相位裕度

闭环极点法是以系统左平面共轭复极点到原点斜率的倒数的绝对值β来判断系统稳定性的方法，β越大，系统就越稳定。在存在减幅振荡的时候，能较好的描述和量化系统的稳定性。

若一个闭环系统阶跃响应出现减幅振荡，系统的闭环传输函数必然会出现左平面共轭复数根s = σ±ωj，阶跃响应会出现一个衰减指数项，形式是K × exp(σt) × sin(ωt) , 可以看作一个衰减的指数项乘以一个正常的sin函数。

现在以图1的常见二级运放为例，说明如何在spectre中运用闭环极点法来分析运放的稳定性，在这里只调整电容的值来改变运放的稳定性, 对运放进行闭环AC和pole-zero分析，再print pole-zero summary就可以看到零极点了。下面先把图表公式全部列出来，然后再进行具体分析。

图1 常见二级运放

实数极点共轭复极点

左平面单调指数减幅（稳定）减幅震荡（可能不稳定,视情况而定）

右平面单调指数增幅（不稳定）增幅震荡（不稳定）

注释：

β: 比例因子，σ / ω的绝对值

PM : 相位裕度

σ：闭环极点的实部，可以由spectre仿真得到

ω：闭环极点的虚部，可以由spectre仿真得到

公式1：u(t)= K1+K2 × exp(σt) × sin(ωt) , σ是减幅震荡的衰减因子,ω是减幅震荡的频率公式2 ：ωT= 2π，T是减幅震荡的周期

公式3：σ= -1 / τ , τ为时间常数

图2 PM=45度时的阶跃响应

图3 PM=45度时的极点分布

首先来分析PM=45的情况，阶跃响应和闭环极点如图2和图3所示，系统出现了左平面上的共轭复根, 时域上出现了减幅振荡。肉眼能分辨的震荡包括三个上凸，两个下凹，最后一个上凸不很明显，合共2.5个振荡周期T,这可以说明什么呢？其实一旦出现减幅振荡，理论上再过10年，振荡也不会变为0 ，但无论是考虑到噪声也好，波形软件能够到达的精度也好，减幅振荡一旦衰减到一定的程度，例如1% ，就能够认为振荡消失了。可以尝试计算下经过一个振荡周期波形能衰减到多少。这里经过的时间为t=2.5T，由公式1 和公式2 及β=0.36 可得t=2.5T=2.5×0.36 ×2π×τ=5.7×τ , 就是说指数项经过5.7τ的衰减变为原来的exp(σ×5.7×τ)=0.3% ,这说明指数衰减到约0.3%后，减幅震荡就消失了。

图4 PM=60度时的阶跃响应

图5 PM=60度时的极点分布

接着来看PM=60的情况(图4和图5)，β = 0.8 , 刚好比PM=45的β=0.36两倍稍微大一点，这说明同样要衰减到

震荡消失,例如同样经历5.7τ后衰减到0.3%，PM=45的振荡周期理论上应该为PM=60的2.2倍。我们看图4来验证这

一点，PM=60时有一个过冲的上凸和一个不明显的下凹，合共一个振荡周期，而PM=45的情况下震荡了2.5个周期。

图6 PM=67度时的阶跃响应

图7 PM=67度时的极点分布

图8 PM=68度时的阶跃响应

图9 PM=68度时的极点分布

如图8所示，在开始的半个周期内（上凸的那一段），就已经被衰减到零了，还来不及开始下半周期(下凹)的振荡。下面可以按PM=45的情况为标准，振荡刚好为0.5T的β理论上应该大概是PM=45时候的5倍，那就是0.36×5=0.18 ,

以PM=68的情况和图D1和D2为例子，实际的β=1.45 , 说明由于其它极点的影响，振荡周期太少的话，振荡的波形变得较难辩认，这种相互间比例计算误差变大。

图10 完全没有振荡时的阶跃响应

图11 完全没有振荡时的极点分布

最后，当PM调为74时，由图10和图11可以看出，闭环AC也没有了共轭复极点，对应的阶跃响应也没有了过冲和减幅振荡。

所以产生了减幅振荡和不稳定并不是等同的，在我的理解里，稳定等同于没有振荡或者衰减得很快的减幅振荡。相位裕度和稳定性并没有完全的对应关系。如表1所示，系统的稳定性是和闭环极点位置直接关连的。用系统开环的波特

图曲线和相位裕度去推导闭环的零极点分布，去分析稳定性，能有百分百确定的结果吗？这是相位裕度的一个局限的方面.

