2017北京高考模拟解析几何压轴题文科

解析几何压轴题

1.fs20）（本小题14分）

已知椭圆C ：22

221x y a b

+=(0)a b >>，点(4,0)A -，(0,2)B 和点(,)(0)P m n m ≠

都在椭圆C 上，BP AB ⊥，且直线BP 与x 轴交于点M .

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和离心率； （Ⅱ）求点P 的坐标；

（Ⅲ）若以M 为圆心、r 为半径的圆在椭圆C 的内部，求r 的取值范围. 2.cp （20）（本小题满分14分）

已知椭圆M ：()22

2210x y a b a b

+=>>的焦距为2，

点(0,D 在椭圆M 上，过原点O 作

直线交椭圆M 于A 、B 两点，且点A 不是椭圆M 的顶点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，点C 是线段AH 的中点，直线BC 交椭圆M 于点P ，连接AP ．

（Ⅰ）求椭圆M 的方程及离心率； （Ⅱ）求证：AB AP ⊥;

（III ）设ABC ?的面积与APC ?的面积之比为q ，求q 的取值范围.

3.hd 20.（本小题满分14分）

已知曲线22

:1(0)43

x y C y +=≥, 直线:1l y kx =+与曲线C 交于,A D 两点，,A D 两点在x 轴上的射影分别为点,B C .

（Ⅰ）当点B 坐标为(1,0)-时,求k 的值；

（Ⅱ）记OAD ?的面积1S ，四边形ABCD 的面积为2S .

（i ）

若1S =

||AD 的值； （ii ）求证：

121

2

S S ≥. 4.xc20．（本小题满分14分）

已知抛物线C ：2

4x y =，过点)0)(,0(>m m P 的动直线l 与C 相交于B A ,两点，抛物线C 在点A 和点B 处的切线相交于点Q ，直线BQ AQ ,与x 轴分别相交于点F E ,.

（Ⅰ）写出抛物线C 的焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：点Q 在直线y m =-上；

（Ⅲ）判断是否存在点P ，使得四边形PEQF 为矩形？若存在，求出点P 的坐标；若不

存在，说明理由. 5.ft20.（本小题共14分）

已知椭圆w :22

221(0)x y a b a b

+=>>过点（0

，椭圆w 上任意一点到两焦点的距离

之和为4.

（Ⅰ）求椭圆w 的方程;

（Ⅱ）如图，设直线:(0)l y kx k =≠与椭圆w 交于,P A

两点，过点00(,)P x y 作PC ⊥x 轴，垂足为点C ， 直线AC 交椭圆w 于另一点B .

①用直线l 的斜率k 表示直线AC 的斜率； ②写出∠APB 的大小，并证明你的结论. 6.dc （20）（本小题共14分）

设函数()a

f x x x

=

-，a ∈R ． （Ⅰ）若1a =-，求()f x 在区间1

[,3]2

上的最大值；

（Ⅱ）设0b ≠，求证：当1a =-时，过点(,)P b b -有且只有一条直线与曲线()y f x =相切；

（Ⅲ）若对任意的1[,2]2

x ∈，均有()11f x x -≤成立，求a 的取值范围． 7.cy20. （本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，000(,)(0)P x y y ≠是椭圆:C 22

2212x y λλ

+=(0)λ>上的点，

过点P 的直线l 的方程为

002

212x x y y

λλ

+=. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率；

（Ⅱ）当1λ=时，设直线l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点，求OAB ?面积的最小值； （Ⅲ）设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 与点1F 关于直线l 对称，求证： 点2,,Q P F 三点共线.

详解答案

1.fs20）（本小题14分）

已知椭圆C ：22

221x y a b

+=(0)a b >>，点(4,0)A -，(0,2)B 和点(,)(0)P m n m ≠

都在椭圆C 上，BP AB ⊥，且直线BP 与x 轴交于点M .

