函数的单调性在解奥赛题中的应用01

编号

学士学位论文

函数的单调性在解奥赛题中的

应用

学生姓名：

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系部：数学系

专业：数学与应用数学

年级：

指导教师：

完成日期：2011 年 5 月 13 日

函数单调性作为函数的一条重要的性质、是函数的核心内容之一、在解题中有着极为广泛的应用,因此它是研究函数的重要内容和手段、也是解决其他一些数学问题的有力工具.

本文主要讲函数的单调性在解决求最值、比较大小、求参数值、解不等式、证明不等式、求函数的定义域、值域、讨论方程有解的条件等问题中的应用.

关键词：奥林匹克数学竞赛题、函数的单调性、应用.

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目 录

中文摘要 ................................................................................................................. 1 引言 ......................................................................................................................... 1 1. 函数单调性的理解 ............................................................................................ 1 1.1对函数单调性概念的认识 ............................................................................ 1 1.2函数单调性的判断 ........................................................................................ 2 2. 函数的单调性在解奥赛题中的应用 ................................................................ 3 2.1比较大小 ........................................................................................................ 3 2.2求最值 ............................................................................................................ 4 2.3求参数值或取值范围 .................................................................................... 4 2.4解不等式 ........................................................................................................ 5 2.5证明不等式 .................................................................................................... 6 2.6求函数的定义域 ............................................................................................ 6 2.7求函数的值域 ................................................................................................ 6 2.8求值 ................................................................................................................ 7 2.9讨论方程有解的条件 .................................................................................... 8 2.10解决函数或方程问题 .................................................................................. 9 总结 ....................................................................................................................... 10 参考文献 ............................................................................................................... 11 致谢 .. (12)

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引言

函数单调性作为函数的一条重要的性质、是函数的核心内容之一、在解题中有着极为广泛的应用、因此它是研究函数的重要内容和手段、也是解决其他一些数学问题的有力工具.解奥林匹克数学题中如果能充分发掘有关问题的隐含条件、把问题化归到单调函数模型上去、灵活应用单调性、常能给学者一种简洁明快、耳目一新的感觉、往往可以快速、简捷地解决问题、有时甚至能收到独特神奇之效.

1.函数单调性的理解

1.1对函数单调性概念的认识

在数学课的学习过程中,掌握教材是学习的根本,尤其是函数作为讨论数学问题的常用工具,对其内涵,性质和更多特性的认识及应用更显重要.

函数单调性是函数知识中的重要概念,它反映了函数值随自变量增大（减少）而增大（减少）的变化规律,也就是说当函数是增（减）函数时,就具有单调性.

增（减）函数的定义：对于函数()f x 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值12,x x

（1）若当12x x <时,都有()()12f x f x <,则()f x 在这个区间上是增函数. （2）若当12x x <时,都有()()12f x f x >,则()f x 在这个区间上是减函数. 注意：增函数满足自变量的变化与相应函数值的变化有相同的变化趋势,减函数满足自变量的变化与相应函数值的变化有相反的变化趋势,简称同步增,反步减.

（3）两个值12,x x 是“任意”的而不是存在着.

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1.2函数单调性的判断

1．判断某函数在某区间上具有某种单调性,常用的是定义法即根据定义来判断.

由单调性的定义证明函数单调性的过程是: 在所给区域内任取两数12,x x 且12x x <, 再作差()()12f x f x -, 判断差值的符号(正负). 步骤简记为：设置→作差→变形→定号→结论.

2．运用简单函数的性质直接退出所求函数的单调性,注意以下几个性质的运用：

()1函数()y f x =-与()y f x =的单调性相反； ()2函数()

1

y f x =

与()y f x =的单调性相反； ()3复合函数的单调性取决于构成复合函数的两个函数的单调性,遵循以下

口诀“同增同减为增,一增一减为减” ；

()4若判断函数在某区间上不是单调函数,只要举一反例说明即可.

3

2. 函数的单调性在解奥赛题中的应用

函数的单调性是函数的重要性质,通过研究函数的单调性可以揭示函数值的增大或减小的变化特性,从而使一些数学问题如比较大小,求最值,证明不等式求函数最值、求参数的范围的问题得到较好的解决.

用函数单调性来解题时,首先,要有应用单调性来解题的意识。其次,要善于构造合理的函数,也就是在对问题细致地观察和透彻的分析地基础上,透过现象,把握问题的本质,从而构造出合理的函数.

2.1比较大小

利用函数的单调性来比较大小是一种常用方法.

例1：（1998年一试二.1题）若()()f x x R ∈是以2为周期的偶函数,当[]0,1x ∈时,11998

()f x x

=,则9819f ?? ???,

10117f ?? ???,10415f ?? ???

