经典数列求和公式

数列求和的基本方法和技巧

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

3、 )1(21

+==

∑=n n k S n

k n 自然数列 4、 )12)(1(6

++==

∑=n n n k

S n

k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3

log 1log 23-=

x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由2

2log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）

＝x

x x n

--1)1(＝

11)

1(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2

++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1

)32()(++=

n n

S n S n f ＝64342++n n n ＝

n 341+

+＝

)8(12+-

n 50

1≤

∴ 当 8

n ，即n ＝8时，501)(max =n f

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的通项之积

设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----?

+=-- ∴ 2

1)1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

[例4] 求数列

??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21

}的通项之积

设n n n

S 2

226242232+???+++=…………………………………①

14322

226242221++???+++=n n n

S ………………………………② （设制错位） ①－②得14322

22222222222)211(+-+???++++=-n n n n

S （错位相减）

1122212+---=n n n

∴ 12

4-+-=n n n S

练习：*提示：不要觉得重复和无聊，乘公比错位相减的关键就是熟练！通项为{a n · b n },

1、an 是自然数列，bn 是首项为1，q 为2的等比数列

2、an 是正偶数数列，bn 是首项为1，q 为2的等比数列

3、an 是正奇数数列，bn 是首项为1，q 为2的等比数列

4、an 是正偶数数列，bn 是首项为3，q 为3的等比数列

5、an 是正奇数数列，bn 是首项为3，q 为3的等比数列

6、an 是自然数列，bn 是首项为3，q 为3的等比数列

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例5] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231

()71()41()11(12-++???++++++=-n a

a a S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-n a

a a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n

n + （分组求和）

当1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n

n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例6] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=

n k n k k k S 1

)12)(1(＝)32(23

k k k

k ++∑=

将其每一项拆开再重新组合得

S n ＝k k k n

k n k n

k ∑∑∑

===++1

（分组）

＝)21()21(3)21(22

22333n n n +???++++???++++???++

＝2)

1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2

)

2()1(2++n n n

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）11

1)1(1+-

=+=

n n n n a n ====》升级分母是n(n+2)呢？---重点掌握这个型 [例7] 求数列

???++???++,1

,321,

11n n 的前n 项和.

解：设n n n n a n -+=++=

111 （裂项）

则 1

212

11+++???+++

n n S n （裂项求和）

＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n [例8] 在数列{a n }中，11211++???++++=

n n n n a n ，又1

2+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211n n n n n a n =++???++++=

∴ )11

1(82

122+-=+?=n n n n b n （裂项）

∴ 数列{b n }的前n 项和

)]1

11(

)4131()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)1

1(8+-

n ＝ 1

8+n n

数列求和方法和经典例题

数列求和方法和经典例题求数列的前n 项和，一般有下列几种方法：一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式二、拆项分组求和法某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。三、裂项相消求和法将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。四、重新组合数列求和法将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和五、错位相减求和法适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和典型例题一、拆项分组求和法例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?

例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和二、裂项相消求和法例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和例7、求和：()11113242n S n n =+++??+

例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和三、重新组合数列求和法例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠

(完整版)放缩法典型例题

放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证：

解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，，所以（2）因为，所以，所以； 2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜．解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比． ∴．．

∴．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式；（2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为，

(完整版)数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

数列求和方法分类及经典例题

数列求和方法总结一、公式法 ()()111122 n n a a n n n .na d +-==+等差型 S ()111111n n na q a q q q =??=-?≠?-? ，2.等比型 S ， →3.分式型/阶乘型裂项相消法 () 1111111n n n n n a a a d a a ++??=- ???? ，其中为等差； ( 12n a d = ，其中为等差； ()()() ()113=+1+1+1n n n!n !n!.n !n!n !-?=- ， ()()()( )1111153759 11121121231233n n . .,n N n *???++++∈+++++++KK KK K KK 例1：求下列各数列的前项和S ，，，二、等差等比混合型 (){}=n n n a b kn b q ??+?→ 1.等差等比错位相减法 n n S 例2：求下列各数列的前项和 ()()112n n .a n =+? ()()12312n n .a n ??=-? ??? ()()()3312n n .a n =-+?-