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和离心率； （Ⅱ）求点P 的坐标；

（Ⅲ）若以M 为圆心、r 为半径的圆在椭圆C 的内部，求r 的取值范围. 20（共14分）

解：（Ⅰ）易知 4,2a b ==

所以c =所以椭圆C 的标准方程是 221164

x y +=； …………………………2分

离心率为

c e a =

4分 （Ⅱ）易知1

2

AB k =

…………………………5分 因为AB BP ⊥， 所以 2BP k =-…………………………6分 所以 BP 的方程为22y x =-+…………………………7分

所以22221164n m m n

=-+???+=?

?解得32173017m n ?

=????=-??

或00m n =??=?（舍） 所以点P 的坐标为3230

(

,)1717

-…………………………………9分 （Ⅲ）直线BP 的方程为22y x =-+

令0y =，得1x =所以点M 的坐标为(1,0)………………………10分

以M 为圆心，为r 半径的圆在椭圆C 的内部，等价于r 小于椭圆C 的点到点M 的最小值. 设点(,)(44)Q x y x -≤≤为椭圆C 上任意一点

则3

MQ ===≥

所以r

的取值范围是(0,

3

…………………………………14分

2.cp （20）（本小题满分14分）

已知椭圆M ：()22

2210x y a b a b

+=>>的焦距为2，

点(0

,D 在椭圆M 上，过原点O 作

直线交椭圆M 于A 、B 两点，且点A 不是椭圆M 的顶点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，点C 是线段AH 的中点，直线BC 交椭圆M 于点P ，连接AP ．

（Ⅰ）求椭圆M 的方程及离心率； （Ⅱ）求证：AB AP ⊥;

（III ）设ABC ?的面积与APC ?的面积之比为q ，求q 的取值范围.

（20）（本小题满分14分）

解：（I ）由题意知1,c

=b =，则2

2

2

4a b c =+=，

所以椭圆M 的方程为22143

x y +=，椭圆M 的离心率为1

2.………….5分

（II ）设0011(,),(,)A x y P x y ，则0

000(,),(,

).2

y B x y C x -- 由点,A P 在椭圆上，所以2200143x y +=①22

11143

x y +=② 点A 不是椭圆M 的顶点，②-①得，221022

103

4

y y x x -=-- . 法一：又010

010

00

3

32,,24PB BC

y y y y k k x x x x +=

==+且点,,B C P 三点共线， 所以

10010034y y y x x x +=+, 即 0100104()

.3()

y y y x x x +=+

所以，22010101010220101010104()4()43

()1,3()3()34

AB PA

y y y y y y y y y k k x x x x x x x x x -+--====?-=--+-- 即 AB AP ⊥. ……………9分

法二：

由已知AB 与AP 的斜率都存在，22

1010102

2

101010PA PB

y y y y y y k k x x x x x x -+-==-+-

221022103

()

3

44

x x x x --==--.

又003,4PB BC y k k x ==得00

,PA x

k y =- 则0000

()1AB PA y x k k x y -=

=- ， 即 AB AP ⊥. ……………9分 （III ）法一：

设AB k k =，由（II ）知13,4

AP BP k

k k k =-=，联立直线AP 与BP 方程：

00001(),3(),4

y y x x k k y y x x ?-=--???

?+=+??得 001312()4314k y x k x k k --=+，将00

y k x =代入得 00

002200000122

000000

32()4(45)

3434y x y x x y x x y x y x x y x y --+=

=++.

0102ABC APC x S q S x x ??==-22000222

0000

22

00243(45)43x x y y x x y x x y +==+-+20163

3(1)3y =+-, 因为20(0,3)y ∈,所以(3,)q ∈+∞. 法二：

设AB k k =，由（II ）知13,4

AP BP k

k k k =-=，联立直线AP 与BP 方程：

0000

1()3()4y y x x k k y y x x ?-=--????+=+??得 00010

31512()()442(1)313131444k k k y x x k k x x k k k k k k --+===++++， 010

2ABC

APC x S q S x x ??=

=

-0200

24

32(1)314x k k

x x k k

==++-+,

因为2(0,)k ∈+∞，所以(3,)q ∈+∞. ……………14分 3.hd 20.（本小题满分14分）

已知曲线22

:1(0)43

x y C y +=≥, 直线:1l y kx =+与曲线C 交于,A D 两点，,A D 两点在x 轴上的射影分别为点,B C .

