正弦形函数

正弦形函数)sin(?ω+=x A y

【教学理念】

由于职高学生学习起点低,学习基础相对薄弱,纯理论的学习常常使得学生厌学情绪,所以可先对教材进行适当优化,达到化繁为简,因材施教目的。教学过程中可先从学生熟悉的简例入手,找到解决问题的方法,从而归纳出?ω,,A 所起的作用,这样符合学生的认知特点,又能使学生在感兴趣实例中获得知识,从而真正促进学生的智力和能力的发展. 在课堂上积极应用“做中学”理念,让学生动手做数学,调动了学生学习数学的积极性和主动性。在实际的运用过程中,结合学生所学专业进行设置练习,这样既到达巩固知识目的,又能使学生认识到所学数学知识是有用的知识。

【教材分析】

函数)sin(?ω+=x A y 的图象是学生学过正弦函数图象与性质之后的又一个要研究的三角函数形式,由此揭示这类函数的图象与正弦曲线的关系,这类函数以及它的性质在学生专业课中应用比较广泛,特别是在电子电工专业正弦交流电内容与之紧密相关,因此它能为实际问题的解决提供良好的理论基础。同时在探求问题的过程中,培养学生数形结合、归纳类比的思想。整节知识凸显的是通过数学的直观性进行学习,将重要的函数)sin(?ω+=x A y 的图象给出了相应的物理背景,从而弱化了以逻辑性推导为主的传统学习的方式;基于以上对教材的分析,我将教学重点定为:探究A 、ω、

φ对函数)sin(?ω+=x A y 的图象的影响的问题进行分解,从而使学生学习如何将一个

复杂问题分解为若干简单问题的方法。

【学情分析】

职高学生的基础较差,缺乏学习的主动性,但动手操作能力较强。因此在教学过程中,要求教师因材施教,充分调动学生的积极性,强调学生的主体作用,明确基本原理,注重思维过程的分析,让学生在问题解决的过程中不断反思,探索规律,体验成功,要学生自己动手,在实践中观察和思考,以悟得新知,同时将习得的知识与具体的生活实践相联系,学以致用,活学活用,从而提升学生的思维能力,有效的激发学生的学习兴趣,达到学生从“做中学”的目标。

在教学过程中先通过电子电工专业正弦交流电知识提出引入学习正弦形函数

)sin(?ω+=x A y 的必要性。然后由x

A y sin =、x A y ωsin =、)sin(?+=x y 与x

y sin =

图象之间的关系,在去研究函数)sin(?ω+=x A y 。通过软件动态的演示,学生了解变化的过程,把握数与形关系的内在实质,在培养学生的观察能力、发展思维能力方面都能起到很好的作用。整个教学过程中,让学生动手探,教师点拨,使学生的学习达到“探索得资料,研究获本质”。

【教学目标与重难点】

知识与能力

能借助作图工具,通过探索、观察参数A 、ω、φ对函数图象的影响,并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律! 过程与方法

观察并分析函数)sin(?ω+=x A y )0,0(>>ωA 的图象,分析A 、ω、φ的变化对函数图象的形状和位置的影响,总结出图象的基本变换。培养学生自主地获取知识的能力,并在所学知识的基础上进行再创新的能力。 情感态度与价值观

通过对探索过程的体验,培养学生的观察能力和探索问题的能力,体验数形结合的思想;领会从特殊到一般,从具体到抽象的思维方法,从而达到从感性认识到理性认识的飞跃!

【教学方法】

对函数)sin(?ω+=x A y 图象的研究,由于涉及的参数有3个,因此在处理这节课采取先讨论某个参数对图象的影响(其余参数相对固定),再整合成完整的问题解决的方法。采用讨论与探索相结合的教学方法,从特殊到一般,归纳出一般的规律,优化学生的思路,激活学生的思维,达到学生从“做中学”,教师从“做中教”的目标。

【学法指导】

观察分析、联想类比、总结归纳借助于图象,数形结合。形象直观和抽象概括相辅相成,高中应注重培养理论型为主的抽象逻辑思维,在直观的基础上应使学生抽象的理论知识,以提高学生的思维能力。

【教学流程】

【教学过程】

1、观看视频,提出课题

学生观看正弦交流电产生视频,电压和时间的函数关系是怎样的呢? 教师揭示本质实际上是函数)sin(?ω+=x A y 思考:)sin(?ω+=x A y 与x A y sin =有何关系? 师生互动:学生观察,教师引导

从解析式来看,函数x A y sin =就是函数)sin(?ω+=x A y 当1=A 、1=ω、0=φ时的特殊情况。

(设计意图:1、加强与专业实际的紧密联系,吸引学生的注意力,从身边常见的实际问题出发,激发学生学习兴趣。

2、引导学生思考)sin(?ω+=x A y 与正弦函数的一般与特殊的关系,进而引导学生探讨正弦曲线与函数)sin(?ω+=x A y 的图象的关系)

2、提出问题,共同探究

教师提出问题:函数)sin(?ω+=x A y )0,0(>>ωA 和x y sin =相比,多了?ω,,A 三个量,究竟这些量是怎样的影响函数的图象呢?为些进行下列几个探究:

探究(一):探究A 对图象的影响:

1、教师利用函数作图器作出函数x y sin =、x y sin 3=、x

y sin 2

1=的图象。

2、学生观察得出x y sin =及x y sin 3=和x

y sin 2

1=的图象之间的

关系,并简单阐明理由。

3、探究后总结函数x A y sin =的图象与函数x y sin =之间的关系。

教师引导启发:与x y sin =的图象作比较,结论:

1、x A y sin = (A>0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

2、它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A ,A 称为振幅

探究(二)探究ω对图象的影响:

1、教师利用函数作图器作出函数x y sin =、

x

y 2sin =和x

y 2

1sin

=的图像,

2、学生观察得出x y 2sin =和x

y 21sin =的图像同x y sin =图象之间的关系!