由小到大的排列是（ ）. 分析：由题设可知要比较它们的大小,首先是要将三个函数值等价转化,使其

[]0,1x ∈,其次利用11998

()f x x

=,[]0,1x ∈的单调性即可.

解：由于()f x 是以2为周期的偶函数,根据函数的周期性和奇偶性可得

98161616619191919f f f f ????????=-=-= ? ? ? ????????? 101111617171717f f f f ????????=-=-= ? ? ? ????????? 10414146151515f f f ??????=+= ? ? ??????? 又11614

01171915

<

<<< 而11998

()f x x

=,在[]0,1上是严格递增的.

4

所以11614171915f f f ??????<< ? ? ???????

即10198104171915f f f ??????<< ? ? ???????

.

2.2求最值

例2：已知函数()[]222,2,3f x x x x =-+∈,求()f x 的最大值与最小值. 解：∵函数()f x 图像为抛物线,开口向上,对称轴为1x = ∴()f x 的最大值为()35f =,()f x 的最小值为()22f

=. 例:

若函数()f x

=求实数a 的值. 解:当0a ≥时,函数()f x 在其定义域[)0,+∞上单调递增,故当

0x =时,

(

)min

f x ==????从而34a =; 当a <0时, ()f x 在其定义域[),a -+∞上单调递增, 故当

x a =-时,

(

)min

f x ==????,从而34a =-. 2.3求参数值或取值范围

例3：已知函数()()2419f x x m x =+-+ 在区间(),4-∞上是减函数,求实数m 的取值范围.

解：∵函数()f x 图像的对称轴为()21x m =--,∴函数()f x 的单调减区间为

5

()(,21m -∞--??∴由已知条件可得()214m --≥,解得3m ≥.

例4:设()24log log 1

lg

,3

x a x f x --=其中,x R ∈如果当[)2,x ∈+∞时, ()f x 有

意义,求a 的取值范围.

解:由题设得,当[)2,x ∈+∞时, 24log log 1

3

x a x -- 0>.....①恒成立,变形

得: 412log a x <-

+,要使①式恒成立,对[)2,x ∈+∞,

41

2log a x

<-+的最大值. 41

2log x

-

+在[)2,+∞是增函数, 所以当2x =时,取得最小值0,故0a ≤,因此a 的取值范围是0a ≤.

2.4解不等式

在解不等式时,往往要先根据函数单调性进行等价变形后在求解. 例5: 已知()()2log 4log 2,a a x x ->-求x 的范围. 分析：去对数符号,转化为代数不等式求解. 解：(意对数函数的定义域)

原不等式等价于()()

()2

log 4log 2,40a a x x x ?->-??

->??

由对数函数的定义域及单调性有：

(1) 当1a >时,等价于()242

4020x x x x ?->-?

->??->?

解得 6.x >

(2) 当01a << 时, 又等价于 ()24240

x x x ?-<-?

?->??, 解之得46x <<.

因此, 当1a > 时, 6x >； 当01a << 时, 46x <<.

6

2.5证明不等式

有些不等式的证明,若采用常规解法法,往往不易下手,但若从函数思想考虑,由函数单调性构造函数,问题就能容易解决.

例6：已知(),,0,a b c ∈+∞ ,且8abc =,求证:

35

32

a b c a b c +++≥++ . 证明：设 ()1

,f x x x =+易证()f x 在[)1,+∞

上是增函数,又

23

a b c ++≥=,所以()23a b c f f ++??

≥ ???

,即3532a b c a b c +++≥++ . 2.6求函数的定义域

此类题型主要是根据函数表达式的具体的特征,列出使函数有意义的关于x 的不等式, 如果不等式含有对数, 则可根据对数函数的单调性进行求解.

例7：求函数()()lg .2x x f x a k =- （0,2,a a k >≠为常数）的定义域.

解：由2x

x

a k -?0>2x

a K ??

?> ???

()1若0k ≤,由于0,2,a a >≠2x

a ??

???

0>得x R ∈,即定义域为R;

()2若k

0>,则当a >2时,知

2a

>1,得定义域为{2

|log a x x k >}; 当02a <<时, 0<

2a

<1,得定义域为{2

|log a x x k <}. 2.7求函数的值域

利用函数单调性,是求值域的一种重要的方法.

7

例8:求下列函数的值域:

()

1cos 2

cos 2x y x -=

+;

()2()sin 2

0.2sin x y x x π=+<<

解: ()1由cos 2cos 2x y x -=+4

1cos 2

x =-+,令cos 2x +t =,则[]1,3,t ∈且

()41,f t t =-而()f t 在[]1,3上是增函数, ()()1

13,3,3

f f =-=-

故13,3y ??∈-????

.

()2令

sin 2x t =,sin x 0≠,则10,2t ??∈ ???且()f t =1t t +,而()f t 在10,2??