{}111122n n k n b a q a q ±+++→ 2.等差等比分组求和 n n S 例3：求下列各数列的前项和 ()1111123248 .,,,KK ()2211121333333 n n .,,,,+++KK → 3.奇偶项不同分组求和 n n S 例4：求下列各数列的前项和 ()()()1115913143n n .n -=-+-++--K 相邻异号例：S ()11211n n n .a ,a a ,S -=+= 和为常数例：求()122314=+2n n n .a ,a ,a a ,S -== 差为常数例：求()12+11142=63n n n n n .a a ,a a ,a S ??== ??? 比为常数例：，求及三、倒叙相加/相乘型 n n S 例5：求下列各数列的前项和 ()11110142n x n .f (x ),S f ()f ()f ()f ()n n -= =++++ 已知求；()211121220121201220112 x .f (x ),f ()f ()f ()f ()f ()f ()x =+++++++KK KK 已知求；()1312.n n n n n ++ 在和之间插入个正数，使这个数成等比数列，求插入个数之积； ()1412.n n n n n ++ 在和之间插入个正数，使这个数成等差数列，求插入个数之和； 22112n n n n n n n +++??== ??? T ,S

数列求和常见的7种方法

数列求与得基本方法与技巧一、总论:数列求与7种方法: 利用等差、等比数列求与公式错位相减法求与反序相加法求与分组相加法求与裂项消去法求与分段求与法(合并法求与) 利用数列通项法求与二、等差数列求与得方法就是逆序相加法,等比数列得求与方法就是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法就是数列求与得二个基本方法。数列就是高中代数得重要内容,又就是学习高等数学得基础。在高考与各种数学竞赛中都占有重要得地位、数列求与就是数列得重要内容之一,除了等差数列与等比数列有求与公式外,大部分数列得求与都需要一定得技巧、下面,就几个历届高考数学与数学竞赛试题来谈谈数列求与得基本方法与技巧、一、利用常用求与公式求与利用下列常用求与公式求与就是数列求与得最基本最重要得方法。 1、等差数列求与公式: 2、等比数列求与公式: 3、４、 5、［例1］已知,求得前n项与。解:由由等比数列求与公式得(利用常用公式) ＝==1- ［例2］设S n＝１+2＋3+…+n,n∈Ｎ*,求得最大值、解:由等差数列求与公式得, (利用常用公式) ∴＝ =＝ ∴当,即n＝８时, 二、错位相减法求与这种方法就是在推导等比数列得前ｎ项与公式时所用得方法,这种方法主要用于求数列｛ａn·ｂn｝得前n项与,其中｛a n｝、｛bｎ}分别就是等差数列与等比数列。［例3］求与:………………………① 解:由题可知,{}得通项就是等差数列｛2ｎ—1｝得通项与等比数列｛}得通项之积设………………………。②(设制错位)

①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列得求与公式得: ∴ [例4］求数列前n 项得与、解:由题可知,{｝得通项就是等差数列{2n}得通项与等比数列｛｝得通项之积设…………………………………① ………………………………② (设制错位) ①—②得 (错位相减) ∴ 三、反序相加法求与这就是推导等差数列得前ｎ项与公式时所用得方法,就就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个。 [例5］求证: 证明: 设…………………………、。 ① 把①式右边倒转过来得 (反序) 又由可得 ………….。……、. ② ①+②得 (反序相加) ∴ [例6］求得值解:设…………、 ① 将①式右边反序得 ………….。② (反序) 又因为 ① ＋②得 (反序相加) )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89 ∴ S=44、５题1 已知函数 (1)证明:; (2)求得值。解:(1)先利用指数得相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (２)利用第(1)小题已经证明得结论可知, 两式相加得: 所以、练习、求值:

数列求和汇总例题与答案)

数列求和汇总答案一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 例1、已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +???+++=32（利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222123456...99100-+-+-+--+的和。解：2222222212345699100-+-+-+--+ 由等差数列的求和公式得二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. 例2求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----?+=-- ∴2 1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 练习：求数列??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1}的通项之积设n n n S 2 226242232+???+++=…………………………………①

(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =

（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可（3）n q n f =)(（≠q 0，1）等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。

数列求和公式证明

1）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6从左边推到右边数学归纳法可以证也可以如下做比较有技巧性 n^2=n(n+1)-n 1^2+2^2+3^2+......+n^2 =1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n) 由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 所以1*2+2*3+...+n(n+1) =[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 [前后消项] =[n(n+1)(n+2)]/3 所以1^2+2^2+3^2+......+n^2 =[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2 =n(n+1)[(n+2)/3-1/2] =n(n+1)[(2n+1)/6] =n(n+1)(2n+1)/6 2）1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）=？设n为奇数, 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)= =(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1) =2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1) =8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1) =8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1) =n(n+1)(n+2)/3 设n为偶数, 请你自己证明一下！所以， 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 设an=n×（n+1）=n^2+n Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1） =(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n) =n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2 =n(n+1)(n+2)/3