从表2上可以看出，对于衰减振荡，β的值越大，系统就越倾向于稳定，因为衰减因子越大，振荡衰减得越快，而振荡频率ω越高，在衰减的过程中振荡的次数就越多,就越不稳定。对于exp(σt) × sin(ωt)这个指数正弦项，假设经过5个τ的衰减，振荡消失。将σ变为原来的十倍，由于τ变为原来的十分之一，所以衰减的时间也变为十分之一，衰减过程中振荡的周期次数也变为原来的十分之一。假设将ω增大十倍，同样的5个τ时间内，振荡的周期次数增加到原来的十倍。所以σ和ω的值对稳定性的影响是等价的, 系统走向稳定，或者不稳定，取决于σ与ω的比值β在产生了减幅振荡时, β和稳定性的关系还可以从另为一个方面证明。其实这个β就是s平面极点到坐标原点斜率slope绝对值的倒数。打开拉扎维书上P458 , 图15.37二型锁相环的根轨迹。在K增大时，极点沿着轨迹圆向左移动slope的绝对值不断减少，同时稳定性不断增加，这个可以从对应的P457页的波特图可以看出。给大家留个思考问题，图15.37的上半圆的曲线上升部分，σ与ω都在增加，稳定性为什么会增强？上半圆的曲线下降部分，σ与ω都在减少，稳定性为什么会继续增强？开始感到有点意思了吧。

就像相位裕度45度和60度一样，我认为，闭环系统存在左平面上的共轭复极点时，只要β=0.36就接近一般概念上的相位裕度45度的稳定性,β=0.8就接近一般概念上的相位裕度60度的稳定性, 要达到更高的稳定性，需要更高的β值。若是闭环系统不存在共轭复极点，则阶跃响应应没有过冲和减幅振荡。

在存在减幅震荡时，这种方法对稳定性的描述是较线性的，例如一般概念上的相位裕度60度比45度要稳定，但是到底稳定多少？曲线会平滑多少？15度？相位裕度分析只能给出大概的稳定性变化方向，不能线性的量化这个稳定性。β值就可以较线性的量化这个稳定性，这里指出，一般概念上的PM=60（β=0.8）的稳定性约是PM=45（β=0.36）的两倍。回想起拉杂维书上提到过一般PM=45就可稳定，但考虑到工艺角等变化推荐PM=60度，那就是说，拉杂维推荐把稳定性增强一倍来适应这些工艺角等的变化。若在设计中觉得PM=60度太奢侈，可以尝试着选择β=0.6等值。

对比表1 ，可以思考下PM=67和PM=68的情况，相位裕度只差1度，但β值从1.19变化到1.45 , 和电容从1p 变化到1.2p的比例基本一致，那个能更好的反映稳定性？

还有，PM=60和PM=67的阶跃波形图4和图6相差很小，相位裕度和β值却相差很多。当你设计一个运放，把运放的相位裕度改善很多，但在时域阶跃仿真的时候却发现波形变化很小，并感到迷惑的时候，查看β值可以省下你的眼力，再不用盯着屏幕上的波形去辨认出那些小变化。当你要在衰减振荡3，4次的情况下多次调节电路的稳定性，并做出阶跃检验的时候，会体会到β的好处的，那就是不用每一次仿真之后都要比较那些波形。

下面是总结三种仿真方法的优缺点

相位裕度分析

优点：能反映开环系统零极点，带宽，增益变化,输出阻抗等对稳定性的直接影响,对调节电路最有帮助

缺点:和稳定性没有完全的对应关系，大多时候能行

闭环极点法

优点：揭示闭环系统稳定性的本质，和稳定性有完全的对应关系，能较线性地量化存在减幅震荡时的稳定性缺点: 不能反映开环系统零极点，带宽，增益变化等对稳定性的直接影响

电路时域阶跃仿真

优点：最接近和最能反映真实电路的性能，包括大信号特性，和稳定性有最完全的对应关系

缺点:不能反映开环系统零极点，带宽，增益变化等对稳定性的直接影响, 比较表面化，不能很好的理解仿真结果最后，给出闭环极点法的限制：在系统出现减幅振荡时，共轭极点要在实部绝对值最小的三个极点中的两个，即离jw轴距离最近的三个极点中的两个。

当系统出现减幅振荡时，振荡部分的波形无论在延迟时间，还是幅度上都会占据阶跃响应的主特性，在阶跃响应上清晰的表现出来，从而成为我们判断稳定性的依据，为什么不可以直接描述这个振荡呢？