【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习：全册综合质量评估]

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综合质量评估

第一至第三章

(120分钟150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.(2014·东莞高二检测)若复数z=a+i的实部与虚部相等，则实数a=( )

A.-1

B.1

C.-2

D.2

【解析】选B.复数z=a+i的实部为a，虚部为1，则a=1.

2. (2014·泉州高二检测)函数y=2x2，则自变量从2变到2+Δx时函数值的增量Δy为( )

A.8

B.8+2Δx

C.2(Δx)2+8Δx

D.4Δx+2(Δx)2

【解析】选C.Δy=2(2+Δx)2-2×22=2(Δx)2+8Δx.

3.观察下图，可推断出“x”应该填的数字是( )

A.171

B.183

C.205

D.268

【解析】选 B.由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，即

12+32+42+62=62，22+42+52+82=109，所以“x”处该填的数字是32+52+72+102=183.

4.(2014·银川高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=

2xf′(1)+lnx，则f′(1)=( )

A.-e

B.-1

C.1

D.e

【解析】选B.f′(x)=2f′(1)+，令x=1得，f′(1)=2f′(1)+1，所以f′(1)=-1.

5.(2014·山东高考)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则= ( )

A.5-4i

B.5+4i

C.3-4i

D.3+4i

【解析】选D.因为a-i与2+bi互为共轭复数,

所以a=2,b=1,

所以(a+bi)2=(2+i)2=4+4i+i2=3+4i.

【变式训练】设复数z1=1-i，z2=+i，其中i为虚数单位，则的虚部为( ) A.i B.

C.i

D.

【解析】选D.===+i，

虚部为.

6.由直线x=0，x=，y=0与曲线y=2sinx所围成的图形的面积等于( )

A.3

B.

C.1

D.

【解析】选A.2sinxdx=-2cosx|2

3

=3.

【变式训练】(2014·赣州高二检测)在平面直角坐标系xOy中，由直线x=0，x=1，y=0与曲线y=e x围成的封闭图形的面积S是多少?

【解析】由积分的几何意义可得

S=e x dx==e-1.

7.(2014·郑州高二检测)下面几种推理过程是演绎推理的是( )

A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°

B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

C.某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人

D.在数列中，a1=1，a n=，由此归纳出的通项公式【解析】选A.演绎推理由大前提——小前提——结论组成，而A满足这一结构，B为类比推理，C，D为归纳推理.

8.函数f(x)=sinx+cosx在点(0，f(0))处的切线方程为( )

A.x-y+1=0

B.x-y-1=0

C.x+y-1=0

D.x+y+1=0

【解析】选A.由f′(x)=cosx-sinx得f′(0)=1.

又f(0)=1，所以切线方程为x-y+1=0.

9.(2014·福州高二检测)已知数列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…，则数列的第k项是( )

A.a k+a k+1+…+a2k

B.a k-1+a k+…+a2k-1

C.a k-1+a k+…+a2k

D.a k-1+a k+…+a2k-2

【解析】选D.由前几项观察得第1项1个数，第2项2个数相加，第3项3个数相加，则第k项有k个数相加，且首项为a k-1，故选D.

10.在区间上函数f(x)=x2+px+q和函数g(x)=2x+在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在上的最大值是( )

A. B. C.8 D.4

【解析】选D.由g(x)=2x+得g′(x)=2-2x-3，令g′(x)=0?x=1，易得x=1为函数g(x)=2x+在的极小值点，也是最小值点，对应坐标为(1，3)，即函数f(x)=x2+px+q的顶点坐标为(1，3)，得p=-2，q=4，所以f(x)在上的最大值为4.

11.(2014·天津高二检测)若在曲线f(x，y)=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)=0的“自公切线”.下列方程：①x2-y2=1；②y=x2-|x|；

③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=对应的曲线中存在“自公切线”的有( )

A.①②

B.②③

C.①④

D.③④

【解题指南】演绎推理的主要出题模式，不是演绎推理本身，而一般是给出一个一般原理，然后应用这一原理，如本题主要先理解什么叫自公切线，然后分别判断所给方程对应曲线是否满足这一原理，进而选择出正确的结论.

【解析】选B.①x2-y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；

②y=x2-|x|=

在x=和x=-处的切线都是y=-，故②有自公切线.

③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ)，cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线.