（Ⅰ）当点B 坐标为(1,0)-时,求k 的值；

（Ⅱ）记OAD ?的面积1S ，四边形ABCD 的面积为2S .

（i ）

若1S =

||AD 的值； （ii ）求证：121

2

S S ≥. 20.解：

（Ⅰ）因为(1,0)B -，所以0(1,)A y -， …………………1分

代入22

1(0)43

x y y +=≥，解得032y =，…………………2分

代入直线1y kx =+,得1

2

k =-. …………………3分

（Ⅱ）解法一：设点(0,1)E , 1122(,),(,)A x y B x y .

因为22

143

1

x y y kx ?+

=???=+?,所以22(34)880k x kx ++-=, …………………4分

所以122122834834k x x k x x k ?

?=??

-?

+=?+?

-?

=?+?

…………………6分 又因为1121212111

||(||||)1||||222

S OE x x x x x x =

+=??-=-, …………………7分

而12

||x x -=,

所以1

S =, …………………8分

，

1

3

，解得0k =, …………………9分

所以23||13

AD ==. …………………10分 法二：

解法一：设点(0,1)E , 1122(,),(,)A x y B x y .

因为22

1

4

1

x y y kx ?+=???=+?, 所以22(34)880k x kx ++-=, …………………4分 所以

122122834834k x x k x x k ?

?=??

-?

+=?+?

-?

=?+?

…………………6分 点O 到直线AD

的距离为d =

, …………………7分

1212||||AD x x x x =-=-=8分

所以11||2S AD d =?=

1

3

，解得0k =, …………………9分

所以23||13AD =

=. …………………10分 （Ⅲ）因为212121()||2S y y x x =+-, …………………11分

所以

121212

12121

||12

1()||2

x x S S y y y y x x -==++-, …………………12分 而12121211()2y y kx kx k x x +=+++=++, …………………13分

所以2122134318662234S k k S k k +==≥=

-++. …

4.xc20．（本小题满分14分）

已知抛物线C ：24x y =，过点)0)(,0(>m m P 的动直线l 与C 相交于B A ,两点，抛物线C 在点A 和点B 处的切线相交于点Q ，直线BQ AQ ,与x 轴分别相交于点F E ,.

（Ⅰ）写出抛物线C 的焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：点Q 在直线y m =-上；

（Ⅲ）判断是否存在点P ，使得四边形PEQF 为矩形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由. 20．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-. ………………2分 （Ⅱ）证明：由题意，知直线l 的斜率存在，故设l 的方程为m kx y +=. 由方程组2

,

4,

y kx m x y =+=??

? 得2440x kx m --=，

由题意，得216160k m ?=+>.

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124x x k +=，124x x m =-， ………………4分 由抛物线方程2

4x y =，得2

14

y x

=

，所以12y x '=， 所以抛物线在点A 处的切线方程为)(2

1

411121x x x x y -=-， 化简，得2

114

121x x x y -=

， ○

1 同理，抛物线在点B 处的切线方程为2224

1

21x x x y -=. ○2 ………………6分

联立方程○1○2，得2222114

1

214121x x x x x x -=-，

即))((4

1

)(21212121x x x x x x x +-=-，

因为21x x ≠，所以)(2

1

21x x x +=

，

代入○1，得121

4

y x x m ==-，

所以点12

(

,)2

x x Q m +-，即(2,)Q k m -. 所以点Q 在直线y m =-上. ………………8分 （Ⅲ）解：假设存在点P ，使得四边形PEQF 为矩形， 由四边形PEQF 为矩形，得EQ FQ ⊥，即AQ BQ ⊥， 所以1-=?BQ AQ k k ，即12

1

2121-=?x x . 由（Ⅱ），得1)4(4

1

4121-=-=m x x ， 解得1m =.