???

上是减函数, 15

,22

f ??= ???故5,2y ??∈+∞????.

2.8求值

例9：（1997年一试二1题）设,x y 为实数,且满足()()()()3

3

11997111199711

x x y y ?-+-=-?

?-+-=??,则x y +=（ ）.

解：原方程组化为()()()()3

3

1199711

1199711

x x y y ?-+-=-??-+-=-?? . 令()31997F t t t =+,则()()11

11

F x F y -=-???-=-??

由()31997F t t t =+在(),-∞+∞上单调递增, 故11x y -=-,2x y ∴+= .

8

例10：若,,,44x y a R ππ??

∈-∈????

且满足方程3sin 20x x a +-=和

34sin cos 0,y y y a +?+=求()cos 2x y +的值.

解:由题设条件有3sin x x +=2a ,()()3

2sin 22y y a -+-=.由此构造函数

()3sin ,,,22f t t t t ππ??=+∈-????易知()f t 在,22ππ??

-????

上是单调递增函数.于是由

()f x =()2f y -有x =2y -,故()cos 2x y +1=.

2.9讨论方程有解的条件

构造出原方程未知量为自变量的函数,通过利用函数单调性讨论方程有解的情况.

例11:已知方程()94340,x x a +++=问a 为何值时方程有唯一实根,两实根,无实根.

解:设3,x t =则0t >,方程可化成为 ()2440t a t +++=

∴44a t t ??

=-+- ??

?

易知此函数的单调区间是()0,2和()2,+∞.

当t ∈()0,2时, (),8;a ∈-∞-当t ∈()2,+∞时, (),8a ∈-∞-.

∴当(),8a ∈-∞-时,原方程有两实根;当a =8-时, 原方程有唯一实根;当

a ∈()8,-+∞时,原方程无实根.

9

2.10解决函数或方程问题

例12:解方程()3

353630x x x ++++=.

解:将原方程变形为()3

53x ++()53x +()3,x x =-+设()f x =3x x +,则原方

程变为()53f x +()f x =-又()f x 在R 上是单调递增函数,故53x x +=-,得

12

x =-.

例13：证明两个函数()32log 1,log y x y x =+=的图象有且仅有一个公共点. 分析:设()3log 1y x =+,()2log g x x =,要证明两图象有且仅有一个公共点,可看成证明方程()3log 1x +2log x =有且仅有一个实根.

解:显然()()22f g =,故两函数的图象有一个公共点. 设()()000,2x y x ≠是函数图象的另一个公共点, 则

()30log 1x +20log x ==0y ,000013,2,y y x x +==

所以00

00

12123, 1.33y y

y y ????

+=+= ? ?????

令()12,33x x

M x ????

=+ ? ?????

则()M x 在(),-∞+∞上是减函数,且()11M =,故方

程00

12133y y

????

+= ? ?????

有唯一解01,y =从而02x =与02x ≠矛盾,从而两函数图象仅有一个公共点.

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总结

函数的单调性在解决相关奥赛题中有着重要的应用,即函数的单调性在解决证明不等式,求函数的定义域,求函数的值域,求值,解决函数或方程问题及讨论方程有解的条件等问题中有重要的应用。由以上应用不难看出,利用函数单调性解题关键在于把握题目的特点,恰当地构造出单调函数（有些问题不一定要求出或构造出函数的具体表达式）.

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参考文献

[1]李开珂,张斌,十年全国奥林匹克竞赛试题分类解析（高中数学）[M]课堂内外杂志社,2003年.

[2] 商俊宇 ,函数单调性的理解及应用,高中数学教与学[J] 2006年第3 期. [3] 黄学波,巧用函数的单调性解题,中学生数学[J] 2004年11月. [4] 李相普,巧用函数的单调性解不等式有关问题,问题讨论[J]2003年第1期. [5] 管宏斌,例说函数的单调性证明中的变形技巧,数理化学习(高中版) [J]. [6] 唐正敏,对数函数单调性的应用,数学爱好者[J],2006年12月. [7] 刘义,对函数单调性的几点理解,学科教学[J],2010 年6 月. [8] 陈方杰, 奥林匹克数学竞赛题的解题思维,教师[J],2009年9期.

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致谢

在喀什师范学院的教育下经过五年的学习,我在做人做事各个方面得到了很大的提高.

在阿吉木老师的指导下我的毕业论文顺利通过,他帮我批阅了好多次,提供了这方面的资料和很好的意见,非常感谢他的帮助,在老师耐心的指导下,我学会了论文的三步骤：怎么样开头,怎么样继续,怎么样结束.

非常感谢阿吉木老师,也非常感谢我系的各位老师,在他们的教育下,我在各方面得到了很大的提高,为以后工作打下了良好的基础.

此致

敬礼

2011年5月13日