④由于|x|+1=，即x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线.

【拓展延伸】演绎推理

(1)演绎推理是由一般到特殊的推理.

(2)演绎推理的一般模式是三段论，它包括：①大前提—已知的一般原理；②小前提—所研究的特殊情况；③结论—根据一般原理，对特殊情况的判断.

(3)在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的.如果大前提是错误的，所得的结论也是错误的.

(4)在应用三段论解决问题时，首先应明确什么是大前提和小前提，有时为了叙述简洁，而大前提又是显然的，这时大前提可以省略.

12.(2014·惠州高二检测)已知函数f(x)=x3-ln(-x)，则对于任意实数a，b(a+b≠0)，则的值为( )

A.恒正

B.恒等于0

C.恒负

D.不确定

【解析】选A.可知函数f(x)+f(-x)=x3-ln(-x)+(-x)3-ln(+x)=0，

所以函数为奇函数，同时，f′(x)=3x2+>0，f(x)是递增函数，

=，所以>0，所以，选A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)

13.(2014·湖南高考)复数(i为虚数单位)的实部等于.

【解析】因为==-3-i,所以实部为-3.

答案:-3

14.若a=x2dx，b=x3dx，c=sinxdx，则a，b，c从小到大的顺序为

__________.

【解析】因为x 2dx=x 3|2

0=，

x 3dx=x 4|2

0=4，

sinxdx=-cosx|2

0=1-cos2<2，

故c

15.(2014·牡丹江高二检测)复数z=x+1+(y-2)i(x ，y ∈R)，且|z|=3，则点Z(x ，y)的轨迹是______. 【解析】因为|z|=3，所以=3，

即(x+1)2+(y-2)2=32.

故点Z(x ，y)的轨迹是以(-1，2)为圆心，3为半径的圆. 答案：以(-1，2)为圆心，3为半径的圆

16.(2014·泰安高二检测)若集合A 1，A 2，…，A n 满足A 1∪A 2∪…∪A n =A ，则称A 1，A 2，…，A n 为集合A 的一种拆分.已知： ①当A 1∪A 2={a 1，a 2，a 3}时，有33种拆分； ②当A 1∪A 2∪A 3={a 1，a 2，a 3，a 4}时，有74种拆分； ③当A 1∪A 2∪A 3∪A 4={a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}时，有155种拆分； …

由以上结论，推测出一般结论： 当A 1∪A 2∪…∪A n ={a 1，a 2，a 3，…，

}有__________种拆分.

【解题指南】抓住题中关键可避开烦琐计算，主要观察数字33，74，155，…的规律.

【解析】因为当有两个集合时，33=(4-1)2+1=(22-1)2+1；当有三个集合时，74=(8-1)3+1=(23-1)3+1；当有四个集合时，155=(16-1)4+1=(24-1)4+1；由此可以归纳

当有n个集合时，有(2n-1)n+1种拆分.

答案：(2n-1)n+1

【变式训练】已知=2·，=3·，=4·，….

若=8·(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a+t=__________.

【解析】因为=2·，

=3·，=4·，

由类比推理得：=5·，=6，

=7，=8，所以a=8，t=63，所以a+t=71.

答案：71

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知复数z=，ω=z+ai(a∈R)，当≤时，求a 的取值范围.

【解析】z=====1-i.

因为ω=z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i，

所以===.

所以=≤，

所以a2-2a-2≤0，

所以1-≤a≤1+.

故a的取值范围是[1-，1+].

18.(12分)(2014·安徽高考)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.

(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性.

(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时x的值.

【解析】(1)f(x)的定义域为(-≦,+≦),

f′(x)=1+a-2x-3x2,

令f′(x)=0得x1=,

x2=,x1

所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2),

当xx2时f′(x)<0;

当x10.

所以f(x)在和

内单调递减,

在内单调递增.

(2)因为a>0,所以x1<0,x2>0.

①当a≥4时,x2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,

所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.

②当0

在[x2,1]上单调递减.

所以f(x)在x=x2=处取得最大值.

又f(0)=1,f(1)=a,

所以当0

当a=1时,f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值;

当1

19.(12分)(2014·上海高二检测)已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，+∞)上是单调增函数.

(1)求函数f(x)的解析式.

(2)设函数g(x)=f(x)+ax3+x2-b(x∈R)，其中a，b∈R.若函数g(x)仅在x=0处有极值，求a的取值范围.