所以(0,1)P . ………………10分

以下只要验证此时的四边形PEQF 为平行四边形即可. 在○1中，令0=y ，得)0,2

1(1x E .

同理得)0,2

1

(2x F .

所以直线EP 的斜率为1

122100

1x x k EP -=

-

-=，

直线FQ 的斜率1

2122

2

21)1(0x x x x k FQ

-=

+---=， ………………12分 所以FQ EP k k = ，即FQ EP //. 同理EQ PF //.

所以四边形PEQF 为平行四边形.

综上所述，存在点)1,0(P ，使得四边形PEQF 为矩形. ………………14分

5.ft20.（本小题共14分）

已知椭圆w :22

221(0)x y a b a b

+=>>过点（0，椭圆w 上任意一点到两焦点的距离

之和为4.

（Ⅰ）求椭圆w 的方程;

（Ⅱ）如图，设直线:(0)l y kx k =≠与椭圆w 交于,P A

两点，过点00(,)P x y 作PC ⊥x 轴，垂足为点C ， 直线AC 交椭圆w 于另一点B .

①用直线l 的斜率k 表示直线AC 的斜率； ②写出∠APB 的大小，并证明你的结论. 20．（本小题共14分）

解：

（Ⅰ）2,a b == -------------------2分

椭圆W 的方程22

142

x y +=. --------------------4分 （Ⅱ）设00(,)P x y ，则000(,),(,0)A x y C x --,0

y k x =

. --------------------6分 直线AB 的斜率0010000()()22

y y k

k x x x --=

==--.--------------------7分

（Ⅲ）0

90APB ∠=--------------------8分

由（Ⅱ）可得直线AB 的方程：0()2

k

y x x =

-，设点11(,)B x y 联立022(),24

k

y x x x y =2

?-???+=?，消去y 得22222002280k x k x x k x （）+-+-=--------------------10分 则2001222k x x x k -+=+ ，解得20012322k x x x k +=+， --------------------12分

所以30

122k x y k =+，点2300022

32B(

,)22k x x k x k k +++. --------------------13分 因为 30

020PB

22

0000

2

212 =3222k x kx kx k k k x x k x k

x k --+==-+-+， 所以P P 1A B k k ?=-，所以0

90APB ∠=----------------------14分 6.dc （20）（本小题共14分）

设函数()a

f x x x

=

-，a ∈R ．

（Ⅰ）若1a =-，求()f x 在区间1

[,3]2

上的最大值；

（Ⅱ）设0b ≠，求证：当1a =-时，过点(,)P b b -有且只有一条直线与曲线()y f x =相切；

（Ⅲ）若对任意的1[,2]2

x ∈，均有()11f x x -≤成立，求a 的取值范围．

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）当1a =-时，1

()f x x x

=-

-． 22

1(1)(1)()1x x f x x x --+'=

-=． 令()0f x '=，得1x =-或1x =．

当1

[,1)2x ∈，有()0f x '>，所以()f x 在区间1[,1)2

上是增函数； 当(1,3]x ∈时，有()0f x '<，所以()f x 在区间(1,3]上是减函数； 所

以

()

f x 在区间

1[

,3]2

上的

最大值为

(1)2f =-． ………………… 5分

（Ⅱ）设过点(,)P b b -的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)Q x y ，

则0001y x x =-

-，且切线斜率为020

1

()1k f x x '==-． 所以000()()y b f x x b

--'=-，即00

2001

1

1x b x x b x --+=--． 所以 2200000

1

(

)(1)()x b x x x b x --+=--，解得02b x =．

即存在唯一的切点2(

,)22

b b

b --． 所以过点(,)P b b -有且只有一条直线与曲线()y f x =相

切． ………………… 9分

（Ⅲ）当1x =时，对任意a ∈R ，不等式显然成立；

当1x ≠时，不等式等价于2

1

x

a x x ≤+

-．

当1[,1)2

x ∈时，不等式等价于2

1x

a x x

≤+-恒成立． 令2

()1x g x x x =+

-，1

[,1)2

x ∈， 则2

1

()2(1)

