湖北省襄阳市普通高中2016届高三1月调研统一测试数学(理)试题(图片版,word答案)

2016年1月襄阳市普通高中调研统一测试

高三数学(理工类)参考答案及评分标准

说明

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

一．选择题：CCDBB AADDB CD

二．填空题：13．(0，－2) 14．644π+ 15．3 16．m 2－n 2

三．解答题：

17．(1)解：在△ABC 中，依题意有：222b c a bc +=+

2分 ∴222

1

cos 22b c a A bc +-==

4分 又(0)A π∈，，∴3A π

=

6分

(2)解：由3a A π==及正弦定理得：2sin sin sin b c a

B C A === ∴222sin 2sin 2sin 2sin()2sin()33b B c C B π

π

θθ====-=-，

8分

故22sin 2sin()3y a b c π

θθ=++=+-

即)6y π

θ=+10分 由203π

θ<<得：5666πππ

θ<+<

∴当62π

π

θ+=，即3π

θ=时，max y =

12分

18．(1)证：∵底面ABCD 底面是菱形，∠ABC = 60°

∴△ABC 是正三角形

又E 为BC 中点，∴AE ⊥BC ，∠BAE = 30°

2分 故∠EAD =∠BAD －∠BAE = 120°－30° = 90°，即AE ⊥AD

4分 ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AE

又AD 、P A 相交于A ，∴AE ⊥平面P AD

而AE 在平面AEF 内，∴平面AEF ⊥平面P AD

6分 (2)解法一：由(1)知，AE ⊥平面P AD ，∴∠AHE 是EH 与平面P AD 所成的角

由于AE 为定值，∴当AH 最小时，∠AHE 最大

此时AH ⊥PD ，∠AHE = 45°

8分

过E 作EQ ⊥AC 于Q 点，过Q 作QG ⊥AF 于G 点，连结EG

∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥EQ

又EQ ⊥AC ，P A 与AC 相交于A ，∴EQ ⊥平面P AC

∵AF 在平面P AC 内，∴EQ ⊥AF

又QG ⊥AF ，QG 、EQ 相交于Q ，∴AF ⊥平面EQG ，进而AF ⊥EG

∴∠EGQ 是二面角E －AF －C 的平面角

10分

设AB = 2a

，则AE

，AH AE == ∵PA PD

AH AD =，∴AD PA PD AH ?=?

，2a PA ?

∴PA =

，4PC a =

∴在直角三角形EQC

中，1

sin 60cos 602EQ EC CQ EC a =??==??=， 又1

22AF FC PC a ===，∴△ACF 是正三角形，∠F AC = 60°

∴sin 60QG AQ =??= ∴2

tan 3EQ

EGQ GQ ∠==

12分

解法二：由(1)知，AE ⊥平面P AD ，∴∠AHE 是EH 与平面P AD 所成的角

由于AE 为定值，∴当AH 最小时，∠AHE 最大

此时AH ⊥PD ，∠AHE = 45°

8分 设AB = 2a

，则AE

，AH AE == ∵PA PD AH AD =，∴AD PA PD AH ?=?

，2a PA ?

∴PA

=

以AE AD AP 、、 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则

P (0，0

，)，E

，0，0)，C

，a ，0)，F

，1

2a

)

设平面AFC 的一个法向量为m = (x ，y ，z )，则0

0AP AC ??=???

=?? m m

即0

()(00)00()0)0z x y z y x y z a ?=??=???+=?=??，，，，，，，

∴可取m = (1

，0)

9分

设平面AEF 的一个法向量为n = (x ，y ，z )，则0

0AE AF ??=???=?? n n

即()00)0

10())02x y z x y x y z a ??==????++=?=??，，，，，，，

∴可取n = (0

，-1)

10分

cos ||||?<>===?，m n m n m n 11分

2

tan 3<>==，m n ，∴二面角E －AF －C 的正切值为2

3

12分

19．(1)解：2843n n n S a a =++

当n = 1时，2111843a a a =++，得：a 1 = 3 或 a 1 = 1 2分

当n ≥2时，2111843n n n S a a ---=++，∴2211844n n n n n a a a a a --=-+-，11(4)()0n n n n a a a a ----+=

∵数列{a n }的各项均正，∴14n n a a --=

4分 ∴数列{a n }是公差为4的等差数列，43n a n =- 或41n a n =-

又a 2是a 1和a 7的等比中项，∴43n a n =-

6分 (2)解：223

[log ()][log ]4n n a b n +==

令12322222[log 1][log 2]log 3][log 2]n n S b b b b =++++=++++

= 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + … + 3 + 3 + … + 4 + … + n

8分 = 1×21 + 2×22 + 3×23 + … + (n －1)×2n ＿1 + n ①

10分

2S = 1×22+ 2×23 + 3×24 + … + (n －1)×2n + 2n ②

①－②得：－S = 2 + 22 + 23 + … + 2n ＿1－(n －1)×2n －n

1

2(12)(1)2(2)22

12n n n

n n n n --=--?-=--?--- (2)22n S n n =-?++

12分

20．(1)

解：由已知22222225

2

511

142c e a a b c a b a b ?==??=

???+=???

