，菱形BESF 是正方形， 证明：∵∠

A=45°，∠ACB=90° ∴∠1=45°， ∴∠EBF=2∠A=90°， ∴菱形BECF 是正方形。

2、如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB CD ，的延长线分别交于E F ，．

（1）求证：BOE DOF △≌△；

（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论． （1）证明：四边形是矩形，

（矩形的对角线互相平分）， （矩形的对边平行）． ，

．

（A ．A ．S ）．

F D

O

B E

A

（2）当时，四边形是菱形．

证明：四边形

是矩形，

（矩形的对角线互相平分）．

又由（1）得，

∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

又，四边形

是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

4、如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB =，BC =AC BD ，相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，．

（1）证明：当旋转角为90 时，四边形ABEF 是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．

（1）当旋转角为90°时,∠AOF=90°,由AB ⊥AC,可得AB ∥EF,即可证明四边形ABEF 为平行四边形；

（2）在旋转过程中,线段AF 与EC 总保持相等；证明△AOF ≌△COE 即可；

（3）在旋转过程中,四边形BEDF 可能是菱形.EF ⊥BD 时,四边形BEDF 为菱形,可根据勾股定理求得AC=2,∴OA=1=AB,又AB ⊥AC,∴∠AOB=45°

7、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5AB DC ==，6AD =，12BC =．动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P 点到达C 点时，Q 点随之停止运动． （1）梯形ABCD 的面积等于 ；

（2）当PQ AB ∥时，P 点离开D 点的时间等于 秒； （3）当P Q C ，，三点构成直角三角形时，P

点离开D 点多少时间？

（2）如下图所示：作DF ∥AB 交BC 与F,连接PQ,设t 秒后PQ ∥AB,

∵AB ∥DF,AB ∥PQ ∴PQ ∥DF,AD=BF=6, ∴△CPQ ∽△CDF ∴PCCD=CQCF, 即：5-t5=2t6,

A B

C D

O F E C

Q

B

P F A D ∴t=158秒．

（3）当P 、Q 、C 三点构成直角三角形时,有两种情况：

①当PQ ⊥BC 时,设P 点离开D 点t 秒,PC=DC-DP=5-t,CQ=2t,作DE ⊥BC 如下图所示：

∴PQ ∥DE,∴∠CPQ=∠CDE,∠CQP=∠CED, ∴△CPQ ∽△CDE, ∴PCCD=CQEC 即：5-t5=2t3 ∴此时,t=1513秒．

②当QP ⊥DC 时,设P 点离开D 点t 秒．如下图所示：

∵∠QPC=∠DEC=90°,∠C=∠C ∴△QPC ∽△DEC ∴PCEC=CQCD 即：5-t3=2t5 ∴此时,t=2511秒,

所以,当P 、Q 、C 三点构成直角三角形时,点P 离开点D15|13秒或25|11秒．

9、四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 同时出发，沿AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 移动。

1.运动中的四边形PQEF 是正方形吗？请说明理由；

2.PE 在运动中是否总过某一点？请说明理由是；

3、四边形PQEF 的顶点位于何处时，其面积有最大值和最小值？最大值和最小值各是多少？

（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，

∴BP=QC=ED=FA．

又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，

∴△AFP≌△BP Q≌△CQE≌△DEF．

∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB，

∴∠APF+∠BPQ=∠PQB+∠BPQ=90°，

∴四边形PQEF为正方形；

（2）连接PC、AE，

∵AP平行且等于EC，

∴四边形APCE为平行四边形．

∴O为对角线AC的中点，

∴对角线PE总过AC的中点O；

（3）正方形ABCD与正方形PQEF的对角线交点是重合的，

当OP⊥AB时，四边形PQEF面积最小，为原正方形面积的一半，此时S正方形PQEF= 1

2

S正方形ABCD．

当P与顶点B重合时，面积最大，S正方形PQEF=S正方形ABCD．