g x x x '=+

-，当1[,1)2x ∈时，显然()0g x '>， 所以()g x 在区间1

[,1)2上单调递增， 所以()g x 在区间1[,1)2上有最小值15

()24

g =．

所以5

4

a ≤．

当(1,2]x ∈时，不等式等价于2

1

x a x x ≤+-恒成立．

令2

()1

x h x x x =+-，(1,2]x ∈，

当(1,2]x ∈时，2

221()=11211

x h x x x x x x =+

++>+>--， 所以，当54a ≤时，不等式2

1

x a x x ≤+-对(1,2]x ∈恒成立．

综

上

，

实

数

a

的取值范围是

5

(,]4

-∞． ………………… 14分

7.cy20. （本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，000(,)(0)P x y y ≠是椭圆:C 22

2212x y λλ

+=(0)λ>上的点，

过点P 的直线l 的方程为

0022

12x x y y

λλ+=. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率；

（Ⅱ）当1λ=时，设直线l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点，求OAB ?面积的最小值； （Ⅲ）设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 与点1F 关于直线l 对称，求证： 点2,,Q P F 三点共线. 20.（本小题满分14分）

解：(Ⅰ)依题a =

，c λ==，

所以椭圆C 离心率为

2

e =

=

.……………………………………………3分

（Ⅱ）依题意00x ≠，令0y =，由

0012x x y y +=，得02x x =，则0

2

(,0)A x . 令0x =，由

0012x x y y +=，得01y y =，则0

1

(0,)B y . 则OAB ?的面积0000

1121

22OAB S OA OB x y x y ?=

==. 因为00(,)P x y 在椭圆:C 22

12x y +=上，所以220012

x y +=.

所以22

0012x y =+≥

，即002x y ≤

，则00

1x y ≥

所以00

11

2OAB S OA OB x y ?=

=≥当且仅当22002x y =，

即001,2

x y =±=±时，OAB ?面积的最小值

为 ……………………………………………………………8分

（Ⅲ）由22

22

102y x λλ=->

，解得0x <.

①当00x =时，(0,)P λ,(,2)Q λλ-,此时21F P k =-，21F Q k =-. 因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线. 当(0,)P λ-时，也满足.

②当00x ≠时，设(,)Q m n ，m λ≠-,1FQ 的中点为M ，则(,)22

m n

M λ-,代入直线l 的方程，得：

2000240x m y n x λλ+--=.

设直线1FQ 的斜率为k ，则00

2y n

k m x λ==+， 所以000220y m x n y λ-+=.

由2000000240220

x m y n x y m x n y λλλ?+--=?-+=?，解得2

2002200244x x m y x λλλ+=-+，200022

00484x y y n y x λλ+=+.

所以222

000002222

0000

2448(,)44x x x y y Q y x y x λλλλλ++-++. 当点P 的横坐标与点2F 的横坐标相等时，把0x λ=，2

2

2

y λ=

代入

22

0022

00

244x x m y x λλλ+=-+中得m λ=，则2,,Q P F 三点共线. 当点P 的横坐标与点2F 的横坐标不相等时, 直线2F P 的斜率为20

0F P y k x λ

=

-.

由0x ≤≤，02x λ≠-.

所以直线2F Q 的斜率为22

000222

00000222222

00000022

00

4844824248224F Q

x y y y x x y y k x x x x y x y x λλλλλλλλλλ

λ+++==++---+ 20000000022222

000000482(2)

4822x y y x y y y x x y x y x x λλλλλλλλλ

+++===--+- 000

000(2)()(2)y x y x x x λλλλ

+=

=

-+-. 因为22F Q F P k k =，所以2,,Q P F 三点共线.

综上所述2,,Q P F 三点共线. ……………………………………………………………14分