51101201025高级算法讨论班作业

变量间直接换值的算法

变量间值的交换是计算机程序设计中常见的一种过程，一般的对于2 个变量，例如变量A 和B，当要交换它们的值时，需要借助于一个中间变量，例如变量C，利用中间变量C 提供的暂存储空来协助完成变量A 和B 值的交换。如下是用c 语言描述的这种算法：

int a,b,c;/*定义三个变量*/

c=a;/*c 作为中间变量先保存a 的值*/

a=b; /*将b 的值换给a*/

b=c; /*把c 中预先保存的a 的值换给b*/

在这种2 个变量换值的算法中，中间变量必不可少，而当参与换值操作的变量的个数为n(n>2)时，必须对参与换值的变量逐个进行换值操作。而无论参与换值的变量个数是2 还是n(n>2)，要完成这些变量间值的交换，通常的方法都需要预先定义至少一个中间变量，利用中间变量提供的内存空间协助完成换值操作，这个多出的中间变量必然会占用一定的内存空间。严重的是，当n 值很大时，实现换值过程的程序代码就会过于繁冗，并且由于要反复使用中间变量，编码过程就会显得枯燥且容易出错。笔者考虑，能否有一种算法能够不使用中间变量，而用一种统一的、很有规律性的公式来直接完成对n(n>=2)个变量的换值操作。本文所要讨论的就是这种更简单、更具规律性的通用性算法。

在计算机程序设计中，变量间的相互换值，不论参与换值的变量的数n(n>=2)有多大，在过程式单进程运行的程序中，都是依次由每2 个变量进行值的交换，进而完成所有变量的换值操作。因此，2 个变量间值的交换是最基本、最常见也是较特殊的一种换值过程，下面将分别对n(n>2)个变量和2 个变量间的直接换值算法进行讨论。

这里讨论的多个变量间的直接换值是指如下情形。例如，对于a、b、c、d、e、f、g 这7 个变量，如图1，题目要求将e 的值换给d，d 的值换给c，c 的值换给b，b 的值换给a，a 的值换给e。这里列出的7 个变量中有5 个变量参与了换值操作，并且换值均是变量的初始值。对于这种多个变量间值的交换，依据题目的要求，我们总能将参与换值的变量排成一个有向序列，在这个序列中，发生换值操作的变量相邻，箭头所指方向是换值的正方向，进行换值时，当前变量沿着箭头所指的换值序列的正方向，将自己的值赋给与它相邻的变量。具体换值步骤如下：首先，依据换值要求，将参与换值的变量排成一个有向换值序列，如图1，接下来，从中任选一个变量作为“和值变量”，这个“和值变量”用来保存

所有参与换值操作的变量的和值，然后，从“和值变量”开始，利用公式，沿换值序列的正方向将当前变量的值赋给与其相邻的变量。接下来，使相邻变量成为新的当前变量，将其值赋给与它相邻的变量。沿着换值序列的正方向，依次变换当前变量进行换值操作，直到所有的变量都得到换值为止。对于上面提到的例子：首先，依据题目要求将其中参与换值的5个变量排成一个有向换值列，如图1 所示。图１中，箭头的指向表示换值的正方向。接下来，从换值序列中挑选一个变量作为“和值变量”来保存所有参与换值变量的和值。如表１所示：选择变量a 作为和值变量来保存5 个参与换值操作的变量的和值，然后，从变量a 开始，使a成为当前变量，利用公式e=a-b-c-d-e 将ａ的初始值赋给相邻变量ｅ；接下来使e 成为当前变量，此时变量e 中保存的是a 的值，利用公式d=a-b-c-d-e 将e 的初始值赋给相邻变量d；后面依次利用公式改变当前变量，完成对ｃ、ｂ、ａ的换值操作。具体步骤见表１。表1 和表2 分别对应的是图1 和图2 所示换值序列的换值实现步骤。通过对这种方法的反复研究，我们可以得出：在所形成的换值序列中，各个变量的地位是平等的，保存所有变量和的值的“和值变量”的选择是任意的。如表1 所示，选择变量a 来作为“和值变量”，我们当然也可以选择其他变量来保存和的值。不过一旦选定保存和值的变量(如变量a)，就必须从此变量开始，使它第一个成为当前变量，沿着换值序列的正方向，将当前变量的值赋给它的相邻变量(如变量e)，沿正方向依次变换当前变量(如依次为e、d、c、b)，依次完成对各变量相邻变量(依次为d、c、b、a)的换值操作。值得一提的是：和值变量的选择是任意的；给各个变量换值的公式在形式上是统一的(即：等待得到换值的变量=和值变量-除和值变量外的所有参与换值的变量的和)；换值序列的正方向取决于当前变量将要换值给哪个变量；换值过程中，第一个得到换值的变量一定是“和值变量”在换值序列正方向上的相邻变量。本算法对于n=2 同样适用，当n＝2 时就成为常见的两个变量间值的互换，即就是如下2.2 所讨论的情形。

n=2 时，首先依据换值的要求形成如图2 所示的环状换值序列。如表2 所示是分别以变量a、b 作为和值变量时的换值步骤，这就是有些程序设计书里介绍的2 个变量间的直接换值算法。这里分别选择变量ａ和ｂ作为和值变量，从各自的实现步骤中同样可以看出：对于两个变量间的直接换值，和值变量的选择是任意的，保存和值的变量一旦选定，其换值的步骤是固定的，换值的公式也是统一的。