【解析】(1)因为f(x)在区间(0，+≦)上是单调增函数，

所以-m2+2m+3>0即m2-2m-3<0，

所以-1

而m=0，2时， f(x)=x3不是偶函数，m=1时，f(x)=x4是偶函数，所以f(x)=x4.

(2)g′(x)=x(x2+3ax+9)，显然x=0不是方程x2+3ax+9=0的根.

为使g(x)仅在x=0处有极值，必须x2+3ax+9≥0恒成立，

即有Δ=9a2-36≤0，解不等式，得a∈[-2，2].

这时，g(0)=-b是唯一极值.所以a∈[-2，2].

20.(12分)(2014·济宁高二检测)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E，F分别为PC，BD的中点.

(1)求证：EF∥平面PAD.

(2)求三棱锥F-DEC的体积.

(3)在线段CD上是否存在一点G，使得平面EFG⊥平面PDC?若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)连接AC.

因为四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形且点F为对角线BD的中点，

所以对角线AC经过F点.

又在△PAC中，点E为PC的中点，

所以EF为△PAC的中位线，

所以EF∥PA.

又PA?平面PAD，EF?平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

(2)过点P作AD的垂线PH，垂足为H.

因为平面PAD⊥平面ABCD，PH?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以PH⊥平面ABCD.

连接HC，

因为E为PC中点，

所以三棱锥E-FDC的高h=PH.

又PA=PD=AD且AD=a，

所以PH=，所以h=.

所以三棱锥F-DCE的体积是

V F-DCE=V E-FDC=S△DFC·h=×a×a×a=a3.

(3)在线段CD上存在一点G，使得平面EFG⊥平面PDC.

因为底面ABCD是边长为a的正方形，

所以CD⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，

所以CD⊥平面PAD，

又EF∥平面PAD，所以CD⊥EF.

取CD中点G，连接FG，EG，

因为F为AC中点，所以FG∥AD.

又CD⊥AD，所以FG⊥CD.

又FG∩EF=F，所以CD⊥平面EFG.

又CD?平面PDC，所以平面EFG⊥平面PDC.

21.(12分)(2014·黄冈高二检测)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f(x)=x3-x2+3x-，请你根据这一发现，

(1)探讨函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心.

(2)计算f+f+f+f+…+f.

【解析】(1)f′(x)=x2-x+3，f″(x)=2x-1，令f″(x)=0?x=，f()=1.

函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为.

(2)由(1)知，计算f+f=2?f(x)+f(1-x)=2?f+f=2，f+f=2，

…

所以f+f+f+f+…+f=2012.

【变式训练】下面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是1.从外到内，第i个正方形与内切圆之间的深灰色图形面积记为S i(i=1，2，…)，求S2014的值.

【解析】归纳时可先看第一个矩形与内切圆与第二个矩形与内切圆，再归纳第i 个与第i+1个间的关系.设第i个正方形的边长为a i，则其内切圆半径为，第i+1个正方形的边长为a i，其内切圆半径为a i，

所以S i=-π=，

S i+1=-π==S i，

所以S1=1-，S2=-，…，

有S k=，

故S2014=.

22.( 12分)已知函数f(x)=x2-8lnx，g(x)=-x2+14x.

(1)若函数y=f(x)和函数y=g(x)在区间上均为增函数，求实数a的取值范围.

(2)若方程f(x)=g(x)+m有唯一解，求实数m的值.

【解析】(1)f′(x)=2x-=(x>0).

当02时，f′(x)>0，

要使f(x)在(a，a+1)上递增，必须a≥2，

g(x)=-x2+14x=-(x-7)2+49，

如使g(x)在(a，a+1)上递增，必须a+1≤7，即a≤6.

由上得出，当2≤a≤6时f(x)，g(x)在(a，a+1)上均为增函数.

(2)方程f(x)=g(x)+m有唯一解?

有唯一解.

设h(x)=2x2-8lnx-14x，

h′(x)=4x--14=(2x+1)(x-4)(x>0)，

h′(x)，h(x)随x变化如下表

由于在(0，+≦)上，h(x)只有一个极小值，所以h(x)的最小值为-24-16ln2，当m=-24-16ln2时，方程f(x)=g(x)+m有唯一解.

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