(完整版)数列求和经典题型总结

三、数列求和数列求和的方法. （1）公式法：①等差数列的前n 项求和公式 n S =__________________=_______________________. ② 等比数列的前 n 项和求和公式 ? ? ?≠===)1(___________________)1(__________q q S n （2）....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”. （3）n n n C a b =?，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”. （4）1 n n n C a b = ?，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. （5）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。适用于形如()()n f a n n 1-=的类型。举例如下： ()()() 5050 12979899100129798991002 22222=++???++++=-+???+-+-= n S 常见的裂项公式：（1） 111)1(1+-=+n n n n ;(2) =+-) 12)(12(1 n n ____________________;(3)1 1++n n =__________________ 题型一数列求解通项公式 1. 若数列{a n }的前n 项的和1232 +-=n n S n ，则{a n }的通项公式是n a =_________________。 2. 数列}{n a 中，已知对任意的正整数n ，1321-=+???++n n a a a ，则22221n a a a +???++等于_____________。 3. 数列中，如果数列是等差数列，则________________。 4. 已知数列{a n }中，a 1＝1且 3 1 111+=+n n a a ，则=10a ____________。 5. 已知数列{a n }满足)2(1 1≥-= -n a n n a n n ，则n a =_____________.。 6. 已知数列{a n }满足)2(11≥++=-n n a a n n ，则n a =_____________.。 {}n a 352,1,a a ==1 { }1 n a +11a =

等差数列求和及练习题(整理)

等差数列求和引例：计算1+2+3+4+……+97+98+99+100 一、有关概念: 像1、2、3、4、5、6、7、8、9、……这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，……，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。这个固定的数就叫做“公差”。二、有关公式：和=（首项+末项）×项数÷2 末项=首项+公差×（项数-1）公差=（末项-首项）÷（项数-1）项数=（末项-首项）÷公差+1 三、典型例题：例1、聪明脑筋转转转：判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×”。判断首项末项公差项数（1）1、2、4、8、16、32. （）（）（）（）（）（2）42、49、56、63、70、77. （）（）（）（）（）（3）5、1、4、1、3、1、2、1. （）（）（）（）（）（4）44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（）例2、已知等差数列1,8,15,…,78.共12项，和是多少？（博易P27例2）

（看ppt,推出公式）例3、计算1+3+5+7+……+35+37+39 练习2：计算下列各题（1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7+……+95+97+99 （2）3+15+27+39+51+63 （4）2+4+6+8+……+96+98+100 （3）已知一列数4,6,8,10，…，64，共有31个数，这个数列的和是多少？例5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有10根，每向下一层增加一根，共堆了10层。这堆圆木共有多少根？（博易P27例3）（看ppt）练习3：丹丹学英语单词，第一天学了6个单词，以后每一天都比前一天多学会一个，最后一天学会了26个。丹丹在这些天中共学会了多少个单词？等差数列求和练习题一、判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项及公差写出来，如果不是请打“×”。判断首项末项公差 1. 2、4、6、8、10、12、14、16.（）（）（）（） 2. 1、3、6、8、9、11、12、14. （）（）（）（） 3. 5、10、15、20、25、30、35. （）（）（）（） 4. 3、6、8、9、12、16、20、26.（）（）（）（）二、请计算下列各题。（1）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30+33 （2）4+8+12+16+20+24+28+32+36+40 （3）求3、6、9、12、15、18、21、这个数列各项相加的和。（4）2+4+6+8+……+198+200 ★（5）求出所有三位数的和。（其他作业：练习册B 1题、4题、6题）

数列前n项和的求和公式

数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2) 1(2) (11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11) 1() 1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6 1 12++==∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(2 1[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：13 2)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

[例4] 求数列 ??????,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a a a n ，… [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