??=

+=????

∴椭圆C 的方程为22

24155y x +=

2分 (2)解：由22

1

3

241

55y kx y x

?=-

????+=??得：229(24)12430k x kx +--= ① 4分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程①的两根 ∴1212221243

9(24)9(24)

k

x x x x k k +==-++，

6分 设P (0，p )，则1122()()PA x y p PB x y p =-=- ，，，

22121212121212112()()()()333p

PA PB x x y y p y y p x x kx kx pk x x p ?=+-++=+---+++

2222(1845)362439

9(24)

p k p p k -++-=+

8分 若PA PB ⊥ ，则0PA PB ?=

即222(1845)3624390p k p p -++-=对任意k ∈R 恒成立

10分

∴2218450

3624390p p p ?-=?+-=?

此方程组无解，∴不存在定点满足条件

12

分

21．(1)解：()2cos 22

f x x a x π

π'=++ 1分

∵f (x )在定义域(0，1)内单调递增 ∴()0f x '≥在(0，1)内恒成立，即2cos 22a x ππ--

≥在(0，1)内恒成立 2分 令()2cos 22g x x x π

π=+，则2()2sin 42

g x x ππ'=-

∵()g x '在(0，1)内单调递减，且(0)0(1)0g g ''><，

∴()g x '在(0，1)上存在唯一零点m ∴g (x )在(0，m )上递增，在(m ，1)上递减，∴(0)(1)

2a g a a g π-??-?-?≥≥≥ 4分 (2)证：当2a =-时，()22cos 22f x x x ππ'=-+

令()22cos 22h x x x π

π=-+，则2()2sin 4

2h x x ππ'=-

由(1)知，()h x '在(0，1)上存在唯一零点m ∴()()f x h x '=在(0，m )上递增，在(m ，1)上递减 ∵(0)20(1)02

f f π

''=-+<=，，∴()0f m '> 6分 ∵f (x )的极小值为f (x 0)，∴0()0f x '=，因此001x m <<<

∴f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，1)上单调递增

8分 不妨设x 1 < x 2，∵f (x 1) = f (x 2)，∴10201x x x <<<<

令00()()()F x f x x f x x =+--，则0000()()()44cos

cos 22x x F x f x x f x x x πππ'''=++-=-+ ∵()F x '在(0，1)递减，∴()(0)0F x F ''<=

∴F (x )在(0，1)递减，∴F (x ) < F (0) = 0，00()()f x x f x x +<-

10分

又1200200202()()(())(())(2)f x f x f x x x f x x x f x x ==--<+-=-

∵021x x <<，∴02002x x x <-<

∵100x x <<，f (x )在(0，x 0)上单调递减，∴1022x x x >-，即1202x x x +>

12分

22．(1)证：∵OA = OC ，∴∠OAC = ∠OCA

2分 ∵CD 是圆的切线，∴OC ⊥CD

4分 ∵AD ⊥CD ，∴AD ∥OC ，∴∠DAC = ∠OCA

故∠DAC = ∠OAC ，即AC 平分∠BAD 6分

(2)解：由(1)得： BC CE =，∴BC = CE 8分

连结CE ，则∠DCE = ∠DAC = ∠OAC ，∴△CDE ∽△ACD ，△ACD ∽△ABC ∴CE DE CE AB BC AB ==，故2AB DE BC CE

?== 10分

23．(1)解：由3444sin x cox y θθ=+??=+?消去θ得：22(3)(4)16x y -+-= 2分

即226890x y x y +--+=

将cos sin x y ρ?ρ?==，代入得极坐标方程为26cos 8sin 90ρρ?ρ?--+= 4分

(2)解：由4sin ρθ=得C 2的普通方程为：2240x y y +-=

6分 由22226890

40x y x y x y y ?+--+=?+-=?得：6490x y +-=

8分 ∴C 1、C 2的交点所在直线方程为6490x y +-=

∴其极坐标方程为：6cos 4sin 90ρθρθ+-=

10分

24．(1)解：| x + 1 | + | x + 2 |－5≥0

当x ≤－2时，得x ≤－4，当－2 < x <－1时，得x ≤4，当x ≥－1时，得x ≥1 2分 ∴A = { x | x ≤－4或x ≥1}

4分 (2)证：B A R e = { x |－1< x < 1}，∴a 、b ∈{ x |－1< x < 1}

6分 要证||

|1|24a b ab

+<+，只需证224()(4)a b ab +<+

8分 ∵222222224()(4)4416(4)(4)a b ab a b a b b a +-+=+--=--

∵a 、b ∈{ x |－1< x < 1}，∴22(4)(4)0b a --<

∴224()(4)a b ab +<+ ∴||

|1|24a b ab

+<+成立

10分