学生讨论:函数x y 2sin =的图象,可看作把x y sin =上所有点的横坐标缩短到原来的

2

1倍(纵坐标不变)而得到的;函数x

y 2

1sin

=的图象,可看作把x y sin =上所有点的横

坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)

教师引导启发: 与x y sin =的图象作比较 :

函数x y ωsin = (0>ω且1≠ω)的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短

(1>ω)或伸长(10<<ω)到原来的ω

1

倍(纵坐标不变)

探究(三):探究?对图象的影响:

1、教师利用函数作图器作出函数x y sin =函数

)

3

s i n (π

+

=x y 和)

4

sin(π

-

=x y 的图像。

2、学生观察得出)

3

sin(π

+

=x y 和)

4

sin(π

-

=x y 同函数x y sin =图象之间的关系。

学生讨论:①形状相同,位置不同。 ②函数)

3sin(π

+

=x y 的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动

3

π

个单位长

度而得到;函数)

4sin(π

-=x y 的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动4

π

个单

教师引导启发:

1、)sin(?+=x y 与x y sin =的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样。

2、函数)sin(?+=x y (其中?≠0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当?>0时)或向右(当?<0时=平行移动|?|个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方

向:“加左”“减右”)

(三个探究的设计意图:①将A 、ω、φ对函数)sin(?ω+=x A y 的影响的问题进行分解,从而如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法,简化研究对象;

②通过“平行”的三个探究,学生初步理解A 、ω、

φ对函数的影响,对)sin(?ω+=x A y 有一个感性的认识。)

探究(4):A 、ω、φ的变化对函数图象的形状和位置的影响。 1、教师利用函数作图器x y sin =、)

3sin(π

+

=x y 、)3

2sin(π

+

=x y 、)

3

2sin(3π

+

=x y

2、学生观察得出x y sin =、)

3

sin(π

+

=x y 、)3

2sin(π

+

=x y 、)

3

2sin(3π

+

=x y 图象之

间的关系 学生讨论::

(设计意图:①、在变化过程中,通过体验函数y=sinx 变化得到y =3sin(2x +

3

π

)

的图象的变换过程,由具体到一般,归纳结论:平移变换→周期变换→纵坐标的伸缩变换

②、特殊到一般的学习方法比较符合学生的认知规律,同时也培养了学生抽象概括能力也,为下一步得出函数)sin(?ω+=x A y 的一些性质作铺垫。)

3、归纳小结,强化知识

教师归纳小结:函数)sin(?ω+=x A y (其中0,0>>ωA 的图象,可以看作用下面的方法得到:

先把正弦曲线上所有的点向左(当?>0时)或向右(当?<0时=平行移动|?|个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短(当1>ω时)或伸长(当10<<ω时)到原来的

ω

1

倍(纵坐标不变),再把所得各点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)

到原来的A 倍(横坐标不变 另外,注意一些物理量的概念:

A

称为振幅;ω

π

2=

T 称为周期;T

f 1=

称为频率;ω称为圆频率(角频率);?ω+x 称

为相位,当0=x 时的相位?称为初相。

4、学以致用,巩固强化 例题讲解:

1.函数x y sin 4=的图象可由函数x y sin =的图象上各点横坐标不变,纵坐标_______到原来______倍得到。

2.把函数)(x f 的图象上所有点向左平移3

π

个单位后得到函数 sin()3

y x π

=+

的图象,

求函数)(x f 的解析式。 3、求函数)

63sin(2π

-

=x y 的最大值,最小值和最小正周期。

(设计意图:1、通过练习达到对本节课重点和难点知识的巩固;2、通过学生的回答,可了解学生对于函数图像变换的“形”、“数”思维的形成过程是否得到落实。)

5、结合专业,学以致用 学生练习:

已知简谐交流电压U 随时间t 变化规律为)3

100sin(220π

π+=U ,求它的幅值、周期、

初相位。

(设计意图:文化课知识专业相结合是职高教学的重要手段,练习从电工专业学生熟悉的知识进行设置,可以将所学知识与专业知识巧妙结合,达到学以致用的目的。学生在运用分析解决应用题过程中,提高分析、解决问题的能力,体会数学知识在实际生产生活中的应用.)

6、总结反思,提高认识

1、总结出函数)sin(?ω+=x A y )0,0(>>ωA 的图象与x y sin =的图象的关系。

2、让学生认真总结,在探索与交流中去体会?ω、、A 的作用

3、教师引导学生对所学的知识、数学思想方法进行小结:数形结合、从特殊到一般思想、化归思想。

(设计意图:突出重点,帮助学生对所学知识进行系统化、条理化,达到吸收、消化新知识的目的。)

7、作业布置,巩固提高

1、学生探讨?ω、、A 三者变化是顺序问题。

2、教材P33第一题

(设计意图:巩固所学知识,发现和弥补教学中的遗漏和不足)

8、总结反思,提高认识

1、这节课用正弦形交流电引入新课,创设情景,激发学生学习新知的情意;利用电脑动态演示图象的变换过程,学生直观的看到各参数对函数图象的影响,突破传统教学上的难点;图象变换的根本原因加深了学生对已有知识和经验的认识和理解。通过实践练习,学生的作图能力得到了培养,树立起数形结合的思想,同时学生认识到数学来源于生活并应用于生活。

2、本节课的容量较大,对于五点法没有作一般性的叙述,这个内容可考虑在下节课巩固练习中解决。

萧山区第一中等职业学校

章云

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