数列求和与求通项方法汇总与经典例题

15 数列求通项问题数列求通项方法一：累加法，解决形如型数列通项问题)(1n f a a n n =-+. 例．设数列}{a n 的前n 项和为S n ，}{a n }满足a 1＝1，a n +1﹣a n ＝n d ，n ∈N *．若n d ＝3n ，求数列}{a n 的通项公式；解：（1）若a n +1﹣a n ＝d n ＝3n ，则a 2﹣a 1＝3， a 3﹣a 2＝32，a 4﹣a 3＝33，……a n ﹣a n ﹣1＝3n ﹣1，累加得：a n ﹣a 1＝＝，又由a 1＝1，∴a n ＝. 数列求和方法二：构造法，解决形如型或接近于等差或d pa n n +=+1a .等比数列型例．已知数列{a n }满足a 1＝1且a n +1＝2a n +1，求a n ；解：∵a n +1＝2a n +1，∴a n +1+1＝2a n +2＝2（a n +1），又a 1+1＝2≠0，所以， ∴数列{a n +1}是等比数列，公比q ＝2，首项为2．则， ∴；例数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝2a n +n ﹣1．求数列{a n }的通项公式．解：根据题意，a n +1＝2a n +n ﹣1，则a n +1+n +1＝2a n +n ﹣1+n +1＝2a n +2n ＝2（a n +n ）所以，所以数列{a n +n }为等比数列．数列{a n +n }为以2为公比的等比数列，又a 1＝1，所以a 1+1＝2．所以，所以．例．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝﹣1，a n +1＝S n ?S n +1,求{a n }的通项公式．解：因为a n +1＝S n +1﹣S n ，所以S n +1﹣S n ＝S n ?S n +1．两边同除以S n ?S n +1得﹣＝﹣1．因为a 1＝﹣1，所以＝﹣1．因此数列{ }是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列．得＝﹣1+（n ﹣1）（﹣1）＝﹣n ，S n ＝﹣．

数列公式大全

数列公式大全设An为等差数列,d为公差性质1)An=A1+(n-1)d=Am+(n-m)d Sn=n(A1+An)/2=nA1+n(n-1)d/2 2)An=Sn-S(n-1),2An=A(n-1)+A(n+1)=A(n-k)+A(n+k) 3)若a+b=c+d,则Aa+Ab=Ac+Ad 设An为某数列,Sn为前n项和,则有以下几点性质: 4)形如Sn=an^2+bn+c(ab≠0),当且仅当c=0时,An为等差数列.即当An为等差数,Sn是不含常数项的关于n的二次函数. 5)形如aAn=bA(n-1)+c(a≠b)的数列,总可以化为等比数列,即令ax=bx+c,即 x=c/(a-b),即An-c/(a-b)=a[A(n-1)-c/(a-b)] 所以Bn=An-b/(1-a)为等比数列 6)形如aAn+bA(n-1)+cA(n-2)=0(abc≠0)的数列,总可以化为等比数列,即令 ax^2+bx+c=0的根为x1,x2,则 An-x1A(n-1)=x2[A(n-1)-x1A(n-2)] An-x2A(n-1)=x1[A(n-1)-x2A(n-2)] 令B(n-1)=An-x1A(n-1) (1) B(n-1)'=An-x2A(n-1) (2) 则Bn,Bn'为等比数列,从而可以求出Bn,Bn'。再解(1)(2)方程组可求出An。 7)若An>0,形如An^a=cA(n-1)^b的数列可化为5)的形式,即两边取对数即:algAn=blgA(n-1)+lgc,令Bn=lgAn,即aBn=bB(n-1)+c 等差数列：Sn=a1n+n(n-1)d/2

等比数列：1:q=1时;Sn=na1 2:q#1时;Sn=a1(1-q的n次方）/（1-q）求和等差“(首数+末数)*项数/2 等比数列求和公式＝首项*(1-比值^项数)/(1-比值) 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：自然数方幂和公式： 3、 4、 5、 [例] 求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0 ∴该数列是首项为1，公比为x2的等比数列而且有n+3项当x2＝1 即x＝±1时和为n+3 评注： (1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x是否为0进行讨

数列求和方法及典型例题

数列求和方法及典型例题 1.基本数列的前n 项和 ⑴ 等差数列{}n a 的前n 项和：n S ???? ??????+?-++=n b n a d n n na a a n n 211)1(212)( ⑵ 等比数列{}n a 的前n 项和n S ： ①当1=q 时，1na S n =；②当1≠q 时，q q a a q q a S n n n --=--=11)1(11； 2. 数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法. 题型一公式法、性质法求和 1.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，公比7,299==S q ，则=++++99963a a a a 2.等差数列{}n a 中，公差2 1= d ，且6099531=++++a a a a ，则=++++100321a a a a . [例1]求数列，，，，，)21(813412211n n +的前n 项和n S . 题型二拆项分组法求和 [练2]在数列{} n a 中，已知a 1=2，a n+1=4a n －3n ＋1，n ∈*N . （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，求S n 。 [练].求数列{}2)12(-n 的前n 项和n S . [例].求和：) 1(1431321211+++?+?+?n n . 题型三裂项相消法求和 [例].求和： n n +++++++++11341231121 . [例]求和：n +++++++++++ 321132112111 [练4]已知数列{}n a 满足()*1112,1N n a a a n n ∈+==+

经典数列求和公式.docx

数列求和的基本方法和技巧利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 . 1、等差数列求和公式： S n n( a 1 a n ) na 1 n(n 1) d 2 2 na 1 ( q 1) 2、等比数列求和公式： S n a 1 (1 q n ) a 1 a n q 1) 1 q 1 (q q n 3、 S n k 1 k 1 n(n 1) 自然数列 2 4、 S n n k 2 1 n(n 1)(2n 1) 自然数平方成的数列 k 1 6 [例1] 已知 log 3 x 1 ，求 x x 2 x 3 x n 的前 n 和 . log 2 3 解：由 log 3 x 1 log 3 x log 3 2 x 1 log 2 3 2 由等比数列求和公式得 S n x x 2 x 3 x n （利用常用公式） 1 1 ＝ x(1 x n ) ＝ 2 (1 2n ) ＝1－ 1 1 x 1 1 2n 2 [例2] S n ＝ 1+2+3+?+n ， n ∈N *, 求 f (n) (n S n 的最大 . 32)S n 1 解：由等差数列求和公式得 S n 1 n(n 1)， S n 1 ( n 1)(n 2) （利用常用公式） 2 2 ∴ f ( n) S n ＝ n 2 n ( n 32)S n 1 34n 64 ＝ 1 ＝ 1 1 64 8 2 50 n 34 ( n ) 50 n n ∴当 n 8 ，即 n ＝ 8 ， f ( n) max 1 8 50 二、位相减法求和

数列经典例题(裂项相消法)20392

数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100 2．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,10 9 则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且622 3219,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1 { n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足02)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足 ,,2 1 1*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(1 1*2 N n a b n n ∈-= 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 7．在数列}{n a 中n n a n a a 2 11)11(2,1,+==+． (Ⅰ)求}{n a 的通项公式；

涵盖所有高中数列求和的方法和典型例题

数列的求和 1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论） 2 ．公式法： 222221 (1)(21) 1236 n k n n n k n =++=++++= ∑L 2 3 3 3 3 3 1 (1)1232n k n n k n =+?? =++++=????∑L 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式： 1 11)1(1+-=+n n n n ； 1111 ()(2)22 n n n n =-++ )1 21 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=? （三）例题分析：例1．求和：①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1 (n n n x x x x x x S ++++ ++=Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。解：①)110(9 1 10101011112-= ++++==k k k k a Λ321Λ个 ])101010[(9 1)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=ΛΛ8110910]9)110(10[ 911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++ =n n n x x x x x x S Λ n x x x x x x n n 2)1 11()(242242++++++++=ΛΛ （1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2) 1() 1)(1(21)1(1)1(2 2222222222+-+-=+--+--=+---

(推荐)高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解

数列专项之求和-4 （一）等差等比数列前n 项求和 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n n 项求和 ② 数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ?的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ?的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列 {}n n a b ?的前n 项和. 此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法. 例23. 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S )0(≠x 例24.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前 n 项的和. 一般地，当数列的通项12()() n c a an b an b = ++ 12(,,,a b b c 为常数）时，往往可将n a 变成两项的差，采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项：设1 2 n a an b an b λ λ = - ++，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得 21 c b b λ= -，从而可得 122112 11 =().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++ 常见的拆项公式有： ① 111(1)1n n n n =-++； ② 1111 ();(21)(21)22121 n n n n =--+-+

③ 1a b =-- ④11; m m m n n n C C C -+=- ⑤!(1)!!.n n n n ?=+- ⑥]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n …… 例25. 求数列 ???++???++,1 1, ,3 21, 2 11n n 的前n 项和. 例26. 在数列{a n }中，1 1211++ ???++++=n n n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. 例27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 例28. 求数列的前n 项和：231 ,,71,41,1112-+???+++-n a a a n 如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征： 121...n n a a a a -+=+= 例29.求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++ 例30. 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 ⑸记住常见数列的前n 项和： ①(1) 123...;2 n n n +++++= ②2 135...(21);n n ++++-= ③22221 123...(1)(21).6 n n n n ++++= ++ ④2 33 3 3 )]1(2 1[321+=+ +++n n n